Transcript 第五章自动控制的一般概念

第五章 线性系统的频域分析
本章主要内容与重点
频率特性的基本概念
极坐标图（Nyquist图）
对数坐标图（Bode图）
奈奎斯特稳定判据
稳定裕度
闭环系统频率特性
系统时域指标估算
结束
(5-1)
本章重点
本章主要内容
本章主要介绍了控制系
统频域分析法的相关概
念和原理。包括频率特
性的基本概念；开环频
率特性的极坐标图表示
法、伯德图表示法；控
制系统稳定性的频域分
析法及其应用；控制系
统闭环频率特性；开环、
闭环频率特性与时域性
能的关系。
通过本章学习，应重点掌
握频率特性的概念与性质；
典型环节及系统开环频率
特性的极坐标图和伯德图
的绘制和分析方法；控制
系统稳定性的频域分析法；
系统稳定裕度的概念和求
法；闭环频率特性的概念
等。
结束
(5-2)
§5.1 引言
频域分析法的概念与特点
利用频率特性分析、设计系统的方法
• ⑴ 研究稳态正弦响应的幅值和相角随频率
变化的规律；
• ⑵ 由开环频率特性研究闭环稳定性及性能；
• ⑶ 实验法、图解分析法及其广泛适用性；
• ⑷ 与时域分析和性能指标的明确对应性；
• (5)一定的近似性。
结束
(5-3)
§5.2
频率特性的基本概念
一、频率特性的基本概念
1、频率特性 G(jω) 的定义
在正弦输入下，系统的稳态输出分量与输入量的复数之
比。一般用G(j)表示。
r (t )  rm sin  t
rm
t
c (t )  c m sin(  t   )
cm
控制系统

t
即： G(jω)  C(j )
R ( j )
结束
(5-4)
§5.2 频率特性的基本概念
例1 RC 电路如图所示，ur(t)=Asint, 求uc(t)=?
T  CR
U c ( s)
1
1
1T
G( s ) 



U r ( s ) C Rs  1
Ts  1 s  1 T
U c ( s) 
C0
1T
A
C1 s  C2
 2


s  1 T s   2 s  1 T s2   2
A T
AT

s  1 T s 2   2
1   2T2
- AT
A
C1 
C

2
1   2T2
1   2T2
C0  lim
cs (t ) 
A
1 T
2
2
sin(T - arctanT)

AT
1
A
1

T
s 
U c ( s) 







2 2
2 2 s2   2
2 2 s2   2
1   2T 2 s  1 T
1 T  1 T
1 T

AT Tt
A
sinT  cos  cosT  sin 
uc (t ) 
e

2 2
2
2
1 T
1 T
t
A
AT T
sin(T - arctanT)

e 
2 2
2 2
1 T
1 T
结束
(5-5)
§5.2 频率特性的基本概念
1、 频率特性 G(j) 的定义
G ( j ) 定义一：
G( j ) 
C ( j )
R( j )
G ( j ) 定义二： G( j )  G( j ) G( j )
cs (t )
1
G ( j ) 

r (t )
1   2T2
G( j )  cs (t )  r (t )   arctanT
G ( j ) 定义三：
1
1   2T2
G( s)  C ( s) R( s)
C ( s )  G( s ) R( s )
C ( j )  G( j )  R( j )
幅频特性
相频特性
G ( j  )  G ( s ) s  j
  arctanT

1
1
1
1



1  jT Ts  1 s j
1  jT 1  jT
结束
(5-6)
§5.2 频率特性的基本概念
2、频率特性的性质
1）与传递函数一样，频率特性也是一种系统数学模型。
它描述系统的内在特性，与外界因素无关。系统结构参数给定时，频率
特性则完全确定。
2）频率特性是一种稳态响应。
是在系统稳定的前提下求得的，不稳定系统则无法直接观察到稳态响
应。从理论上讲，系统动态过程的稳态分量总可以分离出来，而且其规律并
不依赖于系统的稳定性。因此，我们仍可以用频率特性来分析系统的稳定性、
动态性能、稳态性能等。
3）系统的稳态输出量与输入量具有相同的频率。
当频率改变，则输出、输入量的幅值之比A（）和相位移（）随之
改变。这是系统中的储能元件引起的。
4）实际系统的输出量都随频率的升高而出现失真，幅值衰减。
所以，可以将它们看成为一个“低通”滤波器。
5）频率特性可应用到某些非线性系统的分析中去。
结束
(5-7)
§5.2 频率特性的基本概念
三要素：频率：  ：0∞
幅值： Ai Ao 关系：
幅角： i  o 关系：
Ao  A  G( s)
S  j
Ai
o    G(s) |S  j
i
系统模型间的关系
结束
(5-8)
§5.2 频率特性的基本概念
3、频率特性的求取：
1）根据定义求取。
即对已知系统的微分方程，把正弦输入函数代入，求出其稳态
解，取输出稳态分量与输入正弦量的复数比即可得到。
2）根据传递函数求取。
即用s=j代入系统的传递函数，即可得到。
3）通过实验的方法直接测得。
根据传递函数求取频率特性:R(s)
传递函数:
C s
G (s)
C(s) b m s m  b m1s m1  b1s  b 0
G(s) 

R(s) a n s n  a n 1s n 1  a 1s  a 0
结束
(5-9)
§5.2 频率特性的基本概念
频率特性: （s=j）
G(jω ) 
 A(ω )e
C(jω )
R(jω )
jφ (ω )

b m (jω ) m  b m 1 (jω ) m1    b1 (jω )  b m
a n (jω ) n  a n 1 (jω ) n 1    a 1 (jω )  a n
 U(ω )  jV(ω )
A（）—— 幅频特性；G（j）的模，它等于稳态 的输
出分量与输入分量幅值之比.
（）—— 相频特性；G（j）的幅角，它等于稳态输出
分量与输入分量的相位差。
U（）—— 实频特性；
G ( j )
jV
V（）—— 虚频特性；
V ( )
A ( )
 ( )
0
U ( )
U
结束
(5-10)
二、 频率特性 G(jw) 的几何表示方法
Ⅰ. 频率特性
§5.2 频率特性的基本概念
1
G
(
j

)

以
为例。
Ts  1 s  j
. 幅相特性(Nyquist曲线)
幅频 G( j )
相频 G ( j )
. 对数频率特性(Bode)图
. 对数幅相特性(Nichols图)
对数幅频
L( )  20lgG( j )
对数相频
 ( )  G( j )
结束
(5-11)
§5.2 频率特性的基本概念
半对数坐标
G ( j)  A()e j(  )
描述增益与频
表示方法
Lg0.6率的关系
= -0.2218
两张图：
(Bode图)
L()  20lg A() ~ 
() ~ 
半对数坐标：
频率横坐标刻度按对数值等分
Lg0.8 = -0.0969
Lg2 = 0.301
对数幅频特性
Lg3 = 0.4771
相频特性
Lg4 = 0.602
Lg20
= 1.301
描述相角与频
率的关系
标注仍用实际频率值
L( )
0. 1
-1
1
0
10
100
1
2
1000

3 l g
结束
(5-12)
§5.2 频率特性的基本概念
采用半对数坐标的优点

扩大了频带表示范围

典型环节的幅频特性曲线或其渐进线是直线

将幅值乘除运算化为加减运算
结束
(5-13)
§5.2 频率特性的基本概念
§5.1、 § 5.2 小结
1、 频率特性 G(jw) 的定义
幅／相频特性，实／虚频特性及其关系
2、频率特性的性质
3、频率特性的各种表示方法
4、Bode图半对数坐标的画法和作用
结束
(5-14)
§5-3
和
开环系统的典型环节分解
开环频率特性曲线的绘制
一、开环系统典型环节分解的意义
二、各种典型环节的开环频率特性曲线
三、系统的开环幅相频率特性曲线
四、系统的开环对数频率特性曲线
结束
(5-15)
§5-3 开环系统的典型环节分解和频率特性曲线
一、开环系统典型环节分解的意义
1、闭环系统的开环传递函数分解
Gk ( s ) 
K (T1s  1)(T2 s  1)...(T 2 s 2  2Ts  1)

