Transcript 控制系统的频域分析

机械控制理论
第四章 控制系统的频域分析
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4.1 频率特性概述
4.2 频率特性的极坐标图
4.3 频率特性的对数坐标图
4.4 频域性能指标与时域性能指标的关系
4.1 频率特性概述
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1) 在信号的频域描述中，任何信号均可分解为叠加的正弦信号：
周期信号可利用傅里叶级数分解为离散频谱的正弦信号的叠加，
非周期信号可利用傅里叶变换分解为连续频谱的正弦信号的叠
加。因此，频域分析方法适用于任何信号，频率特性可以用于
研究系统对任何输入信号的响应特点。可以通过频率特性分析
系统的稳定性、响应的快速性和准确性。
2) 对于复杂的、无法用分析法建立数学模型（微分方程或传递
函数）的系统，或者数学模型中的参数无法确定的系统，可以
通过试验求得系统的频率特性，进而求出其传递函数，并对其
参数进行确定和修正。
3) 频率特性可以采用图示方法进行表达和研究，其描述和分析
手段十分方便和直观。Nyquist图直观形象，使实频特性、虚频
特性、幅频特性和相频特性的变化规律一目了然；Bode图绘制
方便，对于一般的复杂系统，其Bode图的近似曲线可手工绘制，
且可在合适范围内以合适的精度表现幅频特性与相频特性随输
入信号频率变化的规律。
4.1 频率特性概述
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应用频率特性研究线性系统的经典方法称为频域
分析法。它不必直接求解系统的微分方程，而是
间接地运用系统的开环频率特性分析闭环响应。
其也是一种图解法。
频域分析方法是经典控制理论中，对控制系统进
行研究和分析的主要方法之一。将传递函数从复
域引到频域，利用频率特性作为数学模型来进行
研究，具有更明确的物理概念。同时，频域分析
方法是一种极为有效的分析方法，与时域分析方
法相比，它具有如下一些明显的优点 。
4.1 频率特性概述
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1 频率特性的基本概念
举例：
X o (s)
K
传递函数为 G ( s ) 

X i ( s ) Ts  1
若 xi (t )  N sin t
对其取拉氏变换得 X i ( s ) 
X o ( s)  X i ( s)  G ( s) 
xo (t ) 
N
K

s 2  2 Ts  1
N
s2   2
NKT   Tt
sin(t  arctan T ) 
e
2 2
2 2
1 T 
1 T 
NK
稳态响应
瞬态响应
4.1 频率特性概述
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结论
由此看出，该系统在正弦输入信号作用下的稳态响应是
与输入信号同频率的正弦信号。但其幅值和相位不同，
NK
输入的幅值为 N，响应的幅值为
；输入的相
2 2
1

T

位为0，响应的相位为  arctan T
思考： 这个结论具有一般性吗？对于任意的线性定常系统，
输入为正弦信号，输出信号的稳态响应也一定是同
频率的正弦信号吗？
4.1 频率特性概述
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2 频率特性的定义
定义 对于稳定的线性定常系统，在正弦信号的作用下，系统
输出的稳态分量是与输入同频率的正弦信号，其振幅与
输入正弦信号的振幅之比定义为幅频特性，记作 A( )
其相位与输入正弦信号的相位之差定义为相频特性，
记作  ( )
幅频特性和相频特性总称为系统的频率特性。系统的频
率特性定义为  的复变函数，它以幅频特性 A( ) 为幅值，
以相频特性
为相位，记作
( )
A( )  e j ( )
4.1 频率特性概述
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3.频率特性与传递函数的关系
设一个稳定的线性定常系统的传递函数为
X o s  bm s m  bm1 s m1    b1 s  b0
Gs  

X i s  an s n  an1 s n1    a1 s  a0
设输入的正弦信号为 xi t   N sin t
N
其拉氏变换为 X i s   2
2 ，则输出
s 
bm s m  bm1s m1    b1 s  b0
N
X o s   X i s   Gs  
 2
n
n 1
an s  an1 s    a1s  a0 s   2
为了进行拉氏反变换，不妨设系统无重复极点，
n
Ak
B
C
X o s   


s  j s  j
k 1 s  sk
4.1 频率特性概述
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对上式进行拉氏反变换，可得系统的响应为
n
xo t    Ak e sk t  Be jt  Ce  jt
k 1
由于系统是稳定的，其极点均分布在复平面的左半平面，故第一
项 ，随着时间的推移，衰减为0，因而系统的稳态响应为
xo t   Be jt  Ce  jt
此结论对系统有重复极点时仍然有效。
n
Ak
N
B
C
Gs   2



