Transcript 第三章2
回顾
1.定轴转动刚体上任一点的速度和加速度
vi ri
ai vi ri ri
2.平面运动刚体上任一点的速度和加速度
基点法
vB v A vBA
瞬心法
vp cp
速度投影定理
c 点为瞬心
速度
vB 0 v A 0
加速度 基点法
a p a0 r ( r )
2
a0 k r r
y
ω
D
R
r
C
B
补充题:半径为R的线轴在水平方向上
沿直线作无滑滚动。中部绕线轴的半
A
径为r,线无滑地绕在轴上,线端点A
以不变的速度u沿水平方向运动,如图
u
所示。求:(1)轴心C的速度和线轴
X 的角速度;(2)线轴与水平面接触点
B的加速度。
解: 设角速度为ω,因无滑滚动,B点的速度为零,B点为瞬心。
vD
u
(1)vB vD ( R r ) 0
,
k (顺时针)
Rr
Rr
u
uR
uR
(常量)v C
r
i
vC vD r vD
Rr
Rr
Rr
uR
(2)aB aC r ( r ) r Rj k vC R R r
u2R
u2R
2
aB R
, aB
j
2
2
D点的加速
(R r)
(R r)
度不为零
第三章
§4 刚体绕固定点的转动
一、刚体的定点运动
若在运动中,刚体上(可在刚体之外,但与刚体固连)有一点
始终固定不动,则刚体的运动称为定点运动。陀螺、回转仪等
是刚体定点运动的特例。
固定点
Gyro
Spinning
第三章
二、瞬时转动轴
角速度
1.定理(达朗贝尔定理)
做定点运动的刚体位置的变化总可由刚体绕刚体上过定点的
某轴线的一次转动而完成.
2.瞬时转动轴(瞬时轴) 角速度
每一瞬时刚体位置的无限小变化可由刚体绕某转动轴的无限
小转动而完成. 我们把对应每瞬时的无限小转动的转动轴称
为瞬时转动轴, 简称瞬时轴.
定点运动刚体每一瞬时的运动都可以看成是绕瞬时轴的纯转动.
瞬时轴永远过定点, 但其方位可以随时间而变化. 只要除定点外,
找到刚体上另一个速度为零的点,该点与定点的连线即为瞬时轴.
第三章
刚体做定点运动时, 刚体运动状态用 描述,运动状态的变化由
描述.
角速度 沿瞬时轴, 的方向随瞬时轴方位变化而改变, 一般
不沿瞬时轴.
刚体的定点运动在每一瞬时都存在一根过定点的
瞬时转动轴。刚体的瞬时运动为绕瞬时轴、以瞬
时角速度作瞬时转动。
角速度端图
刚体的连续运动为绕一系列瞬轴、以不同的瞬时
角速度作连续瞬时转动。
角加速度
角加速度α就是角速度端点的速度!
O
第三章
3.定点运动刚体上任一点的速度和加速度
取定点 O 为基点,即 vO = 0, aO = 0。刚体上任
意点的速度和加速度为,
vP r
a p r ( r )
r vp
转动加速度
r
向轴加速度 v p
在定点运动中,刚体角速度 矢 量的方向是随着时
间变化的,不存在一根固定不动的转动轴。
第三章
定轴转动
定点运动
vP r
vP r
a p r ( r )
a p r ( r )
与 均沿固定轴且共
线
固定轴上各点 v a 均为零
任一点 p绕定轴圆周运动
切向加速度
法向加速度
r
vp
与 一般不共线
瞬时轴上除定点外,各点 v
相同a 不同
瞬时圆周运动,任一点 p轨迹不是圆周
转动加速度
向轴加速度
第三章
r
vp
不沿切向
指向瞬时轴
例题1 半径为r的车轮沿圆弧作纯滚动,如图所示,
已知轮心E的速度u是常数,轮心轨道半径是R。求
车轮上最高点B的速度和加速度。
B
O
E
第三章
解: 车轮的轮心沿着一个圆周运动, O 点为其圆
心。可将 O 点看作车轮延拓部分上的一点,
车轮绕着O点作定点运动。
O
B
O
E
第三章
E
由于轮子作纯滚动,车轮与地面接触点 C的
瞬时速度为零,OC 为瞬时转动轴。
vE u rOE
u
O
R sin
E
u
R sin
C
O
B
rOB
E
vB rOB
rOB sin 2
2 R sin
2v E
C
第三章
如何解释?
轮子的角速度的大小是常数,其方向随OC不
断地变化 — 绕过O点的铅垂轴作定轴转动
u
O
u / R
cos
2
u
u
cos u
R R sin
Rr
E
C
a Bx
O
aB rOB vB
B
rOB
2
u
| aBx | rOB
a Bz E
R sin
C
2u 2
| a Bz | 2u
R sin
第三章
解法二
以C 为基点
vB vC rCB
vB rCB 2 rCE 2vE
B
O
rCB E
C
第三章
刚体定点运动的解题方法
1.
根据刚体的约束条件判断刚体是否在作
定点运动。
2.
找出作定点运动刚体上两个速度为零的
点以确定其瞬时转轴。
3.
4.
5.