S (T s  1)(T s  1)...(T s  2 T s  1)
'
1
'
2
'2 2
'
'
(尾1式）
n
  Gi ( s );
i 1
设典型环节频率特性为：
Gi ( s)  Ai ( )e ji ( )
n
则系统开环频率特性为
Gk ( j )  [ Ai ( )]e ji ( )
i 1
结论：闭环系统的开环传递函数和频率特性可以视为各种具有
不同数学模型和控制特性的各种基本环节－典型环节的串联
结束
(5-16)
§5-3 开环系统的典型环节分解和频率特性曲线
系统开环幅频特性：
和开环相频特性：

A( ) 



  ( ) 


n

Ai ( )
i 1
n

i 1
i
( )
n
n

系统开环对数幅频特性： L( )  20 lg A( )   20 lgAi ( )   Li ( )
i 1
i 1
和开环对数相频特性： 

n

 ( )   i ( )

i 1

结论：开环频率特性变乘为加，使运算和绘图简化，描述
频带范围扩大。
2、典型环节的分类
最小相位环节：无s 开右半平面上的零、极点的环节
典型环节的分类1
非最小相位环节：有s 右半平面上的零或极点的环节
结束
(5-17)
§5-3 开环系统的典型环节分解和频率特性曲线
典型环节的分类2（按传递函数不同分）
1）最小相位环节
2）非最小相位环节
（1）比例环节G(s）=K,K>0
（2）惯性环节G(s)=1/Ts+1,T>0
（3）一阶微分环节G(s）=Ts+1,T>0
2 2
（4）振荡环节 G(s)  1/(T s  2Ts  1)(T  0,0    1)
2 2
（5）二阶微分环节 G(s)  1/(T s  2Ts  1)(T  0,0    1)
（6）积分环节G(s）=1/s
（7）微分环节G(s）=s
（1）比例环节G(s）=K,K<0
（2）惯性环节G(s)=1/Ts+1,T<0
（3）一阶微分环节G(s）=Ts+1,T<0
2 2
（4）振荡环节 G(s)  1/(T s  2Ts  1)(T  0,0    1)
（5）二阶微分环节
G(s)  (T 2 s 2  2Ts  1)(T  0,0    1)
二、 典型环节的频率特性
1、对数频率特性曲线（伯德图）
2、幅频特性曲线（奈氏图）
结束
(5-18)
§5-3 开环系统的典型环节分解和频率特性曲线
1、典型环节的对数频率特性曲线（伯德图）
（1）比例
环节
传递函数：G(s)  K , K  0
频率特性：G( j)  K
A()  G( j)  K
(  )  G( j)  0
L()  20lg A()  20lg K
()  0
结束
(5-19)
§5-3 开环系统的典型环节分解和频率特性曲线
传递函数：G(s)  1
S
频率特性：G( j)  1
j
（2）积分
环节
L()  20 lg 
20dB
L1
20lgK
A( )  1

(  )  90
-20dB/dec
10
1
-20dB/dec
传递函数：G1 (s)  K
S
结束
(5-20)
§5-3 开环系统的典型环节分解和频率特性曲线
（3）微分
环节
传递函数：G(s)  S
频率特性：G( j)  j
A( )  
L()  20 lg 
(  )  90
20dB/dec
1
传递函数与积分环节互为
倒数，它们的Bode图以实
轴相互对称；而一阶微分
环节则与惯性环节对称。
结束
(5-21)
§5-3 开环系统的典型环节分解和频率特性曲线
（4）惯性
环节
ω
1/10τ
φ(ω)(度)
-5.7
L(ω)（dB） ≈ 0
L  


A() 
1
S  1
频率特性： G( j)  1
j  1
传递函数： G (s) 
1/5τ
-11.3
-0.17


1/2τ
-26.6
-0.97




1/τ
-45
-3
1
22  1
(  )  tg 1
2/τ
-63.4
-7


10/τ
-84.3
-20
5/τ
-78.7
-14



-90o
结束
(5-22)
§5-3 开环系统的典型环节分解和频率特性曲线
惯性环节的对数幅频特性通常用渐进线近似:
A() 
1
22  1
  1
L( )  20 lg 1  0(低频幅频渐进线）
  1
L()  20lg   20lg   20lg 
令 L( )  0， 得 ω 1
τ
L(  )


 >>1的近似线
斜率-20dB/dec,
与零分贝线交于
 1










 
处

- 90o
 绘制惯性环节的Bode图方法
结束
(5-23)
§5-3 开环系统的典型环节分解和频率特性曲线
绘制
惯性环节
Bode图
的方法
1、找出w＝1/t
2、wt<<1部分画0dB/dec线
3、延长至1/t处斜率转折为-20dB/dec线
L(ω)
称 / 转折频率
1
  1
相频特性
需要时，对近似特
不能用近
性进行校正，通过
似特性
φ(ω)

1/

-20dB/dec
  1
L(ω)
转折频率/处
1
-5.7°
10
3dB点画光滑曲线

-45°
-90°
10



-84.3°

结束
(5-24)
（5）一阶微
分环节
§5-3 开环系统的典型环节分解和频率特性曲线
A( )   2 2  1
传递函数：G(s)  s  1
(  )  tg 1
L(ω)
1
一阶微分环节的传递函数
与惯性环节互为倒数，它
φ(ω)
们的Bode图以实轴为轴相
+45°
互对称。
-45°
G(jj

1/
-20dB/dec
L(ω)



-90°
结束
(5-25)
§5-3 开环系统的典型环节分解和频率特性曲线
（6）振荡
环节
传递函数： 2
n
G(s)  2
 2 2 1
2
2
S  22
T S  2TS  1
n S  n
  1     1
(0    1)
) 1 1
频率特性：
G(j
)  ( 2
  2 2  j2  1
 L(
)

0
1
幅频特性：
2 2 2
A(

)


)


10
lg[(


  1 L(
2 2 2
2) ]
(1    )  (2 )
2
对数幅频特性：
L()  40 lg( )
L( )  10 lg[(1   2 2 ) 2  (2 ) 2 ]
相频特性：
对数幅频特性 低频段0dB/dec线，过转折频率
2
1
(后斜率变为-40dB/dec直线
)  tg
1=1/
2
2
1  
结束
(5-26)
§5-3 开环系统的典型环节分解和频率特性曲线
L( )
L( )  10 lg[(1   2 2 ) 2  (2 ) 2 ]
1/
幅频特性精确曲线与
1
大小有关,因此，近似
曲线应根据值进行修
正；误差最大发生在
=1/处。
L()|=1/= -20lg(2)

- 40dB/ dec

0.1
( )
0.2
0.3
L()
14.0
7.96
4.44
0.4
小
1.94
0.5
0.7
0.8
0.9
0
-2.92
-4.08
-5.1

1
-6
o
- 180
()  tg
1
2
2
2
1  
相频特性曲线也与
大小有关
结束
(5-27)
§5-3 开环系统的典型环节分解和频率特性曲线
（7）滞后
环节
G(s)  e- s
G(j)  e-j 
A( )  1  L()  0
()  
迟后环节的Bode图
结束
(5-28)
§5-3 开环系统的典型环节分解和频率特性曲线
典型环节的极坐标图
Im
∞
微分环节
0
∞
积分环节
Re
∞
振荡环节
↑
=1/2
0
=0
小
结束
(5-29)
§5-3 开环系统的典型环节分解和频率特性曲线
L(  )


惯性环节极坐标图
e
G( j)  A( j)
A() 








j ( )
1
22  1
1
(  )  tg 
G(j)幅值随增加而
由1变小至0，
幅角从0→-90∘，矢量
末端轨迹是个半圆

 