2
s  j s  j
s 
k 1 s  sk
 n Ak
N
C 
B  Gs  
 s  j   


s  j
s

s
s

j

k
 k 1

N
N
C  G   j  
B  G j  
2j
2j
4.1 频率特性概述
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可得系统的稳态响应为
N j t
N  jt
xo t   G  j    e  G  j    e
2j
2j
 G  j   e
jG  j 
N jt
 jG  j  N
  e  G  j   e
  e  j t
2j
2j
e j t G  j   e  j t G  j 
 G  j   N 
2j
 G  j   N  sin t  G  j 
结论：对于稳定的线性定常系统，在正弦信号的
作用下，系统稳态响应是与输入信号同频率的正
弦信号。
    G j 
4.1 频率特性概述
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结合频率特性的定义和前面的推导可知，系统的幅频
特性为 A   G j  ，相频特性为     G j 
则系统的频率特性为
A  e j    G j   e jG j   G j 
将传递函数的自变量 s 变为 j ，就是系统的频率特性。
所以频率特性也可直接记为G j  幅频特性也记为 G j 
相频特性也记为G j 
4.1 频率特性概述
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系统模型间的关系
4.1 频率特性概述
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4 频率特性的求取方法
1
2
3
求取时间响应
利用频率特性
的定义。
将传递函数的
自变量 s 变为 j
求取 。
通过试验求取
4.1 频率特性概述
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方法1:根据频率特性的定义
A  
K
     arctan T
1  T 2 2
G  j 
K
1  T 2 2
 e  j arctan T 
方法2:将传递函数的自变量 s 变为 j
K  jKT
G j  

jT  1 1  T 2 2
K
u   
K
1  T 2 2
v  
 KT
1  T 2 2
A   u 2    v 2   
    arctan
K
1  T 2 2
v 
  arctan T
u  
方法3:用各种不同频率的正弦信号作为系统的输入，然后对其响应进行检测。
可以将响应与输入信号的幅值之比记录下来，或根据其变化规律绘制成曲线，
即为幅频特性的函数曲线；同样，将响应与输入信号的相位之差记录下来，
或根据其变化规律绘制成曲线，即为相频特性的函数曲线。如果确定了幅频
特性和相频特性，将二者结合起来，即可求得系统的频率特性。
4.1 频率特性概述
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3 频率特性分析法的特点
1) 系统的频率特性是系统的单位脉冲响应函数的频谱（即傅里
叶变换）。
2) 时域分析方法主要分析线性系统的过渡过程，即瞬态响应，
以获得的系统的动态特性；频域分析方法主要分析不同频率
正弦输入时的稳态响应，以获得的系统的动态特性。
3) 一般来说，对于单输入-单输出的线性系统进行分析研究时，
频域分析方法比时域分析方法更加容易和方便。
4)若系统的数学模型无法通过分析法取得，或者系统阶次较
高，时域分析方法往往会变得非常困难，而频域分析方法则
提供了方便容易的分析途径。
5)根据频率特性可以选择系统工作的合适频率范围，或者根据
所需的工作频率范围，设计或选择合适频率特性的系统。
4.2 频率特性的极坐标图(奈奎斯特图)
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1 极坐标图的基本概念
定义
也称奈氏图或幅相频率特性图
极坐标图是在极坐标系上，以横向正半轴的射线为极轴；
对于图中的任意点，以从原点出发的矢量长度表示幅频

