第5 章线性系统的频域分析法

Transcript 第5 章线性系统的频域分析法

自动控制原理
教学课件
2009年淮南师范学院
校级精品课程
电气信息工程学院
自动控制原理课程教学组
第 5 章线性系统的频域分析法
第五章
线性系统的频域分析法
本章主要内容
本章介绍控制系统频率分析法的相
关概念和原理。包括频率特性的基本概
念和定义、开环频率特性的极坐标图表
示法、波特图表示法、控制系统稳定性
的频率特性分析法及其应用、控制系统
闭环频率特性、闭环频率特性与时域性
能的关系等。
2009年校级精品课程--《自动控制原理》主讲人：杨国诗
第 5 章线性系统的频域分析法
本章重点
通过本章学习，应重点掌握频率特性
的概念与性质、典型环节及系统开环频率
特性的极坐标图和波特图的绘制和分析方
法、控制系统稳定性的频域分析法、系统
稳定裕度的概念和求法、闭环频率特性的
求法、闭环系统性能指标的频域分析法等。
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第 5 章线性系统的频域分析法
第五章
线性系统的频域分析法
5-1 频率特性
5-2 典型环节与开环系统的频率特性
5-3 频率域稳定判据
5-4 稳定裕度
5-5 闭环系统的频域性能指标
5-6 控制系统频域设计
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第 5 章线性系统的频域分析法
频率特性法是又一种对系统进行分析和设计
的图解方法。在工程中得到了广泛应用。
频率特性法的优点：
只要求出系统的开环频率特性，就可以迅速判
断闭环系统是否稳定；
由系统的频率特性所确定的频域指标与系统的
时域指标之间存在着一定的对应关系；
系统的频率特性很容易和它的结构、参数联系
起来，可以很方便地对系统进行校正；
频率特性不仅可由微分方程或传递函数求得，
还可以用实验方法求得。
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5-1
频率特性
1. 频率特性的基本概念
线性系统对正弦输入信号的稳态响应，称为频率响应。
例：RC电路如图所示，
1
G ( s) 
Ts  1
输入：
T  RC
ui (t )  Uim sin t
t

U
T

U im
1
im
输出：
T
u o (t ) 
e

sin

t

tg
T
2 2
2
2
1 T 
1 T 
U im
u
(
t
)

sin t  tg1T
稳态输出： o t 
1  T 2 2

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
第 5 章线性系统的频域分析法
输出稳态分量的幅值和相位
A( )  1 / 1   2T 2 ,
 ( )   arctgT
把幅值和相位写成一个式子
G ( j ) 
1
e  jarctgT
1   2T 2
1
1


1  jT 1  Ts
s  j
 A(ω) 称幅频特性，φ(ω)称相频特性。
 二者统称为频率特性。
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绘制RC电路频率特性图
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RC电路频率特性图分析
可见：当U r 的较低时，U c 和U r 的幅值几乎相等，相角迟后
也不大。当  U c  且 c 迟后  。当  时，
U c  0， c 迟后  90。这与电路中分析电容的容抗
随变化而变化时得出结论一致。
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第 5 章线性系统的频域分析法
一般系统正弦信号作用下的稳态输入输出
一个稳定的线性定常系统，
如果对其输入一个正弦信号，
系统的稳态输出(稳态响应)也
是同一频率的正弦信号，只是
在幅值和相位上发生了变化。
5
2
4
1.5
3
1
2
Ïß ÐÔÏµ Í³
0.5
1
0
0
-1
-0.5
-2
-1
-3
-4
-1.5
-5
-2
0
0.5
1
1.5
2
2.5
0
3
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0.5
1
1.5
2
2.5
3
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一般系统的频率特性
输入： x(t )  X sint   x 
稳态输出： y(t ) t   Y sint   y 
Y

幅频特性：A() 

X
频率特性
相频特性：()   y   x 

频率特性：线性定常系统在正弦输入作用下，输
出的稳态分量与输入的复数比。
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频率特性 G ( j ) 是  的复变函数：
G( j )  A( ) ( )  P ( )  jQ ( )
Ac
稳态响应的幅值与输入信号的幅值之比 A( ) 
| G( j ) |
Ar
称为系统的幅频特性，它描述系统对不同频率输入信号在稳态
时的放大特性；
稳态响应与正弦输入信号的相位差  ( )  G( j ) 称为系
统的相频特性，它描述系统的稳态响应对不同频率输入信号
的相位移特性；
 P ( )  Re[G( j )] 称为系统的实频特性。
 Q( )  Im[ G( j )] 称为系统的虚频特性。
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幅频特性、相频特性和实频特性、虚频特
性之间具有下列关系：
P( )  A( )  cos ( )
Q( )  A( )  sin ( )
A( )  P 2 ( )  Q 2 ( )
 ( )  tg
1
Q( )
P ( )
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频率特性的物理意义
频率特性与传递函数的关系: G(jω)=G(s)|s=jω
频率特性表征了系统或元件对不同
频率正弦输入的响应特性。
(ω)大于零时
称为相角超前，
小于零时称为相
角滞后。
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频率特性的求取
根据定义求取
即已知系统的微分方程，把正弦输入函数带入，求出其
稳态解，取输出稳态分量与输入正弦量的复数比即可得到。
根据传递函数求取
即用 s  j 代入系统的传递函数，即可得到。
通过实验的方法直接测得
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系统三种描述方法的关系：
d
s
dt
传递函数
s  j
微分方程
系统
频率特性
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j 
d
dt
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2. 频率特性的几何表示法
工程上常用图形来表示频率特性，常用的有：
(1)极坐标图，也称奈奎斯特(Nyquist)图。是以开环频率特性的
实部为直角坐标横坐标，以其虚部为纵坐标，以为参变量的幅
值与相位的图解表示法。
(2)对数坐标图，也称伯德(Bode)图。它是由两张图组成，以lg 
为横坐标，对数分度，分别以 20|G(j)H(j)| 和 (j) 作纵坐
标的一种图示法。
(3)对数幅相频率特性图，也称尼柯尔斯(Nichols)图。它是以相
位 (j) 为横坐标，以 20lg|G(j)H(j)| 为纵坐标，以 为参变
量的一种图示法。
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(1) 幅相频率特性曲线
幅相频率特性图，极坐标图，也称乃奎斯特(Nyquist)
图。是以开环频率特性的实部为直角坐标横坐标，以其
虚部为纵坐标，以 为参变量的幅值与相位的图解表示
法。
它是在复平面上用一条曲线表示  由 0   时的频
率特性。即用矢量 G ( j ) 的端点轨迹形成的图形。  是
参变量。在曲线的上的任意一点可以确定实频、虚频、
幅频和相频特性。
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乃奎斯特图 Nyquist
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(2) 对数频率特性曲线
对数频率特性图，对数坐标图，也称伯德
(Bode)图。
Bode图由对数幅频特性和对数相频特性两
条曲线组成。
伯德（Bode）曲线
对数幅频特性曲线

对数相频特性曲线
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Bode图坐标(横坐标是频率，纵坐标是幅值和相角)的分度：
横坐标分度(称为频率轴)：它是以频率  的对数值 lg  进行
线性分度的。但为了便于观察仍标以 的值，因此对  而
言是非线性刻度。  每变化十倍，横坐标变化一个单位长度，
称为十倍频程（或十倍频），用 dec 表示。如下图所示：
Dec
Dec
Dec
Dec
 ...
2
1
0
1
2
0
0.01
0 .1
1
10
100
由于  以对数分度，所以零频率线在－∞处。
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l g

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纵坐标分度：对数幅频特性曲线的纵坐标以 L( )  20 lg A( )
表示。其单位为分贝(dB)。直接将 20 lg A( )值标注在纵坐标上。
相频特性曲线的纵坐标以度或弧度为单位进行线性分度。
一般将幅频特性和相频特性画在一张图上，使用同一个横
坐标（频率轴）。
当幅频特性值用分贝值表示时，通常将它称为增益。幅值
和增益的关系为：增益  20lg(幅值)
幅值A() 1.00 1.26 1.56 2.00 2.51 3.16 5.62 10.0 100
对数幅值
20lgA()
0
2
4
6
8
10
15
20
40
1000
10000
60
80
幅值A() 1.00 0.79 0.63 0.50 0.39 0.32 0.18 0.10 0.01 0.001 0.0001
对数幅值
20lgA()
0
-2
-4
-6
-8
-10
-15
-20
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-40
-60
-80
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半对数坐标系
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对数坐标刻度图
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第 5 章线性系统的频域分析法
使用对数坐标图的优点：
可以展宽频带；频率是以10倍频表示的，因此
可以清楚的表示出低频、中频和高频段的幅频和
相频特性。
可以将乘法运算转化为加法运算。
所有的典型环节的频率特性都可以用分段直线
（渐近线）近似表示。
对实验所得的频率特性用对数坐标表示，并用
分段直线近似的方法，可以很容易的写出它的频
率特性表达式。
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第 5 章线性系统的频域分析法
(3) 对数幅相曲线(Nichols图)
对数幅相图又称为尼氏图，对数幅相图采
用直角坐标系，其中取幅频特性 | G( j ) |的对
数 20lg | G( j )为纵坐标，单位为分贝（dB），
|
线性分度，取相频特性 G( j ) 做横坐标单位为
度（），线性分度，对数幅相图是以频率

为参变量的。
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5-2
典型环节与开环系统的频率特性
1. 典型环节
若系统开环传函可以分成N个典型环节
N
G( s ) H ( s )   Gi ( s )
i 1
且每个典型环节频率特性可以表示为
Gi ( j )  Ai ( )e ji ( )
N