- 90o
对照BODE图
处

实部＝1
结束
(5-30)
§5-3 开环系统的典型环节分解和频率特性曲线
滞后环节的极坐标图
Im
G(j)  e-j  1  
Re
=0

结束
(5-31)
§5-3 开环系统的典型环节分解和频率特性曲线
§5-3.2 系统开环频率特性的绘制
一
系统开环对数频率特性的绘制
这样，系统的对数幅频特性、
系统开环频率特性大都是典型环节串联起来的
G(j)  G1 (j)G相频特性分别是串联
2 (j) G n (j)
典型环节的对数幅频
A(ω)ej(ω)  A1(ω)ej1(ω)
* A2(ω)ej2(ω) * * An(ω)ejn(ω)
特性、相频特性相加
j( (ω) (ω) (ω))
 A1(ω)A2(ω)An(ω)e
1
2
n
1()  1() 2()   n()
A()  A1()A2()A n()
前式两边取对数再乘20，得
L()  L1() L2()   Ln()
结束
(5-32)
§5-3 开环系统的典型环节分解和频率特性曲线
K
的Bode 图。
(T1S  1)(T2S  1)
K
解：系统频率特性：G( j) 
( jT1  1)( jT2  1)
例：绘制G(s) 
系统可看成三个环节串联：一个比例环节、两个惯性环节
G (s)  K 
1  1
T1S  1 T2S  1
L1 ()  20lgK 是一条幅值为 20 l gK的直线
L2()  20lg
1
2T12  1
1
L3()  20lg
2 2
 T2  1
低频为 0dB/dec直线，
在i=1/Ti处转折为
- 20dB/dec的直线
L()  L1() L2() L3()
1()  1() 2() 3()
结束
(5-33)
§5-3 开环系统的典型环节分解和频率特性曲线
G1 ( j)  K
G 2 ( j) 
1
jT1  1
1=1/ T1
G 3 ( j) 
2=1/ T2
0dB/dec
20lgK
1
jT2  1
L1()
-20dB/dec
L2()
-20dB/dec
L3()
- 40dB/dec
L()
系统相频特性通过表达式计算描点
分析：
• 系统开环传函由三个典型环节组成，其对数幅频特性 的
近似特性由三段组成；
• 转折处频率就是两个惯性环节的转折频率（=1/T）； ()
• 经过一个惯性环节转折频率后，对数幅频特性的近似特性
结束
的斜率增加 -20dB/dec;
(5-34)
§5-3 开环系统的典型环节分解和频率特性曲线
2、绘制系统开环对数幅频特性的近似特性的步骤：
① 求出各环节的转折频率。
②画高度为20lgK的直线，从01（最小的
转折频率）作为系统对数幅频特性近似特性的
低频段。
③在1后，斜率变为-20dB/dec,因为该
转折处频率是惯性环节的转折频率（振荡环节
则-40dB/dec)，随的增加，每经过一个转折
频率，幅频特性的斜率改变一次。
④系统相频特性通过表达式计算描点
结束
(5-35)
补例1：绘制G ( s ) 
§5-3
4(0.5S开环系统的典型环节分解和频率特性曲线
 1)
S (2S  1)(0.125 S  0.05S  1)
2
2
的Bode 图。
解：该系统由5个典型环节组成：
1、比例环节
K=4
20lgK=12dB
2、积分环节
幅频特性-20lg 是一条过=1，斜率-20dB/dec
的直线
相频特性 -90°
转折频率 1=1/2=0.5(1/sec)
幅频特性经过1斜率增加-20dB/dec；
相频特性 为0°→-45°→-90°
4、一阶微分环节 转折频率 2=1/0.5=2（1/sec）
幅频特性经过2斜率增加 +20dB/dec ；
相频特性 为0°+45°+90°
3、惯性环节
5、振荡环节
转折频率
3=1/0.125=8（1/sec）
幅频特性经过3斜率增加 -40dB/dec
相频特性为0° -90°  -180°
2T=0.05  =0.2幅频特性应修正20lg2=8dB
结束
(5-36)
准备坐标：频率范围：最小 1=0.5，最大 3=8；
横坐标 范围大约从0.05 到 80
-20dB/dec
1=0.5
12dB
2 = 2
3 =8
-40dB/dec
-20dB/dec
 =0.2
3 附近幅值应
修正,增加8dB
 - 
-60dB/dec
L()
0.5
-122
1.6
-129
2
-127
8
-191
10
-237
()
结束
(5-37)
§5-3 开环系统的典型环节分解和频率特性曲线
3、一般近似对数幅频特性的特点：
（1）最左端直线斜率为 20 dB / dec
（2）   1 的分贝值，最左端直线或其延长线的分
贝值为20 lgK。
（3）最左端直线（或其延长线）与零分贝线的交点
频率   K 1 / 
（4）在交接频率ω=1/T(τ)处，L(ω)曲线斜率发生改
变，改变的多少取决于典型环节的类型。
补例2
试绘制以下传递函数的对数幅频曲线
G (s) 
10( s  3)
s ( s  2)(s 2  s  2)
结束
(5-38)
§5-3 开环系统的典型环节分解和频率特性曲线
解：
G( s) 

K  7.5 ,
10 3( s / 3  1)
2  2s( s / 2  1)[(s / 2 ) 2  s / 2  1)
7.5( s / 3  1)
s( s / 2  1)[(s / 2 ) 2  s / 2  1)
1
s
1
, (  1) ,
,
s
3
( s / 2  1)
 2 /  n  1 / 2 ,  n  2
（1）20lg K
1
( s / 2 ) 2  2  0.35s / 2  1
,    0.3535 0.35
 20lg 7.5  17.5 (dB)
（2）绘制最左端的直线：斜率 -20dB/dec 直线，在
 1
过17.5(dB)这一点的直线。
结束
(5-39)
§5-3 开环系统的典型环节分解和频率特性曲线
（3）根据各环节的交接频率绘制近似对数幅频特性。
1
( j / 2 )  2  0.35 j / 2  1
2
, 1  2 (rad / s)
j
1
,  2  2 (rad / s) . (  1) ,  2  3 (rad / s)
( j / 2  1)
3
（4）修正近似的对数幅频特性。 40
L( )
20
0
0.1
1


1  2 3 10
20
40
60
结束
(5-40)
§5-3 开环系统的典型环节分解和频率特性曲线
4、最小相位系统和非最小相位系统
最小相位系统：系统稳定，而且在右半 s 平面没有零点。
否则就是非最小相位系统。
1  sT
举例： G1 ( s ) 
1  sT1
1  sT
, G 2 ( s) 
1  sT1
1  j T
G1 ( j ) 
1  jT1
G1 ( j )  G 2 ( j ) 
1  ( T ) 2
1  ( T1 )
G1 ( j )  arctg T  arctg T1
2
0  T  T1
1  j T
, G 2 ( j ) 
1  jT1
,
, G 2 ( j )  arctg T  arctg T1
结束
(5-41)
§5-3 开环系统的典型环节分解和频率特性曲线
对于最小相位系统：幅频特性与相频特性具有一一对应
关系；而非最小相位系统没有这样的关系。
已知最小相位系统的幅频特性就可以直接写出系统的传
递函数。
补例3：已知最小相位系统的
开环对数幅频特性如图所示，
试确定系统开环传递函数。
40
20 dB / dec
20
0
0.1
20
40
系统开环传递函数：
L( )
50
1
3 10
100

