4.3.角动量角动量守恒定律
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Transcript 4.3.角动量角动量守恒定律
4
刚体转动
任课教师
曾灏宪
中原工学院 理学院
大学物理（上）
4
刚体转动
4.3 角动量 角动量守恒定律
M J
F ma
J
m
a
v
dv
dt
dr
dt
1
2
p m v ，E k mv
2
m r
2
i i
i
J
r
2
dm
d
dt
d
dt
?
, 右手螺旋
质点运动状态的描述
2
p mv Ek mv 2
问题：将一绕通过质心的固定轴转
动的圆盘视为一个质点系，系统总
动量为多少？
0, p 0
pi
pj
系统总动量为零，系统有机械运动，总动量却为零？
说明不宜使用动量来量度转动物体的机械运动量。
p
*引入与动量 对应的角量 L ——角动量（动量矩）
动量对参考点（或轴）求矩
一
质点的角动量和刚体的角动量
1. 质点的角动量
L r p r mv
大小： L rmv sin
方向：垂直于 r 和 p 组成的平面
L
服从右手螺旋法则。
单位： kg m 2 s 1
设 m 作直线运动
以 O 为参考点： L 0
以 O 为参考点： L 0
L
z
O
x
o
o
r
r
m
r
m
r
y
p
p
p
角动量与所取的惯性系有关；角动量与参考点的位置有关
质点对某参考点的角动量反映质点绕该参考点旋转运动的强弱。
2. 质点系角动量
系统内所有质点对同一参考点角动量的矢量和
设各质点对O点的位矢分别为： r1 , r2 ...... ri ......
动量分别： P , P ....... P .......
1
2
i
L
i
Li
i
ri p i
i
ri m i v i
3. 定轴转动刚体的角动量
转轴 z , 角速度
转轴与转动平面交点 𝑶
刚体上任一质点 m i
mi对O的角动量：L io ri m i v i
大小 : Lio ri m i v i m i ri 2
Lio
方向 : 沿
2
即 L io m i ri
z
转动
平面
vi
o r
i
mi
刚体定轴转动的特点：
(1) 各质点均在垂直于转轴的转动平面内，作半径
不同的圆周运动。
(2) 各质点的角速度 大小相等，且均沿轴向。
刚体对 z 轴的总角动量为
Lz
L
iz
i
L J
r
i
2
m i
i
ri m i
2
i
J
对质量连续分布的刚体：
z
Lz dLz r dm
2
r dm J
2
L J
o r
v
dm
二 刚体定轴转动的角动量定理
1. 质点角动量的时间变化率
d
L
M
L r p
dt
dr dp
dL
d
pr
(r p )
dt
dt
dt
dt
因为
所以
dr
dt
dL
dt
p v p v mv 0
r
dp
质点的
角动量定理
r F
O
F
r
m
rF M
dt
质点位矢
合力
2. 质点系角动量的时间变化率
对 N 个质点 m1 , m 2 , , m N
dL
M rF
dt
d L1
M 1 外 M 1内
dt
dL2
M 2 外 M 2内
dt
dLN
dt
可得
N外
两边求和得
d
dt
Li
i
M
组成的质点系，由
M
dL
dt
i
N内
M i外
i
M i内
d
dt
dL
Li
dt
i
M i外
i
i
由图可知
f12
i
于是：
dL
dt
M外
ri Fi外
f 21
r2
O
M i内 0
M i内
r1
d
1
m1
m2
2
质点系的角动量定理
i
质点系总角动量的时间变化率等于质点系所受外力矩的矢量
和。内力矩只改变质点系总角动量在系内的分配，不影响总角
动量。
3. 定轴刚体的角动量定理
由
L z ri m i J
2
i
得
M
z
dLz
dt
d
( J ) J
dt
dL
dt
M外
d
J
dt
刚体定轴转动的角动量定理的积分形式
t2
t
1
M dt
L2
L
1
d L J 2 J1
角动量定理的积分形式
质点
质点系
微分形式
dL
M
dt
dL
M外
dt
定轴刚体 M 轴 J J
d
dt
积分形式
t2
M dt
t1
t2
t2
t1
t1
M 外 dt
M 轴dt
L2
L1
L2
L1
d L L
d L L
2
1
Jd J
注意：
(1) 力矩对时间的积累：角冲量 （冲量矩）
t2
定义：
t1
(2) 比较:
M dt
L
p
(3) 同一式中， M ,
效果：改变角动量
𝒅𝑳
变化率（ ）与
𝒅𝒕
𝑴 对应
t2
变化量（𝚫𝑳）与
变化率与 F
t2
变化量与
L,
M dt
t1
对应
Fdt
对应
t1
J,
等角量
要对同一参考点或同一轴计算。
对应
三 角动量守恒定律
对质点系
由角动量定理：
当 M 外 0 时，
分量式：
M
t1
t2
d t L L 2 L1
外
L 恒矢量
L 0
M
x
0
时
L x 恒量
M
y
0
时
L y 恒量
M
z
0
时
L z 恒量
对定轴转动刚体，当 M 轴 0 时， L轴 恒量
在冲击等问题中 M
in
M
ex
L 常量
角动量守恒定律
当质点系所受外力对某参考点（或轴）的力矩的矢量和
为零时，质点系对该参考点（或轴）的角动量守恒。
1.守恒条件： M 外 0
能否为
M
外
M轴 0
或
dt 0
?
