Transcript 第七章点的一般运动
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第七章
点的一般运动、刚体的基本运动
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引言
一、空间、时间与物质运动的关系
1、物体的运动速度接近光速或超越光速时，
空间、时间与物质的运动是相互关联的。
2、经典力学范围内，认为空间、时间与物
质的运动无关。
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二、运动学的研究对象
经典力学中的运动学在被认为在与运动无
关的空间和时间中研究物体运动的几何性质
三、运动学的建立基础
由于经典力学中空间、时间与物体运动的
无关性，因此整个运动学的理论体系可建立在
欧几里德几何学公理的基础上。
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四、运动学中的两种力学模形：
点： 不计尺寸大小的物体。
刚体：形状和大小都不变化的物体。
五、运动学中与时间相关的两个
重要概念——瞬时和时间间隔
瞬
时：
时间间隔：
在整个时间流逝过程中的某一时刻。
在抽象化后的时间轴上，瞬时是时间
轴上的一个点。开始计算时间的瞬时
称为初瞬时
两个瞬时之间流逝的时间。
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六、运动学中与位置相关的
重要概念——参考体
参考体：描述物体的运动之前所选取的作为
参照物的物体。
参考系：将所选取的参考体经抽象化处理，
以坐标系的形式出现。（坐标系，
参考坐标系）
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内容提要
1、点的运动的表示方法
——三种：矢径表示法，
笛卡儿坐标表示法，
弧坐标表示。
2、刚体的基本运动
——两种：刚体的平行移动，
刚体的定轴转动。
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3、定轴轮系的传动比
——两种：齿轮传动，
带轮传动。
4、刚体角速度和角加速度的矢量表示
——角速度矢、角加速度矢
5、转动刚体上点的速度和加速度的矢积表示
6、泊松公式
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第一节：点的运动的表示方法
一、矢径表示法：
P、P——动点
v、v ——动点的瞬时速度
P
r、r ——动点的瞬时矢径
r ——t时间间隔内矢径改变量
S ——动点运动轨迹，矢径端图
v
S
r
P'
r'
r
o ——参考点
O
v
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第一节：点的运动的表示方法
一、矢径表示法：
1、运动方程（运动规律）：
由于矢径r的大小与
方向均随时间t而变，是
t的单值连续的矢量函数，
故可表示如下：
r r (t )
(5 1)
P (t)
S
v
（
r
P '(t+ t)
r
r'
——运动方程
O
v
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P (t)
2、运动速度：
S
v
（
r
平均速度
v
r
r
t
r'
瞬时速度
O
v lim
t 0
r
t
速度单位
米 / 秒 (m / s)
P '(t+ t)
dr
dt
v
r — （5 2）
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P (t)
３、加速度：
S
（
r
平均加速度
a
v
r
v
t
r'
瞬时加速度
O
a li m
t 0
P '(t+ t)
v
t
dv
dt
d
2
dt
r
2
v
r
— （ 5 3）
加速度单位
2
2
米 / 秒 (m / s )
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讨论：速度矢端图
点的加速度是矢量，如果将各瞬时动点的速度矢量的
始端画在同一点O′，按照时间顺序，这些速度矢量的末端
将描绘出一条连续的曲线，称为速度矢端图。
M
如图所示，速度
为v 时的加速度方向
为M点的切线方向。
指向速度矢变化的方
向。
速度矢端图的
作用：确定瞬时加
速度方向。
M
v
o
v
a
速度矢端图
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总结
动点的速度等于其矢径对时间的一阶导数，方向沿
轨迹在该点的切线方向，指向与动点运动方向一致。
动点的加速度等于它的速度对时间的一阶导数, 等于
位矢 对时间的二阶导数。其方向 为v的极限方向
变矢量 A(t) 对时间t的导数 dA(t)dt 为一新变矢。此新
变矢为变矢量 A(t) 端点的速度u。
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二、笛卡儿坐标表示法：
r = ix + jy + k z
z
1、运动方程（运动规律）：
M
由于动点在空间的位置
可用坐标唯一的确定，而坐
标x、y、z又是t的单值连续
的矢量函数，故可表示如下：
r
k
x f1 (t )
y f 2 ( t )
(5 4 )
z f 3 ( t )
——运动方程
z
j
O
y
i
x
y
x
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r = ix + jy + k z
z
2、运动速度：
M
r
k
O
速度的笛卡儿坐标表达式
z
j
y
i
x
y
x
将 式 r= ix+ jy+ k z 对 时 间 求 一 阶 导 数 ， 并 注 意 到
i、 j、 k 是 常 矢 量 ， 然 后 再 将 其 代 入 公 式 （ 5 -2 ）， 即
可得到速度在笛卡儿坐标系中的表达式：
v r ( x i y j z k ) — （5 5）
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速度的笛卡儿坐标轴上的投影式
v
x
v
y
v
z
dx
dt
dy
dt
dz
dt
x&
y&
z&
(5 6 )
合速度大小
v
v
2
x
v
2
y
v
2
z
(5 7 )
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合速度方向
合速度的方向由其方向余弦确定
vx
co（
s v , i）
v
vy
co（
s v , j）
(5 8 )
v
vz
co（
s v, k )
v
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2、运动加速度：
同理，将速度对时间求一次导数，即可求得加速度
的笛卡儿坐标表达式及其在笛卡儿坐标轴上的投影式：
加速度的笛卡儿坐标表达式
a
dv
v r xi yj zk
dt
— （ 5 9）
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加速度在笛卡儿坐标轴上的投影式
ax
a
y
az
d 2x
&x&
2
dt
2
d y
&y&
2
dt
2
d z
&z&
2
dt
— ( 5 10 )
合加速度大小
a
a
2
x
a
2
y
a
2
z
( 5 11 )
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合加速度方向
合加速度的方向由其方向余弦确定
ax
co（
s a , i）
a
ay
co（
s a , j）
(5 1 2 )
a
az
co（
s a, k )
a
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总结
笛卡儿坐标法是矢径法的代数运算。
动点的速度在笛卡儿坐标轴上的投影等于其对应坐
标对时间的一阶导数。
动点的加速度在笛卡儿坐标轴上的投影等于其对应的
速度对时间的一阶导数，亦等于其对应坐标对时间的二
阶导数。
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三、弧坐标表示法：
举例： 人造地球卫星的运动轨迹——椭园（左图）
火车沿直线轨道行驶时，轮缘上点Ｍ的运动轨迹
——摆线（右图）
z
y
x
01-5-12
24
Slide 23
概念
O点 —— 参考点、弧坐标原点。
S
—— 弧坐标、O点至动点M的弧长。是时间ｔ
的单值函数。
正负号—— 规定参考点的一侧方向为正向，相应部