20 dB / dec
40 dB / dec
3( s / 10  1)
G (s) 
s( s / 50  1)(s / 100 1)
结束
(5-42)
按照各个典型环节频率特性在各
二 系统频率特性极坐标图（奈奎斯特曲线）的绘制
个频率下的大小迭加而成。它是
G(j)  A()e
一条大致的曲线，需要准确的地
A()  A1()A2()方，如：和负实轴相交的地方，
An()
才需要准确计算
j()
1()  1() 2()   n()
典型环节频率特性极坐标图的大致走向（所在象限）
A(ω)
φ(ω)
ω=0 ω=1/Tω=∞ ω=0 ω=0+ ω=1/T ω=∞
K
K
K
K 0° 0°
0°
0°
1/jωT
∞
1
0 0° （-90°)（ -90°) （-90°)
1+jωT
1 1.414 0 0° 0°+ （+45°) （+90°)
1/(1+jωT)
1 0.707 0 0° 0°- （-45°) （-90°)
2 2
1/(1-ω T +j2ζωT) 1
1/2ζ 0
0° 0°- （-90°) （-180°)
结束
(5-43)
§5-3 开环系统的典型环节分解和频率特性曲线
2、概略绘制开环幅相曲线的方法举例
例1、 某零型反馈控制系统，系统开环传递函数
G ( s) 
K
(T1 s  1)(T2 s  1)
G ( j ) 
G( j ) 
试概略绘制系统的开环幅相曲线。
K
 G ( j ) e j ( )  P ( )  jQ( )
( jT1  1)( jT2  1)
K
(T1 ) 2  1 (T2 ) 2  1
1
1
G( j )   ( )  tg  T1  tg  T2
P( )  K (1  T1T2 2 ) /(1  T12 2 )(1  T2 2 2 )
Q()  K (T1  T2 ) /(1 T  )(1  T2  )
2
1
2
2
2
结束
(5-44)
§5-3 开环系统的典型环节分解和频率特性曲线
o
G( j 0)  K0 o , G( j)  0  180
P( )  0
与虚轴的交点：
Im
K (1  T1T2 2 )  0

1
 n
T1T2
ω=∞
ω=0
K
Re
ω
T1T2
Q ( n )   K
T1  T2
若包含 n 个惯性环节:
   G( j )  0  n  90
o
每增加一个惯性环节,起
始点不变,终点仍在原点，
只是相角切入角-90°;
此时,频率特性曲线与负
实轴会有交点,应准确求
出:令虚部为零,得到
代入实部便得
结束
(5-45)
K
j( jT1  1)( jT2  1)
与例2区别仅多了一个积分环节 G1 ( j)  1
j
解：系统频率特性：G( j) 
1
当


0
时
A
(

)

  ()  0
1
最关心的是相角＝-180°时
=∞幅值为零，

的幅值。
相角为3*（-90°）。
当  0 时 A1 () |0   1  
0
随的增加，幅值减小，相角
Im

1
G1 ( j )   , 当   0 时,
ω=∞
ω=0
滞后越大，变化趋势如图。
j0
（从使用角度，不必准确）
其相角为  90
Re
ω
∞
由于=0+时，惯性环节的相角
有很小的负值，所以，曲线在
=0+处应在第三象限
ω
ω=0+
结束
(5-46)
§5-3 开环系统的典型环节分解和频率特性曲线
开环传递函数含有积分环节时的开环幅相曲线
j Im
II型系统包含两个积分环节，例如
G (s) 
G( j ) 
K
 0
s 2 (T1 s  1)(T2 s  1)
K
( j ) 2 ( jT1  1)( jT2  1)

K
 2 1  T1 2 2 1  T2 2 2
Re
0 
e j ( )
 ( )  180 arctgT1  arctgT2
起点与终点：G( j0

)    180o ,
G( j)  0  360o
结束
(5-47)
§5-3 开环系统的典型环节分解和频率特性曲线
当包含一阶微分环节，这时的幅相曲线也可能出现凹凸，
例如：
G(s) 
K (T3 s  1)
j Im
s (T1 s  1)(T2 s  1)(T4 s  1)
2
起点与终点：
 0
Re
0 
G( j 0  )    180o , G( j)  0  360o
若T1大于其它时间常数，幅相曲线如图所示，与
实轴、虚轴的交点可以用对应的实部、虚部表达式求出。
结束
(5-48)
§5-3 开环系统的典型环节分解和频率特性曲线
基本规律：设 G ( s ) 
  0
（1）   0
（2） m  n
K
n 
K ( 1 s  1)  ( m s  1)
s (T1 s  1)  (Tu s  1)

o




G
(
j

)

(
m

n
)

90
u
（3）幅相曲线与实轴、虚轴的交点求取。
（4） 不包含一阶微分环节，
包含一阶微分环节的幅相曲线。
结束
(5-49)
§5-3 开环系统的典型环节分解和频率特性曲线
j Im
III型
Re
0
II型
0型
I型
含不同个数积分环节时的奈氏曲线
结束
(5-50)
系统奈奎斯特曲线（开环频率特性极坐标图）的绘制要点：
奈氏曲线在 =0 到 0+ 的变化随系统的不同而差别很大：
“0”型系统：奈氏曲线从实轴（幅值=K处）开始
“I”型系统：奈氏曲线从实轴（幅值=∞处）开始， =0+ 就转过
-90°到负虚轴附近；是在第三或第四象限，应比较=0+ 时各零
点的相角之和与各极点相角之和哪个大，前者大则在第四象限，
否则第三象限
ω=0+
Im
ω=0
K
Re
ω=0
ω=∞
∞
“II”型系统：奈氏曲线也
是从实轴（幅值=∞处）
开始，=0+ 就转过
-180°到负实轴；是在第
二或第三象限，也是比较
=0+ 时各零点的相角之
和与各极点相角之和，前
者大则第三象限，否则第
二象限
ω=0+
结束
(5-51)
§5-3 开环系统的典型环节分解和频率特性曲线
KM( j)
Sv N ( j)
K M ( j)
G ( j)  v
 N ( j)
 ( j)  v( 90 )  M ( j)  N ( j)
G ( j) 
n>m :
N-M=3、7
奈氏曲线终止在原点（=∞），
切入方向根据零、极点确定,即：
N(-90°)+M(90°)
Im
ω=∞
Re
N-M=2、6
求奈氏曲线与实轴的交点：
令虚部为零，得到代入实部而得
N-M=1、5
结束
(5-52)
§5-3 开环系统的典型环节分解和频率特性曲线
§5-3 系统开环频率特性的绘制小结：
• 绘制系统开环对数频率特性曲线（Bode图）：有两
张图，都是按典型环节相加，开环对数幅频特性曲线
通常可以使用近似特性，绘制时根据传递系数、环节
的转折频率和斜率一步就可以画出
• 绘制系统频率特性极坐标图（奈奎斯特曲线） ：
抓住曲线头尾的特征，曲线与实轴的交点计算而得
结束
(5-53)
§5-4 频率域稳定判据
频域稳定判据：奈奎斯特稳定判据和对数稳定判据
频域稳定判据的特点：
•利用开环频率特性曲线判断闭环系统稳定性
•可研究系统参数和结构改变对稳定性的影响
•研究包含延迟环节系统的稳定性
•奈氏判据可推广到某些非线性系统的稳定性
•奈氏判据的理论基础是复变函数的幅角定理。
结束
(5-54)
§5-4 频率域稳定判据
稳定性判据回顾：
劳斯稳定判据：根据特征方程的系数及劳斯表
判断系统的稳定性
根轨迹法：根据特征方程的根随系统参量变化的轨迹
判断系统的稳定性
奈奎斯特稳定判据：根据系统的开环频率特性
判断闭环系统的稳定性。
奈奎斯特稳定判据的数学基础：映射定理
结束
(5-55)
§5-4 频率域稳定判据
一、映射定理（幅角定理）
设有一复变函数为
K ( s  z1 )(s  z2 )( s  zm )
F ( s) 
( s  p1 )(s  p2 )( s  pn )
（1）
式中，s＝σ+jω为复变量，F(s)为复变函数, 记F(s)＝U+jV。
如果在s 平面画一条封闭曲线, 并使其不通过F(s)的任一
零、极点, 则在F(s)平面上必有一条对应的映射曲线, 如图524所示。
结束
(5-56)
§5-4 频率域稳定判据
sƽÃæ
j
jV
s1
F1(s)
s2