则我们可以看到：  A( )   Ai ( )

i 1

N
 ( )   ( )

i

i 1
N
N
i 1
i 1
L( )  20lg A( )   20lg Ai ( )   Li ( )
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最小相位典型环节有
 比例环节：K ，K>0
 积分环节：1/s
 微分环节：s
 惯性环节：1/(Ts+1)，T>0
 一阶微分环节：(Ts+1)，T>0
 二阶振荡环节：
1
2
 s 


  2
s1
n
 n 
2
 二阶微分环节：  s   2  s  1
 
n
 n
n  0, 0    1
n  0, 0    1
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2. 典型环节的频率特性
(1) 比例环节
传递函数： G ( s)  k
频率特性： G ( j)  k
1）幅相频率特性
A()  k
()  0
P()  k
Q()  0
2）对数频率特性
L()  20lg A()  20lg k
()  0
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(2) 积分环节
传递函数：G ( s ) 
1
s
1
1
频率特性：G( j) 
j
j

1）幅相频率特性
1
A() 

()  90
1
Q ()  
P()  0

2）对数频率特性
1
L()  20 lg  20 lg 

()  90
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第 5 章线性系统的频域分析法
Bode图
积分环节对数幅频特性分析：
  1  L(1)  20 lg 1  0dB
  1  L(1 )  20 lg 1
L(ω) (dB )
20
Bode Diagram of G(s)=1/s
10
 20dB / dec
0
-10
ω  1,L(ω)  0
 (ω) ( 0 )
   2  101
-20
 L( 2 )  20lg101  20  20lg 1 0
-45
 20  L(1 )
-90
-135
-180 -1
10
0
10
Frequency (rad/sec)
结论：每十倍频程， L( ) 变化-20dB.
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1
10
第 5 章线性系统的频域分析法
(3) 微分环节
传递函数： G ( s)  s
频率特性：G( j)  j
1）幅相频率特性
A()  
()  90
P()  0
Q()  
2）对数频率特性
L()  20lg 
()  90
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第 5 章线性系统的频域分析法
Bode图
微分环节对数幅频特性分析：
  1  L(1)  20 lg 1  0dB
  1  L(1 )  20 lg 1
L(ω) (dB)
20
10
20dB / dec
0
-10
ω  1,L(ω)  0
-20
180
135
 (ω) ( 0 )
   2  101
 L( 2 )  20lg101  20  20lg 1
 20  L(1 )
Bode Diagram of G(s)=s
90
45
0
-1
10
结论：每十倍频程，L( ) 变化20dB.
0
10
Frequency
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10
(rad/sec)
第 5 章线性系统的频域分析法
(4) 惯性环节
1
传递函数： G ( s ) 
Ts  1
1
1  jT

频率特性：G( j) 
jT  1 1  T 2 2
1）幅相频率特性
A() 
P() 
1
1  T 2 2
1
1  T 2 2
()  tg 1T
 T
Q () 
1  T 2 2
惯性环节的极坐标图是一个半圆，证明如下：
Q()
 T  P 
P()
2
1
1
1

2
2
2

P


Q



 P Q  P
2
4
Q2

1 2
P
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第 5 章线性系统的频域分析法
惯性环节G(jω)
Im[G(jω)]
0
1
Re[G(jω)]
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第 5 章线性系统的频域分析法
2）对数频率特性
L()  20lg
1
1  T 2 2
 20lg 1  T 2 2
()  tg 1T
采用分段直线（渐近线）近似：
1
即T  1： L()  0 ——低频渐近线
T
1
  即T  1：L()  20lg T  20lg T  20lg 
T
——高频渐近线
最大误差： L( )  20lg 2  3dB
 
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第 5 章线性系统的频域分析法
Bode Diagram of G(jw )=1/(jw T+1) T=0.1
0
Magnitude (dB)
-5
0(dB)
-10
 20logT [dB]
-15
-20
-25
Phase (deg)
0
 ( )  arctg(T )
-45
-90
0
10
1
10
Frequency (rad/sec)
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主讲人：杨国诗
2
10
第 5 章线性系统的频域分析法
惯性环节对数幅频特性曲线分析：
(1)T  1时（低频段），即  1 / T
 L( )  20 lg 1  T   20 lg 1  0dB
2
2
(2)T  1时（高频段），即  1 / T
 L( )  20 lg 1  T   20 lg T
2
2
  1  L(1 )  20lg T1
   2  101
 L( 2 )  20 lg10T1  20  20 lg T1
 20  L(1 )
结论：每十倍频程，L( ) 变化-20dB.
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第 5 章线性系统的频域分析法
0
-0.5
-1
-1.5
-2
-2.5
-3
-1
10
0
10
一阶因子的频率响应曲线以渐近线表示
时引起的对数幅值误差
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1
10
第 5 章线性系统的频域分析法
(5) 一阶微分环节
传递函数： G(s)  1  s
频率特性： G( j)  1  j
1）幅相频率特性
A()  1   2 2
()  tg 1
P()  1
Q( )  
2）对数频率特性
()  tg 1
L()  20lg 1   
1


即  1： L()  0
低频渐近线：

高频渐近线：   1 即  1： L()  20lg   20lg   20lg 

2
2
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第 5 章线性系统的频域分析法
Bode Diagram of G(jw)=jwT+1) T=0.1
25
Magnitude (dB)
20
15
10
5
20logT (dB)
0(dB)
0
Phase (deg)
90
 ()  arctg(T )
45
0
0
10
1
10
Frequency (rad/sec)
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主讲人：杨国诗
2
10
第 5 章线性系统的频域分析法
一阶微分环节对数幅频特性曲线分析：
(1)T  1时（低频段），即   1 / T
 L( )  20 lg 1  T   20 lg 1  0dB
(2)T  1时（高频段），即   1 / T
2
2
 L( )  20 lg 1  T   20 lg T
2
2
  1  L(1 )  20lgT1
  2  101
 L(2 )  20lg10T1  20  20lgT1
 20  L(1 )
L( )变化20dB.
结论：每十倍频程，
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(6) 振荡环节
2n
1
 2
传递函数： G(s)  2 2
T s  2Ts  1 s  2 n s  2n
n 
2n
频率特性：G( j) 
 2
2 2
1  T   j 2T n  2  j 2 n 
1




1）幅相频率特性
A() 
1
1  T
2

  2T
2 2
2T
1
()  tg


tg
1  T 2 2
1
1

  
1  
   n
2
2



2
2




   2

 n

n
 
1  
 n



2
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


2
1
T
第 5 章线性系统的频域分析法
  0： A()  1
()  0
1
1
： A() 
T
2
()  90
  ： A()  0
()  180
  n 
谐振峰值： 值较小时幅频特性的极大值。
令 dA()  0
d
2
0
2
得： r 
1
1  2 2
T
M r  A(r ) 
——谐振频率
1
2 1  
2
——谐振峰值
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第 5 章线性系统的频域分析法
振荡环节
Im[G(jω)]

G( s)  2
2
s  2 n s  n
2
n
1
0
Re[G(jω)]
1
A(n ) 
2
A
 (n )  90
o
B
r  n 1  2 2
Ar 
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1
2 1  
2
第 5 章线性系统的频域分析法
2）对数频率特性

L()  20 lg 1  T 2  2
  2T
2
2
  
 20 lg 1  
   n
低频段    n 
1
： L()  0
T
高频段    n 
1
：
T



L()  20lg T 2 2  40lg T  40lg 
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2
2



   2

 n



2
第 5 章线性系统的频域分析法
n2
G (s)  2
S  2 S   2
n
n
振荡环节
L(ω)dB
20lg
1
(0＜ ＜0.707)
2 1   2
0＜  ＜0.5
1
20 lg
2
0dB
r n
r= n 1  2
2
[-40]
o

(

)=
90
n
2009年校级精品课程--《自动控制原理》
主讲人：杨国诗
 = 0.5
0.5＜  ＜1
ω
第 5 章线性系统的频域分析法
振荡环节对数幅频特性曲线分析：
(1)T  1时（低频段），即  1 / T
 L( )  20lg1  0dB
( 2)T  1时（高频段），即  1 / T
 L ( )  20 lg
 20 lg
(T 2 2 ) 2  4 2T 2 2
(T 2 2 )[T 2 2  4 2 ]
 20 lg T 2 2  40 lg T
  1  L(1 )  40lg T1
   2  101
 L( 2 )  40 lg10T1  40  40 lg T1
 40  L(1 )
结论：每十倍频程， L( ) 变化-40dB.
2009年校级精品课程--《自动控制原理》主讲人：杨国诗
第 5 章线性系统的频域分析法
振荡环节对数相频特性分析：
  1 / T   ( )  
(1)T  1时（低频段），即  1 / T