位的弧长为正值；另一侧方向为负向，相
应部位的弧长为负值。
S
O
( )
M
( )
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自然轴系
//
M M
P 平面趋于一极限位置，
， P
即空间
曲线在 M 点的密切面。
( ) B
， 为切向单位矢量
M
P
( )
O
s
A
M
由于M点附近的微小弧段
可以可以近似的看成为一条
在密切面内的平面曲线，因
此对平面曲线而言，密切面
就是该曲线所在的平面。
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n 密切面
n
n 为主法线
n ， b 法面
法面
b 密切面
b
b 为副法线
、 n 、 b 分别为
切向、主法向和副法
主法线
法面
A
密切面
向单位矢量，三个相
n
互垂直矢量的轴线构
b
成的坐标轴即为自然
坐标轴。
主法线
M
B
切线
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自然轴系方向规定
的正向指向弧坐标正向，n 的正向指向曲线在M点的曲
率中心，b 的正向则由右手规则决定，即
b= ×n
自然轴系特征及与笛卡儿坐标系的区别
自然轴系、n、b的方向随动点位置的变动而变动， 单
位矢量、n、b的方向不断变化。笛卡儿坐标系为固定坐标
系，单位矢量i、j、k为定矢。
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１、
运动方程：
由于动点在空间的位置可用坐标唯一的确定，而坐
标s又是t的单值连续的矢量函数，故可表示如下：
S f ( t ) ( 5 13 )
——运动方程
S
O
( )
M
( )
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2、运动速度：
公式推导
dr
dr
ds
v
=
dt
ds dt
dr
r
而 ＝ lim
1
s 0 s
ds
dr
故 ＝
ds
dr
dr
ds
v
=
＝ v
dt
ds dt
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结论
动点的速度沿其运动的轨迹方向，大小等于弧坐标
对时间的一阶导数。
3、运动加速度：
d
（ v ） d v
d
a
v
a a n
dt
dt
dt
dt
dv
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切向加速度
a
dv
2
dt
d s
dt
2
（ ）
——反映速度大小的加速度
法向加速度
a n＝ v
d
（ 5-17）
dt
——反映速度方向变化的加速度
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讨论：法向加速度的计算
计算法向加速度需首先清楚曲线曲率的概念，为此，
下面对曲率进行分析。
T
K
*
j
v
S
M
v
r
M
v
j
s
K lim
s 0
— —弧 s 的平均曲率
j
s
dj
— — M 点的曲率
ds
T
O
97-1-1
30
Slide 32
an v
d
dt
dt
v
¡¡¡¡¡¡ li m
t
t 0
¡¡¡¡¡¡
li m
v j
t
t 0
¡¡¡¡¡¡ li m v
t 0
¡¡¡¡¡¡ v li m
t 0
¡¡¡¡¡¡
¡¡¡¡¡¡
v
r
v
d ( v
j
s
j
s
s
t
li m
t 0
s
(5 18)
t
ds
dt
2
r
——沿轨迹的法线（曲率半径）指向曲率的中心。
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全加速度
a a a n¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡(5 -19)
大小
¡¡ a
a a n a b
2
2
2
a a n 0
2
2
a a n £¨5 20£ ©
2
M
方向
tan
a
an
2
¡¡¡¡£¨5 - 21£©
an
a
a
Slide 34
注 ： 判 别 点 作 加 速 运 动 还 是 减 速 运 动 ， 是 用 a， 而 不
是 用 a,与 直 线 运 动 情 形 相 似 ,当 v 与 a 同 号 ,点 作 加 速 运
动 ,反 之 作 减 速 运 动 。
几种特殊情况
匀速曲线运动
s s o vt
(5 22)
Slide 35
匀变速曲线运动
v v o a t
1
2
s so vo t
a t
(5 2 3)
2
2
2
v v o 2 a ( s s o )
典型例题
例 1、 下 图 为 料 斗 提 升 机 示 意 图 。 料 斗 通 过 钢 丝 绳 由 绕 水 平
轴 o 转 动 的 卷 筒 提 升 。 已 知 ： 卷 筒 的 半 径 R = 16cm ， 料 斗 沿
铅 垂 提 升 的 运 动 方 程 为 y= 2t 2 ， y 以 cm 为 计 ， t 以 s 为 计 。 求
卷 筒 边 缘 上 一 点 M 在 t= 4s 时 的 速 度 和 加 速 度 。
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M
解 ：（ 1 ）、 分 析 运 动
卷筒边缘上 M
R a
n
点沿半径为 R 的圆周运动。
o
（ 2）、 列 运 动 方 程 ， 求 未 知 量
运动。
, 此时 t 0，
料斗在 A o 处；在瞬时
t ，料斗在
A 处 , M 点到达 M 处， M 点的弧
坐标为 :
s y 2t
a
a
卷筒边缘上 M 点沿半径为 R 的圆周
设 : M o 为弧坐标原点
M
o
A
2
y
Ao
M
Slide 37
M
M
o
R a
n
o
a
a
M
Slide 38
从而， v
ds
4 t 4 4 16 cm / s
dt
a
dv
4 cm / s 常量
2
dt
2
a n
v
a
a a
tg
R
2
16
16 cm / s
2
16
2
a
an
2
n
4
4 16 16 . 5 cm / s
2
2
0 . 25
16
arctan 0 . 25 14 2
o
2
Slide 39
例 2 ． 列 车 沿 曲 线 轨 道 行 驶 ， 初 速 度 v 1 = 18km /h ， 速 度 均 匀 增
加 ， 行 经 s= 1km 后 ， 速 度 增 加 到 v 2 = 54km /h ， 若 铁 轨 形 状 如 下
图 所 示 。 在 M 1 及 M 2 的 曲 率 半 径 分 别 为 ： r 1 = 600m 、 r 2 = 800m 。
求列车从 M1 到 M2 点处所需的时间和经过 M1 和 M2 处的加速
度。
M1
v1
a 1
2
an2
a n1
1
a1
a2
v2
M
2
a 2
Slide 40
解 ：（ 1 ）、 分 析 运 动
列车作匀变速曲线运动
（ 2）、 列 运 动 方 程 ， 求 未 知 量
a
由题意可知：
dv
常数
dt
v 2 v1 a t t
故，
v 2 v1
a
v 2 v1
2
v 2 v1 a s a
2
另外， a n
a
v
2
2
2s
2
r
a a tan
2
2
n
a
an
上述各式中代入各已知量即可求出各未知量。
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例 3、 下 图 为 偏 心 驱 动 油 泵 中 的 曲 柄 导 杆 机 构 。 设 曲 柄 O A 长
为 r， 自 水 平 位 置 开 始 以 匀 角 速 度 转 动 ， 即 j = t。 滑 槽 K — K
与 导 杆 B— B 制 成 一 体 。 曲 柄 端 点 A 通 过 滑 块 在 滑 槽 K— K 中
滑 动 ， 因 而 曲 柄 带 动 导 杆 B— B 作 上 下 直 线 运 动 。 试 求 导 杆 的
运动方程，速度和加速度。
Slide 42
x
B
解 : 分 析 运 动 :因 滑 槽 K
B
—Ｋ与导杆Ｂ—Ｂ制成
K
x
一体，且作直线运动，
K
M
r
j
x
o
故滑槽中点Ｍ的运动可
代表导杆的运动。
97-1-1
01-5-12
列运动方程
由图中的几何关系，可知Ｍ点的坐标为：
x OM OA sin j r sin j r sin t
(a )
109
Slide 43
将上式对 t 分别求一阶和二阶导数
v
dx
r cos t
即可得 v 及 a
a
dv
r sin t
2
dt
dt
x
结果分析：
t
xmax r
见右图。
xmin r
v
t
vmax
vmin
a
t
amax
amin
01-5-12
01-5-12
图1 ~ 3(b)
17
10
Slide 44
例4.
