Transcript 刚体定轴转动的角动量守恒定律

第五章 刚体定轴转动
（Rotation of Rigid Body about a Fixed Axis）
陀螺仪
1
本章目录
§5.1 刚体的运动
§5.2 刚体的定轴转动定律
§5.3 转动惯量的计算
§5.4 转动定律应用举例
§5.5 定轴转动中的功能关系
§5.6 刚体定轴转动的角动量守恒定律
§5.7 旋进
2
§5.1 刚体的运动
一. 刚体（rigid body）的概念
由于弹性，力在连续体内传播需要一定时间：
F
t
t +t 才
感受到力
A B C
固体中弹性波的速度 v 
k
（k—劲度）
若 v   ，则 k   ，此时物体有无限的刚性，
它受作用力不会变形，因而可以瞬时传递力。
我们把这种不能变形的物体称为刚体。
3
显然，刚体是个理想化的模型，但是它有
实际的意义。
通常v固体 103m/s，所以只要我们讨论的运动
过程的速度比此慢得多，就可把固体视为刚体。
刚体是特殊的质点系， 其上各质点间的相对
位置保持不变。 质点系的规律都可用于刚体，
而且考虑到刚体的特点，规律的表示还可较一
般的质点系有所简化。
4
二 . 刚体的运动形式
1.平动（translation）：连接刚体内任意两点
的直线在运动各个时刻的位置都彼此平行。
刚体做平动时，可用质心或其上任何一
点的运动来代表整体的运动。
平动是刚体的基本运动形式之一。
2.转动（rotation）：
转动也是刚体的基本运动形式之一，
它又可分为定轴转动和定点转动。
5
▲
定轴转动： 运动中各质元均做圆周运动，
且各圆心都在同一条固定的直线（转轴）上。
定点转动：运动中刚体上只有一点固定不动，
整个刚体绕过该定点的某一瞬时轴线转动。
3.平面运动：刚体上各点的运动都平行于某一
▲
固定平面的运动。
4.一般运动：刚体不受任何限制的的任意运动。
它可分解为以下两种刚体的基本运动：
▲
随基点O（可任选）的平动
▲
绕通过基点O的瞬时轴的定点转动
6
例如：
O
·
·
O
O 
或

·
·
O
两种分解，基点选取不同，
平动可以不同，转动却相同，
转动与基点的选取无关。
动力学中，常选质心为基点。
三 . 刚体转动的描述（运动学问题）
1.定点转动（rotation about a fixed point）
（1）角量的描述
为反映瞬时轴的方向及刚体转动的快慢

和转向，引入角速度矢量  。
7
ω

v


P
  

d
dt
转向
d

 的方向沿瞬时轴，
刚体
×
基点O
与转向成右螺旋关系。
瞬时轴


为反映  的变化情况，引入角加速度矢量  。

 

d
（不一定沿着瞬时轴）
dt
8
（2）线量和角量的关系

 
 
v    r    r
ω
v



P
 dv d   d r
r
a

r  
dt
dt
dt
r
 
 
刚体
×
   r   v
基点O
瞬时轴
旋转加速度 向轴加速度
2.定轴转动（rotation about a fixed axis）


转轴固定， 和  退化为代数量  和  。
9
z
 ,
v  r 
r P
dv
v
at 
θ
刚体
O×
定轴
r
参
考
方
向
若   const .
dt
 r
a n  r 
d
dt
 r 
2
   0   t

1

2
 (   0 )   t   t
2

  2   02  2 (   0 )

10
§5.2 刚体的定轴转动定律
把刚体看作无限多质元构成的质点系。
z ω,  F
i
vi
ri  m
Δ i
刚体
O×
ri

M外 
M 外z 

dL
dt
d Lz
(对 O 点 )
(对 z 轴 )
dt
L z   L iz    m i v i ri 
i
i
 (   m i ri  )  
2
定轴
i
令
Jz  
i
2
 m i ri 
—转动惯量（对z轴）
11
（rotational
则
Lz  J z  
M 外z 
即
d Lz
dt
M 外 z  J z
 Jz
d
dt
z ω, α
Fi
vi
θi
ri  m
Δ i
—转动定律 刚体
ri
O×
其中 M 外 z   F i  ri   sin  i
i
定轴
定轴情况下，可不写下标 z ，记作：
M  J
与牛顿第二定律相比，有：
M 相应F ， J 相应 m ， 相应 a 。
12
§5.3 转动惯量的计算
质点系
连续体
J    m i ri 
2
J  
2
r
d m
dm
m
r
m
J 由质量对轴的分布决定。
转轴
演示 质量分布改变对转动惯量的影响(KL013)
一. 常用的几种转动惯量表示式
O R
m 细圆环： J O  mR
2
13
C
R
JC 
mR
l
l
2
2
JC 
1
ml
12
2
J
2
2
均匀细
m 杆：
C
A
m 均匀圆
盘：
1
A

