Transcript 第一章运动学

第一篇 运动学
Theoretical Mechanics
第一篇
制作与设计
运动学
山东大学 工程力学系
第一篇
运动学
引 言
一、运动学的研究任务
1. 研究物体的机械运动及运动的几何性质。
2. 研究机构传动规律。
二、学习运动学的目的
1. 学习动力学的基础:
受力分析和运动分析是学习动力学的两大基础。
2. 学习机械原理和设计传动机构的基础。
3. 解决工程问题。
Theoretical Mechanics
第一篇
运动学
引 言
三、研究方法
不考虑引起运动的原因，只研究运动的几何性质。
四、研究对象
将实际物体抽象化为两种力学模型：几何学意义上的点
（或动点）和不考虑质量的刚体。
点：无质量、无大小、在空间占有其位置的几何点。
刚体：物体内任意两点之间的距离始终保持不变
Theoretical Mechanics
第一章
点的运动学
§1.1 点的运动的矢量表示法
§ 1.2 点的运动的直角坐标表示法
§ 1.3 点的运动的自然表示法
Theoretical Mechanics
第一章
点的运动学
§1.1 矢量表示法
Theoretical Mechanics
1.1 点的运动的矢量表示法
运动方程
运动方程 用点在任意瞬时t的位置矢量r(t)表示。 r(t)简
称为位矢。
表示动点M在空
z
M
M´
M
y
O
x
Theoretical Mechanics
间运动时，矢径r的
末端将描绘出一条连
续曲线，称为矢径端
图，它就是动点运动
的轨迹。
r = r (t)
1.1 点的运动的矢量表示法
速
度
t 瞬时: 矢径 r(t)
t＋ t 瞬时: 矢径r (t ＋  t )或r
 t 时间间隔内矢径的改变量
 r(t)＝ r (t ＋  t )－ r(t)
点在 t 瞬时的速度
v  lim
t  0
r
t

dr
dt
动点的速度等于它的矢径对时间的一阶导数。
Theoretical Mechanics
1.1 点的运动的矢量表示法
v  lim
t  0
r
t

dr
dt
速 度 —— 描述点在 t 瞬时运动快慢和运
动方向的力学量。速度的方向沿着运动轨迹的切
线；指向与点的运动方向一致；速度大小等于矢
量的模。
Theoretical Mechanics
1.1 点的运动的矢量表示法
加
速
度
t 瞬时: 速度 v(t)
t＋ t 瞬时:速度 v(t ＋  t ) 或v
 t 时间间隔内速度的改变量
 v(t)＝ v (t ＋  t )－ v(t)
点在 t 瞬时的加速度
a  lim
t  0
2
a 
d r
dt
Theoretical Mechanics
2
v
t

dv
dt
1.1 点的运动的矢量表示法
 点的加速度为矢量
a  lim
t  0
v
t

dv
dt
加速度 —— 描述点在 t 瞬时速度大小和
方向变化率的力学量。
加速度的方向为  v 的 极限方向(指向与轨迹
曲线的凹向一致) 。
加速度大小等于矢量 a 的模。
Theoretical Mechanics
第一章
点的运动学
§ 1.2 直角坐标表示法
Theoretical Mechanics
1.2 点的运动的直角坐标表示法
运动方程
不受约束的点在空间有三个自由度，在直角坐
标系中，点在空间的位置由三个方程确定。
x = f1(t)
y = f2(t)
z = f3(t)
矢径r 与x,y,z的关系
r＝xi＋yj＋zk
Theoretical Mechanics
1.2 点的运动的直角坐标表示法
速
度
矢径： r  x i  y j  z k
v  vxi  vy j  vzk
v 
dx
i
dt
vx 
结
论
dx
dt
,
vy 
dy
dt
dy
dt
,
j
dz
k
dt
vz 
dz
dt
点的速度矢量在直角坐标轴上的投影等于点的相
应坐标对时间的一阶导数。
Theoretical Mechanics
1.2 点的运动的直角坐标表示法
已知速度的投影求速度
大小 v 
v v v
2
x
2
y
方向由方向余弦确定
cos v , i   v x v 