2

 
  ( )   arctan2T    arctan
 2  

n 

( 2)T  1时（高频段），即  1 / T


1
2



  ( )    arctan 2
    arctan
 
T 


 n
结论：






1  2  1时，低频段：
 (1 )   (2 )
高频段：
 (1 )   (2 )
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第 5 章线性系统的频域分析法
20
  0.1
  0.2
10
  0.3
  0.5
dB
0
-10
  0.7
  1.0
-20
-30
-40
-1
10
0
10
2009年校级精品课程--《自动控制原理》主讲人：杨国诗
1
10
0
Phase of 2-order
第factor
5章
线性系统的频域分析法
  0.1
-20
  0.2
  0.3
-40
  0.5
  0.7
-60
  1.0
deg
-80
-100
-120
-140
-160
-180
-1
10
0
10
2009年校级精品课程--《自动控制原理》主讲人：杨国诗
1
10
第 5 章线性系统的频域分析法
14
12
  0.1
10
  0.3
  0.2
  0.5
8
dB
6
4
2
0
  0.7
  1.0
-2
-4
-6
-1
10
0
10
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1
10
第 5 章线性系统的频域分析法
Im[G(j)]
(7) 二阶微分环节
G( s)  1  2 (
s
n
)(
s
n
2
)2
A(r )
1
Re[G(j)]
G( j )  1  2 (
j
n
)(
j
n
)2
2 2
 2
A( )  (1  2 )  (2
)
n
n
2
 ( )  tg 1

n

1   
 n 
2
 2

G( j )  1  ( )  j 2 ( )
n
n
 2
P( )  1  ( )
n

Q( )  2 ( )
n
A( n )  2 r  n 1  2 2
o
2

(

)

90
A

2

1


2009年校级精品课程--《自动控制原理》 n主讲人：杨国诗r
第 5 章线性系统的频域分析法
L(ω)   
二阶微分
180o
[40]
40db
9 0o
20db
0db
0o
1
10
0.1
-20db
--40db
100
20 lg 2 1  
2
20lg(2 )
G(s)  0.25s  s  1
2
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ω
第 5 章线性系统的频域分析法
3. 开环幅相曲线(极坐标图)
开环传递函数 G( j ) 的极坐标图，是当  由零变
化到无穷大时，表示在极坐标上 G( j )的幅值与 G ( j )
的相角的关系图。因此，极坐标图是当  由零变化
到无穷大时，向量 G( j ) G( j )的轨迹。
极坐标图的优点表示出系统在整个频率范围
内的频率响应特性；缺点是不能清楚地表明开环
传递函数中每个单独因子对系统的具体影响。
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第 5 章线性系统的频域分析法
绘制极坐标图步骤：
（1）起点——=0+(即低频段)，除比例、积分
和微分环节外，其他典型环节的频率特性在起点
处有G (j0＋) H(j0+) =1·ej0+。故低频段与系统的类
型有关，
一般有
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第 5 章线性系统的频域分析法
+
+
+
频率特性的低频段形状
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第 5 章线性系统的频域分析法
幅相特性曲线的起点有以下结论：
起点处的幅值：
0,  0
即微分环节




G ( j0 )H( j0 )   K ，  0
即无微分，积分环节

，  0
即积分环节

0


90

起点处的相角：G ( j0 )H( j0 )  
0
0

90



180



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K0
K0
第 5 章线性系统的频域分析法
（2）终点(即高频段)，此时频率特性的
幅值与分子和分母多项式的阶次差（n-m）
值有关。对于实际物理系统总有nm，可得:
 0 ,n  m
终点处的幅值： G( j) H ( j)  
K , n  m



90
 (n  m), K  0
终点处的相角： G( j) H ( j)  



90

(
n

m
)

180
,K  0

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第 5 章线性系统的频域分析法
（3）幅相曲线与实轴、虚轴的交点
1）曲线与实轴交点坐标的求取。令虚部为零，即
或
Im[G( j )H( j )]  0
G( j )H( j )  (2k  1)
k  0,1,2
求出，代入实部Re[G(j)H(j)］中，可得幅相曲线与
实轴的交点坐标。
2）曲线与虚轴交点坐标的求取。
同理令Re[G(j)H(j)]=0 ，求得 代入虚部可确定曲线
与虚轴的交点坐标。
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第 5 章线性系统的频域分析法
开环幅相曲线低频段与高频段的确定：
m
G( s )  K
 (1   s)
i
i 1
n 
s  (1  Tj s )
j 1
m1
m
b0s  b1s
…
L  bm1s  bm

a0sn  a1sn1  …
L  an1s  an
K
K

limG( j )  lim
 lim      

 0
 0 ( j )
 0 
2
b0
b0

limG( j )  lim
 lim
   (n  m) 
 
  a ( j ) n m
  a  n  m
2
0
0
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第 5 章线性系统的频域分析法
幅相特性的低频段
当   0  时，可以确定特性的低频部分，其特点由系统的
类型近似确定，如下图所示：
III型
  0
 0
0

  0 P ( )
0型
II型
I型
  0
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第 5 章线性系统的频域分析法
m
G ( j ) 
K k  ( jTi  1)
( j )
i 1
n v
v
 ( jT
j
 1)
j 1
  0 时的相位角为  v90
对于0型系统，当  0 时，特性达到一点 ( K k , j 0) 。
对于Ⅰ型系统，特性趋于一条与虚轴平行的渐进线，这
一渐进线可以由下式确定：
 x  lim Re[G( j )]  lim P( )
 0 
 0 
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第 5 章线性系统的频域分析法
幅相特性的高频段
0
G
(j

)

0


90
( n  m)
一般，有 n  m ，故当   时，有lim
 
即特性总是以顺时针方向趋于点，并按上式的角度终止于原点，
jQ ( )
如图所示。
m
G ( j ) 
K k  ( jTi  1)
( j )
i 1
n v
v
 ( jT
j
nm 3
 1)
j 1
0
nm  2
n  m 1
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P ( )
第 5 章线性系统的频域分析法
特性与负实轴的交点的频率由下式求出
ImG j   Q   0
如果在传递函数的分子中没有时间常数，则当ω由0增大到
∞过程中，特性的相位角连续减小，特性平滑地变化。
如果在分子中有时间常数，则视这些时间常数的数值大小
不同，特性的相位角可能不是以同一方向连续地变化，这时，
特性可能出现凹部。
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第 5 章线性系统的频域分析法
开环系统幅相曲线的特点
当频率 ω→0 时，其开环幅相特性完全由比例
环节和积分环节决定。
当频率ω→∞ 时，若n>m，|G(jω)|=0相角为(mn)π/2。
若G(s) 中分子含有s因子环节，其G(jω)曲线随
ω变化时发生弯曲。
G(jω) 曲线与负实轴的交点，是一个关键点。
此点对应ω值称穿越频率，记为ωx 。
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第 5 章线性系统的频域分析法
例1 绘制 G(s) 
K
的幅相曲线。
(T1s  1)(T2 s  1)
解： G( j0)  K0o
G( j)  0  180 o
K
G( j) 
（1  jT1（
) 1  jT2)
A( ) 
jQ( )
K
1  T1  2 1  T2  2
2
2
 ()   arctan T1  arctan T2
0
 
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K
P( )
 0

第 5 章线性系统的频域分析法
例2 绘制
解：
G( s) 
K
s (Ts  1)
的幅相曲线。
G( j0 )    90 o
G( j)  0  180 o
K
 KT
K
G ( j ) 

j
2
2
j（1  jT  ) 1  T 
(1  T 2 2 )
A( ) 
K
 1  T 2 2
 ( )  90  arctan T
0
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第 5 章线性系统的频域分析法
渐近线：
 KT
lim P( )  lim
  KT
2
2
 0
 0 1  T 
  0 时的物理意义：
 0
即相当于系统输入为恒值信号（频率为0）
由于系统有积分环节，系统输出量为∞
K
K
G( j0 ) 

e

j  0 

j

2
 0 
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第 5 章线性系统的频域分析法
Im
0
-(kT,j0)
Re
 
  0
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第 5 章线性系统的频域分析法
结论：   0  0 时，开环频率特性由实轴上无穷远开始，
在极小的频率范围内按无穷大半径变化，相角位移
为  。
2
推论：   0  0 时，开环频率特性由实轴上无穷远开始，
在极小的频率范围内按无穷大半径变化，相角位移
为  N （ N 为积分环节的阶次）
2
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第 5 章线性系统的频域分析法
例3 绘制 G( s )  5( s  2)( s  3) 的幅相曲线。
s 2 ( s  1)
解： G( j0 )    180 o
G( j)  0  90 o
1
2
1
3
 ()  180 0  arctan   arctan   arctan 
求交点：
5[( 6   2 )  j5 ]
G ( j ) 
  2 (1  j )
令 Im[ G( j )]  0  5   (6   2 )  0
  2  1,   1
G ( j1) 
5(5  j 5)
 25 与负实轴相交于-25处。
 (1  j )
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第 5 章线性系统的频域分析法
Re[G( j )]  0  6   2  5 2  0
令
 4 2  6  0 无实数解
 与虚轴无交点
jQ( )
曲线如图所示：
  0
 25 0
K
G( j0 ) 
( j ) 2


 0 
K
2
e  j
 0
P( )
 
 0 

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第 5 章线性系统的频域分析法
4. 开环对数频率特性曲线(Bode图)
设开环频率特性
G( j )  G1 ( j )G2 ( j )Gn ( j )
幅频特性：
L( )  20 lg G ( j )  20 lg[G1 ( j )G 2 ( j )G n ( j )]
 20 lg G1 ( j )  20 lg G 2 ( j )   20 lg G n ( j )
 L1 ( )  L2 ( )   Ln ( )
相频特性：
 ( )   1 ( )   2 ( )   n ( )
由以上的分析可得到开环系统对数频率特性曲线的绘制
方法：先画出每一个典型环节的波德图，然后相加。
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第 5 章线性系统的频域分析法
K
, T1  T2 ，
例1 开环系统传递函数为： G( s ) 
s(1  T1 s )(1  T2 s )
试画出该系统的波德图。
解
该系统由四个典型环节组成。一个比例环节，一个积分
环节、两个惯性环节。将它们分别画在一张图上。
 ( )
 20
1
T1
 20
1
T2
1
T2
 45
 40
 90
 40
 60
1
T1
 135
 60

