Transcript 第九章动量矩定理

第二篇
动 力 学
Theoretical Mechanics
第九章
制作与设计
动量矩定理
山东大学 工程力学系
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第九章 动量矩定理
目录
9.1 质点和质点系的动量矩
9.2 定轴转动刚体对转轴的动量矩·转动惯量
9.3 动量矩定理
9.4 刚体绕定轴的转动微分方程
9.5 质点系相对于质心的动量矩定理
9.6 刚体的平面运动微分方程
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第九章 动量矩定理
§9.1 质点和质点系的动量矩
Theoretical Mechanics
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9.1 质点和质点系的动量矩
动量矩是矢量，称为动量矩矢。
质点动量矩
质点M的动量对于O点的矩，定
义为质点对于O点的动量矩，即
m O (mv )  r  mv
方向垂直于矢径r与动量mv所形
A
F
mv
r
mO (F )
B
d
成的平面，指向按右手法则确定
，其大小为
mO (mv )  mv r sin( r , mv )  mvd  2OAB 面积
在国际单位制中，动量矩的单位是kgm2s-1。
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mO (mv)
9.1 质点和质点系的动量矩
以矩心O为坐标原点，建立直角坐标系O xyz，由矢量积定义
m O (mv )  r  mv 
i
j
k
x
y
z
mv x
mv y
mv z
mO (mv )  ( ymv z  zmv y )i  ( zmv x  xmv z ) j  ( xmv y  ymv x )k
mO mv   mx mvi  m y mv j  mz mvk
质点的动量对固定点的动
量矩矢在通过该点的任一固
定轴上的投影等于质点的动
量对该固定轴的动量矩
动量矩的量纲是
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m x mv   ymv z  zmvy 


m y mv   zmvx  xmv z 

m z mv   xmv y  ymv x 

mO (mv)  M L2 T 1  F LT 
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9.1 质点和质点系的动量矩
质点系动量矩
质点系中所有各质点的动量对于固定点O的动量矩矢之和
称之为该质点系对O点的动量矩，即 n
n
LO 
投
影
形
式
LO x  Lx  m x mv 

LO y  L y  m y mv 

LO z  Lz  m z mv 
 MO (mi vi )  ri  mi vi
i 1
i 1
质点系对某固定点O的动量矩矢在通过该点的轴上的投影
等于质点系对该轴的动量矩。
对于平面问题，动量矩矢总是垂直于该平面，则可视为代
数量，并规定逆时针方向为正，顺时针方向为负。
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第九章 动量矩定理
§9.2 定轴转动刚体对转轴的
动量矩·转动惯量
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9.1 定轴转动刚体对转轴的动量矩 · 转动惯量
一、定轴转动刚体对转轴的动量矩
Lz   ri mi vi   mi ri 2      mi ri 2
J z   mi ri 2 —— 刚体对z轴的转动惯量
i
Lz  J z
绕定轴转动刚体对转轴的动量矩等于刚
体对其转轴的转动惯量与转动角速度的乘积
9.1 定轴转动刚体对转轴的动量矩 · 转动惯量
二、转动惯量
转动惯量——是刚体转动时惯性的度量。
转动惯量的大小不仅与质量
的大小有关，而且与质量的分
布情况有关。
其单位在国际单位制中为kg·m2
如机器上的飞轮，边缘比较厚实。目的就是增加其转动
惯量，以使机器的运转平稳。而仪表中的指针做的比较细，
目的是减少其转动惯量，以使其转动灵敏，提高仪表的精
度。
9.1 定轴转动刚体对转轴的动量矩 · 转动惯量
1.回转半径（或惯性半径）
z 
Jz

m
J z  m
回转半径（或惯性半径）
2
z
2.简单形状物体的转动惯量的计算
（1）均质细直杆
z
A
C
B
x
l
x
dx
9.1 定轴转动刚体对转轴的动量矩 · 转动惯量
z
（1）均质细直杆
A
C
m 2
1
x
l
Jz  
x dx 
ml 2
l / 2 l
12
J
l
z
回转半径为：
z 

