Transcript 第三章2

回顾
1.定轴转动刚体上任一点的速度和加速度
  
vi    ri
     
ai  vi    ri    ri
2.平面运动刚体上任一点的速度和加速度
基点法
  
vB  v A  vBA
瞬心法
vp  cp 
速度投影定理
c 点为瞬心
速度
 
 
vB  0  v A  0
加速度 基点法

     
a p  a0    r    (  r )
 

2
 a0  k  r   r
y
ω
D
R
r
C
B
补充题：半径为R的线轴在水平方向上
沿直线作无滑滚动。中部绕线轴的半
A
径为r，线无滑地绕在轴上，线端点A

以不变的速度u沿水平方向运动，如图
u
所示。求：（1）轴心C的速度和线轴
X 的角速度；（2）线轴与水平面接触点
B的加速度。
解： 设角速度为ω，因无滑滚动，B点的速度为零，B点为瞬心。
vD 
u 
(1)vB  vD  ( R  r )  0   
, 
k （顺时针）
Rr
Rr

u
uR
uR 
（常量）v C 
r
i
vC  vD  r  vD 
Rr
Rr
Rr
uR

 
     


(2)aB  aC    r     (  r ) r  Rj   k vC  R  R  r
u2R 
u2R 
2
aB   R 
, aB 
j
2
2
D点的加速
(R  r)
(R  r)
度不为零
第三章
§4 刚体绕固定点的转动
一、刚体的定点运动
若在运动中，刚体上（可在刚体之外，但与刚体固连）有一点
始终固定不动，则刚体的运动称为定点运动。陀螺、回转仪等
是刚体定点运动的特例。
固定点
Gyro
Spinning
第三章
二、瞬时转动轴

角速度 
1.定理(达朗贝尔定理)
做定点运动的刚体位置的变化总可由刚体绕刚体上过定点的
某轴线的一次转动而完成.
2.瞬时转动轴(瞬时轴) 角速度
每一瞬时刚体位置的无限小变化可由刚体绕某转动轴的无限
小转动而完成. 我们把对应每瞬时的无限小转动的转动轴称
为瞬时转动轴, 简称瞬时轴.
定点运动刚体每一瞬时的运动都可以看成是绕瞬时轴的纯转动.
瞬时轴永远过定点, 但其方位可以随时间而变化. 只要除定点外,
找到刚体上另一个速度为零的点,该点与定点的连线即为瞬时轴.
第三章

 刚体做定点运动时, 刚体运动状态用 描述,运动状态的变化由
 描述. 

角速度  沿瞬时轴,  的方向随瞬时轴方位变化而改变, 一般
不沿瞬时轴.
 刚体的定点运动在每一瞬时都存在一根过定点的
瞬时转动轴。刚体的瞬时运动为绕瞬时轴、以瞬
时角速度作瞬时转动。
角速度端图
 刚体的连续运动为绕一系列瞬轴、以不同的瞬时
角速度作连续瞬时转动。


角加速度
角加速度α就是角速度端点的速度！

O
第三章
3.定点运动刚体上任一点的速度和加速度
取定点 O 为基点，即 vO = 0， aO = 0。刚体上任
意点的速度和加速度为，
vP    r
    

a p    r    (  r )
   
   r    vp
转动加速度
 
 r
 
向轴加速度   v p
在定点运动中，刚体角速度 矢 量的方向是随着时
间变化的，不存在一根固定不动的转动轴。
第三章
定轴转动
定点运动
vP    r
vP    r
    

a p    r    (  r )
    

a p    r    (  r )
 