特性 G j；以矢量与极轴间的夹角表示相频特性
G j 
从极轴出发，逆时针方向为正
当 从
0   ，向量 G ( j )的端点在复平面上的运动轨迹
即为 G ( j ) 的幅相频率特性曲线。
4.2 频率特性的极坐标图(奈奎斯特图)
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1
G j  
1  jT
Im[G(jω)]
0
1
Re[G(jω)]
4.2 频率特性的极坐标图
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G j 
G j 
j ( )
G( j)  A()e
 U ()  jV ()
U ( )  A( ) cos  ( )
V ( )  A( ) sin  ( )
将极坐标转换为直角坐标系，则横坐标代表幅频特性在横坐标轴
上的投影，即实频特性；纵坐标代表幅频特性在纵坐标上的投影，
即虚频特性。
4.2 频率特性的极坐标图(奈奎斯特图)
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2、典型环节的极坐标图
1）比例环节
传递函数：
G(s)  K
频率特性：
G( j )  K  Ke j 0
幅频特性：
A( )  K
相频特性：
 ( )  0
由图可看出放大环节的幅频特性为常数K，相
频特性等于零度，它们都与频率无关。理想的
放大环节能够无失真和无滞后地复现输入信号
。
4.2 频率特性的极坐标图(奈奎斯特图)
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2）积分环节
传递函数： G ( s ) 
1
s
频率特性： G( j ) 
幅频特性： A( ) 
1
1
 e j / 2
j 
1

相频特性：  ( )  90
表明积分环节对正弦输入信号有90°的滞后作用
4.2 频率特性的极坐标图(奈奎斯特图)
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3）微分环节
传递函数： G ( s)  s
频率特性： G( j )  j  e j / 2
幅频特性： A( )  
相频特性：  ( )  90
4.2 频率特性的极坐标图(奈奎斯特图)
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1
Ts  1
1
1
频率特性： G ( j ) 

e jarctgT 
1  jT
1   2T 2
1
幅频特性： A( ) 
1   2T 2
传递函数： G ( s ) 
4）惯性环节
G( j ) 
1
T

j
jT  1 1  T 2 2
1  T 2 2
1

相频特性：  ( )  arctgT 
实频特性：ReG( j )  1  T 2 2  u ( )
1
虚频特性：ImG( j )   T2
1 T  2
2
 v( )
1

2


u
(

)


v
(

)
注意到：
2 
1    T   1 
 1


 
 
2 2
2 2 
1 T  2  1 T    2 
2
即惯性环节的奈氏图为圆心
在(1/2,0)处，半径为1/2的
一个半圆
2
2
4.2 频率特性的极坐标图(奈奎斯特图)
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5）一阶微分环节
传递函数： G ( s)  Ts  1
1   2T 2
频率特性： G( j )  1  jT  1   2T 2 e j arctan T
幅频特性： A( )  1   2T 2
相频特性：  ( )  arctan T 
arctanT
4.2 频率特性的极坐标图(奈奎斯特图)
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幅频特性：
6）振荡环节
A( ) 
传递函数：
n2
1
G ( s)  2 2

,0   1
T s  2 Ts  1 s 2  2n s  n2
频率特性：
n2
G ( j ) 

2
2
  n  j 2n
1
2
 

1     j 2
n
 n 
  0时
A(  ) =A( 0) =1  ( )   (0)  0
  n时
A( )  A( n ) 
1
2
  时
A( )  A()  0
 ( )   (n )  90
 ( )   ()  180
1
2
2
   2  

1       2

  n    n 
幅频特性：
G ( j )  arctg
2

n
 
1  
 n 
2
4.2 频率特性的极坐标图(奈奎斯特图)
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其图形规律：
当ξ较大时，曲线的幅值随w
的增大单调减小。
当ξ较小时，曲线的幅值随w
的增大而增大，出现一个最大值，
然后逐渐减小至0，这个最大的幅
值称为谐振峰值Mr。
4.2 频率特性的极坐标图(奈奎斯特图)
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谐振频率r 和谐振峰值Mr
G 1
2 2
 2
[1  2 ]  [2
]
n
n
d
G 0
d
d 
2 2
 2
[1

]