cos v , j   v y v 

cos v , k   v z v 
Theoretical Mechanics
2
z
1.2 点的运动的直角坐标表示法
加速度
2
d x
ax 

2 
dt
dt

2
dv y
d y
ay 

2 
dt
dt 
2
dv z
d z 
az 

2 
dt
dt 
dv x
a  axi  a y j  azk
a
dv x
dt
i
dv y
dt
j
dv z
dt
2
2
k
d x
dt
2
i
d y
dt
2
2
j
d z
dt
2
k
点的加速度矢量在直角坐标轴上的投影等于点的相应坐标
对时间的二阶导数。
Theoretical Mechanics
1.2 点的运动的直角坐标表示法
加速度
点的加速度矢量在直角坐标轴上的投影等于点的相应坐标
对时间的二阶导数。
加速度大小
a
ax  ay  az
2
Theoretical Mechanics
2
2
方
向
余
弦
cos a , i   a x a ,
cos a , j   a y a ,
cos a , k   a z a
第一章
点的运动学
§ 1.3 自然表示法
Theoretical Mechanics
1 .3 点的运动的自然表示法
 运动方程
s = f (t)
若点沿着已知的轨迹运动，则点的运动方程，可用点在
已知轨迹上所走过的弧长随时间变化的规律描述。
弧坐标特点
（1）在轨迹上任选一参考点作为坐标原点。
（2）有正、负方向(一般以点的运动方向作为正
向，反之为负)；即弧坐标是一代数量。
（3）坐标系为自然轴系。
Theoretical Mechanics
1 .3 点的运动的自然表示法
密切面
密切面与自然轴系
当P´点无限
接近于 P点时，
过这两点的切
线所组成的平
面，称为P点的
密切面。
lim a1  a
P  P
Theoretical Mechanics
1 .3 点的运动的自然表示法
M点的密切面
Theoretical Mechanics
1 .3 点的运动的自然表示法
由密切面得到的几点结论
1. 空间曲线上的任意点都存在密切面，而且是惟
一的。
2. 空间曲线上的任意点无穷小邻域内的一段弧长，
可以看作是位于密切面内的平面曲线。
3. 对于平面曲线而言，密切面就是该曲线所在的
平面。
4. 曲线在密切面内的弯曲程度，称为曲线的曲率，

用1/ 表示。
5. 曲线在垂直于密切面的平面内的曲率，称为第
二曲率。
Theoretical Mechanics
1 .3 点的运动的自然表示法
自然轴系M－ nb
 自然轴系
M为空间曲线上的动点；
b(副法线)
n(主法线)
s+
 为过动点P的密切面内的切
线，其正向指向弧坐标正向；
s
-
M
过M点作垂直于 的平面，
称为曲线在M点的法面
(切线)
n为密切面内垂直于切线的
直线，其正向指向曲率中心；
b为过动点P垂直于切线 和主法线的直线，其正
向由 b  τ  n 确定。
Theoretical Mechanics
1 .3 点的运动的自然表示法
 自然轴系
自然轴系M－ nb
n

b
Theoretical Mechanics
1 .3 点的运动的自然表示法
自然轴系的基矢量：、n、b
自然轴系的特点
b(副法线)
n(主法线)
b n
s
-
s+
(切线)
跟随动点在轨
迹上作空间曲线
运动。

M
自然轴系的单位矢量、n、b 是方向在不断变化的单位矢量。
固定的直角坐标系的单位矢量i、j、k。则是常矢量。
Theoretical Mechanics
1 .3 点的运动的自然表示法
弧坐标中的速度表示
点的速度在切线轴上的投影等
于弧坐标对时间的一阶导数。
v 
dr
dt

dr

ds
ds
dt
ds
dt
dr
ds
v  vττ
Theoretical Mechanics
＝τ
dr
ds
 lim
t  0
＝ s ＝ vτ
r
s
1
1 .3 点的运动的自然表示法
自然轴系的特点
Theoretical Mechanics
跟随动点在轨迹上作空间曲线运动。
1 .3 点的运动的自然表示法
有关 v 
若
ds
dt
0
ds
dt
 v 两点讨论
,则 vτ  0 ，即点沿着s+的方向运动；
反之点沿着s－的方向运动。
式 v  v τ τ 中
v
和  分别表示速度的大小与方向。
Theoretical Mechanics
1 .3 点的运动的自然表示法
弧坐标中的加速度表示
根据加速度的定义以及弧坐标中速度的表达式
dv
v  vττ
a 
dt
a  vττ 
d vτ
dt
τ  vτ
dτ
ds
dt
τ 
dt
dτ
dt