1
ml
2
3
二. 计算转动惯量的几条规律
1.对同一轴J具有可叠加性
J   Ji
14
2.平行轴定理
J  J C  md
JC
J
2
m
C× d
（证明见书P260—P262）

J C  J min
平行
3.对薄平板刚体的正交轴定理
如图 J z  

即
z
2
 m i ri 
2
m i xi

Jz  Jx  J y
2
m i yi
O
x
xi
ri
yi
y
Δmi
15
[例]求对薄圆盘的一条直径的转动惯量，
z
x
m
C 圆盘
R
已知圆盘 J z 
C
。
2
解： J x  J y  J z  mR
y
2
y

a
m
l
1
mR
2
2
4
下图中的 Jz 如何求？
z
z
m
a
mR
2
1
 Jx  J
思考
1
D
16
§5.4 转动定律应用举例
R
定轴
O
已知：R = 0.2m，m =1kg，v0= 0，
·
h =1.5m， 绳轮间无相对
m
绳
（不可伸长）t
N
α
·
R
G
v 0= 0
求：轮对 O 轴 J =？
h
′–T
T=
a
滑动，下落时间 t =3s。
m
解： 动力学关系：
对轮： T  R  J  
(1)
对m： mg  T  ma
(2)
运动学
关系：
T
mg
a  R
h 
1
2
at
(3)
2
(4)
17
(1)~(4)联立解得：
J (
●
●
2
 1 ) mR
2
2h
分析结果：
●
gt
量纲对；
h、m 一定，J↑→ t↑，合理；
若J = 0，得 h 
代入数据：
J (
1
gt ， 正确。
2
2
9 .8  3
2
2  1 .5
 1 )  1  0 .2
 1 . 14 kg  m
2
2
此为一种用实验测转动惯量的方法。
18
§5.5 定轴转动中的功能关系
一. 力矩的功
力矩的空间积累效应：
F
d
z
·
轴


 r
x
力矩的功：
d W  F  cos  ( r d  )
 ( F  cos   r ) d 
 M d
2
W   M  d 
1
19
二. 定轴转动动能定理
d
2
2
W   M d    J
1
1
2
  J  d  
1
令转动动能： E k 
1
（可证： J 
2
2
1
1
J
2
2
2

1
J
2
2
1
（   E k  ）
（飞轮储能）
2
 
dt
J
2
d
1
2
 m iv i ）
刚体定轴转
W  E k 2  E k1
动动能定理：
2
20
三. 刚体的重力势能
E p    m i gh i
Δmi
C×
hC
 mg
hi
  m i hi
m
Ep= 0
 mgh
C
四. 应用举例
对于包括刚体的系统，功能原理和机械能
守恒定律仍成立。
21
[例]已知：如图示，均匀直杆质量为m，长为l，
初始水平静止。轴光滑，AO  l / 4 。
轴O
A
l,m
B
·θ
l /4 C·
求： 杆下摆到 角时，
角速度   ?

轴对杆作用力 N  ?
ω
解：
（杆+地球）系统，只有重力作功，E守恒。
1
2
J O
JO 
1
12
2
 mg
l
sin   0
(1)
4
ml
2
l
7
 m( ) 
ml
4
48
(1)、(2)解得：   2
2
2
(2)
6 g sin 
22
7l
应用质心运动
Nl
N
定理求轴力：



N  m g  m aC

l ：  mg sin   N l  ma
l
t
Cl
A
O
·a θC
·
N
a
l,m
Cl
t
Ct θ
mg

t ： mg cos   N t  ma Ct
l 2 6
a Cl    g sin 
4
7
l
l
l 4 mg cos 
3 g cos 

a Ct    
7
4
4
JO
B


(3)
(4)
(5)
(6)
23
由(3)(4)(5)(6)解得：
N
Nl β
A
Nt
· θ·C
l,m
O
l
t
B ω
Nl 
13
mg sin  ,
7
Nt  
4
mg cos 
7



13
4
N 
mg sin   e l  mg cos   e t
7
7
mg
2
N 
 153 sin   16
7
1 | N t |
1 4
  tg
 tg (
ctg  )
Nl
13
24
§5.6 刚体定轴转动的角动量定理
和角动量守恒定律
讨论力矩对时间的积累效应。
质点系：