 180
 80
 270
然后，在图上相加。
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

第 5 章线性系统的频域分析法
实际上，画图不用如此麻烦。我们注意到：幅频曲线由
折线（渐近线）组成，在转折频率处改变斜率。
具体步骤如下：
1
1
确定 K , 和各转折频率  i  ， j  ，并将这些频率
i
Tj

按小大顺序依次标注在频率轴上；
 确定低频渐近线：L( )  20 lg K  20 lg  ，就是第一条折
线。其斜率为  20 (dB / dec )，过点（1，20lgK）。实际上是
比例K和积分 ( j ) 的曲线。
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第 5 章线性系统的频域分析法
 画好低频渐近线后，从低频开始沿频率增大的方向，每
遇到一个转折频率改变一次分段直线的斜率：
遇到一阶微分环节时，斜率增加20dB/Dec；
遇到二阶微分环节时，斜率增加40dB/Dec；
遇到一阶惯性环节时，斜率下降20dB/Dec；
遇到二阶振荡环节时，斜率下降40dB/Dec；
 高频渐近线的斜率为：-20(n-m)dB/dec。
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第 5 章线性系统的频域分析法
例2 系统开环传递函数为：Gk ( s ) 
试画出波德图。
解：
10
(0.25s  1)(0.25s 2  0.4 s  1)
  0, K  10, T1  0.25, T2  0.5
1、该系统是0型系统，
则 1 
1
1
 4,  2 
 2,20 lg K  20dB
T1
T2
2、低频渐近线：斜率为 0dB / dec ，过点（1，20）
3、波德图如下：
L( )
 40
20
1
2
4
 60
10

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第 5 章线性系统的频域分析法
 40
 60
2
4
红线为渐近线，兰线为实际曲线。
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第 5 章线性系统的频域分析法
例3
103 (1  100s )2
已知G( s )  2
，试画波德图。
s (1  10s )(1  0.125s )(1  0.05s )
解：1.
1
1
K  10 ;  2;1 
 0.01,  2 
 0.1,
100
10
1
1
3 
 8,  4 
 20
0.125
0.05
3
2、低频渐近线斜率为  40dB / dec
低频渐近线的延长线在   1 处的高度为：
20 lg K  20 lg 103  60(dB)
3、每遇到一个环节改变一次渐近线的斜率。
4、画出波德图如下页：
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第 5 章线性系统的频域分析法
2
1

2
(1,60)
红线为渐近线，兰线为实际曲线。
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3
第 5 章线性系统的频域分析法
例4 已知最小相位系统的渐近幅频特
性如图所示，试确定系统的开环传递
函数。
解：⒈由于低频段斜率为-20dB/dec
所以有一个积分环节；
⒉在=1处，L()=15dB，可得
20lgK=15，K=5.6
⒊在=2处，斜率由-20dB/dec变为
1
-40dB/dec，故有惯性环节 1
s1
2
⒋在=7处，斜率由-40dB/dec变为
-20dB/dec，故有一阶微分环节
1
s1
7
60
L( )
50
40
30
20
15
10
-20dB/dec
-40dB/dec
0
-10

-20
-30
-20dB/dec
-40
-50
-60
0.1
1
2
7 10
100
开环传递函数为
1
5.6( s  1)
7
G( s) 
1
s( s  1)
2
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1000
第 5 章线性系统的频域分析法
5.开环对数频率特性低频段特点与系统型别的关系
1）0型系统
0型系统的开环频率特性有如下形式：
m
G ( j ) 
K k  ( jTi  1)
i 1
n
 ( jT
j
 1)
j 1
低频时：
Ti   1, T j   1
Wk ( j )  K k，A( )  K k
 L( )  20 lg A( )  20 lg K k
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第 5 章线性系统的频域分析法
对数幅频特性的低频部分如下图所示：
L( )
0
20 lg Kk
0dB / dec
 20dB / dec
1

特点：
在低频段，斜率为0dB/十倍频；
低频段的幅值为 20 lg K k ，由之可以确定稳态位置
误差系数。
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第 5 章线性系统的频域分析法
2）Ⅰ型系统
Ⅰ型系统的开环频率特性有如下形式：
m
G ( j ) 
K k  ( jTi  1)
i 1
n 1
j  ( jT j  1)
j 1
低频时，Ti  1, T j  1
Kk
Kk
Wk ( j ) 
，A( ) 
j

Kk
 L( )  20 lg A( )  20 lg
 20 lg K k  20 lg 

斜率为－20dB / 十倍频，且当  K k 时，L( )  0可作图。
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第 5 章线性系统的频域分析法
对数幅频特性的低频部分如下图所示：
L( )
L( )
 20dB / dec
 20dB / dec
20 lg K k
0
Kk
1
20 lg K k
1

0
1
Kk
1
 40dB / dec
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 40dB / dec

第 5 章线性系统的频域分析法
特点：
在低频段的渐进线斜率为-20dB/十倍频；
低频渐进线（或其延长线）与0分贝的交点为k  K k
由之可以确定系统的稳态速度误差系数 K v  K k ；
低频渐进线（或其延长线）在ω=1时的幅值为 20 lg K k
dB。
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第 5 章线性系统的频域分析法
3）Ⅱ型系统
Ⅱ型系统的开环频率特性有如下形式：
m
K k  ( jTi  1)
G ( j ) 
( j )
i 1
n 2
2
 ( jT
j 1
j
 1)
低频时，Ti  1, T j  1
Kk
Kk
Wk ( j ) 
，A( )  2
2
( j )

K
 L( )  20 lg A( )  20 lg 2k  20 lg K k  40 lg 

斜率为－40dB / 十倍频，且当 
K k 时，L( )  0可作图。
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第 5 章线性系统的频域分析法
对数幅频特性的低频部分如下图所示：
L( )
L( )
 40dB / dec
 40dB / dec
20 lg K k
0
Kk
1
1
 20dB / dec

 20dB / dec
20 lg K k
0
1 1 K k
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
第 5 章线性系统的频域分析法
特点：
低频渐进线的斜率为-40dB/十倍频；
低频渐进线(或其延长线)与0分贝的交点为 k  K k ，
由之可以确定加速度误差系数K a  K k
20 lg K k dB
1
低频渐进线（或其延长线）在  时的幅值为
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第 5 章线性系统的频域分析法
6.最小相位系统与非最小相位系统
开环传递函数在s右半平面无零点和极点的
系统称为最小相位系统，反之称为非最小相位
系统。
在幅频特性相同的一类系统中，最小相位系
统的相位移最小，并且最小相位系统的幅频特性
与相频特性之间具有唯一对应的关系。
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第 5 章线性系统的频域分析法
举例说明：
1  T2 s G1 ( j )  1  jT2
G1 ( s) 
1  jT1
1  T1s
1  (T2 ) 2

1  (T1 )
T1  T2  0
1  T2 s
G2 ( s) 
1  T1s
最小相位系统
2
1  jT2
G2 ( j ) 
1  jT1

非最小相位系统
1  (T2 ) 2
1  (T1 )
 arctan T2  arctan T1
2
  arctan T2  arctan T1
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第 5 章线性系统的频域分析法
具有相同的对数幅频特性：
L1 ( )  L2 ( )  20 lg 1  (T2 )  20 lg 1  (T1 )
2
2
L ( )
1
T1
1
T2
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
第 5 章线性系统的频域分析法
1  (T2 ) 2
G1 ( j ) 
L ( )
1  (T1 )
2
 arctan T2  arctan T1
1
T1
1
T2

升
降
对
应
1 ()  arctan T2  arctan T1
 ( )
9 00
4 50
 45
0
 9 00
1
T1
1
T2
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
最
小
相
位
系
统
第 5 章线性系统的频域分析法
L ( )
G2 ( j ) 
1
T1
 ( )
1  (T2 ) 2
1  (T1 ) 2
  arctan T2  arctan T1

1
T2
 2 ()   arctan T2  arctan T1
1
T1
1
T2

 9 00
 1800
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升
降
不
对
应
非
最
小
相
位
系
统
第 5 章线性系统的频域分析法
1  T2 s
G1 ( s) 
1  T1s
L ( )
1
T1
G1 ( j ) 
升
降
对
应
900
450
 45
0
 900
1
T1
1
T2
1  (T1 )
2
 arctan T2  arctan T1

1
T2
 ( )
1  (T2 ) 2
最小相位环节：
给出了幅频特性，也就决定了相频特性
给出了相频特性，也就决定了幅频特性

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第 5 章线性系统的频域分析法
5-3
频率域稳定判据
系统稳定的充要条件 — 全部闭环极点均具有负的实
部
代数稳定判据 — Ruoth判据
由闭环特征多项式系数（不解根）判定系统稳定性
不能用于研究如何调整系统结构参数来改善系统稳定性及
性能的问题
Nyquist 判据
频域稳定判
对数稳定判据
据 —
由开环频率特性直接判定闭环系统的稳定性
可研究如何调整系统结构参数改善系统稳定性及性能问题
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第 5 章线性系统的频域分析法
奈魁斯特稳定判据特点：
奈魁斯特稳定判据是用开环频率特性判
别闭环系统的稳定性。不仅能判断系统的绝
对稳定性，而且可根据相对稳定的概念，讨
论闭环系统的瞬态性能，指出改善系统性能
的途径。
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第 5 章线性系统的频域分析法
1.奈氏判据的数学基础
设负反馈系统的开环传递函数为：Gk (s)  G(s) H (s) ，其
中：
G (s )为前向通道传递函数，H (s ) 为反馈通道传递函数。
G( s)
，如下图所示：
1  G( s) H (s)
C (s)
闭环传递函数为：( s) 
R(s)