dτ
d
?
Theoretical Mechanics

d
ds
1
ρ

ds
dt
 vτ
1 .3 点的运动的自然表示法
dτ
d
 lim
  0
τ

2τ sin
2
 lim

  0
sin
 lim
  0
当    0 时， 和 以及  同处于
M点的密切面内，这时，  的极限
方向垂直于 ，亦即n方向。
Theoretical Mechanics


2

1
2
dτ
d
n
1 .3 点的运动的自然表示法
dτ

dt
a 
dτ
d
dvτ
dt

d

ds
τ
ds

aτ 
2

dt
an 
vτ
dt
vτ

2

n
2
n
a  aττ  an n  abb
切向加速度
a  aτ  an
2
ab  0
Theoretical Mechanics
d s

dt
加速度表示为自然轴系投影形式
dvτ
vτ
法向加速度
1 .3 点的运动的自然表示法
几
点
讨
论
切向加速度
aτ 
dv τ
 s
dt
表示速度矢量大小的变化率；
法向加速度
an 
vτ
2

表示速度矢量方向的变化率；
a b  0 表明加速度 a在副法线方向没有分量；
还表明速度矢量v和加速度矢量a都位于密切面内。
Theoretical Mechanics
1 .3 点的运动的自然表示法
点的加速度的大小和方向
几
点
讨
论
Theoretical Mechanics
2
a 
a a
tan  
2
τ
aτ
an
2
n

v 
 dv 


  

 dt 
  
2
2
第一章
点的运动学
例 题
例 在图的摇杆滑道机构中，滑块M同时在固定圆弧槽BC
和摇杆OA的滑道中滑动。圆弧BC的半径为R，摇杆的转轴O
在BC弧的圆周上，摇杆绕O轴以匀角速度转动。当运动开始
时，摇杆在水平位置。求∶（1）滑块相对于BC弧的速度、加
速度；（2）滑块相对于摇杆的速度、加速度。
Theoretical Mechanics
第一章
点的运动学
先求滑块M相对圆弧BC的速度、加速度。
解法1：BC弧固定，故滑块M的运动轨迹已知，宜用自然
法求解
以M点的起始位置为原点，逆时针方向为正
s  O M  R   2 R  t
v
ds
 2 R
方向如图
0 ,
v
dt
aτ 
dv
dt
an 
2
 4 R
R
所以： a  a n  4 R 
2
方向如图
Theoretical Mechanics
2
例 题
第一章
点的运动学
解法2：直角坐标法
例 题
建立图示坐标系
x  OM cos  t  2 R cos  t  R  R cos 2 t
2
y  OM sin  t  2 R cos  t sin  t  R sin 2 t
vx 
vy 
dx
dt
dy
  2 R  sin 2 t ,
 2 R  cos 2 t
dt
cos v , i  
vx
cos v , j  
Theoretical Mechanics
v
vy
v
  sin 2  t ,
 cos 2  t
v 
v x  v y  2R
2
2
第一章
ax 
dv x
a 
a x  a y  4R
 4 R
2
cos 2 t ,
dt
2
cos  a , i  
2
ax
a
点的运动学
ay 
dv y
 4 R
2
例 题
sin 2 t
dt
2
  cos 2  t ,
cos  a , j  
ay
  sin 2  t
a
讨论：
在轨迹已知情况下，用自然法不仅简便，而且
速度、加速度的几何意义很明确。
Theoretical Mechanics
第一章
点的运动学
例 题
求滑块M相对于摇杆的速度与加速度
将参考系Ox固定在OA杆上，此时，滑块M在OA杆上作直
线运动，相对轨迹是已知的OA直线。M点相对运动方程为
x   OM  2 R cos   2 R cos  t
vr 
dx 
  2 R  sin  t
dt
方向沿OA且与x正向相反
ar 
dv r
 2 R
2
cos  t
dt
其方向沿指向x’ 轴负向
Theoretical Mechanics
第一章
点的运动学
例 题
例 一炮弹以初速和仰角射出。如图所示的直角坐标
系的运动方程为:
x  v 0 cos   t
y  v 0 sin   t 
1
2
v
2
gt v
求 t  0 时炮弹的切向加速度
和法向加速度，以及这时轨
¦ È
迹的曲率半径。
解：炮弹的运动方程以直角坐标给出，因此它的速度和加速
度在x,y轴上的投影分别为
Theoretical Mechanics
第一章
vx 
dx
dt
v
ax 
dv x
vy 
 v 0 cos 
vx  vy 
2
2
0
ay 
dt
点的运动学
dy
dt
 v 0 sin   gt
v 0 cos  （ v 0 sin   gt ）
2
dv y
2
 g
dt
2
a
ax  ay  g
2
2
当t=0时，炮弹的速度和全加速度的大小分别为:
a g
v  v0
若将加速度在切线和法线方向分解，则有:
a
Theoretical Mechanics
at  an
2
2
例 题
第一章
点的运动学
a  at2  an2
式中,
at 
当t=0时, v
an 
则
由
 v0
an 
v
dv