[
2

] 0

2
d 
n
n 
2

 2
2 [1  2 ][ 2( 2 ) ]  2 [ 2
]( )  0
n
n
n n
4
2
2
[

1


2

] 0
2
2
n
n
2
2

1

2

 n2
 r   n 1  2 2
M r  G( j r ) 
1
2 1   2
4.2 频率特性的极坐标图(奈奎斯特图)
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7）延迟环节
传递函数： G( s)  e s
频率特性： G( j )  e j
幅频特性：
相频特性：
A( )  1
 ( )   (rad )  57.3 ()
4.2 频率特性的极坐标图(奈奎斯特图)
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3 极坐标图的一般画法
第一种方法是对每一个
 值计算幅值 A 和相角   
然后将这些点连成光滑的曲线；第二种方法是对每一个 
值计算 U ( ) 和V ( ) ，然后逐点描绘成光滑曲线。
两种求取方法都比较麻烦，但其具有一定的规律，依照
规律就可以画出简略的幅相曲线，注意关键点的处理。
4.2 频率特性的极坐标图(奈奎斯特图)
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设系统的传递函数的一般形式为
m
K  ( i s  1)
i 1
G(s) H (s) 
( n  m)
n 
s  (Ti s  1)
j 1
系统的频率特性为
m
G ( j  ) H ( j ) 
K  ( j i  1)
i 1
n 
( j )  ( jTi  1)
j 1
4.2 频率特性的极坐标图(奈奎斯特图)
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1.起点
lim G ( j ) H ( j )  lim
 0
 0
K
( j )
 lim
 0
K

e j (  90 )

II型
III型
起点取决于传递函数中积分环节的个数
和系统增益。
0型
I型
0型系统，起始于实轴上的（K，j0）点。

I型系统，起始于相角为－90 的无穷远处，当   0 时，

曲线渐近于虚轴平行的直线 。
II型系统，起始于相角为 －180  的无穷远处，当   0 时，
曲线渐近于负实轴。
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2.终点
当    时，由于系统一般
lim G ( j ) H ( j )  0  e
nm
 j ( n  m ) 90
 
即幅相曲线以  (n  m)  90方向终止于坐标原点
4.2 频率特性的极坐标图(奈奎斯特图)
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3.与实轴的交点
令频率特性表达式的虚部为零 Im[ G ( j ) H ( j )]  0
将求出的交点频率  x 代入频率特性中去，
求出实部 Re[ G( j x ) H ( j x )]
4. 变化范围（象限、单调性）
如果频率特性中不含一阶微分环节，则当    变化中，
相角将单调减小，曲线平滑地变化；若有，则一般不是以
同一方向单调变化，这时曲线会出现凹凸现象。
4.2 频率特性的极坐标图(奈奎斯特图)
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5
例 G( s) 
，画G(j)极坐标图。
s( s  1)( 2 s  1)
5
 j 5(1  j )(1  j 2 )
G
(
j

)


解
j (1  j )(1  j 2 )
 (1   2 )(1  4 2 )
 15
5(1  j 2 2 )

j
2
2
(1   )(1  4 )
 (1   2 )(1  4 2 )
G ( j 0)    90
G ( j )  0  270
渐近线：
Re[G ( j 0)]  15
Im[ G ( j )]  0
与实轴交点：

 1
2  0.707
 15
10
Re[G ( j 0.707 )] 