G (s)
令：G( s) 
M 1 ( s)
M 2 ( s)
, H ( s) 
N1 ( s)
N 2 ( s)
H (s )
M 1 ( s) M 2 ( s)
则开环传递函数为：Gk ( s) 
N1 ( s) N 2 ( s)
…………… (a)
M1 N 2
闭环传递函数为：( s) 
M 1M 2  N1 N 2
…………… (b)
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第 5 章线性系统的频域分析法
将闭环特征方程与开环特征方程之比构成一个辅助方程，得：
F ( s) 
M1M 2  N1 N 2
M M
 1  1  2  1  GH  1  Gk ……………..(c)
N1 N 2
N1 N 2
显然，辅助方程即是闭环特征方程。其阶数为n阶，且分子
分母同阶。则辅助方程可写成以下形式：
n
F ( s) 
 (s  z )
i
i 1
n
 (s  p )
。式中， zi , p j 为F(s)的零、极点。
j
j 1
由(a)、(b)及(c)式可以看出：
F(s)的极点为开环传递函数的极点；
F(s)的零点为闭环传递函数的极点；
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第 5 章线性系统的频域分析法
F(s)是复变量s的单值有理函数。如果函数F(s)在s平面上指
定的区域内是解析的，则对于此区域内的任何一点d s 都可以在
F(s)平面上找到一个相应的点d f ，d f 称为d s 在F(s)平面上的映射。
同样，对于s平面上任意一条不通过F(s)任何奇异点的封闭
曲线 s，也可在F(s)平面上找到一条与之相对应的封闭曲线f
（为 s的映射）。
F (s) 
例：辅助方程为：
s2
s
，则s平面上d s 点（-1，j1），映射
到F(s)平面上的点d f 为（0，-j1）,见下图：

d s (1, j1)
s平面

F (s)平面

d f (0, j1)
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第 5 章线性系统的频域分析法
同样我们还可以发现以下事实：s平面上As BsCs Ds Es FsGs H s 曲线 s
映射到F(s)平面的曲线为 s ，如下图：
s平面

2
As
Bs
Hs
1

Gs Fs
Cs
F (s)平面
Ds
s 顺时针

示意图
 f 逆时针
Es
曲线 s是顺时针运动的，且包围了F(s)的一个极点（0），
不包围其零点（-2）；曲线 f 包围原点，且逆时针运动。
再进一步试探，发现：若s 顺时针包围F(s)的一个极点（0）和
一个零点（-2），则 f 不包围原点顺时针运动；若 s 顺时针只
包围F(s)的一个零点（-2），则f 包围原点且顺时针运动。
这里有一定的规律，就是下面介绍的幅角定理。
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第 5 章线性系统的频域分析法
幅角定理
s平面上不通过F(s)任何奇异点的封闭曲线 s包围s平
面上F(s)的Z个零点和P个极点。当s以顺时针方向沿封闭
曲线s 移动一周时，在F(s)平面上相对应的封闭曲线f 将
以逆时针方向绕原点旋转N圈。N，Z，P的关系为：
N=P-Z
若N为正，表示 f 逆时针运动，包围原点；
若N为0，表示 f 逆时针运动，不包围原点；
若N为负，表示 f 顺时针运动，包围原点。
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第 5 章线性系统的频域分析法
由于
G(j)H (j)  1  G(j) H (j) 1
因而映射曲线 F ( j ) 对其坐标原点的围绕等价于开
环频率特性曲线 G( j) H ( j) 对GH 平面上的(1, j0)点的围
绕。
j Im
1
G( j 0) H ( j 0) 1  G( j 0) H ( j 0)
Re
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第 5 章线性系统的频域分析法
s平面闭合曲线 s的选择
幅角原理要求 s 奈氏路径不能经过F(s)的奇点。
j
s
R  e j
R
o

无处于虚轴上的开环极点（开环无积分环节或振荡环节）
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第 5 章线性系统的频域分析法
用半径   0 的半圆在虚轴上极点的右侧绕过这些极点
j
j
s
s
  e j
 0
R  e j
R 
0
  e j
 0
开环有积分环节

R  e j
R 
0
开环有振荡环节
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
第 5 章线性系统的频域分析法
GH 关于实轴对称，只需绘制Im( s)  0 的映射曲线
（1）令s=jω带入G(s)H(s)，得到开环频率特性。
（2）画出对应于大半圆对应的部分
s  e j
 [0,900 ]
 ( s  1)
m
G( s) H ( s)  K k
i
i 1
n
 (T s  1)
j
j 1
实际物理系统
s 
n>=m
n>m时
G(s)H(s)趋于零(原点）
n=m时
G(s)H(s)为常数
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第 5 章线性系统的频域分析法



(
0
, 带入G(s)H(s),得
)
（1）令s=jω
j
到开环频率特性。
s
  0
（2）画出对应于大半圆对应的部分
R  e j
R
o e j
——开环频率特性的终点
 （3）画出对应于 s  e j  [0,900 ]
 0
对应的部分
G ( s ) H ( s ) s  lim
开环有积分环节
 0
e j
K
 jv
 lim


e
 0
 v e jv
当   0  0  ，  0   时，G( s) H ( s)
2
曲线将沿无穷大的圆弧顺时针转过 v900
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第 5 章线性系统的频域分析法
m
 ( s  1)
i
G( s) H ( s)  K
i 1
j
   n
n
  n
j
R
j  e
jn  e
R
o
 n
下面只讨论 s  j n  e
对应的映射曲线
G ( s ) H ( s ) s  lim ( jω

n
 0
 j (  900 )
Ke
 lim
 0
2 n
 e
开环有振荡环节
2
n
1
Gk 1 ( s )
2
2
( s  n )
j 1
s
 0
n2
( s   ) (T j s  1)
2
K
 j (  900 )
e

当  n  n   
2
j
  [900 ,900 ]
 e j )
Gk 1 ( j n  e j )
jGk 1 ( j n  e j )

 时，G( s) H ( s)
2
曲线将沿无穷大的圆弧顺时针转过 v1800
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第 5 章线性系统的频域分析法
例：开环有振荡环节
K
Gk ( s ) 
s (Ts  1)(
s
2

2
n
( K , T  0)
 1)
Im
  n
0
 
  n
  0
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Re
第 5 章线性系统的频域分析法
2.奈奎斯特稳定判据
（1）如果开环系统是稳定的，即P=0，则闭环系统稳定的
充要条件是 Gk ( j ) 曲线不包围 ( 1，j 0) 点。
（Z  P  N  0）
（2）如果开环系统不稳定，且已知有P个开环极点位于s
的右半平面，则其闭环系统稳定的充要条件是Gk ( j ) 曲
线按逆时针方向围绕(-1,j0)点旋转P周。
（Z  P  N  0）
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第 5 章线性系统的频域分析法
开环幅相频率特性 Gk ( j ) 曲线 从0  
和 从    0 部分是关于实轴对称的，运用乃氏判
据时，可以利用对称性把乃氏曲线补全，再进行判
断；也可以只画出的部分来判断，如果系统稳定，
则应有 N  P 。
2
当 Gk ( j )曲线恰好通过 ( 1，j 0) 时，说明闭环
系统有极点落在虚轴上，系统也是不稳定的。
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用奈氏稳定判据判断系统的稳定性举例
K
例1：绘制开环传递函数 G( s) H ( s ) 
(T1 s  1)(T2 s  1)
的乃奎斯特图并判定系统的稳定性。
开环系统稳定：
jQ ( )
P0
奈氏曲线不包围(-1,j0) ：
0  
( 1, j 0)   
K
 0

N 0P
P ( )
闭环系统稳定
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例2: 系统开环传递函数为 WK ( s) 
没有极点位于右半s平面，P=0。
K
,K 0
s(T1 s  1)(T2 s  1)
 K (T1  T2 )
P( ) 
1   2 (T12  T22 )   4T12T22
K (1   2T1T2 )
Q( )  
[1   2 (T12  T22 )   4T12T22 ]
 x   K (T1  T2 )
1
g 
T1T2
KT1T2
P(g )  
T1  T2
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T T
P( )  1时，达到稳定边界，这时K  1 2
T1T2
T1  T2
K
时 N  0 闭环系统稳定
T1T2
T1  T2
K
时 N  2  P 闭环系统不稳定
T1T2
jQ( )
Ⅰ型系统
  0
 K (T1  T2 )
  0

KT1T2
T1  T2
 0
 
0   
P ( )

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第 5 章线性系统的频域分析法
正穿越、负穿越、半穿越的基本概念
jQ ( )
0  
( 1, j 0)   
K
 0
P ( )
(1, j 0)

jQ ( )
(1, j 0)
K
 0
  
( 1, j 0) 0   

P ( )
正穿越=逆时针包围 (1, j 0)
GH 轨线在负实轴区间
(,1) 从上向下穿越
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第 5 章线性系统的频域分析法
jQ( )
正穿越
1
  0
 K (T1  T2 )
  0
负穿越

KT1T2
T1  T2
 0
P( )
 
0   
(1, j 0)