曲柄连杆机构是由曲柄、连杆及滑块组成的机构
(下图）当曲柄OA绕0轴转动时，由于连杆AB带动，滑块B
沿直线作往复运动。曲柄连杆机构在工程上有广泛的应用。
在蒸汽机、内燃机中，用它将往复直线运动转换为回转运
动；在往复式水泵、曲柄冲压机中，应用它将回转运动转
换为往复直线运动。设曲柄OA长为r，以匀角速绕0轴转
动，即j=t，连杆AB长为L。试求滑块B的运动方程、速
度和加速度。
Slide 45
Slide 46
解：运动分析：滑块 B 沿直线作往复运动
列运动方程：
如图所示，取滑块 B 的直线轨迹为 x 轴，o 为坐标原点。
由几何关系可知，B 点的运动方程应为：
x OB OC CB r cos j L cos ( a )
又因 : r sin j L sin
即 : cos
1 sin
2
1 sin j
(
2
2
r
L
(b )
)
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将 1 sin j 展开为级数
2
2
1 sin j 1
2
1
,得
sin j
2
2
2
1
1
1
sin j
4
4
8
sin j (因一般的连杆机构中
2
2
0 .2 ,
2
则 0 . 04 , 0 . 0016 , 故
2
4
1
sin j 以后的项目均可略去
4
4
8
从而运动方程简化为
:
x r cos t L (1
1
2
sin t ) ( d )
2
2
)。
Slide 48
利用倍角三角函数公式
sin
2
可得 :
t
1
(1 cos 2 t )
2
代入 ( d ) 式并整理得
x L (1
:
2
) r (cos t
4
v
r (sin t )
dt
a
dv
dt
cos 2 t ) ( e )
4
将上式对 t 分别求一阶和二阶导数
dx
即可得 v 及 a
sin 2 t ) ( f )
2
r (cos t cos 2 t ) ( g )
2
Slide 49
x
t
x max r
x min r
v
t
v max
v min
a
t
a max
a min
01-5-12
图1 ~ 3 ( b )
10
Slide 50
例 6、 下 图 是 矿 井 提 升 机 。 主 要 数 据 如 下 ： 提 升 高 度 为
876m ， 开 始 提 升 时 罐 笼 的 加 速 度 是 0.7m /s 2 , 速 度 达 到
7.84m /s 后 ,即 以 此 速 度 匀 速 提 升 ,最 后 再 以 减 速 度 0.7m /s 2 减
速 提 升 ,直 到 最 后 停 止 。 试 求 提 升 一 所 需 的 时 间 T 。
v
o
a
b
7 . 84 m / s
c
o
t1
t2
T
t3
t
Slide 51
解：运动分析：罐笼沿铅垂线运动，第一阶段为匀加速直
线运动，第二阶段为匀速直线运动，第三阶段为减速直线运
动 ， 图 1~ 7 为 该 罐 笼 的 速 度 图 。
列运动方程：
1).t 1 的 计 算
由匀加速直线运动公式:
v1 v o a1t1
2
t
0
时
,
v
0
,
a
0
.
7
m
/
s
;
o
1
将
代入上式即可求得
2
t t1时 , v1 7 . 84 m / s , a1 0 . 7 m / s ;
t1 11 . 2 s
Slide 52
2).t 3 的 计 算
由匀减速直线运动公式:
v3 v 2 a 3t 3
v 2 v1 7 . 84 m / s , a 3 0 . 7 m / s 2 ;
将
代入上式即可求得
t t 3时 , v 3 0 .
t 3 11 . 2 s
3 ).t 2 的 计 算
Slide 53
最 后 计 算 t2。 必 须 考 虑 起 动 和 制 动 阶 段 所 走 过 的 路 程 。 在 t1
时 间 内 提 升 罐 笼 的 高 度 h 1， 可 由 匀 变 速 运 动 的 路 程 公 式 求
得：
h1 v o t1
代入数据得
: h1
1
1
2
2
1 1
at
0 . 7 (11 . 2 ) 44 m
2
2
同理可求出 : h3 44 m
于是可求出 : h2 h h1 h3 876 2 44 788 m
Slide 54
由于该阶段为匀速直线
t2
788
运动阶段 , 故该阶段所须时间为
100 . 4 S
7 . 84
从而可得提升一次所须
时间为 :
t t1 t 2 t 3 11 . 2 100 . 4 11 . 2 122 . 8 s
:
Slide 55
第二节 刚体的基本运动
一、刚体的平动
定义
运动时刚体上任一直线始终与原来位置保持平行。
O
O
B
A
M
Slide 56
刚体平动的特点
刚体平动时，其上所有各点的运动轨迹相同；在每一
瞬时，各点的速 度相同、加速度也相同。
rAB — — 常 矢 量
vA
A
aA
rA B
rA
rB
o
B
A
1
vB
aB
B
1
A 2
B 2
Slide 57
d rA
d rB
d rB A
r A rB rB A
dt
dt
dt
d rA
d rB
０
dt
dt
vA vB
(5 24)
aA aB
结论
刚体上任一点的运动可以代表整个刚体运动，即刚体
的平动可以归结为点的运动来研究。
Slide 58
二、刚体绕定轴转动
定义
刚体转动时，刚体内始终有一条直线固定不动，
而这条直线以外的各点则绕此直线作园周运动。
转动方程
( )
平面之间的
I ——通过 z 轴的
j
固定平面。
II— — 通 过 z 轴 随
刚体一同转
动的平面。
j— — 某 一 瞬 时 t
时 I 、 II 两
I
II
o
夹角。
Slide 59
()
I ——通过 z 轴的
固定平面。
j
o
II— — 通 过 z 轴 随
刚体一同转
动的平面。
j— — 某 一 瞬 时 t
时 I 、 II 两
平面之间的
I
夹角。
II
Slide 60
转动方程
j = j (t)
(5 -2 5 )
刚体绕定轴转动的转动方程
j的 性 质 代 数 量 。
j的 方 向 从 转 轴 z 的 正 端 向 负 端 看 ， 逆 时 针 转 动 为
正，顺时针转动为负。
角速度
dj
j ( t ) （ ５ -２ ６ ）
dt
的 性 质 代 数 量 。
的 的 方 向 ：
若某一瞬时
dj
dt
的值为正，则
与 j 的正向一致，反之与负
向一致。
Slide 61
角加速度
d
dt
dj
2
j ( t ) （5 27）
dt
的 性质代数量。
的 的 方 向 ：
若某一瞬时
d
的值为正，则
与 j 的正向一致，
dt
反之与负向一致。
与 的 关 系 ： 与 同 号 时 ， 刚 体 作 加 速 运 动 ， 反 之
作减速运动。
Slide 62
两种特殊的情况
（ １ ）、 匀 速 转 动 — — 为 常 量
dj
dt
由 于 为 常 量 ， 故 由 上 式 可 得 ：
j j o t
(5 28)
j jo t
其 中 j o — — 刚 体 在 t= 0 时 的 转 角
（ 2 ）、 匀 变 速 转 动 — — 为 常 量
o t
1
2
j
j
t
t
(5 2 9 )
o
o
2
2
2
2 (j j o )
o
Slide 63
举例
动方程为 j 2 t 。
(j 的单位为 rad ,
2
例1、已知电动机转轴的转
t 的单位为 s ); 求当 t 2 s 时，转轴的角速度与角
解 ：
dj
加速度。
4 t 8 rad / s
dt
d
dt
dj
2
4 rad / s
常量
2
dt
由 于 与 同 号 且 为 正 ， 并 且 = 常 量 ， 故 知 转 轴 按 逆 时 针
方向作匀加速转动。
Slide 64
例 2、车细螺纹时，如果车
床主轴的转速
n o 300 r / min ，要求主
轴在两转后立即停止，
以便很快反转。设停车
动，求主轴的角加速度
。
过程是匀变速转
解：
已知 : o
no
30
300
10 ( rad / S ), 0 , j 2 2 4 ( rad )
30
(1) 分 析 运 动 ： 主 轴 是 匀 变 速 转 动
(2) 列 出 匀 变 速 转 动 公 式 ， 求 未 知 量
Slide 65
2
o 2 (j j o )
(j o 0 )
2
将已知数据代入即可得
:
39 . 25 rad / s
2
(3)、 分 析 讨 论 ： 负 号 表 示 的 方 向 与 主 轴 转 动 方 向 相 反 ，
故为减速运动。
Slide 66
三、定轴转动时刚体内各点的速度和加速度
速度
y
如图所示
:
r
— 转动半径。
M
o
— 弧坐标的原点。
M
— t 瞬时点的位置。
v
M
r
j
j
o
s
Mo
x
Slide 67
则 M 点的速度为：
v
ds
dt
d
( rj ) r
dt
dj
r
(5 30)
dt
或:
v r
d
2
2 n
60
dn
(5 31)
60
物理意义：转动刚体上任意点的速度等于该点转
动半径与刚体角速度的乘积，方向垂
直 于 转 动 半 径 ， 指 向 与 的 转 向 一 致 。
Slide 68
加速度
根据平面曲线运动规律可知：此处点的加速
度包括切向加速度和法向加速度，它们分别为：
dv
d
d
a dt dt ( r ) r dt r
(5 32)
2
2
a v ( r ) r 2
n
r
r
物理意义：转动刚体上任意点的切向加速度等于该点转
动半径与刚体角加速度的乘积，方向垂直于
转 动 半 径 ， 指 向 与 的 转 向 一 致 。 法 向 加 速 度
Slide 69
等于该点转动半径与刚体角速度平方的乘积，方向指向园
心 O。
全加速度
a a 2 a 2 ( r ) 2 ( r 2 ) 2 r 2 2
n
（ 5 33）
a
r
2
tan
2
an
r
其中 — —全加速度与该点半径
之间的夹角 .