(1  0.5)(1  4  0.5)
3
4.2 频率特性的极坐标图(奈奎斯特图)
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例
Ts
G s  
Ts  1
5s 2  0.6s  1
Gs   3
s  7 s 2  1.2s  1
4.2 频率特性的极坐标图(奈奎斯特图)
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在频率特性的计算公式中，实部均包含 j 的偶数次方，
而虚部均包含 j 的奇数次方。故容易证明，对于实系数系统
G j  与 G j  是共轭复数。即，取    ,0
时，频率特性所
经历的轨迹与取   0,  时的曲线关于实轴对称，但随  的变化
是相反的。实系数系统的完整幅相曲线图应为取  0, 的幅相
曲线图关于实轴对称复制后的图形。
4.3 频率特性的对数坐标图
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1 对数坐标图的基本概念
设系统的频率特性为
G ( j )  A( )  e j ( )  G ( j )  e jG ( j )
定义
L( )  20 lg G( j ) 为对数幅频特性
 ( )  G ( j )
为对数相频特性
对数坐标图又称波特（Bode)图，包括对数幅频特性图
和对数相频特性图。
4.3 频率特性的对数坐标图
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对数幅频特性图的横坐标是频率
，
采用对数分度，单位是rad/s，其纵坐标
表示对数幅频特性的函数值，采用均匀分
度，其单位是dB(分贝)。
这种坐标系称为半对数坐标系。
对数相频特性图的横坐标与对数幅频
特性曲线的坐标一样，纵坐标是相频特
性的函数值，采用均匀分度。单位是度
或者弧度。
4.3 频率特性的对数坐标图
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注意
1.在横轴上，对应于频率每增大10倍的范围，称为十倍频程(dec)，
如1-10，5-50，而轴上所有十倍频程的长度都是相等的。
2.为了说明对数幅频特性的特点，引进斜率的概念，即横坐标每变
化十倍频程所对应的纵坐标分贝数的变化量。
4.3 频率特性的对数坐标图
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优点
①幅频特性的乘除运算转变为加减运算。
②对系统作近似分析时，只需画出对数幅频特性曲线的渐进
线，大大简化了图形的绘制。
③系统的对数坐标图可由各环节的对数坐标图叠加得到，可
以看出各环节对系统频率特性的影响。
④对数坐标拓宽了图形所能表示的频率范围。
⑤两个系统或环节的频率特性互为倒数时，其对数幅频特性
曲线关于零分贝线对称，相频特性曲线关于零度线对称。
4.3 频率特性的对数坐标图
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2
典型环节频率特性的对数坐标图
1）比例环节
传递函数： G ( s )  K
频率特性： G( j )  K  Ke j 0
幅频特性： A( )  K
相频特性：  ( )  0
实频特性： P ( )  K
虚频特性： Q ( )  0
对数幅频特性： L( )  20 lg K
对数幅频特性：  ( )  0
当改变传递函数的K时，会导致传递函数的对数幅频曲线
升高或降低一个相应的常值，但不影响相位角。
4.3 频率特性的对数坐标图
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dB L( )
2）积分环节
传递函数： G ( s ) 
60
1
s
40
1
1
频率特性： G( j ) 
 e j / 2
j 
1
幅频特性： A( ) 

相频特性：  ( )  90
实频特性：
0－20
 20
lg1  lg 0.1
20
0
虚频特性： Q ( )  

对数幅频特性： L( )  20 lg 
对数相频特性：  ( )  90
积分环节的对数幅频图为一条直线，此直线
的斜率为–20dB/dec，对数相频图为等于-90o
的一条直线。
0.01
0.1
1
10

0.1
1
10

 20
P( )  0
1
 20dB / dec
度
（）
900
0 0 0.01
 900
 1800
图 积分环节的Bode图
返回
2) 积分环节L(ω)
L(ω)
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40db
[-20]
20db
0db
0.1 0.2
1
2
10
-20db
--40db
G (s) 
1
10
1
G (s) 
G (s) 
s
s
5s
L( )  －20 lg  L( )  －20 lg 0.1 L( )  －20 lg 5
20
ω
100
4.3 频率特性的对数坐标图
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3）微分环节
传递函数： G ( s)  s
j / 2
频率特性： G( j )  j  e
幅频特性： A( )  
相频特性：  ( )  90
实频特性： P( )  0
虚频特性： Q( )  
对数幅频特性： L( )  20 lg 
对数相频特性：  ( )  90
L(ω)
微分环节L(ω)
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40db
20db
[+20]
0db
0.1 0.2
1
2
10
ω
100
20
-20db
--40db
G ( s)  s G ( s )  2 s G ( s)  0.1s
L( )  20 lg  L( )  20 lg 2
L( )  20 lg 0.1
返回
4.3 频率特性的对数坐标图
4）惯性环节
1
传递函数： G ( s)  Ts  1
1
1

e j arctan T 
频率特性： G ( j ) 
1  jT
1   2T 2
1
A
(

)

幅频特性：
1   2T 2
db L( )
10
1 1
0 20 T
1 1
10 T
11
5T
1
T
精确
特性
 10
2
1
T
10
1
T
20
1
T

渐近特
性
 20dB / dec
 20
相频特性：  ( )   arctan T 
 ( )