负穿越 = 顺时针包围 (1, j 0)
逆时针绕(-1, j0)点的圈数：
GH 轨线在负实轴区间
(,1) 从下向上穿越
N  2( N   N  )
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第 5 章线性系统的频域分析法
半穿越：G(jω)H (jω) 轨迹起始或终止于(-1, j0)点
以左的负实轴。
+1/2次穿越
-1/2次穿越
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第 5 章线性系统的频域分析法
奈氏判据的实际方法
开环系统特征方程式有P个根在右半s平面上，则闭环系
统稳定的充要条件是：当  由0变到  时，开环频率特性的
轨迹在复平面上 (-1,j0)点左侧，正穿越－负穿越＝P/2。否则
jQ ( )
闭环系统是不稳定的。
+ ( 1, j 0)
-
0  
  0 P ( )
  0
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第 5 章线性系统的频域分析法
例3:系统开环传递函数为
解：
K (T2 s  1)
G( s)  2
s (T1 s  1)
K (T2 j  1)
G( j ) 
( j ) 2 (T1 j  1)
A( ) 
(T2 ) 2  1
(T1 ) 2  1
K
2
 ( )  180  arctan T1  arctan T2
0
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第 5 章线性系统的频域分析法
Im
Ⅱ型系统
(1)T1  T2
  0
P0
P
2
Im
 P  0, N  2
Z  P  N  2
闭环系统不稳定
 0
Re
o
N  1 N  0
N   N   1 
  
  0
1
  
  
  0
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Re
第 5 章线性系统的频域分析法
(2)T1  T2
Im
K (T2 j  1)
G( j ) 
2
( j ) (T1 j  1)
A( ) 
K

2
(T2 )  1
(T1 ) 2  1
  
2
 0

 ( )  180 0  arctan T1  arctan T2
P0
N  0 N  0
闭环系统稳定
P
N  N  0 
2
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Re
第 5 章线性系统的频域分析法
(3)T1  T2
K (T2 j  1)
G( j ) 
( j ) 2 (T1 j  1)
A( ) 
K

2
(T2 ) 2  1
(T1 ) 2  1
Im
  0
  
1
 ( )  180 0  arctan T1  arctan T2  180 0
G( j)轨线通过（-1，j0)点，
闭环系统临界稳定
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Re
第 5 章线性系统的频域分析法
K (T2 s  1)
例4:系统开环传递函数为 G( s ) 
s(T1 s  1)
解： P  1
K (T2 j  1)
K (T1  T2 )
 K (T1T2 2  1)
G ( j ) 
 2 2
j
( j )(T1 j  1)
T1   1
 (T12 2  1)
A( ) 
K

(T2 ) 2  1
(T1 ) 2  1
 ( )  90 0  (180 0  arctan T1 )  arctan T2
 270 0  arctan T1  arctan T2
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第 5 章线性系统的频域分析法
G( j0 )    270 o
渐进线
G( j)  0  90
Ⅰ型系统
 x  lim Re[ G(j  )]   K (T1  T2 )
 0
o
 0

Im
与负实轴的交点
1
 KT2
令Im[G(j  )]  0   g 
T1T2   0
1
 Re[G(j  g )]   KT2
 K (T1  T2 )
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  
Re
第 5 章线性系统的频域分析法
KT2  1时 N   0
1
N 
2
1 P
N  N   
2 2
闭环系统不稳定
KT2  1时
N  1
1
N 
2
1 P
N  N  
2 2
闭环系统稳定
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第 5 章线性系统的频域分析法
临界稳定点：(-1,j0)点
3.对数频率稳定判据
开环系统的极坐标图（奈氏图）和对数坐标图（Bode
图）的对应关系：
1、奈氏图上单位圆对应于Bode图上的零分贝线；
单位圆以外对应
L( )  0dB
2、奈氏图上的负实轴对应于Bode图上的-1800线。
Im
L( )
0
-1
0
Re
0
o

 ( )
 180o
奈氏图
Bode图
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
第 5 章线性系统的频域分析法
乃氏图中 (-1, j0)点以左负实轴的穿越点对应伯德图
中L(ω)> 0范围内的与-180°线的穿越点。
正穿越（相角增大）对应伯德图中L(ω)> 0范围内
随着ω的增加相频特性从下而上穿过-180°线。
负穿越（相角减小）对应伯德图中L(ω)> 0范围内
随着ω的增加相频特性从上而下穿过-180°线。
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第 5 章线性系统的频域分析法
相对于(-1, j0)点左侧负实轴
L () >0时穿越180°
L( )
A( )  1
L( )  20 lg A( )  0
A
jQ( )
单位圆
B
[GH ]
C
0
+
- A B
D0
 
  0P( )
C

D
 ( )
c
0

 180 0
+
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
第 5 章线性系统的频域分析法
对照图：
正穿越
增加时，
相角增大
负穿越
相角方向为正
1
L ( )
c 
 ( )


负穿越
正穿越
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第 5 章线性系统的频域分析法
对数频率稳定判据
若系统开环传递函数有P 个位于s 右半平
面的特征根，则系统闭环稳定的充要条件
是：在L(ω) >0 的所有频率范围内，相频特
性曲线 (ω)与-180°线的正负穿越次数之
差等于P / 2。
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第 5 章线性系统的频域分析法
当开环传函G(s)H(s)包含积分环节时 , 在对数相频曲线
 为 0+ 的地方,应该补画一条从相角 G( j0 )H ( j0 )  v  90
到 G( j0 ) H ( j0 ) 的虚线 , 其中 v 是积分环节数 .
计算正、负穿越时 , 应将补上的虚线看成对数相频曲
线的一部分 .
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第 5 章线性系统的频域分析法
K
G( s )  2
s (Ts  1)
例1
L( )
( K  100, T  3) P  0
 40 dB / dec

0
1
1
T
K
 90
P
2
 60 dB / dec
Z  P  N  0  2  (1)  2
 ( )
0
N  N  0 1 

0
 1800
闭环系统在s右半平面有2个根
 2700
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第 5 章线性系统的频域分析法
10
例2 系统开环传递函数为：Gk ( s )  (0.25s  1)(0.25s 2  0.4s  1)
在s 右半平面没有
开环极点，P =0
L(ω) > 0范围内相
频特性从上而下
穿越 -180°线一
次，正负穿越次
数之差为1。
闭环系统不稳定
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第 5 章线性系统的频域分析法
103 (1  100s )2
例3 已知开环传函 G( s )  2
s (1  10s )(1  0.125s )(1  0.05s )
在s 右半平面没有
开环极点，P =0
L(ω) > 0范围内
相频特性没有穿
越 -180°线。
闭环系统稳定
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第 5 章线性系统的频域分析法
4.条件稳定系统
一个反馈系统 , 若开环传递函数右半 s 平面的极点
数 P =0 , 开环频率特性曲线在开环传递系数(即开环增
益)改变时 , 闭环系统的稳定性将发生变化 .
只有开环传递系数在一定范围内时, N 才等于零 ,
闭环系统才稳定 . 这一系统的稳定是有条件的 , 称为条
件稳定系统 .
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第 5 章线性系统的频域分析法
5-4
稳定裕度
对控制系统进行分析时，往往还需要了解
系统的相对稳定性，即稳定裕量的问题。
最小相位系统闭环稳定的充要条件可简化
为：开环频率特性曲线不包围(-1,j0)点。
通常用开环频率特性 G k ( j ) 离临界稳定点
(-1，j0)点的远近程度来表征系统的相对稳定性。
(-1，j0)点的幅值为1，相角为-180o ，因
此可以从幅值和相角两方面来讨论系统的稳定
裕量。
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第 5 章线性系统的频域分析法
设系统的开环频率特性G k ( j )曲线分别与单位圆和负实轴
交与A、B两点。
A点处的频率c 称为幅值穿越频率, 也称截止频率
B点处的频率 g 称为相角穿越频率, 也称穿越频率
1.相角裕度
  180 o   ( c )
-1
1/Kg
I
m
B
0
1
Re
 >0时，系统稳定；
 =0时，系统临界稳定；
 <0时，系统不稳定。
r
A
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第 5 章线性系统的频域分析法
[相位稳定裕度的物理意义]：稳定系统在幅值截止频率 c 处将
相角减小  度，则系统变为临界稳定；再减小，就会变为不稳
定。
Im
1
-1

c
 ( c )
G ( j )
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Re
第 5 章线性系统的频域分析法
设系统的开环频率特性G k ( j )曲线分别与单位圆和负实轴
交与A、B两点。
A点处的频率c 称为幅值穿越频率, 也称剪切频率
B点处的频率 g 称为相角穿越频率, 也称穿越频率
2.幅值裕度
在相角穿越频率 g 处Gk ( j )
-1
1/Kg
I
m
B
0
的幅值的倒数称为幅值裕度，
1
即K g 
A( g )
Re
A
用K g 表示。
Kg>1时，系统稳定；
Kg=1时，系统临界稳定；
Kg<1时，系统不稳定。
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1
第 5 章线性系统的频域分析法
[幅值稳定裕度物理意义]：稳定系统在相角穿越频率处将幅值
k g 倍（奈氏图）或增加
Lg 分贝（波德图），则系统处于临
增加
界状态。若增加的倍数大于
k g 倍（或
Lg 分贝），则系统变为不
稳定。
比如，若增加开环放大系数K，则对数幅频特性曲线将上升，
而相角特性曲线不变。可见，开环放大系数太大，容易引起系
Im
统的不稳定。