Slide 70
y
y
a
a
M
o
an
x
a
M
o
x
结论
由 于 在 每 一 瞬 时 ， 刚 体 的 和 对 于 其 上 所 有 各 点
来 说 具 有 相 同 的 数 值 ， 所 以 由 式 （ 5 -3 2 ） 和 式 （ 5 -3 3 ）
可知：在每一瞬时，转动刚体内所有各点的切向加
Slide 71
速度、法向加速度以及全加速度都与各点的转动半径
成正比。
在每一瞬时，转动刚体内所有各点的全加速
度 与 转 动 半 径 的 夹 角 都 相 同 ， 即 角 与 转 动 半 径 的 大 小
无关。
举例
例 3、 下 图 是 辊 道 工 作 原 理 简 图 ， 已 知 辊 子 直 径
d= 200m m ， 转 速 n= 50r/m in ， 求 辊 道 上 钢 坯 运 动 速 度 。
v
M
钢坯
辊子
Slide 72
解 ：（ 1） 分 析 运 动 ： 钢 坯 平 动 ， 辊 子 的 运 动 是 定 轴 转 动
（ 2） 求 未 知 量 ： 辊 子 同 钢 坯 接 触 点 的 速 度 即 为 钢 坯 的
运动速度。
vM
dn
60
200 50
60
524 mm / s 0 . 524 m / s
Slide 73
例 4、矿井提升机的罐笼按
1
y
直线规律上升，
2
匀变速
M
2
a o t ，其中 a o
是常数，求卷筒的的角
R
速度及角
加速度。
解：
（ 1） 分 析 运 动 ： 罐 笼 平 动 ， 卷 筒 定 轴 转 动
（ 2） 求 未 知 量 ：
由y
1
2
v
dy
dt
y
2
aot , 得 :
d
(
1
dt 2
aot ) aot
2
Slide 74
a
dv
dt
a o
又 a R a o
ao
R
常数
v
R
1
R
aot
Slide 75
第三节、定轴轮系的传动比
——主动轮与从动轮转速的比值
一、胶带传动
i1 2
1
2
r2
r1
B
or
i1 2
n1
n2
d2
vB
vA
2
A
1
d1
r1
r2
— — (5 3 4 )
I
II
97-1-1
19
Slide 76
B
vA
vB
2
A
1
r1
r2
I
II
Slide 77
二、齿轮传动
i1 2
or
i1 2
1
Z2
2
r1
Z1
— — (5 35)
n1
d2
Z2
n2
d1
Z 1
r2
式 中 :r— — 齿 轮 节 园 半 径
d— — 齿 轮 节 园 直 径
Z— — 齿 轮 的 齿 数
Slide 78
举
例 2 ~ 5、图 2 ~ 16 是一减速箱，它由四个
例
组成，其齿数分别为
齿轮
Z 1 10 ， Z 2 60 ， Z 3 12 ，
Z 4 70 。求：( a ) 减速箱的总传动比
i13；
( b ) 如果 n1
3000 r / min ，求 n 3
（ 1 ） 分 析 运 动 ： 各 轮 都 作 转 动 ,它 是 定 轴 轮 系 传 动 问 题
解：
（ 2） 求 未 知 量 ：
1
n1
I
3
II
2
n2
III
n3
4
Slide 79
I 轴与 II 轴的传动比
i12
i12
n1
n2
n2
n3
i13
由 i13
n1
n3
n3
n1
n2
6
10
i 23
Z4
Z3
I 轴与 III 轴的传动比
n1
60
Z1
II 轴与 III 轴的传动比
i 23
Z2
70
5 .8
12
i13
n2
n3
n 3
i12 i 23 6 5 . 8 34 . 8
n1
i13
3000
34 . 8
86 r / min
Slide 80
例 2 ~ 6、图 2 ~ 7 是加热炉前堆料机的传
动机构简图。已知
n1 3000 r / min ， d 1 100 mm ， d 2 1000 mm ， d 3 100 mm ，
d 4 600 mm ， d 5 200 mm ，求堆料机推头的速度
。
解 ：（ 1） 分 析 运 动 ： 齿 条 和 推 头 作 平 动 ,各 齿 轮 均 作 转 动
（ 2） 求 未 知 量 ：
如图所示
: 齿轮和齿条相啮合点的
速度，即推料机
推头的速度 v c，故得 :
v c r5 3 — — ( a )
首先 : i13 i12 i 23
d2
d1
d4
d3
1000 600
100 100
60
Slide 81
齿条
III
推头
A
C
d5
B
II
d3
d4
d1 I
n1
齿轮
d 2 n3
齿条
C
vc
Slide 82
即 : n 3
从而 : 3
n1
i13
n3
30
300
5 r / min
60
5
30
rad / s
6
将 3 代入 ( a ) 式 , 即得推料机的速度为
v c r5 3 100
6
52 . 3 mm / s
:
Slide 83
第四节：刚体的角速度与角加速度的矢量表示
点的速度与加速度的矢积表示
z
一、刚体的角速度与角加速度的
矢量表示
角速度矢
——表示转轴位置、角速度
大小及方向的矢量。
设OZ的正向单位矢为k，则：
K
o
dj
k
(5 - 36)
dt
方向按右手法则确定
Slide 84
角加速度矢
d
dt
d j
2
dt
2
K
（ 5 - 37）
总结
因角速度矢、角加速度矢 可以从转轴上的任意点画
起，故其为滑动矢量。
刚体转动时， 与 同向则加速，反向则减速。
Slide 85
二、点的速度与加速度的矢积表示
z
速度
v p rp
(5 - 38)
a
上式之所以成立，原因有两个：
按照右手螺旋法则，等号两边矢
量的方向一致。 等号两边矢量的
模相等。
vp
n
p
P
r
r p r p sin R v
ap
Slide 86
加速度
a P
dv p
d
dt
dt
rp
rp v P
d rp
dt
(5 - 39)
r p （ r p）
ap ap
其中
n
a p rp
n
a p rp
(5 - 40)
上式之所以成立，原因同样有两个：按照右手螺旋法
则，等号两边矢量的方向一致。 等号两边矢量的模相等。
（证明略）
Slide 87
z
三、泊松公式
设一动坐标系O1x'y'z’
绕定轴oz以角速度转动，
其上单位矢（i，j，k）
求：
di
dj
dk
, ,
dt
dt
dt
由变矢量对时间导数
的的几何解释可知其分别
为单位矢i，j，k的端点
P1、P2、P3沿其端（三个同
轴圆）的速度。
z
y
P3
K
o
i
x
P1
o
j
P2
Slide 88
z
( v P1 ) i
dt
dj
( v P2 ) j
dt
dk
( v P3 ) k
dt
di
z
y
o
(5 - 4 1 )
——泊松公式
x
ro
o
j
P2
rP2
Slide 89
证明
j rP2 ro
dj
dt
d rP2
dt
d ro
dt
= v P2 v o
rP2 ro
（ rP2 ro ）
j
同理，另外两式可以得到论证。
第七章
点的一般运动、刚体的基本运动
Slide 2
引言
一、空间、时间与物质运动的关系
1、物体的运动速度接近光速或超越光速时，
空间、时间与物质的运动是相互关联的。