0
s3
F(s)ƽÃæ
F2(s)
0
U
F3(s)
图5-24 s平面与F(s)平面的映射关系
结束
(5-57)
§5-4 频率域稳定判据
若在s平面上的封闭曲线是沿着顺时针方向运动的, 则在F(s)
平面上的映射曲线的运动方向可能是顺时针的, 也可能是逆时
针的, 这取决于F(s)函数的特性。
我们感兴趣的不是映射曲线的形状, 而是它包围坐标原点
的次数和运动方向, 因为这两者与系统的稳定性密切相关。
根据式(1)，复变函数F(s)的相角可表示为
m
n
i 1
j 1
F ( s)   ( s  zi )   ( s  p j )
结束
(5-58)
§5-4 频率域稳定判据
假定在s平面上的封闭曲线包围了F(s)的一个零点z1 ，而其
他零极点都位于封闭曲线之外, 则当s沿着s平面上的封闭曲线
顺时针方向移动一周时, 向量(s－ z1)的相角变化-2π 弧度, 而其
他各相量的相角变化为零。这意味着在F(s)平面上的映射曲线
沿顺时针方向围绕着原点旋转一周, 也就是向量F(s)的相角变
化了-2π弧度, 如图5-25所示。
若s平面上的封闭曲线包围着F(s)的Z个零点, 则在F(s)平面
上的映射曲线将按顺时针方向围绕着坐标原点旋转Z周。
结束
(5-59)
§5-4 频率域稳定判据
j
jV
j1
sƽÃæ
F(s)
z1
q2
p2
0
0
p1
F(s)ƽÃæ
q1
j2
U
s
z2
图 5-25 封闭曲线包围z1时的映射情况
结束
(5-60)
§5-4 频率域稳定判据
用类似分析方法可以推论, 若s平面上的封闭曲线包围了
F(s)的P个极点, 则当s沿着s平面上的封闭曲线顺时针移动一
周时, 在F(s)平面上的映射曲线将按逆时针方向围绕着原点旋
转P周。
综上所述, 映射定理可以归纳如下:
映射定理 设s平面上的封闭曲线包围了复变函数F(s) 的P个极
点和Z个零点, 并且此曲线不经过F(s)的任一零点和极点, 则
当复变量s 沿封闭曲线顺时针方向移动一周时, 在F(s)平面上
的映射曲线按逆时针方向包围坐标原点（P-Z）周。
结束
(5-61)
§5-4 频率域稳定判据
二、奈奎斯特稳定判据
设系统的开环传递函数为
K ( s  z1 )( s  z2 ) ( s  zm )
GK ( s)  G ( s) H ( s) 
m≤n
( s  p1 )( s  p2 ) ( s  pn )
则系统的特征方程为
1  G( s) H ( s)  F ( s)  1 
K ( s  z1 )(s  z2 )  ( s  zm )
( s  p1 )(s  p2 )  ( s  pn )
( s  p1 )(s  p2 )  ( s  pn )  K ( s  z1 )(s  z2 )  ( s  zm )

( s  p1 )(s  p2 )  ( s  pn )
( s  s1 )(s  s2 )  ( s  sn )

( s  p1 )(s  p2 )  ( s  pn )
结束
(5-62)
§5-4 频率域稳定判据
n
F ( s) 
N1 ( s) N 2 ( s)  M 1 ( s) M 2 ( s)

N1 ( s) N 2 ( s)
 (s  z i )
i 1
n
 (s  pi )
i 1
结论：*（1）辅助函数的零点是闭环传递函数的极点
辅助函数的极点是开环传递函数的极点
（2）辅助函数的零、极点个数相同
（3）F(s)与G(s)H(s)在复平面上的几何关系
j Im
1
G( j 0) H ( j 0) 1  G( j 0) H ( j 0)
Re
0
结束
(5-63)
§5-4 频率域稳定判据
为了判断闭环系统的稳定性,
需要检验F(s)是否有位于s 平
面右半部的零点。为此可以选
择一条包围整个s平面右半部
的按顺时针方向运动的封闭曲
线, 通常称为奈奎斯特回线,
简称奈氏回线, 如图5-26所示。
j
£ «j
C2
sƽÃæ
C1
R
s
0
£ -j
图 5-26 奈氏回线
结束
(5-64)
§5-4 频率域稳定判据
奈奎斯特稳定判据 如果在s平面上, s沿着奈氏回线顺时针方向
移动一周时, 在F(s)平面上的映射曲线ΓF围绕坐标原点按逆时
针方向旋转圈数R=P-Z=0周（P为开环传函位于s平面右半部极
点的个数，Z为闭环极点个数）时, 则系统是稳定的。
根据系统闭环特征方程：G(s)H(s)=F(s)-1
F(s)的映射曲线ΓF围绕原点运动的情况, 相当于系统开环传函
G(s)H(s)的封闭曲线ΓGH围绕着(－1, j0)点的运动情况, 如图527所示。
结束
(5-65)
§5-4 频率域稳定判据
jV
jV
G(s)H(s)平面
F(s)平面
(－1，j0)
0
U
(－1, j0)
0
U
CF
CGH
图 5-27 奈氏回线映射在F(s)平面和G(s)H(s)平面上
结论：闭环系统稳定的充要条件是Z=P- R =0，即R=P。
即：ΓGH逆时针包围（-1，j0）点的圈数=右半s平面开环极点数。
结束
(5-66)
§5-4 频率域稳定判据
映射曲线ΓGH的绘制方法: 令s＝jω代入G(s)H(s), 得到开环频率
特性G(jω)H(jω),
然后绘制ω从－∞变化到＋∞ 的开环频率特性
奈氏图, 就构成了完整的映射曲线ΓGH。
半映射曲线ΓGH: ω从0变化到＋∞ 的开环频率特性奈氏图,
称半映射曲线(从-  0的开环频率特性与ΓGH关于实轴对称)。
结束
(5-67)
§5-4 频率域稳定判据
2、奈奎斯特判据的实用形式之一
（1）当特征方程有纯虚根，闭环系统临界稳定时，奈奎斯
特曲线ΓGH曲线过（-1， j0）点，此时圈数R是不定的。
（2）若P=0，即系统开环稳定时，闭环系统稳定的充要
条件是：奈氏曲线不包围（-1，j0)点，Z=R=0。
（3）若 R  P ，则系统闭环不稳定，在右半s平面
上闭环特征根的个数 Z=P-R。
补例1 设单位反馈系统
G ( s) 
K
(T1 s  1)(T2 s  1)
试用奈氏判据判定闭环系统的稳定性。
结束
(5-68)
§5-4 频率域稳定判据
解：（1）绘制
G ( j ) 
G( j )
的曲线。

K
K
2
 2 2
1

T
T

 j (T1  T2 )
1
2
2
2
( jT1  1)( jT2  1) (T1   1)(T2   1)
（2）用奈氏判据判定闭环系统的稳定性
P0 R0
系统是闭环稳定的。

j Im
   K
Re
1 0
 
 0
结束
(5-69)
§5-4 频率域稳定判据
补例2 具有单位反馈的非最小相位系统
G(s)  K /(Ts  1)
试分析闭环系统的稳定性。
j Im
解：（1）绘制奈氏曲线
G( j )  K /( jT  1)  K
1  jT
1  T 2 2
K
 0
  
0 Re
 
（2）若R=P=1，则系统闭环稳定。
这就要求 K>1 ；当 K=1系统是临界稳定。
结束
(5-70)
§5-4 频率域稳定判据
3、奈氏判据的实用形式之二
（1）绘制   0  的半闭合曲线ΓGH，设N+为ΓGH在（-1，
j0）点左侧逆时针穿越负实轴的次数， N-为ΓGH在（-1，j0）
点左侧顺时针穿越负实轴的次数，则闭环稳定的条件是：
Z  P  2N
（2）对于 型系统的奈氏曲线：  0     0
补画一条半径为无穷大，逆时针方向绕行   90o 的圆弧，这
样可得完整的   0  部分（半闭合）奈氏曲线。
结束
(5-71)
§5-4 频率域稳定判据
补例3 设单位反馈系统，其开环传递函数
G ( s) 
K
s 2 (Ts  1)
  0
试用奈氏判据判断系统稳定性。
解：开环幅相大致曲线如图所示
 