00
 450
 900
低频段可近似为0dB的水平线，称为低频渐近线。
图 惯性环节的Bode图
高频段可近似为斜率为-20dB/dec 的直线，称为高频渐近线。
低频渐近线和高频渐近线的相交处的频率点ω＝1/T，称为转折频率
L(ω)   
惯性环节L(ω)
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G ( s) 
40db
1
0.5s  1
G (s) 
10
s4
20db
8db
0db
[+20]
0o
0.1 0.2
1
2
10
ω
100
20
-20db
 45o
--40db
 90o
返回
4.3 频率特性的对数坐标图
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5) 一阶微分环节
一阶微分环节频率特性为
G( j )  j  1
其对数幅频特性是
20 lg G( j )  20 lg  2 2  1
低频段 
高频段 
1

1

L( )  20 lg 1  0
L( )  20 lg 
对数相频特性为
G j   arctan
db L( )
20
 20dB / dec
10
精确特性
0
度
 90
0
1 1
100 
1 1
10 
1
1
10
 渐近特性 
1 1
100 
1 1
10 
1

 ( )
100
1


 450
00
10
1

图 一阶微分环节的Bode图
100
1


L(ω)   
一阶微分L(ω)
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90 o
40db
45 o
20db
[+20]
0db
-8db
0o
0.1 0.2
1
2
10
ω
100
20
-20db
--40db
G ( s)  0.5s  1
G( s)  ?
返回
4.3 频率特性的对数坐标图
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6）振荡环节
传`递函数：
n2
1
G ( s)  2 2

,0   1
T s  2 Ts  1 s 2  2n s  n2
频率特性：
G ( j ) 
n2
 2  n2  j 2n
1

1 (
幅频特性：
A( ) 
 2

)  j 2
n
n
相频特性：
2
2

 2   
1

(
)    2




n
n 

 
2
 ( )  arctg

2
n
 
1  
 n 
2
4.3 频率特性的对数坐标图
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对数幅频特性：
  
L( )  20lg 1   
  n 
低频段 (
2
2
2
 

   2


 
n 
n )
L( )  20 lg1  0
高频段
(ω>>ωn)
  
L( )  20lg 1   
  n 
2
2
2
2
 

   2

  n 
 

 20 lg    40 lg
 40 lg   40 lg n
n
 n 
4.3 频率特性的对数坐标图
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L( )
dB
 ( )  arctg

2
n
 
1  
 n 
1 1
10 T
0
 (0)  0
1
T
10
2

 20
 40
高频渐近线
  0.05
20
 (n )  90
 ()  180
1
T
 40dB / dec
db L( )
易知：
低频渐近线
  0.5
0
1 1
10 T
1
T
10
1
T

  1.0
40db / dec
 40
4.3 频率特性的对数坐标图
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L(ω)   
1
G (s)  2
s  2s  1
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40db
20 lg
1
20 lg
2 1   2
1
2
20db
0db
o
0
0.1
1
10
ω
100
-20db
 90o
--40db
[-40]
 180o
振荡环节L(ω)
返回
4.3 频率特性的对数坐标图
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7）延迟环节
传递函数： G( s)  e
 s
频率特性： G( j )  e j
幅频特性： A( )  1
相频特性： ( )   (rad )  57.3 ()
对数幅频特性：
L( )  0
各环节间的关系
L(dB)
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40
L(dB)
60
40
积分环节
20dB / dec

0
40
 20dB/ dec 60

惯性环节
 20dB/ dec
(  )
40
90
(  )
90
20dB / dec
20
0
20
微分环节
一阶比例微分环节
微分环节
一阶比例微分环节

0
0
惯性环节
90
积分环节
90

各环节间的关系
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L(dB)
0

(  )
180
90
0
90
180

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0
表4.1 典型环节Bode图的手工绘制方法
对数幅频特性图
对数相频特性图
环节
低频斜率
比例环节
0
－20
积分环节
微分环节
惯性环节
20
0
一阶微分
环节
0
振荡环节
0
延时环节
高频斜率
特征点
  0  
1,20 lg K 
0