 0.289l
m 2 3
B
x
l 2
dx
z
（2）均质圆环
J z   mi ri 2   mi R 2  mR 2
回转半径为：
z 
Jz
R
m
R
O
9.1 定轴转动刚体对转轴的动量矩 · 转动惯量
（3）均质圆板

Jz  
R
0
m
1
2
2
2


d




mR
 R2
2
O
回转半径为：
z 
d
Jz
2

R  0.7071R
m
2
部分均质刚体的转动惯量及回转半径见附录Ｃ
R
9.1 定轴转动刚体对转轴的动量矩 · 转动惯量
三、平行轴定理
J zC   mi ri 2   mi ( xi2  yi2 )
J z   mi r 2   mi ( x 2  y 2 )
  mi [ xi2  ( yi  d ) 2 ]
  mi ( xi2  yi2 )  2d  mi yi  d 2  mi
yC
my


m
i
i
i
0
J z  J zC  md 2
★ 两轴必须是相互平行
★ JzC必须是通过质心的
9.1 定轴转动刚体对转轴的动量矩 · 转动惯量
例9.1
J z  J Cz
例9.2
1
J Cz 
ml 2
12
l 2 1 2
 m( )  ml
2
3
z
zC
C
A
l
均质空心圆柱体
1
1
2
J z  m1 R  m2 r 2
2
2
m1     R 2 h
m2     r 2 h
1
1
4
4
J z   h  ( R  r )   h( R 2  r 2 )( R 2  r 2 )
2
2
1
空心圆柱体
 m( R 2  r 2 )
的质量m
2
B
9.1 定轴转动刚体对转轴的动量矩 · 转动惯量
例9.3
细杆OA对O轴的转动惯量
J O1
1
 m1l 2
3
空心圆盘C对O轴的转动惯量
J OC
1
 m2 ( R 2  r 2 )  m2 ( R  l ) 2
2
整个钟摆对O轴的转动惯量
J O  J O1  J OC 
1
1

m1l 2  m2  ( R 2  r 2 )  ( R  l ) 2 
3
2

第九章 动量矩定理
§9.3 动量矩定理
Theoretical Mechanics
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9.3 动量矩定理
质点动量矩定理
质点对固定点的动量
矩对时间的一阶导数等
于作用于质点上的力对
同一点的力矩。
m O (mv )  r  mv
z
mv
mO (mv)
F
mO (F )
A
r
d
z
x
O
y
x
d
r  mv  v  mv  0
dt
B
y
d
mv   F
dt
d
d
d
d
mO mv   r  mv   r  mv   r  mv 
dt
dt
dt
dt
Theoretical Mechanics
d
mO mv   r  F  mO F 
dt
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9.3 动量矩定理
质系动量矩定理
设质点系内有n个质点，作用在第i个质点上的力有内力
和外力 Fii  ，Fie  按质点的动量矩定理，有
 
 
d
mO mi v i   mO Fii   mO Fie 
dt
i =1，2，…，n
  
n
n个方程的矢量和
n

d
dt
n

i 1
i 1
i 1
d
m O mi v i  
dt
m O mi v i  
m O Fii   0





m
F


n
m O Fii  
i 1
  
n
m O Fi
i 1
e 
n
e
O
i 1
d
LO  M Oe  
dt
i
n

ri  Fie 
i 1
质点系动量矩定理: 质点系对于某固定点O的动量矩对时间
的一阶导数，等于作用于质点系的外力对同一点的主矩。
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9.3 动量矩定理
动量矩定理的投影形式
质系对于 x ，y，z 轴的
动量矩等于质系中各质点
动量对于 x ，y，z 轴动量
矩的代数和。
 