 与 均沿固定轴且共


线
固定轴上各点 v a 均为零
任一点 p绕定轴圆周运动
切向加速度
法向加速度
 
 r
 
  vp
 
 与  一般不共线

瞬时轴上除定点外，各点 v

相同a 不同
瞬时圆周运动，任一点 p轨迹不是圆周
转动加速度
向轴加速度
第三章
 
 r
 
  vp
不沿切向
指向瞬时轴
例题1 半径为r的车轮沿圆弧作纯滚动，如图所示，
已知轮心E的速度u是常数，轮心轨道半径是R。求
车轮上最高点B的速度和加速度。
B
O
E
第三章
解： 车轮的轮心沿着一个圆周运动， O 点为其圆
心。可将 O 点看作车轮延拓部分上的一点，
车轮绕着O点作定点运动。
O
B
O
E
第三章
E
由于轮子作纯滚动，车轮与地面接触点 C的
瞬时速度为零，OC 为瞬时转动轴。
vE  u    rOE
u
O
  R sin 
E
u

R sin 
C
O
B
rOB
E



vB    rOB
  rOB sin 2
 2 R sin 
 2v E
C
第三章
如何解释？
轮子的角速度的大小是常数，其方向随OC不
断地变化 — 绕过O点的铅垂轴作定轴转动
u
O
  u / R
   
           cos 
2
u
u

cos   u 
R R sin 
Rr
E
C

a Bx
O

 
 

aB    rOB    vB
B
rOB
2


u
| aBx | rOB 
a Bz E


R sin 


C
2u 2
| a Bz | 2u 
R sin 
第三章
解法二
以C 为基点
vB  vC    rCB
vB    rCB  2  rCE  2vE
B
O

rCB E
C
第三章


刚体定点运动的解题方法
1.
根据刚体的约束条件判断刚体是否在作
定点运动。
2.
找出作定点运动刚体上两个速度为零的
点以确定其瞬时转轴。
3.
4.
5.
根据已知条件计算角速度。
根据运动过程中 的变化规律，分析计

算角加速度  = d /dt。
计算刚体上点的速度和加速度。
第三章
3.32)高为h、顶角为2α的圆锥在水平面上滚动而不滑动
。如已知此圆锥以匀角速ω绕oz轴转动，试求圆锥体底
面上A点的转动加速度a1和向轴加速度a2。
A
z
C
x
h
O
y
第三章
圆锥体作定点运动。圆锥体与坐标面Oxy相接触的
母线OB是瞬时转动轴
 

 

a A    rOA  t  (t  rOA )

 
t     
因无滑滚动，a  
h

cos 
 

sin 



t  k  ( sin k   cosi )

 ctgi



h
h
rOA 
cos 2i 
sin 2k x
cos 
cos 
 


 t  ctg  i  ctg  k  i

第三章

z
A

C
a
B
h
O
y
（二）刚体动力学
§5 力系的简化与刚体的平衡
一、力系的简化reduction of force system
问题的提出
1 力系等效
equivalent
如果作用在同一个质系上的两个力系可以相互交换而
不改变质点系的运动状态，则称这两个力系等效。
特别地，如果在质系上增加或减少某个力系而不改变
质系的运动，则称该力系是零力系或平衡力系。
第三章
力在刚体上的可传性
作用于刚体上的力，其作用点可以沿作用线在该刚
体内前后任意移动，而不改变它对该刚体的作用。
B
F
A
F1
B
=
F
F2
A



F1  F2  F
作用在刚体上的力是滑移矢量
第三章
B
=
A
F1
2.力偶 couple
—— 大小相等、方向相反、作用线平行（但不重
合）的两个力组成的力系
第三章
力偶矩
力偶对空间任意一点的主矩


  
M o  r1  F  r2  ( F )


 r21  F

| M O | dF
d
F
r21
r1 F
r2
力偶主矩的大小和方向都与矩
MO
心无关；力偶对任意点的主矩
O
称为力偶矩。力偶矩一定不能
等于零。
 力偶矩是确定力偶作用效果的物理量。只要保持
力偶矩不变，在一个刚体上力偶可以在同一个平
面内随便搬移，也可以从一个平面搬到另一个与
之平行的平面上。
 力偶系与一个力偶等效。
第三章
3.空间力系的简化
1）力的平移定理：作用于刚体上的力可以从其作用点平行移至
刚体内任一指定点，欲不改变该力对刚体的作用，则必须在该力
与指定点所决定的平面内附加一力偶（称为附加力偶），其力偶
矩等于原力对指定点的力矩。