2、经典力学范围内，认为空间、时间与物
质的运动无关。
Slide 3
二、运动学的研究对象
经典力学中的运动学在被认为在与运动无
关的空间和时间中研究物体运动的几何性质
三、运动学的建立基础
由于经典力学中空间、时间与物体运动的
无关性，因此整个运动学的理论体系可建立在
欧几里德几何学公理的基础上。
Slide 4
四、运动学中的两种力学模形：
点： 不计尺寸大小的物体。
刚体：形状和大小都不变化的物体。
五、运动学中与时间相关的两个
重要概念——瞬时和时间间隔
瞬
时：
时间间隔：
在整个时间流逝过程中的某一时刻。
在抽象化后的时间轴上，瞬时是时间
轴上的一个点。开始计算时间的瞬时
称为初瞬时
两个瞬时之间流逝的时间。
Slide 5
六、运动学中与位置相关的
重要概念——参考体
参考体：描述物体的运动之前所选取的作为
参照物的物体。
参考系：将所选取的参考体经抽象化处理，
以坐标系的形式出现。（坐标系，
参考坐标系）
Slide 6
内容提要
1、点的运动的表示方法
——三种：矢径表示法，
笛卡儿坐标表示法，
弧坐标表示。
2、刚体的基本运动
——两种：刚体的平行移动，
刚体的定轴转动。
Slide 7
3、定轴轮系的传动比
——两种：齿轮传动，
带轮传动。
4、刚体角速度和角加速度的矢量表示
——角速度矢、角加速度矢
5、转动刚体上点的速度和加速度的矢积表示
6、泊松公式
Slide 8
第一节：点的运动的表示方法
一、矢径表示法：
P、P——动点
v、v ——动点的瞬时速度
P
r、r ——动点的瞬时矢径
r ——t时间间隔内矢径改变量
S ——动点运动轨迹，矢径端图
v
S
r
P'
r'
r
o ——参考点
O
v
Slide 9
第一节：点的运动的表示方法
一、矢径表示法：
1、运动方程（运动规律）：
由于矢径r的大小与
方向均随时间t而变，是
t的单值连续的矢量函数，
故可表示如下：
r r (t )
(5 1)
P (t)
S
v
（
r
P '(t+ t)
r
r'
——运动方程
O
v
Slide 10
P (t)
2、运动速度：
S
v
（
r
平均速度
v
r
r
t
r'
瞬时速度
O
v lim
t 0
r
t
速度单位
米 / 秒 (m / s)
P '(t+ t)
dr
dt
v
r — （5 2）
Slide 11
P (t)
３、加速度：
S
（
r
平均加速度
a
v
r
v
t
r'
瞬时加速度
O
a li m
t 0
P '(t+ t)
v
t
dv
dt
d
2
dt
r
2
v
r
— （ 5 3）
加速度单位
2
2
米 / 秒 (m / s )
Slide 12
讨论：速度矢端图
点的加速度是矢量，如果将各瞬时动点的速度矢量的
始端画在同一点O′，按照时间顺序，这些速度矢量的末端
将描绘出一条连续的曲线，称为速度矢端图。
M
如图所示，速度
为v 时的加速度方向
为M点的切线方向。
指向速度矢变化的方
向。
速度矢端图的
作用：确定瞬时加
速度方向。
M
v
o
v
a
速度矢端图
Slide 13
总结
动点的速度等于其矢径对时间的一阶导数，方向沿
轨迹在该点的切线方向，指向与动点运动方向一致。
动点的加速度等于它的速度对时间的一阶导数, 等于
位矢 对时间的二阶导数。其方向 为v的极限方向
变矢量 A(t) 对时间t的导数 dA(t)dt 为一新变矢。此新
变矢为变矢量 A(t) 端点的速度u。
Slide 14
二、笛卡儿坐标表示法：
r = ix + jy + k z
z
1、运动方程（运动规律）：
M
由于动点在空间的位置
可用坐标唯一的确定，而坐
标x、y、z又是t的单值连续
的矢量函数，故可表示如下：
r
k
x f1 (t )
y f 2 ( t )
(5 4 )
z f 3 ( t )
——运动方程
z
j
O
y
i
x
y
x
Slide 15
r = ix + jy + k z
z
2、运动速度：
M
r
k
O
速度的笛卡儿坐标表达式
z
j
y
i
x
y
x
将 式 r= ix+ jy+ k z 对 时 间 求 一 阶 导 数 ， 并 注 意 到
i、 j、 k 是 常 矢 量 ， 然 后 再 将 其 代 入 公 式 （ 5 -2 ）， 即
可得到速度在笛卡儿坐标系中的表达式：
v r ( x i y j z k ) — （5 5）
Slide 16
速度的笛卡儿坐标轴上的投影式
v
x
v
y
v
z
dx
dt
dy
dt
dz
dt
x&
y&
z&
(5 6 )
合速度大小
v
v
2
x
v
2
y
v
2
z
(5 7 )
Slide 17
合速度方向
合速度的方向由其方向余弦确定
vx
co（
s v , i）
v
vy
co（
s v , j）
(5 8 )
v
vz
co（
s v, k )
v
Slide 18
2、运动加速度：
同理，将速度对时间求一次导数，即可求得加速度
的笛卡儿坐标表达式及其在笛卡儿坐标轴上的投影式：
加速度的笛卡儿坐标表达式
a
dv
v r xi yj zk
dt
— （ 5 9）
Slide 19
加速度在笛卡儿坐标轴上的投影式
ax
a
y
az
d 2x
&x&
2
dt
2
d y
&y&
2
dt
2
d z
&z&
2
dt
— ( 5 10 )
合加速度大小
a
a
2
x
a
2
y
a
2
z
( 5 11 )
Slide 20
合加速度方向
合加速度的方向由其方向余弦确定
ax
co（
s a , i）
a
ay
co（
s a , j）
(5 1 2 )
a
az
co（
s a, k )
a
Slide 21
总结
笛卡儿坐标法是矢径法的代数运算。
动点的速度在笛卡儿坐标轴上的投影等于其对应坐
标对时间的一阶导数。
动点的加速度在笛卡儿坐标轴上的投影等于其对应的
速度对时间的一阶导数，亦等于其对应坐标对时间的二
阶导数。
Slide 22
三、弧坐标表示法：
举例： 人造地球卫星的运动轨迹——椭园（左图）
火车沿直线轨道行驶时，轮缘上点Ｍ的运动轨迹
——摆线（右图）
z
y
x
01-5-12
24
Slide 23
概念
O点 —— 参考点、弧坐标原点。
S
—— 弧坐标、O点至动点M的弧长。是时间ｔ
的单值函数。
正负号—— 规定参考点的一侧方向为正向，相应部
位的弧长为正值；另一侧方向为负向，相
应部位的弧长为负值。
S
O
( )
M
( )
Slide 24
自然轴系
//
M M
P 平面趋于一极限位置，
， P
即空间
曲线在 M 点的密切面。
( ) B
， 为切向单位矢量
M
P
( )
O
s
A
M
由于M点附近的微小弧段
可以可以近似的看成为一条
在密切面内的平面曲线，因
此对平面曲线而言，密切面
就是该曲线所在的平面。
Slide 25
n 密切面
n
n 为主法线
n ， b 法面
法面
b 密切面
b
b 为副法线
、 n 、 b 分别为
切向、主法向和副法
主法线
法面
A
密切面
向单位矢量，三个相
n
互垂直矢量的轴线构
b