 
 
d
  
L x  M xe   m x Fi e 
dt

d
e  
e 
L y  M y  m y Fi 
dt

d
 
L z  M ze   m z Fi e 

dt
Theoretical Mechanics
LO x  Lx  m x mv 


LO y  L y  m y mv 

LO z  Lz  m z mv 
质点系对某定轴的
动量矩对时间的一阶
导数，等于作用于质
点系上的外力对该轴
之矩的代数和。
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9.3 动量矩定理
动量矩守恒
内力不能改变质系的动量矩，只有作用于质系的外力才能
使质系的动量矩发生变化。在特殊情况下外力系对O点的主矩
为零，则质系对O点的动量矩为一常矢量，即
M O(e)  0, LO  常矢量
外力系对某轴力矩的代数和为零，则质系对该轴的
动量矩为一常数。
 M x ( F (e) )  0
Theoretical Mechanics
Lx = 常量
9.3 动量矩定理
例 题
例 水平杆AB长为2a，可绕铅垂轴z 转动，其两端各用铰链与
长为l的杆AC及BD相连，杆端各联结重为W的小球C和D。起初
两小球用细线相连，使杆AC与BD 均为铅垂，系统绕 z 轴的角
速度为  0 。如某瞬时此细线拉断后，杆AC与BD各与铅垂线成
角  ，如图所示。不计各杆重量，求这时系统的角速度。
解：系统所受外力有小球的
重力及轴承的约束力，这些
力对z轴之矩都等于零。系统
对z 轴的动量矩守恒。
Theoretical Mechanics
9.3 动量矩定理
例 题
开始时系统的动量矩为
W

W 2
Lz1  2  a0  a  2 a 0
g
g

细线拉断后的动量矩为
W
Lz 2  2 (a  l sin  ) 2 
g
Lz1  Lz 2
Theoretical Mechanics
W 2
W
2 a 0  2 (a  l sin  ) 2 
g
g
a2

0
2
(a  l sin  )
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第九章 动量矩定理
§9.4 刚体绕定轴的转动微分方程
Theoretical Mechanics
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9.4 刚体绕定轴的转动微分方程
设刚体在外力作用下绕轴转动，角
速度，角加速度  。令 z 轴与转轴重
合，刚体对 z 轴的动量矩为
Lz   ri mi vi   mi ri     mi ri
2
Lz  J z
2
J z   mi ri 2
刚体对转动轴的动量矩等于刚体对
该轴的转动惯量与角速度的乘积。
应用质系对z轴的
 
d
e
J z   mz Fi

动量矩方程，得 dt
J z  M z
Theoretical Mechanics
9.4 刚体绕定轴的转动微分方程
 
d
J z   M z ( F )
 J z   mz Fi e
dt
d 2
Jz 2  M z
dt
此式称为刚体绕定轴转动的微分方程
由于约束力对z 轴的力矩为零，所以方程中只需考虑主动力的矩
（1）外力矩Mz越大，刚体转动的角加速度也越大。当Mz=0
时，角加速度 = 0，刚体作匀速转动或保持静止。
（2）在同样的外力矩作用下，刚体的转动惯量 Jz 越大，角加
速度  越小。Jz反映了刚体保持其匀速转动状态能力的大小，
转动惯量是刚体转动时的惯性度量。
Theoretical Mechanics
9.4 刚体绕定轴的转动微分方程
例题
例 已知刚体的质量为m，质心到转轴O的距离OC=a，刚体绕水
平轴O作微幅摆动的周期为T，求刚体相对于转轴的转动惯量。
解：建立刚体的转动微分方程式，以摆的
平衡位置作为角的起点，逆时针方向为正
，即
d2 
JO
2
 mga sin 
dt
d 2  ma