1,0
1,0

2

2

 20
 1

,0 

T

0
20
1 
 ,0 
T

0
 40
1

 ,0 
T

0

0

0
1,0
对称中心

2

2
1 
 , 
4
T
1  
 , 
T 4 
 
1
,


2
T
无（指数曲线）
4.3 频率特性的对数坐标图
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3 对数坐标图的一般画法
若系统的传递函数为
K ( τ1 s  1)( τ m s  1)
G( s )  v
s (T1 s  1)(Tn v s  1)
L( )  20 lg G
 20 lg K  20 lg 1  j 1    20 lg 1  j m
 20v lg   20 lg 1  jT1    20 lg 1  jTn- v
 ( )  G
 arctan  1    arctan  m
 90v  arctan T1    arctan Tn- v
4.3 频率特性的对数坐标图
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对数坐标图的手工绘制方法：
1.将系统的传递函数转化为若干个标准形式的典型环节传递函数乘积的形式；
2.根据各环节的传递函数确定曲线（或其近似曲线）的斜率和特征点；
3. 画出各环节的对数幅频特性图（或作为其近似曲线的渐近线）；
4. 将各环节的对数幅频特性图进行叠加，得到对数幅频特性图；
5. 如有需要，在对数幅频特性图各转角频率附近进行误差修正；
6. 根据相频特性的变化规律，画出各环节的对数相频特性图；
7. 计算出系统在   0 和   处的总相频特性的极限值，按照各环节对数相
频特性图的变化趋势，画出叠加后的总对数相频特性图。
4.3 频率特性的对数坐标图
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在实际绘制图形时，会采用以下更为简化的方法：
1、将传递函数标准化，化成典型环节的串联形式
2、求出所有环节的转折频率，并由小到大标在对数频率轴上。
3、将整个频率范围划分为若干段，将各环节的斜率进行叠加，
得到各段的总斜率；
4、按照各段斜率绘制连续折线，即为系统的对数幅频特性图
的近似曲线。
4.3 频率特性的对数坐标图
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60s  10
例3绘制系统 Gs  
s  0.2 0.025s 2  s  1000


的对数坐标图。
解：（1）将传递函数化为尾1形式，求出各转折频率
G s  
s
3  1
 10 
 s  10.0052 s 2  2  0.1 0.005s  1


 0 .2 
由此看出转折频率分别为0.2，10和200
（2）将频率范围划分为 0,0.2 0.2,10 10,200 200, 
计算出各段的总斜率分别为0、 20 dB dec、0 、 40 dB dec
在最左边一段内除比例环节外，对数幅频特性均为0，故可求得
一总特征点0.1,20 lg 3 。由此特征点向左右方向出发，按照各段
斜率绘制连续折线，得到下图
4.3 频率特性的对数坐标图
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4.3 频率特性的对数坐标图
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G s  
s
3  1
 10 
 s  10.0052 s 2  2  0.1 0.005s  1