 0
1
曲线顺时针包围（-1，j0）点一圈，
N= -1 。P=0，Z= P-2N =2 。
闭环系统不稳定，且s右半平面极点个
数为2。
结束
(5-72)
§5-4 频率域稳定判据
课本上的例子与相关习题
• P196 图5-32
• P197 例5-8
• 利用奈氏判据确定参
数的稳定范围
•
•
•
•
P216
5-13、5-14（作业）
5-15
5-16（选作）
结束
(5-73)
§5-4 频率域稳定判据
二、对数频率稳定判据
1、特点：对数判据是奈氏稳定判据在半对数坐标系中的
推广：Z=P-R，关键是在对数频率特性图上如何确定 N 。
2、确定开环幅相曲线与Bode图的对应关系：
L( )
1
() ( )

 ( )
（1）奈氏图的单位圆对应伯德图的零分贝线；

（2）奈氏图的负实轴对应伯德图的-π线；
（3）正穿越—自下而上穿越±π线：N+；
负穿越—自上而下穿越± π线：N-；
( )
180
( )
结束
(5-74)
§5-4 频率域稳定判据
3、对数频率稳定判据的描述
已知开环系统在右半s平面的极点数P，开环对数幅频特性为正
值的所有频率范围内(ω<ωc)，对数相频曲线对-180o线的正、负
穿越之差 N  N   N  ，则闭环系统稳定的条件是
Z  P  2N
P 200 例5-10：图5-35
1
() ( )
两种分析方法：
利用奈氏判据
利用对数判据
结束
(5-75)
§5-4 频率域稳定判据
当开环传递函数包括积分环节时，在对数相频特性上要补画
这一段频率变化范围的相角变化曲线。
  0   0
例如
G ( s) H ( s) 
N   N   1 ,

G( j 0  ) H ( j 0  )   90o
K
s 2 (Ts  1)
Z  P  2N  2
1/T
系统闭环不稳定。
  0
 0
 
1
 0
  0 0
180
结束
(5-76)
§5-4 频率域稳定判据
对于开环稳定的系统(P=0)，若在L(ω)≥0的频段内，φ(ω)穿越
-180°线的次数(正穿越与负穿越之差)为0，则闭环系统稳定;
否则闭环系统不稳定。
补例
系统开环传递函数为
G( s) H ( s) 
K
s(TS  1)
试用对数稳定判据判断其稳定性。
结束
(5-77)
§5-4 频率域稳定判据
L( )/dB
P=0, 而在L(ω)≥0的频段内,
£ -2 0d B/d ec
相 频 特 性 φ(ω) 不 穿 越 －
180°线(N=0), 故Z=0,即闭
2 0 lgK
0
 £ ½1T/
£ -4 0d B/d ec

环系统稳定。
()/(¡ã)
0¡ã

£ -9 0¡ã
£ -1 80¡ã
结束
(5-78)
§5-4 频率域稳定判据
4、条件稳定系统的概念
1
考察图5-35系统的奈氏曲线 （P=0）
（1）开环增益K增加到足够大：
Z  P  2N  2
（2）开环增益足够小：
Z  P  2N  2
() ( )
N  N   N   1  2  1
系统闭环不稳定。
N  N   N   1  1
系统闭环不稳定。
(3)开环增益适当：N=N+-N-=0，Z=0：系统闭环稳定
结束
(5-79)
§5-4 频率域稳定判据
对数判据相关作业
• P217：
• 5-17；5-18（选）
结束
(5-80)
稳定裕度
§5.5
稳定裕度
系统相对稳定性和动态性能
开环频率指标
稳定程度
稳定边界
阻尼比 x
时域（t）
复域（s）
频域（）
稳定程度
虚轴
根轨迹增益K*
(-1,j0)
到(-1,j0)的距离
结束
(5-81)
§5.5
稳定裕度
知识回顾、奈氏曲线和Bode图的对应关系
L()
G()H()
K=1
L()=0

()

L()
对应点

c
()
-180o
G()H()
Bode图零分贝
线，对应奈氏
曲线的单位圆
增益为零时
的频率称幅
值穿越（截
止）频率

g
相角=-180°时的频率
称相角穿越频率
结束
(5-82)
§5.5
Im
一、相对稳定性和稳定裕度的概念
G(j)H(j)
例如：某最小相位系统的奈氏图如右：
由图可知：
1、若P=0，则该系统是
稳定的(N=0)
2、该系统最简的传函是：
K
G(s) 
S(T1S  1)(T2S  1)
3、增加K值，在K=Kf时，
曲线通过（-1, j0）点，这
时系统处于临界稳定
稳定裕度
-1
=∞
Re
G ( j)H( j)
Kf临界
GH穿过
(-1,j0)点
=0+
K>Kf
4、增加K值时,曲线往
左扩 张,K>Kf时包围(-1, j0)点， 使系统不稳定
从实轴无
穷远处来
可见：曲线在(-1,j0)点右侧穿越负实轴，系统稳定，
离该点越远相对越稳定
结束
(5-83)
§5.5
相对稳定性用两个参数来衡量：
相角穿越频率
1) 在=c处，|G(j)|=1,
-1
若系统稳定
g=180+(jc)应>0
2) 在=g处，
(j) = -180,
若系统稳定
Kg=1/A(g)应>1
稳定裕度
Im
1  Kg
A()
G(j)H(j)
g
g
Re
G ( j)H( j)
c
幅值穿越频率
g 称为相角稳定裕度 （ g 越大相对稳定性越好）
Kg称为幅值稳定裕度（ Kg越大相对稳定性越好）
相对稳定性是用两个参数来衡量的，
稳定性度大， 必须两个参数都要大
结束
(5-84)
§5.5
稳定裕度
稳定裕度在Bode图中的描述
Bode图
L()
因为，在对数幅频特
性图中，纵坐标是用对
数增益刻度，所以，幅
值稳定裕度Kg表示为：
h= - 20lg(1/A())
 ()
因此，和Kg一致，h 越
大，则相对稳定裕度就
越大
 180

c
h

g
g
上图系统 g>0, h>1,
闭环是稳定的
结束
(5-85)
§5.5
系统闭环不稳定时：
dB L()
20dB
g<0, h<1
如果：减少系统的
增益K，稳定性将
如何变化？
Bode图

c
h
 ()
稳定裕度

g
-180°
K↓，相频特性不变，
g
幅频特性下移，
导致c↓就有可能得到g>0, h>1
使系统稳定。
（P202例5-12、P204例5-14可作为例证）
结束
(5-86)
§5.5
稳定裕度
二、稳定裕度的计算
教材上的例子：
例5-12:利用定义求解稳态裕量
例5-13：典型二阶系统相角裕量的计算
结论：相位裕量γ只与阻尼比ξ有关，是ξ的增函数。所以， γ越
大， ξ越大，系统超调量σ越小，动态平稳性越好。
频域性能指标与时域指标之间有关联？一致性？
例5-14：利用伯德图确定稳态裕量
结论：1、适当减小开环增益K，可以增大相角裕度（但同时系统稳态精度变
差），所以必须兼顾。
2、伯德第一定理：对于最小相位系统，当相角裕度在45°~70°之间时，则
要求对数幅频曲线在截止频率处的斜率-20 dB/ dec。
结束
(5-87)
§5.5
稳定裕度
二、 稳定裕度的计算(补例)
G( s) 
5
s
s
s(  1)(
 1)
2
10

100
s( s  2)( s  10 ) ，求
g , h。
解法I：由幅相曲线求 g , h。
(1)令
G( jωc )  1 即
100
c   2
2
c
2
  10
2
c
2
1
c2[c4  104c2  400]  1000
试根得
c  2.9
g  180  G( jc )  180   (2.9)
2.9
2.9
 180  90  arctan
 arctan
2
10
 90  55.4  16.1  18.5
结束
(5-88)
§5.5
 ( g )  180
(2.1)令
g
 90  arctan
g
arctan
可得
g
2
稳定裕度