g  0
作微幅摆动时，sin    ，简化为
2
dt
JO
 mga

t   
微分方程的通解为   0 sin 
 JO

其中  0 及 由运动的初始条件确定，而振动的周期为
T  2π J O mga
Theoretical Mechanics
JO 
1
2
mgaT
4π 2
9.4 刚体绕定轴的转动微分方程
例 卷扬机的传动轮系如图所示，设
轴I 和  各自转动部分对其轴的转动
惯量分别为J1和J2，轴I的齿轮C上受主
动力矩 M 的作用，卷筒提升的重力为
mg。齿轮 A、B 的节圆半径为r1、r2，
两轮角加速度之比r2/r1 =i12。卷筒半径
为 R ，不计轴承摩擦及绳的质量。求
重物的加速度 。
Theoretical Mechanics
例题
9.4 刚体绕定轴的转动微分方程
例题
解：本题二根固定轴必须拆开，分别以两轴及与其固连的齿轮
为研究对象。轴 I 除受主动力矩M 和重力、轴承约束力外，还
受有齿轮力 Ft 及Fn，现假设1与M 的方向相同，如图所示。
为使方程正负号简单，一般约定以轴I 的转向为正，于是轴 I
的转动方程为
J11  M  Fτ r1
再以轴Ⅱ和重物W 为研究
对象，画出其受力图。按运
动学关系画出 2 ( 1 反向)
，以2转向为正，应用质点
系的动量矩定理
d
 J 22  mvR   Fτ r2  mgR
dt
Theoretical Mechanics
9.4 刚体绕定轴的转动微分方程
J11  M  Fτ r1
例题
2
J

mR
 2
  2  Fτ r2  mgR
式中有三个未知量1、2和Ft，还需建立补充方程。由运动学
1 r2
  i12
 2 r1
联立解得
Mi12  mgR
2  2
J1i12  J 2  mR 2
Mi12  mgR  R

重物上升的加速度a  R 2 
2
2
J1i12  J 2  mR
Theoretical Mechanics
9.4 刚体绕定轴的转动微分方程
例题
例 均质梁AB长l，重W，由铰链A和绳所支持。若突然剪断
联结B点的软绳，求绳断前后铰链A的约束力的改变量。
解：以梁为研究对象，绳未断以
前是静力学问题。由静平衡方程
可求出绳未断时，铰链A的约束力
F1Ay 
W
2
绳断之后，梁AB将绕A点转动
。绳断瞬时， = 0。
应用转动方程
Theoretical Mechanics
1W 2
l
l  W
3 g
2
3g

2l
9.4 刚体绕定轴的转动微分方程
再应用质心运动定理求约束力。图示瞬时，质心C的加速度
aCn
0
Macx  Fx
Macy  Fy
l
3g
aC   
2
4

F2 Ax  0
W 3g
 W  F2 Ay
g 4
F2 Ay
3
1
W  W  W
4
4
于是，绳断前后，铰链A约束力的改变量为
FAy  F1Ay  F2 Ay
Theoretical Mechanics
W W W
  
2 4
4
例题
9.4 刚体绕定轴的转动微分方程
例题
例 阿特伍德机的滑轮质量为M，且均匀分
布，半径为 r。两重物系于绳的两端，质量
分别为 m1和 m2。试求重物的加速度。
解：以整体为研究对象，画受力图。设
滑轮有逆时针方向的转动，角速度为，
则滑轮对轴O的动量矩、两重物对轴O的
动量矩分别为
LO1
1
 J O  Mr 2
2
LO2  m1vr  m1r 
2
LO3  m2 vr  m2 r 2
系统对轴O的动量矩为上述三项动量矩之和，即
1  2

LO  LO1  LO 2  LO 3   m1  m 2  M r 
2 

Theoretical Mechanics
9.4 刚体绕定轴的转动微分方程
应用动量矩定理
d 
1  2
 m1  m 2  M r   m1 gr  m 2 gr
dt 
2 
1  2