t2
dL
对点： M 外 
，t M 外 d t  L 2  L1
dt
对轴：
1
t2
 t M 外 z d t  L 2 z  L1 z
1
刚体：
L z  J z
t2
t M 外 z d t  J z  2  J z  1
1
——刚体定轴转动的角动量定理
25
刚体定轴转动的角动量守恒定律：
M 外z
 大小不变
 0 ，则 J z   const . 
 正、负不变
对刚体系， M外z = 0 时，
 J iz  i  const . ，
此时角动量可在系统内部各刚体间传递，
而却保持刚体系对转轴的总角动量不变。
演示 角动量守恒：茹科夫斯基转椅(KL016)
转台车轮 (KL017)
陀螺仪（KL029）
26
克服直升飞机机身反转的措施：
装置尾浆推动大
气产生克服机身
反转的力矩
装置反向转动的双
旋翼产生反向角动
量而相互抵消
TV 角动量守恒定律 (注3)
27
滑冰运动员的旋转
猫的下落（A）
猫的下落
28
[例] 如图示， 已知：h，R，M=2m， =60
y m (黏土块)
h
P
M R
θ
O
光滑轴
均质圆盘
x
求：碰撞后的瞬刻盘  0  ？
P 转到 x 轴时盘   ? ，   ?
解： m下落：
m
1
2
（水平 ）h
mgh 
2
v
v 
mv
2 gh
(1)
P
对（m +盘），碰撞中重力对O 轴力矩可忽略，
系统角动量守恒： m v R cos   J  0
(2)
29
（m +盘）角动量
由(1)(2)(3)得：
M
O

2
0 
 ,
·R
 mR
2 gh
2
 2 mR
(3)
2
(4)
cos 
2R
mgR sin  
由(3)(4)(5)得：
1
J
2
cos  
2
2
2
只有重力作功，E守恒。
令P、x 重合时 EP = 0，则：
m
gh
MR
对（m + M +地球）系统，
mg
 
J 
1
g
sin 
R
2R
M
mgR
g
 


2
J
2R
2 mR

1
2R
2
0
.

1
2
g
J
2
(5)
(h  4 3 R )
2

(  60 )
30
§5.7 旋进（进动，precession）
旋进：高速旋转的物体，其自转轴绕另一个
轴转动的现象。如玩具陀螺的运动：
31
刚体自转的角动量不一定都与自转轴平行。
例如，图示的情形：质量
zω
m1
p 1 r1
·
m2>m1 对转轴不对称， 则对轴上O
×


r2 p2 点的 L 不平行于 。
L
L2
L1
O
若质量对转轴分布对称，
则：


L∥ ∥ 轴



L （对点）  L z k （对轴）  J z 
下面我们就讨论这种质量对转轴分布对称
的刚体的旋进问题。
32
ω∥L
×
M
θ
O
·
mg
dL
玩具陀螺的旋进：

M 

dL
dt



d L  M dt∥ M 。


M  L


dL  L

L 只改变方向而不改变大小，
从而产生旋进运动。
33

d L  L sin  d Θ  M d t
旋进角速度：Ω 
Ω d 
dL
dΘ
L sin L
dt

Ω
M
L sin 


M
J  sin 
当   90  时 ，Ω 
M
J
Ω 
O
1

，  Ω 
演示 车轮旋进（KL023)
TV 旋进防止炮弹翻转（注2）
34
▲ 回转效应产生附加力矩：

轮船转弯时，涡轮机轴承要承受附加力。
左转弯的力矩
左转
M
轴承

造成轴承的损
附加力
附加力
附加力可能
M dt = dL 坏，附加力矩
也可能造成翻
dL M
船事故。
L
35
三轮车拐弯时易翻车（内侧车轮上翘）。
▲ 地球转轴的旋进，岁差
随着地球自转轴
的旋进，北天极方
向不断改变。
北
天
极
地球自转角动量
地球自转轴旋进
T = 25800年
L
M 
（F1>F2 ）
赤道平面
F2
太阳
北极星
F1
3000年前
小熊座 
现在
小熊座 
12000年后 天琴座 （织女）
C2
23 2 7 
o


C1
地球
黄道平面
地轴
36
分点每年在黄
道上西移50.2
地轴
旋进周期25800年
旋进
春分点

赤道面
北半球
南半球
西

秋分点

太阳
太阳年（回归年）：太阳由春分秋分春分
恒星年（时间长）： 地球绕太阳一周的时间
岁差 = 恒星年 太阳年 = 20分23秒
黄道面
东
岁差
（precession）
37
我国古代已发现了岁差：
▲ 前汉（公元前206
▲晋朝（公元265
—
— 23） 刘歆发现岁差。
虞喜最先确定了岁差：
316）
每50年差1度（约72/年）
（精确值为 50.2/年）
▲祖冲之（公元429
— 500）编《大明历》最先
将岁差引入历法：391年有144个闰月。
38

当旋进发生后，总角速度  总

只有刚体高速自转时，才有  总


  Ω Ω 。

  ，



这时也才有 L  J  和以上 Ω 的表示式。


当考虑到 Ω 对  总 的贡献时，自转轴在旋
进中还会出现微小的上下的周期性摆动，这种
运动叫章动（nutation）。
第五章结束
牛顿力学全部结束
39