不能，后者只能说明初、末态角动量相等，不能保证过
程中每一时刻角动量相同。
2. 与动量守恒定律对比：
当 F外 0 时，
当 M 外 0 时，
p 恒矢量
L 恒矢量
彼此独立
角动量守恒定律应用举例
角动量守恒定律适用于以下情况：
(1)对于单一刚体：J、 均不变，
则匀速转动
(2) 对于系统: Ji、 i 均可以变化，但 J i i 不变
(3) 对于变形体：J , 均可
以变化，但 J 不变
有心力场中的运动
物体在有心力作用下的运动
力的作用线始终通过某定点的力
力心
有心力对力心的力矩为零，只受有心力作用的物
体对力心的角动量守恒。
应用广泛，例如：
天体运动（行星绕恒星、卫星绕行星……）
微观粒子运动（电子绕核运动；加速器中粒子与靶
核散射……）
例 关于力矩有以下几种说法:
（1）内力矩不会改变刚体对某个轴的角动量;
（2）作用力和反作用力对同一轴的力矩之和必为零;
（3）质量相等，形状和大小不同的两个刚体，在相
同力矩的作用下，他们的角加速度一定相等;
在上述说法中
(A) 只有（2）是正确的;
(B)（1）、（2）是正确的;
(C)（2）、（3）是正确的;
(D)（1）、（2）、（3）都是正确的.
例 细绳一端拴着质量为m的小球,另一端穿过水平桌面
上的小孔O。先使小球在桌面上以速度v1沿半径为r1的圆
周匀速转动，然后非常缓慢地将绳向下拉，使半径减小
到r2。设小球与桌面的摩擦不计，求此时小球的速度和
拉力T 对小球所作的功
解：绳子拉力对O 点的力矩为零
r2 O r1
由角动量守恒有
r1 m v1 r2 m v 2
因缓慢拉绳，忽略小球沿绳方向的速度
v 2 v1
r1 mv 1 r2 mv 2
W
1
2
2
mv 2
1
2
2
mv 1
1
2
2
mv 1 [(
r1
r2
) 1]
2
r1
r2
例 两个转动惯量分别为 J1 和 J2 的圆盘 A和 B. A
是机器上的飞轮, B 是用以改变飞轮转速的离合器圆
盘. 开始时, 他们分别以角速度ω1 和ω2 绕水平轴转
动. 然后,两圆盘在沿水平轴方向力的作用下.啮合为
一体, 其角速度为 ω, 求
齿轮啮合后两圆盘的角速度.
解: 系统角动量守恒
J 1 1 J 2 2 ( J 1 J 2 )
J 1 1 J 2 2
( J1 J 2 )
例 一杂技演员 M 由距水平跷板高为 h 处自由下
落到跷板的一端 A, 并把跷板另一端的演员 N 弹了起来.
设跷板是匀质的, 长度为 l , 质量为 m ' , 跷板可绕中部
支撑点 C 在竖直平面内转动, 演员的质量均为 m. 假定
演员 M 落在跷板上, 与跷板的碰撞是完全非弹性碰撞 .
问演员 N 可弹起多高 ?
解: 碰撞前 M 落在
A点的速度
v M ( 2 gh )
M
h
1 2
碰撞后的瞬间, M、 B
N具有相同的线速度
C
N
l
A
l/2
v M (2 gh )
1 2
uN uM u
l
M
h
2
M、N和跷板系统
角动量守恒
mvM
l
J 2 mu
2
B
l
m l
演员 N 达到的高度 h
1
2
u
l/2
m l
2
12
12 ml
A
l
2
mvMl 2
2
C
N
2g
2
( m 6 m )l
2
l
2
ml
2
1 2
6 m ( 2 gh )
2
1
8g
2
(
3m
m 6m
2
) h
作业
P118: 17；21
版权声明
本课件根据高等教育出版社《物理学教程（第二版）上册》
（马文蔚 周雨青 编）配套课件制作。课件中的图片和动
画版权属于原作者所有；部分例题来源于清华大学编著的
“大学物理题库”；其余文字资料由 Haoxian Zeng 编写，
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