根据已知条件计算角速度。
根据运动过程中 的变化规律,分析计
算角加速度 = d /dt。
计算刚体上点的速度和加速度。
第三章
3.32)高为h、顶角为2α的圆锥在水平面上滚动而不滑动
。如已知此圆锥以匀角速ω绕oz轴转动,试求圆锥体底
面上A点的转动加速度a1和向轴加速度a2。
A
z
C
x
h
O
y
第三章
圆锥体作定点运动。圆锥体与坐标面Oxy相接触的
母线OB是瞬时转动轴
a A rOA t (t rOA )
t
因无滑滚动,a
h
cos
sin
t k ( sin k cosi )
ctgi
h
h
rOA
cos 2i
sin 2k x
cos
cos
t ctg i ctg k i
第三章
z
A
C
a
B
h
O
y
(二)刚体动力学
§5 力系的简化与刚体的平衡
一、力系的简化reduction of force system
问题的提出
1 力系等效
equivalent
如果作用在同一个质系上的两个力系可以相互交换而
不改变质点系的运动状态,则称这两个力系等效。
特别地,如果在质系上增加或减少某个力系而不改变
质系的运动,则称该力系是零力系或平衡力系。
第三章
力在刚体上的可传性
作用于刚体上的力,其作用点可以沿作用线在该刚
体内前后任意移动,而不改变它对该刚体的作用。
B
F
A
F1
B
=
F
F2
A
F1 F2 F
作用在刚体上的力是滑移矢量
第三章
B
=
A
F1
2.力偶 couple
—— 大小相等、方向相反、作用线平行(但不重
合)的两个力组成的力系
第三章
力偶矩
力偶对空间任意一点的主矩
M o r1 F r2 ( F )
r21 F
| M O | dF
d
F
r21
r1 F
r2
力偶主矩的大小和方向都与矩
MO
心无关;力偶对任意点的主矩
O
称为力偶矩。力偶矩一定不能
等于零。
力偶矩是确定力偶作用效果的物理量。只要保持
力偶矩不变,在一个刚体上力偶可以在同一个平
面内随便搬移,也可以从一个平面搬到另一个与
之平行的平面上。
力偶系与一个力偶等效。
第三章
3.空间力系的简化
1)力的平移定理:作用于刚体上的力可以从其作用点平行移至
刚体内任一指定点,欲不改变该力对刚体的作用,则必须在该力
与指定点所决定的平面内附加一力偶(称为附加力偶),其力偶
矩等于原力对指定点的力矩。
M r F M O (F )
第三章
2)空间力系的简化
设刚体上作用一空间任意力系F1、F2、…、Fn。
任选一点O称为力系的简化中心。
依据力的平移定理,将力系中诸力向O点平移,得到作用于O
点的一空间汇交力系F 1、F 2、…、F n和一空间力偶系M1、
M2、…、Mn 。
第三章
将空间汇交力系与空间力偶系合成,得到作用于
简化中心O的力矢F'R与力偶矩矢MO
n
n
FR Fi Fi
i 1
i 1
n
n
M O M i M O ( Fi )
i 1
i 1
FR 称为该力系的主矢
M O 称为该力系对简化中心O的主矩。
第三章
结
论
空间任意力系向一点简化的结果为作用于该点的
一个力和一个力偶。这个力是力系的主矢,等于
力系中各力的矢量和,这个力偶是力系的主矩,
等于各力对该点之矩的矢量和。
主矢的大小、方向与简化中心无关。
主矩的大小、方向与简化中心有关。
第三章
简化结果
1、主矢和主矩都等于零
FR 0, MO 0
此时平面力系平衡。
2、主矢等于零,主矩不等于零
FR 0, MO 0
此时平面力系简化为一力偶。其力偶矩
M等于原力系
对简化中心的主矩,即
且此
M mO (F
)
时主矩与简化中心的位置无关。
3、主矢不等于零,主矩等于零
(FR 0, MO 0)
此时平面力系简化为一合力,作用在简化中心,其大小和
方向等于原力系的主矢,即
且此时主矩与简化中心的位置无关。
第三章
FR Fi
4、主矢和主矩均不等于零
FR
FR
MO
O
O
O
FR
d
(FR 0, MO 0)
FR
O
FR
O
d
MO
M O M O (FR ) FR d FRd 于是 d F
R
由主矩的定义知:
所以:
M O M O (Fi )
M O (FR ) M O (Fi )
第三章
O
例 1 图示力系中F1=100N,F2=F3=100N,F4=300N,
,试求此力系合成结果。
解:以O为简化中心
FR 200k
F1 100 j , F2 100i 100k
F3 100 j 100i , F4 300k
O 2m
r1 ai , r2 a i aj
r3 aj ak , r4 ak
M
M O 200k
O
则力系主矢,方向沿z轴向下
FR F1 F2 F3 F4 200k
M O mO ( Fi ) ri Fi 200(2i k )
主矩
4
i 1
第三章
a=2m
二、刚体平衡方程
讨论刚体的平衡问题就等价于讨论作用在刚
体上的力系平衡问题。力系平衡的充分必要
条件是:
F 0
M 0
Fx 0, Fy 0, Fz 0,
M x 0, M y 0, M z 0
如共面力系,且设诸力均位于xy平面内
Fx 0, Fy 0, M z 0
第三章
平衡方程的两个重要推论
推论1 如果两个力组成的力系是平衡力系,则
这两个力一定大小相等、方向相反,且作用线
相同。 此推论称为二力平衡条件。
推论2
,
在
如果平衡力系包括三个力
F1 F2 F3
且 F1 和 F2 作用线相交,则 F3 的作用线一定
和
构成的平面内,并且与
和
F1 F2
F1
F2 的作用
线汇交于一点。
此推论称为三力平衡条件。
第三章
例2 以杆为研究对象,画出受力图。杆受三个
力的作用,必相交于一点。求平衡时φ=?
OA sin l cos
2
O
OA l sin
NB
sin sin 1 cos
B
2
NA
tan cot 2
90 2
A
如何求NA和NB ?
第三章
P
作业:
周衍柏:p151-154
p123-128
p128例题
习题:3.30,3.31;3.1,3.2
预习:定轴转动动力学,
平面运动动力学
迴轉儀運動 (gyroscopic motion)
第三章