 0 .2 
4.3 频率特性的对数坐标图
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总结
对数幅频特性曲线的特点：
1.低频段的斜率为  20  v dB dec
2.在典型环节的转折频率处，对数幅频特性曲线的斜率要发生
变化，变化的范围取决于典型环节的类型。如遇到惯性环节，
斜率改变－20dB/dec
4.3 频率特性的对数坐标图
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4
最小相位系统和非最小相位系统
1.定义
在复平面右半平面没有零点和极点的传递函数称为最小相位
传递函数，具有最小相位传递函数的系统称为最小相位系统；
在复平面右半平面有零点或（和）极点的传递函数称为非最
小相位传递函数，具有非最小相位传递函数的系统称为非最
小相位系统。
在幅频特性相同的稳定系统中，最小相位系统的相位变化范
围最小；或者说，对于任意输入频率，最小相位系统的相位
滞后最小。
4.3 频率特性的对数坐标图
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举例
G1 s  
T1 s  1
T2 s  1
最小相位系统
1  jT1
G1  j  
1  jT2
G 2 s  
 T1 s  1
(0  T1  T2 )
T2 s  1
非最小相位系统
G 2  j  
1  jT1
1  jT2
1  T12 2
G1  j   G2  j  
1  T22 2
G1  j   arctan T1  arctan T2
G2  j    arctan T1  arctan T2
由此看出，系统G1的相位变化范围小于系统G2的变化范围，对于任意的
 值，系统G1的滞后小于系统G2的滞后。
4.3 频率特性的对数坐标图
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2.利用对数坐标图估计最小相位系统的传递函数
最小相位系统的对数幅频特性与相频特性具有一一对应关系，即对于给
定的幅频特性，只有唯一的相频特性与之对应。而非最小相位系统对于给
定的幅频特性，与之对应的相频特性却不是唯一的。
对于最小相位系统，只要知道其对数幅频特性曲线，就可大致估计出其
传递函数；而非最小相位系统则必须在对数幅频特性和对数相频特性曲
线都已知时，才能估计出其传递函数。
4.3 频率特性的对数坐标图
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根据波特图求取系统的传递函数的一般步骤：
1.确定对数幅频特性的渐近线。
2.根据低频段渐近线的斜率，确定系统包含的积分（或微分）环节的个数。
3.根据低频段渐近线或其延长线在ω＝ 1rad/s的分贝值，确定系统增益。
注意到系统低频段渐近线可近似为：
(1)若系统含有积分环节，则该渐近线或其延长线与0dB线(频率轴)的交点为：
即可由该交点处的频率数值获得系统增益。
L( )  20 lg K ；即最低频段的对数幅频特性或其延长线在
（2） ω＝ 1rad/s 时，
ω＝ 1rad/s 的数值为20lgK
(3)若系统不含积分环节，低频渐近线为20lgKdB的水平线，K 值可由该水平
渐近线获得。
4.根据渐近线转折频率处斜率的变化，确定对应的环节。
5.获得系统的频率特性函数或传递函数。
4.3 频率特性的对数坐标图
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例：已知最小相位系统的近似对数幅频特性曲线如图所示。
求系统的传递函数。
解：系统低频段斜率为－20dB/dec，
v=1。L(1)=20lgK=0推出K＝1
系统存在三个转折频率：0.1、1和20rad/s。对应的典型环节分别为：
综上所述，系统传递函数为：
G j   j
4.3 频率特性的对数坐标图
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练习：已知某最小相位系统的开环对数幅频特性曲线如图所示。
写出系统开环传递函数。
4.4频域性能指标与时域性能指标间的关系
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1 闭环频率特性及其性能指标
(1)闭环频率特性
利用系统的开环频率特性可以求得系统的闭环频率特性。
单位反馈系统 GB  j  
GK  j 
1  G K  j 
如果已知系统的开环频率特性，即可计算出其闭环频率特性，
并可绘出闭环频率特性的极坐标图与对数坐标图。
推广到一般反馈系统
G B  j  
G K  j 
G  j 
1


1  G  j H  j  H  j  1  GK  j 
用等M圆、等N圆及尼柯尔斯图等工具，绘制高阶闭环系统的极坐标图。
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(2) 频域性能指标
1) 零频幅值 A0
当正弦输入的频率  接近于零时，
系统的幅频特性（即输出与输入的
幅值之比）称为零频幅值。
反映了系统的稳态精度
2) 复现频率 M
。
规定一个较小的系数  作为允许误差，那么幅频特性与零频幅值的差
第一次达到  时的频率称为复现频率。将频率范围 0 ~ M 称为复现带宽
3) 谐振频率 r 和相对谐振峰值 M r
振荡环节的幅频特性会在谐振频率 r 处出现谐振峰值 M r
A r 
Mr 
A0
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4) 截止频率 b
幅频特性由零频幅值 A0 下降到
2
A0 时的频率称为截止频率
2
此时幅频特性衰减了约 3dB 。频率范围 0 ~ b 称为带宽或截止带宽。
二阶振荡系统具有低通滤波器的性质。在带宽频率范围内，输入
能够产生明显的输出；超出截止频率后，系统的输出急剧衰减，
形成截止状态。
b   n 1  2 2  4 4  4 2  2
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2 二阶系统时域响应与频域响应的关系
1) 相对谐振峰值 M r 与最大超调量 M p 的关系
Mp e


1 2
100%
M r  G  j r  
1
2 1   2
二者之间存在一一对应关系，M r 越大时 M p 也越大。
2) 谐振频率 r 、截止频率 b、调整时间 t s 和上升时间 t r 的关系
当阻尼比 一定时，系统的谐振频率和截止频率越高，
上升时间和调整时间就越短，利用此方法可以提高系统的响应速度。