 m1  m2  M  r    m1  m2  gr
2 

 m1  m2  g
2  m1  m2  g


1 

 2m1  2m2  M  r
m

m

M
r
 1

2
2


2  m1  m2 
重物的加速度 a  r 
g
2m1  2m2  M
Theoretical Mechanics
例题
9.4 刚体绕定轴的转动微分方程
例题
例 图中质量m1 = 5 kg，半径r=30cm的均质圆盘，可绕铅垂轴
z 转动，在圆盘中心用铰链 D 连接质量m2 = 4 kg 的均质细杆
AB，AB杆长为2r，可绕D 转动。当AB杆在铅垂位置时，圆盘
的角速度为= 90 r/min ，试求杆转到水平位置碰到销钉C而相
对静止时，圆盘的角速度。
解：以圆盘、杆及轴为研究对象，画
出其受力图。由受力分析看出，在AB
杆由铅垂位置转至水平位置的整个过
程中，作用在质点系上所有外力对z轴
之矩为零，即 m z F   0 。因此，质
点系对z轴的动量矩守恒。
Theoretical Mechanics
9.4 刚体绕定轴的转动微分方程
杆在铅垂位置时，只有圆盘对z轴的动量矩
1
Lz 0  J z  m1r 2 参阅附录C,3栏令l =0
4
杆在水平位置时，设系统的角速度为1
，系统包含圆盘及杆对z轴的动量矩。
1
1
1
1
2
2
2
Lz1  m1r ω1  m2 2r  ω1  m1r ω1  m2r 2ω1
4
12
4
3
系统动量矩守恒 Lz 0  Lz1
1
1
1
m1r 2  m1r 21  m2 r 21
4
4
3
将有关数值代入 ω1  4.56rad/s
Theoretical Mechanics
1
m1
4
1 

1
1
m 2  m1
3
4
例题
第九章 动量矩定理
§9.5 质点系相对于质心
的动量矩定理
Theoretical Mechanics
9.5 质点系相对于质心的动量矩定理
质系对于固定点O 的动量矩与相
对于质心C 的动量矩之间的关系
质系对于固定点O的矩为
LO  ri  mi v i
建立以质心C为原点的平移坐标系Cx'y'z'，
ri  rC  ri
LO  rC  ri  mi v i   rC  mi v i  ri  mi v i
m v
i i
LO  rC  mvC  LC
Theoretical Mechanics
 Mv C
LC 
r   m v
i
i i
9.5 质点系相对于质心的动量矩定理
LO  rC  mvC  LC
代入质点系对固定
点的动量矩定理得
d
(rC  Mv C  LC )  (rC  ri)  Fie 
dt
drC
dMv C dLC
 Mv C  rC 

 rC  Fie   ri  Fie 
dt
dt
dt
dMv C
 FR( e)  Fie 
dt
drC
 Mv C  v C  Mv C  0
dt
ri  Fie   mC ( Fi e  )  M C
dLC
 mC ( Fi  e  )  M C
dt
相对于质心的动量矩定理：质点系相对于随质心平移坐标系
的相对动量矩对时间的一阶导数，等于质点系的外力对质心
之矩的矢量和。
Theoretical Mechanics
9.5 质点系相对于质心的动量矩定理
质系在相对动坐标系的运动中
对质心的动量矩与在绝对运动
中对质心的动量矩之间的关系
建立以质心C为原点的平移坐标系Cx'y'z'，
LC 
r   m v
i
vi  vC  vi
i i
mi ri  vC  mrC  vC  0
LC  LC r
Theoretical Mechanics
LC r  ri  mi vi
9.5 质点系相对于质心的动量矩定理
质系相对质心的动量矩定理：在相
对随质心平动坐标系的运动中，质
系对质心的动量矩对于时间的一阶
导数，等于外力系对质心的主矩。
d LC
(e)
 MC
dt
Theoretical Mechanics
9.5 质点系相对于质心的动量矩定理
讨
论
如将质系的运动分解为跟随质心的平动和相对质
心的运动，则可分别用质心运动定理和相对质心动
量矩定理来建立这两种运动与外力系的关系。
质系相对质心的运动只与外力系对质心的主矩有
关，而与内力无关。
当外力系相对质心的主矩为零时，质系相对质心
的动量矩守恒。
Theoretical Mechanics
第九章 动量矩定理
§9.6 刚体的平面运动微分方程
Theoretical Mechanics
9.6 刚体的平面运动微分方程
刚体的平面运动分解为跟随质心的平动和相对质心的转动。
刚体在相对
运动中对质
心的动量矩
d LC
 M C(e )
dt
应用质心运动定理和相
对质心动量矩定理得刚
体平面运动微分方程
Theoretical Mechanics
d
JC 2  M C
dt