1
2
2
g
 arctan
g
 arctan
10
g
10  tan 90
2
g

10
 90
 g2  20
 g  4.47
20
1
h
G( j g )

 g  g2  22  g2  102
100
 g  4.47

2.4 (7.6 dB)
结束
(5-89)
§5.5
稳定裕度
(2.2)将G(jw)分解为实部、虚部形式
G( j ) 
100
j ( 2  j )(10  j )
 1200  j100( 20   2 )

 G X  jGY
 (4   2 )(100  2 )
令
Im[G( j )]  GY  0
得
 g  20  4.47
G ( g )  0.4167
代入实部 GX ( g )  0.4167
1
h
G( j g )

1
 2.4
0.4167
结束
(5-90)
§5.5
稳定裕度
解法II：由Bode图求 g , h。
5
G( s) 
s(
由L():
得
s
s
 1)(
 1)
2
10
G( jc )  1
c  10  3.16
 2.9
g  180  G( jc )  180   (3.16)
3.16
3.16
 180  90  arctan
 arctan
2
10
 90  57.67  17.541   14.8  18.5
 g  2  10  4.47
h
1
G( j 4.47)
1

 2.4
0.4167
结束
(5-91)
s
6(
 1)
2.5
，求
补例2 G ( s ) 
s
s
s
s(  1)(  1)(
 1)
2
5
12.5
§5.5
稳定裕度
g , h。
解.作L()求 c
6 2
c 
 4. 8
2. 5
g  180  G( jc )
4.8
4.8
4.8
4.8
 180  arctan
 90  arctan  arctan  arctan
2.5
2
5
12.5
 180   62.5  90  67.4  43.8  21  20.3
结束
(5-92)
求g
g
 ( g )  arctan
2.5
g
g
 90  arctan
g
2
g
 arctan
g
g
 arctan
 180
5
12.5
g
arctan
 arctan  arctan  arctan
 90
12.5
5
2
2.5
 g g 
 g g 






12
.
5
5
2
2
.
5
  arctan
  90
arctan
2
2
g 
g 


 1  12.5  5 
 1  2  2.5 
A  B  90
arctan
1   A B 
整理得

g4  49.75g2  312.5  0
A B  1
解出
g  7.4 (rad/ s)
2
2
2
2
2
2
1



2


5


12
.
5
g
g
g
g
h

 3.135
2
2
G( j g )
300   2.5
g
结束
(5-93)
§5.5
稳定裕度
利用开环频率特性分析系统的性能
三频段理论
频段
低频段
对应性能
开环增益 K
系统型别 v
L()
中频段
高频段
希望形状
陡，高
稳态误差 ess
截止频率 c 稳定性
相角裕度 g 动态性能
系统抗高频干扰的能力

0
ts
0
缓，宽
低，陡
三频段理论并没有提供设计系统的具体步骤，
但它给出了调整系统结构改善系统性能的原则和方向
结束
(5-94)
§5.5
稳定裕度
利用开环频率特性分析系统的性能
关于三频段理论的说明：
① 各频段分界线没有明确的划分标准；
② 与无线电学科中的“低”、“中”、“高”
频概
念不同；
③ 不能用是否以-20dB/dec过0dB线作为判定
闭环系统是否稳定的标准；
④ 只适用于单位反馈的最小相位系统。
结束
(5-95)
§5.5
稳定裕度
课程小结
稳定裕度的概念
稳定裕度的定义
开环频率指标
截止频率 ωc
G( jωc )  1
相角裕度 g
g  180  G( jc )
穿越频率
ωg
幅值裕度 h
稳定裕度的意义
稳定裕度计算方法
G( jωg )  180
h
1
G( j g )
g , h 的几何意义
g , h 的物理意义
L( )  c  g  180   (c )
1
 ( )  180   g  h 
G( j g )
结束
(5-96)
§5.5
稳定裕度
本次课程作业(P218)
5 —21， 5 — 22
5-23(选）
结束
(5-97)
§5-6 闭环系统的频域性能指标
闭环频域指标及其物理意义
闭环指标和开环指标间的关系
频域指标和时域指标间的关系
结束
(5-98)
§5-6 闭环系统的频域性能指标
一、
闭环频域指标
研究闭环频率特性的必要性
（1）闭环频率特性的一些特征量在实际工程中应用十分广泛；
（2）通过实验方法很容易得到系统的闭环频率特性；
(3)通过闭环频率特性可以估算系统的性能指标。
结束
(5-99)
§5-6 闭环系统的频域性能指标
对于单位反馈系统，闭环和开环系统频率特性的关系
C ( j )
G ( j )
 ( j ) 

R ( j ) 1  G ( j )
对于一般系统的闭环和开环系统频率特性的关系
C ( j )
G ( j )
G ( j  ) H ( j )
1
 ( j ) 


R ( j ) 1  G ( j  ) H ( j ) H ( j ) 1  G ( j  ) H ( j  )
求得不同频率对应的闭环幅值和相角后，就可得闭环频率特性，
画出闭环频率特性曲线。
在工程上常用等M和等N圆图或尼柯尔斯图线，直接由单位反馈
系统的开环频率特性曲线绘制闭环频率曲线。
结束
(5-100)
§5-6 闭环系统的频域性能指标
闭环频率特性指标
代表阶跃响应时的稳态精度
(1) 零频幅值 M0  M (0)
M0=1时，ess=0.
r
谐振频率
(2)
谐振峰值 M r
对二阶欠阻尼系统
Mr代表动态平稳性
 r   n 1  2x 2
Mr 
1
2x 1  x 2
(3) 带宽频率  b 和带宽
M ( ) 下降到0.707 M 0 对应的频率值 b
系统带宽
0    b
闭环频率特性
带宽代表系统对输入信号的复现能力和抗高频干扰性能
结束
(5-101)
§5-6 闭环系统的频域性能指标
1
 ( s) 
Ts  1
（1）一阶系统
 ( j ) 
  b 
1

jT   1
1
T
,
1
T 2 2  1
ej
 ( )
,
,
1
b 
T
 ( )   tg 1T 
 ( j b )  1 / 2
一阶系统的性能
t r  2.2T
t s  3T
 t r  2.2 /  b , t s  3 /  b
Ts与ωb的关系？
结束
(5-102)
§5-6 闭环系统的频域性能指标
C(s)
2n
G(s) 
 2
R (s) S  2 nS  2n
（2）欠阻尼二阶系统
tr 
 
 n 1 2
, ts 
3.5
 n
二阶系统闭环频率特性：
(  5%)
M( ) 
1
2
 2
2

(1  2 )  (2 )
n
n

2
n
()   tg 1
2

1 2
n
结束
(5-103)
§5-6 闭环系统的频域性能指标
二阶系统闭环频率特性曲线
M
1.0
0.707

0
 90 
 180 
Mr
  0.707
  0.707
r
n
b
n

n

n
结束
(5-104)
令
dM( )
| r  0
d
e
§5-6 闭环系统的频域性能指标
2
2




1

2

Mr r M r n
1
 
2
p) |r 得输出的振荡峰值 Mr 
代入M(
Mr 
时域响应超调量
振荡峰值、超调量都
只与ζ 有关,所以,Mr表征
系统的相对稳定性
Mr,
σp与ζ的关系如图
已知Mr,
通过曲线得到p与ζ
M r小   p小( 大)
  0.707时, M r  1
  0.707就没有M r
1
M r 1
2 1   2
p  e