成的坐标轴即为自然
坐标轴。
主法线
M
B
切线
Slide 26
自然轴系方向规定
的正向指向弧坐标正向，n 的正向指向曲线在M点的曲
率中心，b 的正向则由右手规则决定，即
b= ×n
自然轴系特征及与笛卡儿坐标系的区别
自然轴系、n、b的方向随动点位置的变动而变动， 单
位矢量、n、b的方向不断变化。笛卡儿坐标系为固定坐标
系，单位矢量i、j、k为定矢。
Slide 27
１、
运动方程：
由于动点在空间的位置可用坐标唯一的确定，而坐
标s又是t的单值连续的矢量函数，故可表示如下：
S f ( t ) ( 5 13 )
——运动方程
S
O
( )
M
( )
Slide 28
2、运动速度：
公式推导
dr
dr
ds
v
=
dt
ds dt
dr
r
而 ＝ lim
1
s 0 s
ds
dr
故 ＝
ds
dr
dr
ds
v
=
＝ v
dt
ds dt
Slide 29
结论
动点的速度沿其运动的轨迹方向，大小等于弧坐标
对时间的一阶导数。
3、运动加速度：
d
（ v ） d v
d
a
v
a a n
dt
dt
dt
dt
dv
Slide 30
切向加速度
a
dv
2
dt
d s
dt
2
（ ）
——反映速度大小的加速度
法向加速度
a n＝ v
d
（ 5-17）
dt
——反映速度方向变化的加速度
Slide 31
讨论：法向加速度的计算
计算法向加速度需首先清楚曲线曲率的概念，为此，
下面对曲率进行分析。
T
K
*
j
v
S
M
v
r
M
v
j
s
K lim
s 0
— —弧 s 的平均曲率
j
s
dj
— — M 点的曲率
ds
T
O
97-1-1
30
Slide 32
an v
d
dt
dt
v
¡¡¡¡¡¡ li m
t
t 0
¡¡¡¡¡¡
li m
v j
t
t 0
¡¡¡¡¡¡ li m v
t 0
¡¡¡¡¡¡ v li m
t 0
¡¡¡¡¡¡
¡¡¡¡¡¡
v
r
v
d ( v
j
s
j
s
s
t
li m
t 0
s
(5 18)
t
ds
dt
2
r
——沿轨迹的法线（曲率半径）指向曲率的中心。
Slide 33
全加速度
a a a n¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡(5 -19)
大小
¡¡ a
a a n a b
2
2
2
a a n 0
2
2
a a n £¨5 20£ ©
2
M
方向
tan
a
an
2
¡¡¡¡£¨5 - 21£©
an
a
a
Slide 34
注 ： 判 别 点 作 加 速 运 动 还 是 减 速 运 动 ， 是 用 a， 而 不
是 用 a,与 直 线 运 动 情 形 相 似 ,当 v 与 a 同 号 ,点 作 加 速 运
动 ,反 之 作 减 速 运 动 。
几种特殊情况
匀速曲线运动
s s o vt
(5 22)
Slide 35
匀变速曲线运动
v v o a t
1
2
s so vo t
a t
(5 2 3)
2
2
2
v v o 2 a ( s s o )
典型例题
例 1、 下 图 为 料 斗 提 升 机 示 意 图 。 料 斗 通 过 钢 丝 绳 由 绕 水 平
轴 o 转 动 的 卷 筒 提 升 。 已 知 ： 卷 筒 的 半 径 R = 16cm ， 料 斗 沿
铅 垂 提 升 的 运 动 方 程 为 y= 2t 2 ， y 以 cm 为 计 ， t 以 s 为 计 。 求
卷 筒 边 缘 上 一 点 M 在 t= 4s 时 的 速 度 和 加 速 度 。
Slide 36
M
解 ：（ 1 ）、 分 析 运 动
卷筒边缘上 M
R a
n
点沿半径为 R 的圆周运动。
o
（ 2）、 列 运 动 方 程 ， 求 未 知 量
运动。
, 此时 t 0，
料斗在 A o 处；在瞬时
t ，料斗在
A 处 , M 点到达 M 处， M 点的弧
坐标为 :
s y 2t
a
a
卷筒边缘上 M 点沿半径为 R 的圆周
设 : M o 为弧坐标原点
M
o
A
2
y
Ao
M
Slide 37
M
M
o
R a
n
o
a
a
M
Slide 38
从而， v
ds
4 t 4 4 16 cm / s
dt
a
dv
4 cm / s 常量
2
dt
2
a n
v
a
a a
tg
R
2
16
16 cm / s
2
16
2
a
an
2
n
4
4 16 16 . 5 cm / s
2
2
0 . 25
16
arctan 0 . 25 14 2
o
2
Slide 39
例 2 ． 列 车 沿 曲 线 轨 道 行 驶 ， 初 速 度 v 1 = 18km /h ， 速 度 均 匀 增
加 ， 行 经 s= 1km 后 ， 速 度 增 加 到 v 2 = 54km /h ， 若 铁 轨 形 状 如 下
图 所 示 。 在 M 1 及 M 2 的 曲 率 半 径 分 别 为 ： r 1 = 600m 、 r 2 = 800m 。
求列车从 M1 到 M2 点处所需的时间和经过 M1 和 M2 处的加速
度。
M1
v1
a 1
2
an2
a n1
1
a1
a2
v2
M
2
a 2
Slide 40
解 ：（ 1 ）、 分 析 运 动
列车作匀变速曲线运动
（ 2）、 列 运 动 方 程 ， 求 未 知 量
a
由题意可知：
dv
常数
dt
v 2 v1 a t t
故，
v 2 v1
a
v 2 v1
2
v 2 v1 a s a
2
另外， a n
a
v
2
2
2s
2
r
a a tan
2
2
n
a
an
上述各式中代入各已知量即可求出各未知量。
Slide 41
例 3、 下 图 为 偏 心 驱 动 油 泵 中 的 曲 柄 导 杆 机 构 。 设 曲 柄 O A 长
为 r， 自 水 平 位 置 开 始 以 匀 角 速 度 转 动 ， 即 j = t。 滑 槽 K — K
与 导 杆 B— B 制 成 一 体 。 曲 柄 端 点 A 通 过 滑 块 在 滑 槽 K— K 中
滑 动 ， 因 而 曲 柄 带 动 导 杆 B— B 作 上 下 直 线 运 动 。 试 求 导 杆 的
运动方程，速度和加速度。
Slide 42
x
B
解 : 分 析 运 动 :因 滑 槽 K
B
—Ｋ与导杆Ｂ—Ｂ制成
K
x
一体，且作直线运动，
K
M
r
j
x
o
故滑槽中点Ｍ的运动可
代表导杆的运动。
97-1-1
01-5-12
列运动方程
由图中的几何关系，可知Ｍ点的坐标为：
x OM OA sin j r sin j r sin t
(a )
109
Slide 43
将上式对 t 分别求一阶和二阶导数
v
dx
r cos t
即可得 v 及 a
a
dv
r sin t
2
dt
dt
x
结果分析：
t
xmax r
见右图。
xmin r
v
t
vmax
vmin
a
t
amax
amin
01-5-12
01-5-12
图1 ~ 3(b)
17
10
Slide 44
例4.