   
M  r  F  M O (F )
第三章
2）空间力系的简化
设刚体上作用一空间任意力系F1、F2、…、Fn。
任选一点O称为力系的简化中心。
依据力的平移定理，将力系中诸力向O点平移，得到作用于O
点的一空间汇交力系F 1、F 2、…、F n和一空间力偶系M1、
M2、…、Mn 。
第三章
将空间汇交力系与空间力偶系合成，得到作用于
简化中心O的力矢F'R与力偶矩矢MO
n 
n 

FR   Fi   Fi
i 1
i 1
n
n


 
M O   M i   M O ( Fi )
i 1
i 1

FR 称为该力系的主矢

M O 称为该力系对简化中心O的主矩。
第三章
结
论
空间任意力系向一点简化的结果为作用于该点的
一个力和一个力偶。这个力是力系的主矢，等于
力系中各力的矢量和，这个力偶是力系的主矩，
等于各力对该点之矩的矢量和。
主矢的大小、方向与简化中心无关。
主矩的大小、方向与简化中心有关。
第三章
简化结果
1、主矢和主矩都等于零


FR  0, MO  0
此时平面力系平衡。
2、主矢等于零，主矩不等于零


FR  0, MO  0
此时平面力系简化为一力偶。其力偶矩
 M等于原力系

对简化中心的主矩，即
且此
M   mO (F
)
时主矩与简化中心的位置无关。
3、主矢不等于零，主矩等于零

(FR  0, MO  0)
此时平面力系简化为一合力，作用在简化中心，其大小和


方向等于原力系的主矢，即
且此时主矩与简化中心的位置无关。
第三章
FR   Fi
4、主矢和主矩均不等于零
FR
FR
MO
O
O
O
FR
d

(FR  0, MO  0)
FR
O
FR
O
d
MO
M O  M O (FR )  FR d  FRd 于是 d  F 
R
由主矩的定义知：
所以：
M O   M O (Fi )
M O (FR )   M O (Fi )
第三章
O
例 1 图示力系中F1＝100N，F2＝F3＝100N，F4＝300N，
，试求此力系合成结果。
解：以O为简化中心


 

FR  200k
F1  100 j , F2  100i  100k





F3  100 j  100i , F4  300k
 
 

O 2m
r1  ai , r2  a i  aj
 



r3  aj  ak , r4  ak
M 
M O  200k
O
则力系主矢，方向沿z轴向下


   
FR  F1  F2  F3  F4  200k
 
 
 
M O   mO ( Fi )  ri  Fi  200(2i  k )
主矩 
4
i 1
第三章
a＝2m
二、刚体平衡方程
讨论刚体的平衡问题就等价于讨论作用在刚
体上的力系平衡问题。力系平衡的充分必要
条件是：

F 0

M 0
Fx  0, Fy  0, Fz  0,
M x  0, M y  0, M z  0
如共面力系，且设诸力均位于xy平面内
Fx  0, Fy  0, M z  0
第三章
平衡方程的两个重要推论
推论1 如果两个力组成的力系是平衡力系，则
这两个力一定大小相等、方向相反，且作用线
相同。 此推论称为二力平衡条件。
推论2
，
在
如果平衡力系包括三个力
  
F1 F2 F3



且 F1 和 F2 作用线相交，则 F3 的作用线一定




和
构成的平面内，并且与
和
F1 F2
F1
F2 的作用
线汇交于一点。
此推论称为三力平衡条件。
第三章
例2 以杆为研究对象，画出受力图。杆受三个
力的作用，必相交于一点。求平衡时φ=？
OA sin   l cos 
2
O
OA  l sin   
NB


sin     sin   1 cos 
B
2
NA
tan   cot 2
  90  2

A
如何求NA和NB ？
第三章

P
作业：
周衍柏：p151-154
p123-128
p128例题
习题：3.30,3.31;3.1,3.2
预习：定轴转动动力学，
平面运动动力学
迴轉儀運動 (gyroscopic motion)
第三章