d 2 xC
m
 Fx 
2
dt


d 2 yC

m


F
y
dt2


d2 
IC 2  M C 

dt
2
9.6 刚体的平面运动微分方程
例题
例 图中均质轮的圆筒上缠一绳索，并作用一水平方向的
力 200 N，轮和圆筒的总质量为50 kg，对其质心的回转半
径为 70 mm。已知轮与水平面间的静、动摩擦系数分别为
f = 0.20和f = 0.15，求轮心O的加速度和轮的角加速度。
解：假设轮子作纯滚动，有
F ≤ fFN
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9.6 刚体的平面运动微分方程
F 为静滑动摩擦力
F≤
fFN
轮心的加速度为 a ，角加速度为  。
由于滚动而不滑动，有
a  R a  0.1
建立圆轮的平面运动方程，得
MaCx  Fx
50a  200  F
MaCy  Fy
50  0  FN  50  9.80
J C  M C
Theoretical Mechanics
50   0.07    F  0.1  200  0.06
2
例题
9.6 刚体的平面运动微分方程
补充方程式为 aCx  a  R , a  0.1
解出
  10.74rad s2 FN  490 N
F  146.3 N
超过了水平面能为园
轮提供的最大摩擦力
Fmax  f FN  0.2  490N  98N
轮子不可能只滚不滑。
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例题
9.6 刚体的平面运动微分方程
例题
考虑轮子又滚又滑的情形：
动滑动摩擦力为 F   f FN
质心加速度a和角加速度 是两个未知量
F
列平面运动方程为
MaCx  Fx ,
MaCy  Fy ,
J C  M C
Theoretical Mechanics
50a  200  F 
50  0  FN  50  9.80
50   0.07     F   0.1  200  0.06
2
9.6 刚体的平面运动微分方程
例题
力的补充方程为 F   f FN
联立解得
FN  490N
a  2.53m s2
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F
 N  0.15  490N  73.6N
F  f F
,
,
  18.95rad s 2
9.6 刚体的平面运动微分方程
例题
例 均质细杆AB长2l，质量为m，B端搁在光滑水平地板上，A
端靠在光滑墙壁上，A、B均在垂直于墙壁的同一铅垂平面内。
初瞬时，杆与墙壁的夹角为0，杆由静止开始运动，求杆的角
加速度、角速度及墙壁和地面的反力，(表示为 的函数)。
解：以杆为研究对象，画受力图，
列平面运动方程
d 2 xC
m
 FA
2
dt
d 2 yC
m
 FB  mg
2
dt
d2 
JC
 FBl sin   FAl cos 
2
dt
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9.6 刚体的平面运动微分方程
式中有五个未知数，而只有三个方程
。由几何关系，列运动方程为
xC  l sin , y C  l cos
对 t 求二阶导数，得质心的加速度
d 2 xC
d2 
d 2
 l 2 cos  l ( ) sin
2
dt
dt
dt
d 2 yC
d2 
d 2
 l 2 sin  l ( ) cos
2
dt
dt
dt
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例题
9.6 刚体的平面运动微分方程
1 2
由 J C  ml ，联立解得
3
d 2  3g

sin
2
4l
dt
3
d 2
FA  mg sin cos  ml ( ) sin
4
dt
3
d 2
2
FB  mg  mg sin   ml ( ) cos
4
dt
求杆的角速度 d
dt
d
d
d
d( ) d( )
d( )
2
d

d

d

dt  dt
dt
由


(
)
dt
d dt
dt
d
dt 2
Theoretical Mechanics
例题
9.6 刚体的平面运动微分方程
 d 
d
 3g
d

d
t


得
sin 
dt d
4l
d
dt
例题
 d
d
 dt
 3g
sin   d

 4l
 d 
进行积分，并代入初始条件，  0 
 0
 d t 0
d 
3g

得
   cos  0  cos  
 d t  2l
2
有 FA 
d
3g
cos 0  cos 

dt
2l

3mg
mg
sin 3 cos  2 cos 0  FB 
1  7 cos 2   6 cos 0 cos
4
4
利用FA=0的条件，可以求出 A 端脱离墙壁时的角度
2

  arccos cos 0 
3

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