-1 ωg
c
1
h
1
 ( c )
G ( j )
Re
2009年校级精品课程--《自动控制原理》主讲人：杨国诗
第 5 章线性系统的频域分析法
L( )
Im
-1

g
c
0
1/ Kg
0
0
c
Re
0
o
 ( )
Lg 
g

 180o

  0
伯德图中：相角裕度
  180    ( c )
增益裕度 Lg  20 lg K g  20 lg
1
 20 lg A( g )
A( g )
显然，当 Lg  0 和   0 时，闭环系统是稳定的；否则是不
稳定的。对于最小相位系统，Lg  0 和   0 是同时发生或
同时不发生的，所以经常只用一种稳定裕度来表示系统的稳
定程度。常用相角裕度。
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第 5 章线性系统的频域分析法
保持适当的稳定裕度，可以预防系统中
元件性能变化可能带来的不利影响。为了得
到较满意的暂态性能，一般相角裕度应当在
30o至60o之间，增益裕度应大于6dB。
对于最小相位系统，开环幅频特性和相
频特性之间存在唯一的对应关系。通常希望
系统的开环对数幅频特性在截止频率处的斜
率为-20dB/dec。
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L( )
第 5 章线性系统的频域分析法

Im
0
稳定
-1
g 0
Re
c
0o
c
 ( )
g
L( )
c
0
g
-1  c

 180o
Im
临界
稳定

0
Re
0o
 ( )
g


 180o
L( )
Im
c
不稳定
 g -1
c
0
0
Re
0o
 ( )
g
 180o
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

第 5 章线性系统的频域分析法
例：控制系统如图所示。1.K=10时，判断系统的稳定性，并
求出相角裕量和幅值裕量；2.K=100时，判断系统的稳定性。
R(s )
-
K
s( s  1) ( s  5)
C (s )
解：当K=10时，
开环系统波德图如
图所示。
c
由Bode图可知：

g
L()> 0时穿越次
数为0，
系统是稳定的。
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第 5 章线性系统的频域分析法
G ( j ) 
相角裕度和增益裕度的计算：
2
j ( j  1) ( j 0.2  1)
相角裕度：先求幅值穿越频率  c
A( c ) 
2
c 1  c
2
1  0.04 c
2
1
由于  c 较小（小于2），所以：
A( c ) 
2
c 1  c
2
1
解得：c  1.25rad / s
 ( c )  90  tg 1 c  tg 1 0.2 c  155.4o
相角裕度为：   180   ( c )  180o  155.38o  24.6o
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第 5 章线性系统的频域分析法
G ( j ) 
2
j ( j  1) ( j 0.2  1)
增益裕度：先求相角穿越频率  g
 ( g )  90  tg1 g  tg1 0.2 g  180o
由三角函数关系解得：
 g  2.24rad / s
A( g ) 
2
g 1g
2
1  0.04 g
2
 0.33216
增益裕度为： Lg  20 lg A( g )  9.6(dB )
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第 5 章线性系统的频域分析法
当增益从K =10增大到K =100时，
幅频特性曲线上移20dB，相频特性曲线不变。
K=100
K=10
c
 c1
由Bode图可知：
当K =100时，
g
L()> 0时有一次
负穿越，
系统不稳定。
增大系统的开环增益，会降低系统的稳定性。
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第 5 章线性系统的频域分析法
在伯德图上分析系统性能
在进行频域分析时，通常将整个频域分为三个频段。
1.低频段： 0 ~ 0.1 c
系统的稳态性能由低频段决定。
2.中频段： 0.1 c ~ 10 c
系统的稳定性和动态性能由中频段决定。
为了使系统具有较好的稳定性能和快速性，希望L( )曲线
在 c附近的斜率为 20dB / dec，并且要尽可能提高 c的值。
3.高频段：   10 c
系统的抗干扰能力由高频段决定。
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第 5 章线性系统的频域分析法
三频段理论
频段
低频段
对应性能
开环增益 K
系统型别 v
L()
中频段
高频段
截止频率 c
相角裕度 
希望形状
稳态误差 ess
动态性能
 00
ts
系统抗高频干扰的能力
陡，高
缓，宽
低，陡
三频段理论并没有提供设计系统的具体步骤，
但它给出了调整系统结构改善系统性能的原则和方向
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第 5 章线性系统的频域分析法
5-5
闭环系统的频域性能指标
1. 二阶系统的开环频域指标
n 2
开环传递函数为： Gk ( s ) 
s( s  2n )
n 2
开环频率特性为： Gk ( j ) 
j ( j  2n )
幅频特性
A( ) 
n
2
  2  4 2 n
2

0
1 2n
 180  tg
相频特性  ( )  90  tg
2n

0
1
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第 5 章线性系统的频域分析法
二阶系统的开环频域指标
 幅值穿越频率  c
由A( c ) 
n
2
 c  c  4  n
2
得 c  n
调整时间 t s 
2
1
4 4  1  2 2
3~4
 n
2

( 3 ~ 4)
4 4  1  2 2
 c
幅值穿越频率 c反映了系统的快速性。
 c 越大，系统快速性越好。
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第 5 章线性系统的频域分析法
二阶系统的开环频域指标
 相角裕度
  1800   ( )  tg 1
 tg
1
2
2n
c
4 4  1  2 2
相角裕度 只和阻尼比 有关， 越大， 越大。
相角裕度 反映了系统的稳定性，相角裕量 越大，
最大超调量越小，稳定性越好。
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第 5 章线性系统的频域分析法
开环频域指标与时域指标间的关系
 
%  e
1 
  tg
2
2
1
4 4  1  2 2

%

c
ts
ts 
( 3 ~ 4)
4 4  1  2 2
 c
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第 5 章线性系统的频域分析法
2.
二阶系统的闭环频域指标
n

(
s
)

闭环传递函数为：
2
s 2  2 n s   n
2
n

(
j

)

闭环频率特性为：
2
( j )2  2n ( j )   n
2
幅频特性
M ( ) 
n
2
( n   2 ) 2  ( 2n ) 2
2
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第 5 章线性系统的频域分析法
二阶系统的闭环幅频特性
M ( )
r ：谐振频率
M r ：谐振峰值
 b ：截止频率
带宽频率
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第 5 章线性系统的频域分析法
二阶系统的闭环频域指标
谐振峰值 M r ：系统闭环频率特性幅值的最大值。
由
dM ( )
0 得
d
谐振频率  r   n 1  2 2
(0    0.707)
谐振频率 r 反映了系统的快速性。
 r 越大，系统快速性越好。
谐振峰值 M r 
1
2 1  
2
(0    0.707)
谐振峰值M r 反映了系统的稳定性，谐振峰值M r 越大，
最大超调量越大，稳定性越差。
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第 5 章线性系统的频域分析法
二阶系统的闭环频域指标
带宽：当幅频特性 M ( ) 下降到
2
M ( 0)
2
时，对应的
频率  b 称为带宽频率(或截止频率)。频率范围 [0,  b ]
称为带宽。
由定义求得 b   n 1  2 2  2  4 2  4 4
带宽频率 b反映了系统的快速性。
 b 越大，系统快速性越好。
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第 5 章线性系统的频域分析法
带宽的物理意义：
当 M ( )  1 2 时，输出的幅值是输入幅值的0.707
倍， 20 lg M ( )  3dB 。当   b 时，输出衰减的很厉害，
对实际系统来说，已经不能正常使用了。
M ( )
带宽表示了系统跟踪正
弦输入信号的能力。
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第 5 章线性系统的频域分析法
带宽指标取决于下列因素：
（1）对输入信号的再现能力。
大的带宽相应于小的上升时间，即相应于快速特
性。粗略地说，带宽与响应速度成反比。
（2）对高频噪声必要的滤波特性。
为了使系统能够精确地跟踪任意输入信号，系统
必须具有大的带宽。但是，从噪声的观点来看，带宽不
应当太大。因此，对带宽的要求是矛盾的，好的设计通
常需要折衷考虑。具有大带宽的系统需要高性能的元件，
因此，元件的成本通常随着带宽的增加而增大。
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第 5 章线性系统的频域分析法
3. 高阶系统的闭环频率特性和频域性能指标
可以利用尼柯尔斯图线求取高阶系统的闭环频率
特性和频域指标。
带宽与响应速度之间的关系：
带宽频率越高，调整时间越短，响应速度越快。
频率特性展宽多少倍，响应速度将加快多少倍。
在工程实践中，往往用一对主导复数极点对应的
二阶系统去近似表征。
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第 5 章线性系统的频域分析法
4. 确定闭环频率特性的图解方法
G( j1 )  OA  OA e j
j Im
1  G( j1 )  BA  BAe j
1
OA j (  )
G( j1 )
( j1 ) 

e
1  G( j1 ) BA
1 A
( j1 ) 
OA
BA
,
B
Re
0

( j1 )      BAO
求得不同频率对应的闭环幅值和相角后，就可
得闭环频率特性，画出闭环频率特性曲线。
在工程上常用等M和等N圆图或尼柯尔斯图线，
直接由单位反馈系统的开环频率特性曲线绘制闭环频率
曲线。
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第 5 章线性系统的频域分析法
等 M 圆图
——闭环幅频特性曲线
假设开环频率特性和闭环频率特性分别为
G( j)  P()  jQ() , ( j)  M ()e j ( )
G
P  jQ
则有
M 


1 G
1  P  jQ
2
2
P

Q
M2 
(1  P) 2  Q 2
P2  Q2
(1  P) 2  Q 2
M2 2
M
2
2
, (P 
)

Q

(
)
1 M 2
1 M 2
令M为常数，则上式表示为一个圆。
显然，在复平面上，它是通过点( 1 , j 0) 时且平行
2
于虚轴的直线。
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第 5 章线性系统的频域分析法
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等 N 圆图
——闭环相频特性曲线
P  jQ
P 2  P  Q 2  jQ
( j ) 