曲柄连杆机构是由曲柄、连杆及滑块组成的机构
(下图）当曲柄OA绕0轴转动时，由于连杆AB带动，滑块B
沿直线作往复运动。曲柄连杆机构在工程上有广泛的应用。
在蒸汽机、内燃机中，用它将往复直线运动转换为回转运
动；在往复式水泵、曲柄冲压机中，应用它将回转运动转
换为往复直线运动。设曲柄OA长为r，以匀角速绕0轴转
动，即j=t，连杆AB长为L。试求滑块B的运动方程、速
度和加速度。
Slide 45
Slide 46
解：运动分析：滑块 B 沿直线作往复运动
列运动方程：
如图所示，取滑块 B 的直线轨迹为 x 轴，o 为坐标原点。
由几何关系可知，B 点的运动方程应为：
x OB OC CB r cos j L cos ( a )
又因 : r sin j L sin
即 : cos
1 sin
2
1 sin j
(
2
2
r
L
(b )
)
Slide 47
将 1 sin j 展开为级数
2
2
1 sin j 1
2
1
,得
sin j
2
2
2
1
1
1
sin j
4
4
8
sin j (因一般的连杆机构中
2
2
0 .2 ,
2
则 0 . 04 , 0 . 0016 , 故
2
4
1
sin j 以后的项目均可略去
4
4
8
从而运动方程简化为
:
x r cos t L (1
1
2
sin t ) ( d )
2
2
)。
Slide 48
利用倍角三角函数公式
sin
2
可得 :
t
1
(1 cos 2 t )
2
代入 ( d ) 式并整理得
x L (1
:
2
) r (cos t
4
v
r (sin t )
dt
a
dv
dt
cos 2 t ) ( e )
4
将上式对 t 分别求一阶和二阶导数
dx
即可得 v 及 a
sin 2 t ) ( f )
2
r (cos t cos 2 t ) ( g )
2
Slide 49
x
t
x max r
x min r
v
t
v max
v min
a
t
a max
a min
01-5-12
图1 ~ 3 ( b )
10
Slide 50
例 6、 下 图 是 矿 井 提 升 机 。 主 要 数 据 如 下 ： 提 升 高 度 为
876m ， 开 始 提 升 时 罐 笼 的 加 速 度 是 0.7m /s 2 , 速 度 达 到
7.84m /s 后 ,即 以 此 速 度 匀 速 提 升 ,最 后 再 以 减 速 度 0.7m /s 2 减
速 提 升 ,直 到 最 后 停 止 。 试 求 提 升 一 所 需 的 时 间 T 。
v
o
a
b
7 . 84 m / s
c
o
t1
t2
T
t3
t
Slide 51
解：运动分析：罐笼沿铅垂线运动，第一阶段为匀加速直
线运动，第二阶段为匀速直线运动，第三阶段为减速直线运
动 ， 图 1~ 7 为 该 罐 笼 的 速 度 图 。
列运动方程：
1).t 1 的 计 算
由匀加速直线运动公式:
v1 v o a1t1
2
t
0
时
,
v
0
,
a
0
.
7
m
/
s
;
o
1
将
代入上式即可求得
2
t t1时 , v1 7 . 84 m / s , a1 0 . 7 m / s ;
t1 11 . 2 s
Slide 52
2).t 3 的 计 算
由匀减速直线运动公式:
v3 v 2 a 3t 3
v 2 v1 7 . 84 m / s , a 3 0 . 7 m / s 2 ;
将
代入上式即可求得
t t 3时 , v 3 0 .
t 3 11 . 2 s
3 ).t 2 的 计 算
Slide 53
最 后 计 算 t2。 必 须 考 虑 起 动 和 制 动 阶 段 所 走 过 的 路 程 。 在 t1
时 间 内 提 升 罐 笼 的 高 度 h 1， 可 由 匀 变 速 运 动 的 路 程 公 式 求
得：
h1 v o t1
代入数据得
: h1
1
1
2
2
1 1
at
0 . 7 (11 . 2 ) 44 m
2
2
同理可求出 : h3 44 m
于是可求出 : h2 h h1 h3 876 2 44 788 m
Slide 54
由于该阶段为匀速直线
t2
788
运动阶段 , 故该阶段所须时间为
100 . 4 S
7 . 84
从而可得提升一次所须
时间为 :
t t1 t 2 t 3 11 . 2 100 . 4 11 . 2 122 . 8 s
:
Slide 55
第二节 刚体的基本运动
一、刚体的平动
定义
运动时刚体上任一直线始终与原来位置保持平行。
O
O
B
A
M
Slide 56
刚体平动的特点
刚体平动时，其上所有各点的运动轨迹相同；在每一
瞬时，各点的速 度相同、加速度也相同。
rAB — — 常 矢 量
vA
A
aA
rA B
rA
rB
o
B
A
1
vB
aB
B
1
A 2
B 2
Slide 57
d rA
d rB
d rB A
r A rB rB A
dt
dt
dt
d rA
d rB
０
dt
dt
vA vB
(5 24)
aA aB
结论
刚体上任一点的运动可以代表整个刚体运动，即刚体
的平动可以归结为点的运动来研究。
Slide 58
二、刚体绕定轴转动
定义
刚体转动时，刚体内始终有一条直线固定不动，
而这条直线以外的各点则绕此直线作园周运动。
转动方程
( )
平面之间的
I ——通过 z 轴的
j
固定平面。
II— — 通 过 z 轴 随
刚体一同转
动的平面。
j— — 某 一 瞬 时 t
时 I 、 II 两
I
II
o
夹角。
Slide 59
()
I ——通过 z 轴的
固定平面。
j
o
II— — 通 过 z 轴 随
刚体一同转
动的平面。
j— — 某 一 瞬 时 t
时 I 、 II 两
平面之间的
I
夹角。
II
Slide 60
转动方程
j = j (t)
(5 -2 5 )
刚体绕定轴转动的转动方程
j的 性 质 代 数 量 。
j的 方 向 从 转 轴 z 的 正 端 向 负 端 看 ， 逆 时 针 转 动 为
正，顺时针转动为负。
角速度
dj
j ( t ) （ ５ -２ ６ ）
dt
的 性 质 代 数 量 。
的 的 方 向 ：
若某一瞬时
dj
dt
的值为正，则
与 j 的正向一致，反之与负
向一致。
Slide 61
角加速度
d
dt
dj
2
j ( t ) （5 27）
dt
的 性质代数量。
的 的 方 向 ：
若某一瞬时
d
的值为正，则
与 j 的正向一致，
dt
反之与负向一致。
与 的 关 系 ： 与 同 号 时 ， 刚 体 作 加 速 运 动 ， 反 之
作减速运动。
Slide 62
两种特殊的情况
（ １ ）、 匀 速 转 动 — — 为 常 量
dj
dt
由 于 为 常 量 ， 故 由 上 式 可 得 ：
j j o t
(5 28)
j jo t
其 中 j o — — 刚 体 在 t= 0 时 的 转 角
（ 2 ）、 匀 变 速 转 动 — — 为 常 量
o t
1
2
j
j
t
t
(5 2 9 )
o
o
2
2
2
2 (j j o )
o
Slide 63
举例
动方程为 j 2 t 。
(j 的单位为 rad ,
2
例1、已知电动机转轴的转
t 的单位为 s ); 求当 t 2 s 时，转轴的角速度与角
解 ：
dj
加速度。
4 t 8 rad / s
dt
d
dt
dj
2
4 rad / s
常量
2
dt
由 于 与 同 号 且 为 正 ， 并 且 = 常 量 ， 故 知 转 轴 按 逆 时 针
方向作匀加速转动。
Slide 64
例 2、车细螺纹时，如果车
床主轴的转速
n o 300 r / min ，要求主
轴在两转后立即停止，
以便很快反转。设停车
动，求主轴的角加速度
。
过程是匀变速转
解：
已知 : o
no
30
300
10 ( rad / S ), 0 , j 2 2 4 ( rad )
30
(1) 分 析 运 动 ： 主 轴 是 匀 变 速 转 动
(2) 列 出 匀 变 速 转 动 公 式 ， 求 未 知 量
Slide 65
2
o 2 (j j o )
(j o 0 )
2
将已知数据代入即可得
:
39 . 25 rad / s
2
(3)、 分 析 讨 论 ： 负 号 表 示 的 方 向 与 主 轴 转 动 方 向 相 反 ，
故为减速运动。
Slide 66
三、定轴转动时刚体内各点的速度和加速度
速度
y
如图所示
:
r
— 转动半径。
M
o
— 弧坐标的原点。
M
— t 瞬时点的位置。
v
M
r
j
j
o
s
Mo
x
Slide 67
则 M 点的速度为：
v
ds
dt
d
( rj ) r
dt
dj
r
(5 30)
dt
或:
v r
d
2
2 n
60
dn
(5 31)
60
物理意义：转动刚体上任意点的速度等于该点转
动半径与刚体角速度的乘积，方向垂
直 于 转 动 半 径 ， 指 向 与 的 转 向 一 致 。
Slide 68
加速度
根据平面曲线运动规律可知：此处点的加速
度包括切向加速度和法向加速度，它们分别为：
dv
d
d
a dt dt ( r ) r dt r
(5 32)
2
2
a v ( r ) r 2
n
r
r
物理意义：转动刚体上任意点的切向加速度等于该点转
动半径与刚体角加速度的乘积，方向垂直于
转 动 半 径 ， 指 向 与 的 转 向 一 致 。 法 向 加 速 度
Slide 69
等于该点转动半径与刚体角速度平方的乘积，方向指向园
心 O。
全加速度
a a 2 a 2 ( r ) 2 ( r 2 ) 2 r 2 2
n
（ 5 33）
a
r
2
tan
2
an
r
其中 — —全加速度与该点半径
之间的夹角 .