dt
v
 v 0 sin 
,由上式得
 gt 
a t   g sin 
a  a t  g cos 
2
2
2

，求得时轨迹的曲率半径为:
2
 
v0
an
Theoretical Mechanics
g
2

v0
g cos 
例 题
第一章
点的运动学
例 如图所示，半径为r的轮子沿直线轨道无滑动地滚动
（称为纯滚动），设轮子转角    t （  为常值）。
求用直角坐标和弧坐标表示的轮缘上任一点M的运动
方程，并求该点的速度、切向加速度及法向加速度。
解：取点M与直线轨道的接
触点O为原点，建立如图所示
的直角坐标系Oxy。当轮子
转过 角时，轮子与直角轨
道的接触点为C。由于是纯
滚动，有
O C  M C  r  r  t
Theoretical Mechanics
例 题
第一章
点的运动学
例 题
M点的直角坐标运动方程为
x  OC  O 1 M sin   r ( t  sin  t ) 

y  O 1 C  O 1 M cos   r (1  cos  t ) 
(a)
M点的速度沿坐标轴的投影为
v x  x  r  (1  cos  t ) 

v y  y  r  sin  t

运动方程式（a）
是一个摆线，这
表明M点的运动
轨迹是摆线，如
图所示。
(b)
M点的速度为
v
v x  v y  r  2  2 cos  t  2 r  sin
2
2
Theoretical Mechanics
t
2
,
( 0   t  2 )
(c)
第一章
点的运动学
取M的起始点O作为弧坐标原点，将式（c）的速度v积
分，即得用弧坐标表示的运动方程为
s 
t
t
0
2
 2 r  sin
dt  4 r (1  cos
t
),
( 0   t  2 )
2
加速度在直角坐标系上的投影为
a x  x  r 
ay
sin  t 


2
 y  r  cos  t 

2
(d)
全加速度为
a
Theoretical Mechanics
a  a  r
2
x
2
y
2
例 题
第一章
点的运动学
例 题
将式(c)对时间t求导，得点M的切线加速度
为
t
2
a t  v  r  cos
2
法线加速度为
an 
由a
n

v
a  a t  r  sin
2
2
2
t
（e）
2
2
于是还可以由式(c)及（e）求得轨迹的曲率半径

4r 
2
 
v
2
an
2
sin
2
t
2

r
2
sin
t
2
Theoretical Mechanics
 4 r sin
t
2
第一章
点的运动学
2
例 题
再讨论一个特殊情况。当 
时，即   2 ，
这时点M运动到与地面相接触的位置。由式(c)知，此
时点M的速度为零，这表明沿地面作纯滚动的轮子与
地面接触点的速度为零。另一方面，由于点全加速度
的大小恒为 rω ,因此纯滚动的轮子与地面接触点的速
2
t 
度虽然为零，但加速度却不为零。将
代入式

（d），得
t 
2
ax  0 ,
a y  rω
2
即接触点的加速度方向向上
Theoretical Mechanics