 Re[( j )]  j Im[( j )]
2
2
1  P  jQ
(1  P)  Q
Im ( j )
Q
令 N  tg[ ( )] 
 2
Re ( j ) P  P  Q 2
1 2
1 2
N 1
( P  )  (Q 
) 
2
2N
4N 2
2
圆心：
半径：
1
( ,
2
R
1
j
)
2N
N 2 1
4N 2
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第 5 章线性系统的频域分析法
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第 5 章线性系统的频域分析法
用等M圆图和等N圆图求闭环幅频特性和相频特性
通过开环幅相特性曲线与等 M 圆图的交点，可以
得到相应频率的 M 值，即闭环幅频值。
通过开环幅相特性曲线与等 N 圆图的交点，可以得
到相应频率的 N 值（或  ），即闭环相频值。
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第 5 章线性系统的频域分析法
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第 5 章线性系统的频域分析法
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第 5 章线性系统的频域分析法
5. 尼科尔斯图
坐标系
直角坐标系—开环L() 和 ()；
等M曲线
令M为常数, 为变量,依次计算值对应的L()。
等N曲线
令N为常数, 为变量,依次计算值对应的L()。
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第 5 章线性系统的频域分析法
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第 5 章线性系统的频域分析法
6. 闭环系统频域指标和时域指标的转换
(1) 开环频域指标与时域指标的关系
为了能使用开环频率特性来评价系统的动态性
能，就得首先找出开环频域指标  、c 与时域动态
性能指标  %、t s 的关系。
 ( c )
%
ts
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1)相位裕量  ( c ) 和超调量  % 之间的关系
 ( c )

%
二阶系统闭环传递函数的标准型式为
n2
G ( j ) 
j ( j  2ξn )
开环频率特性为
由
A(c ) 
n2
 ( s)  2
s  2ξn s  n2
n2
c   2ξn 
2
c
2
1
 c   2 2  4 2  1n
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第 5 章线性系统的频域分析法
 ( c ) 与  % 的关系图如下
 (c )  180   (c )

c
2n
  arctan
 arctan
2
2n
c
0
 (ωc ) ( 0 )
%
80
70
60
 (ωc )
%
50
 ( c )  arctan
2
40
 2  4  1
2
4
 ( c )  100
%  e


1 2
 100%
30
20
10
00
0.2
0.4

0.6
0.8
 (c )大  大   %小
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100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
1
第 5 章线性系统的频域分析法
2)相位裕量  ( c )和调节时间
t s ωc
14
ts 
3
t s 之间的关系
12
 n
10
又c   2 2  4 2  1n
8
6
t s c 
3

 2 2  4 4  1
 (c )  arctan
4
2
2
0
 2  4  1
2
6
t s c 
tan  ( c )
2
0
 (ωc ) (0 )
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
 ( c ) 与
t s 的关系图如下
若相同，t s与c 成反比
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第 5 章线性系统的频域分析法
(2) 闭环频域指标与时域性能指标的关系
Mp 、b 与时域指标  %、t s 之间亦存在某种关
系，这种关系在二阶系统中是严格的、准确的，在
高阶系统中则是近似的。
M

%
p
ts
b
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第 5 章线性系统的频域分析法
1) 谐振峰值Mp和超调量δ%之间的关系
n2
Φ( s )  2
s  2ξn s  n2
dM ( )
0
d   p
Φ ( j ) 
 M ( p ) 
(n2   2 ) 2  (2ξn ) 2
1
1  2 2
T

1
2 1  
(n2   2 )  j 2ξn
n2
M ( ) 
    p  n 1  2 2 
n2
2
Mp
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第 5 章线性系统的频域分析法
%  e
%
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0

Mp
6
5

1 2
 100%,
b /n
1.6
ωn t s
60
1.4
50
  0.707
b /n
1.2
4
3
2
1
40
0.8
30
0.6
20
%
Mp
0.4
1
0
0.2
0
ωn t s
10
0
0
0.2
0.4

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0.6
0.8
1
第 5 章线性系统的频域分析法
2) 谐振峰值Mp和调节时间ts的关系
%
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
Mp
6
5
b /n
1.6
ωn t s
60
1.4
50
ts 
3
 n
 n t s 
3

b /n
1.2
4
3
2
1
40
0.8
30
0.6
20
%
Mp
0.4
1
0
0.2
0
ωn t s
10
0
0
0.2
0.4

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0.6
0.8
1
第 5 章线性系统的频域分析法
3. 频带宽BW和  之间的关系
1
M ( ) 
2 2
 2
(1  2 )  (2
)
n
n
令M ( )  0.707  b
由
1
%
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
1/ 2


2 
(1   )  4  


2
b 2
2
n
M
6
5
2
b
2
n
p
 0.707
b /n
1.6
ωn t s
60
1.4
50
b
解得
 (1  2 2 )  2  4 2  4 4
n
b /n
1.2
4
3
2
1
40
0.8
30
0.6
20
%
M
0.4
1
0
0.2
0
ωn t s
10
0
p
0
0.2
0.4

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0.6
0.8
1
第 5 章线性系统的频域分析法
5-5 用MATLAB的控制系统频域设计
1. 频率特性图的绘制
波德图
Bode(num,den)
若具体地给出频率的范围，则可以用函数
w=logspace(m,n,npts);
bode(num,den,w)；
来绘制系统的波德图。
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第 5 章线性系统的频域分析法
若需指定幅值范围和相角范围，则需按以下形式
调用：
[mag,phase,w]=bode(num,den)
或
[mag,phase]=bode(num,den,w)
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第 5 章线性系统的频域分析法
对于这两种方式，必须用下面的绘图函数才可
以在屏幕上生成完整的波德图。
subplot(211),semilogx(w,20*logl0(mag))；
subplot(212),semilogx(w,phase)
其中，semilogx 函数表示以为单位绘制幅频特
性曲线。
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第 5 章线性系统的频域分析法
奈氏图
nyquist(num,den)
当用户需要指定频率时，可用函数
nyquist(num,den,w)
Nyquist函数还有两种等号左端含有变量的形式
[re,im,w]=nyquist(num,den)
[re,im,w]=nyquist(num,den,w)；
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第 5 章线性系统的频域分析法
2. 相位裕量和增益裕量的计算
[gm,pm,wcg,wcp]=margin(mag,phase,w)
此函数的输入参数是幅值(不是以dB为单位)、
相角与频率矢量，它们是由bode或nyquist命令得到
的。
或
或
[gm,pm,wcg,wcp]=margin(sys);
margin(sys);
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第 5 章线性系统的频域分析法
20(s  1)
例1：
G( s) H ( s) 
2
s
(
s

5
)(
s
 2s  10)
h1=tf([2.33],[0.162 1]);
h2=tf([1],[0.0368 1]);
h3=tf([1],[0.00167 1]);
h=h1*h2*h3;
[num,den]=tfdata(h);
[mag,phase,w]=bode(num,den);
subplot(211);
semilogx(w,20*log10(mag));grid
subplot(212);
semilogx(w,phase);grid
[gm,pm,weg,wep]=margin(mag,phase,w)
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第 5 章线性系统的频域分析法
例2：
2.33
G( s) H ( s) 
(0.162s  1)(0.0368s  1)(0.00167s  1)
h1=tf([2.33],[0.162 1]);
h2=tf([1],[0.0368 1]);
h3=tf([1],[0.00167 1]);
h=h1*h2*h3;
[num,den]=tfdata(h);
[mag,phase,w]=bode(num,den);
subplot(211);
semilogx(w,20*log10(mag));grid
subplot(212);
semilogx(w,phase);grid
[gm,pm,weg,wep]=margin(mag,phase,w)
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第 5 章线性系统的频域分析法
在MATLAB命令窗口中可以得到系统的稳定裕量：
gm=54.0835
pm=93.6161
wcg=141.9361
wcp=11.6420
Magnitude (dB)
50
0
-50
-100
-150
-1
10
0
10
1
10
2
10
3
10
4
-1
10
0
10
1
10
2
10
3
10
4
10
Phase (deg)
0
-50
-100
-150
-200
-250
-300
10
Frequency
(rad/sec)
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3. 谐振峰值、谐振频率和系统带宽的计算
求谐振峰值和谐振频率的MATLAB命令如下：
[mag,phase,w]=bode(num,den,w); 或
[mag,phase,w]=bode(sys,w);
[Mp,k]=max(mag);
Resonant_peak=20*log10(Mp);
Resonant_frequency=w(k)
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第 5 章线性系统的频域分析法
通过在程序中输入下列命令，可以求出带宽。
n=1;
while 20*log10(mag(n))>=-3;
n=n+1;
end
bandwidth=w(n)
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例3：
1
G( s) H ( s) 
s(0.1s  1)( s  1)
nump=[0 0 0 1];
denp=[0.5 1.5 1 0];
sysp=tf(nump,denp);
sys=feedback(sysp,1);
w=logspace(-1,1);
bode(sys,w);grid
[mag,phase,w]=bode(sys,w);
[Mp,k]=max(mag);
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第 5 章线性系统的频域分析法
Resonant_peak=20*log10(Mp)
Resonant_frequency=w(k)
n=1;
while 20*log10(mag(n))>=-3;
n=n+1;
end
bandwidth=w(n)
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第 5 章线性系统的频域分析法
Resonant_peak =5.2388
20
10
Magnitude (dB)
在命令窗口输出闭环
系统谐振峰值、谐振频率
和带宽分别为：
Bode Diagram
0
-10
-20
-30
-40
-50
bandwidth =1.2649
-60
0
Phase (deg)
Resonant_frequency=0.7906
-90
-180
-270
10-1
10 0
Frequency (rad/sec)
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101
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