1 2
Mr
p
Mr
1.0
p

  0.707
结束
(5-105)
§5-6 闭环系统的频域性能指标
 b 与 n 的关系?
M (b ) 
 ( s) 
1
2
b 2 2

(1  2 )  4 2 b2
n
n
1

,
2
n2
s 2  2 n s   n 2
2
b 2 2
2 b
(1  2 )  4
 2
2
n
n
 b   n [(1  2 2 )  (1  2 2 ) 2  1]1 / 2
开环系统截止频率ωc与闭环系统带宽BW的大致关系？
c
 b , c  b  , t s
tr 
结束
(5-106)
§5-6 闭环系统的频域性能指标
频率尺度与时间尺度的反比性质:闭环系统带宽BW与响
应速度成反比，即BW越大，Ts、Tr越小，快速性越好。
系统的频率特性放宽若干倍，单位阶跃响应就加快若干倍。
若 1 ( j )   2 ( j /  ) 单位阶跃响应
c
 b , c  b  , t s
h1 (t )  h2 (t )
tr 
注意：带宽越大，对高频噪声衰减越弱，抗高频干扰能
力越差，因此应折中考虑带宽的选择。
结束
(5-107)
§5-6 闭环系统的频域性能指标
二、开环、闭环频率特性的性能指标之间的关系
近似关系：
一般情况下，Mr附近ω变化较小，且ωr≈ωc，有
1
M (r ) 
Sing (r )
（5-118）
相位裕量ν与Mr一致，反映系统的动态稳定性。
ν越大，Mr越小，则相对稳定性越好；
ωc与ωb一致，反映系统的快速性。
ωc与ωb越大，响应速度越快。
结束
(5-108)
§5-6 闭环系统的频域性能指标
例证：二阶系统
c  n
4  1  2
4
2
c
而(c )  90  tg
2 n
g (c )  180  (c )

-1
γ
g越大奈氏曲线离
70
（-1j0）点越远，
60
相对稳定性越好。
50
40
30
0.2    0.6内
g  100
20
g (c )  tg
-1
10
2
4  1  2
4
2
g(c )也只与有关, 如图
.2
.4
.6
.8
ζ
g 大   大  Mr小
结束
(5-109)
c   n  2 2  4  4  1
3~ 4
c t s 
 2 2  4 4  1

一定的条件下 : c   t s 
§5-6 闭环系统的频域性能指标
3~ 4
ts 
 n
 c 的大小与系统阶跃响应 的快速性有关
 c 越大则系统过渡过程时 间越短
由于 r  n 1  2 2
3~ 4
 r t s 
1  2 2

一定的条件下 : r   t s 
 r 的大小与系统阶跃响应 的快速性有关
 r 越大则系统过渡过程时 间越短
结束
(5-110)
§5-6 闭环系统的频域性能指标
三、 系统频、时域指标的关系总结
1、时域与开环频域之间动态性能指标的关系
 系统动态性能主要取决于开环对数幅频特性的中频段。
 对一、二阶系统来说，不同域中的指标转换有严格的数学
关系。而高阶系统的关系比较复杂，工程上常常用近似公
式或曲线来表达它们之间的联系。
主要讨论 t s
与ωc、g
p
、
之间的关系
1) 二阶系统
R(s)


 n2
s ( s  2x n )
C (s)
结束
(5-111)
§5-6 闭环系统的频域性能指标
（a） γ与σ之间的关系


 180  G(jω c )  90  tg
γ
1
1  4ζ
4
 2ζ
2ζ
2
 tg
1
2ζ
1  4ζ
4
 2ζ
2
阻尼比越大，相应的相角裕度就越大。
g
又因为
ζ

1ζ 2
90
60
σp e
30
x
0
0
0.4
g  100
0.8
 100%
1.2
1.6
2.0
0  g  60
结束
(5-112)
§5-6 闭环系统的频域性能指标
γ与σ的关系是通过中
间参数ζ相联系的。
 对于二阶系统来说，γ
越小，σ越大；
 为使二阶系统不至于振
荡得太厉害以及调节时
间太长，一般取：300 g
≤ γ ≤700 。

3
Mr
2
Mr
1
p
p
x
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
结束
(5-113)
§5-6 闭环系统的频域性能指标
（b）t s 与
之间的关系
c
t s ωc 
3
1  4ζ 2  2ζ 2
ζ
可见，ζ确定以后，截止频率ωc大的系统，调节时间 ts 短，
呈反比关系（ωc 反映了快速性）。
结束
(5-114)
§5-6 闭环系统的频域性能指标
2)、高阶系统
没有准确的关系式，通常用以下经验公式近似估算：
1
 1)
sin γ
 p  0.16 0.4(
ts 
Kπ
ωc
K  2  1.5(
(35  γ  90 )
(s)
1
1
 1)  2.5(
 1)2
sin g
sin γ
(35  γ  90 )
一般上述估算得到的结果偏保守，实际性能比估算
结果要好。
结束
(5-115)
§5-6 闭环系统的频域性能指标
2、时域动态指标与闭环频域指标的关系
主要研究、ts与Mr、r、b之间的关系
（1） 二阶系统
1）与Mr的关系
ω r  ω n 1  2ζ
Mr 
(0  ζ
2
1
2ζ
σp e

1 ζ
2
 0.707)
(0  ζ  0.707 )
ζ
1 ζ
2
 100%
•  一定时，Mr与p互为增函数。 越大， Mr 越小，
超调p 越小，平稳性越好。
结束
(5-116)
§5-6 闭环系统的频域性能指标
2） t 与b的关系
s
M(ω b ) 
ω 2n
(ω - ω )  (2ζ ω nω b )
2
n
2 2
b
2
 0.707
ω b  ω n 1 - 2ζ 2  2 - 4ζ 2  4ζ 4
3
ωbts 
1 - 2ζ 2  2 - 4ζ 2  4ζ 4
ζ
b与Mr均与 有关。对于给定的（或谐振峰值
Mr），ts与b成反比。 b大，则ts也小，系统的
快速性好。
结束
(5-117)
§5-6 闭环系统的频域性能指标
估算时域指标方法：
（1）从开环对数频率特性曲线确定相角裕度 g
（2）根据 g 查对应的 
（3）由  查图3-13得  % ；由  n t s  3.5 /  求  n t s
 nts
ts 
n
结束
(5-118)
§5-6 闭环系统的频域性能指标
小结： 不同域中性能指标的意义
稳 定 性－－是系统工作的前提，
稳态特性－－反映了系统稳定后的精度，
动态特性－－反映了系统响应的快速性。
不同域中性能指标的形式各不相同：
1．时域指标：超调量σp、稳态误差ess、
调整时间t
s、及峰值时间tp、上升时间tr等。
2．频域指标：（以对数频率特性为例）
① 开环：截止频率ωc、相位裕量r及增益裕量 hg等。
②闭环：谐振峰值Mr、谐振频率ωr及带宽ωb等。
结束
(5-119)
小结： 不同域中性能指标的意义
域
域
域
时
域
微分方程—分析法
稳 运动方程的特征根具
定 有负实部，则系统稳
性 定。
稳
态
动
态
复
§5-6 闭环系统的频域性能指标
域
传递函数—根轨迹法
闭环传递函数的极点
分布在s的左半平面，
则系统稳定。
频
域
频率特性—频率法
（开环Bode图为例）
频率特性的相位裕
量γ>0、增益裕量>
0，则系统稳定。
由运动方程的系数
决定。
系统工作点处对应的 取决于系统低频段特
开环根轨迹增益K1越 性，型号数相同，低
频段幅值越大，ess越小
大，ess越小。
过渡过程时间： ts
最大超调量 ： σP
（及tr、tP、td、振
荡次数u等）。
ts越短，σP越小，
动态特性越好。
主要取决于系统主导
极点位置。
主要特性参数：
阻尼比 ： ζ
无阻尼自然频率：ωn
主导极点距虚轴越近
，系统振荡越厉害。
主要取决于频率特性中
频段的特性。参数：
相位裕量：γ
增益剪切频率：ωc
γ越小，振荡越厉害，
ωc越大，响应速度越快
结束
(5-120)
本章课程小结
用频域分析方法估算系统的动态性能
Gi ( j )
G ( j )
奈氏判据
对数判据
稳定性
c  g
稳定裕度
g  h
实验
测试
 ( j )
M0
闭环频率
r , M r
特征量
b

0
0
ts
P164
结束
(5-121)