Slide 70
y
y
a
a
M
o
an
x
a
M
o
x
结论
由 于 在 每 一 瞬 时 ， 刚 体 的 和 对 于 其 上 所 有 各 点
来 说 具 有 相 同 的 数 值 ， 所 以 由 式 （ 5 -3 2 ） 和 式 （ 5 -3 3 ）
可知：在每一瞬时，转动刚体内所有各点的切向加
Slide 71
速度、法向加速度以及全加速度都与各点的转动半径
成正比。
在每一瞬时，转动刚体内所有各点的全加速
度 与 转 动 半 径 的 夹 角 都 相 同 ， 即 角 与 转 动 半 径 的 大 小
无关。
举例
例 3、 下 图 是 辊 道 工 作 原 理 简 图 ， 已 知 辊 子 直 径
d= 200m m ， 转 速 n= 50r/m in ， 求 辊 道 上 钢 坯 运 动 速 度 。
v
M
钢坯
辊子
Slide 72
解 ：（ 1） 分 析 运 动 ： 钢 坯 平 动 ， 辊 子 的 运 动 是 定 轴 转 动
（ 2） 求 未 知 量 ： 辊 子 同 钢 坯 接 触 点 的 速 度 即 为 钢 坯 的
运动速度。
vM
dn
60
200 50
60
524 mm / s 0 . 524 m / s
Slide 73
例 4、矿井提升机的罐笼按
1
y
直线规律上升，
2
匀变速
M
2
a o t ，其中 a o
是常数，求卷筒的的角
R
速度及角
加速度。
解：
（ 1） 分 析 运 动 ： 罐 笼 平 动 ， 卷 筒 定 轴 转 动
（ 2） 求 未 知 量 ：
由y
1
2
v
dy
dt
y
2
aot , 得 :
d
(
1
dt 2
aot ) aot
2
Slide 74
a
dv
dt
a o
又 a R a o
ao
R
常数
v
R
1
R
aot
Slide 75
第三节、定轴轮系的传动比
——主动轮与从动轮转速的比值
一、胶带传动
i1 2
1
2
r2
r1
B
or
i1 2
n1
n2
d2
vB
vA
2
A
1
d1
r1
r2
— — (5 3 4 )
I
II
97-1-1
19
Slide 76
B
vA
vB
2
A
1
r1
r2
I
II
Slide 77
二、齿轮传动
i1 2
or
i1 2
1
Z2
2
r1
Z1
— — (5 35)
n1
d2
Z2
n2
d1
Z 1
r2
式 中 :r— — 齿 轮 节 园 半 径
d— — 齿 轮 节 园 直 径
Z— — 齿 轮 的 齿 数
Slide 78
举
例 2 ~ 5、图 2 ~ 16 是一减速箱，它由四个
例
组成，其齿数分别为
齿轮
Z 1 10 ， Z 2 60 ， Z 3 12 ，
Z 4 70 。求：( a ) 减速箱的总传动比
i13；
( b ) 如果 n1
3000 r / min ，求 n 3
（ 1 ） 分 析 运 动 ： 各 轮 都 作 转 动 ,它 是 定 轴 轮 系 传 动 问 题
解：
（ 2） 求 未 知 量 ：
1
n1
I
3
II
2
n2
III
n3
4
Slide 79
I 轴与 II 轴的传动比
i12
i12
n1
n2
n2
n3
i13
由 i13
n1
n3
n3
n1
n2
6
10
i 23
Z4
Z3
I 轴与 III 轴的传动比
n1
60
Z1
II 轴与 III 轴的传动比
i 23
Z2
70
5 .8
12
i13
n2
n3
n 3
i12 i 23 6 5 . 8 34 . 8
n1
i13
3000
34 . 8
86 r / min
Slide 80
例 2 ~ 6、图 2 ~ 7 是加热炉前堆料机的传
动机构简图。已知
n1 3000 r / min ， d 1 100 mm ， d 2 1000 mm ， d 3 100 mm ，
d 4 600 mm ， d 5 200 mm ，求堆料机推头的速度
。
解 ：（ 1） 分 析 运 动 ： 齿 条 和 推 头 作 平 动 ,各 齿 轮 均 作 转 动
（ 2） 求 未 知 量 ：
如图所示
: 齿轮和齿条相啮合点的
速度，即推料机
推头的速度 v c，故得 :
v c r5 3 — — ( a )
首先 : i13 i12 i 23
d2
d1
d4
d3
1000 600
100 100
60
Slide 81
齿条
III
推头
A
C
d5
B
II
d3
d4
d1 I
n1
齿轮
d 2 n3
齿条
C
vc
Slide 82
即 : n 3
从而 : 3
n1
i13
n3
30
300
5 r / min
60
5
30
rad / s
6
将 3 代入 ( a ) 式 , 即得推料机的速度为
v c r5 3 100
6
52 . 3 mm / s
:
Slide 83
第四节：刚体的角速度与角加速度的矢量表示
点的速度与加速度的矢积表示
z
一、刚体的角速度与角加速度的
矢量表示
角速度矢
——表示转轴位置、角速度
大小及方向的矢量。
设OZ的正向单位矢为k，则：
K
o
dj
k
(5 - 36)
dt
方向按右手法则确定
Slide 84
角加速度矢
d
dt
d j
2
dt
2
K
（ 5 - 37）
总结
因角速度矢、角加速度矢 可以从转轴上的任意点画
起，故其为滑动矢量。
刚体转动时， 与 同向则加速，反向则减速。
Slide 85
二、点的速度与加速度的矢积表示
z
速度
v p rp
(5 - 38)
a
上式之所以成立，原因有两个：
按照右手螺旋法则，等号两边矢
量的方向一致。 等号两边矢量的
模相等。
vp
n
p
P
r
r p r p sin R v
ap
Slide 86
加速度
a P
dv p
d
dt
dt
rp
rp v P
d rp
dt
(5 - 39)
r p （ r p）
ap ap
其中
n
a p rp
n
a p rp
(5 - 40)
上式之所以成立，原因同样有两个：按照右手螺旋法
则，等号两边矢量的方向一致。 等号两边矢量的模相等。
（证明略）
Slide 87
z
三、泊松公式
设一动坐标系O1x'y'z’
绕定轴oz以角速度转动，
其上单位矢（i，j，k）
求：
di
dj
dk
, ,
dt
dt
dt
由变矢量对时间导数
的的几何解释可知其分别
为单位矢i，j，k的端点
P1、P2、P3沿其端（三个同
轴圆）的速度。
z
y
P3
K
o
i
x
P1
o
j
P2
Slide 88
z
( v P1 ) i
dt
dj
( v P2 ) j
dt
dk
( v P3 ) k
dt
di
z
y
o
(5 - 4 1 )
——泊松公式
x
ro
o
j
P2
rP2
Slide 89
证明
j rP2 ro
dj
dt
d rP2
dt
d ro
dt
= v P2 v o
rP2 ro
（ rP2 ro ）
j
同理，另外两式可以得到论证。