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万有引力 天体运动
日
M=6*1024kg
R=6.4*106m
r地日=1.5*1011m
ρ=5.5*103kg/m3
M=2*1030kg
R=7*108m
ρ =1.4*103kg/m3
月
M=7.4*1022kg
R=1.7*106m
ρ=3.3*103kg/m3
地
r月地=3.84*108m
月球
同
步
卫
星
h=3.6*107m
r=4.2*107m
v=3km/s
T=1天
h=3.8*108m
r≈3.8*108m
v=1km/s
T=27天
近
地
卫
星
h≈0
r=6.4*106m
v=7.9km/s
T=84分钟
例1目前的航天飞机的飞行轨道都
是近地轨道，一般在地球上空
300——700km飞行，绕地球飞行
一周的时间为90min左右，这样，
航天飞机里的字航员在24h内可以
看到日落日出的次数是
A 0·38 B l C 2·7
D 16
看到的日落日出的次数为24×60/90=16。
例2 由地面发射一颗人造卫星绕地
球作匀速园周运动，轨道半径为r，
卫星动能为Ek 。如果发射的这颗卫
星匀速园周运动的半径是2r，则下
列说法中正确的是
A）发射卫星所消耗的能量增大
B）卫星在轨道上的动能增大为2Ek
C）卫星在轨道上的动能减小为Ek/2
D）卫星在轨道上的机械能增大
ACD
例3 一颗小行星环绕太阳做匀速圆
周运动的半径是地球公转半径的4
倍，则这颗小行星的运转周期是：
A． 4年
B. 6年
C
C． 8年
D. 9年
例4 已知一颗近地卫星的周期约
为5100s，今要发射一颗同步卫星，
它离地面高度约为地球半径的多少
倍？
3
2
R /T =K
h≈5R
例5 已知地球半径为R，地面重力加
速度为g，一颗离地面高度为R的人造
地球卫星绕地球作匀速圆周运动，则：
A.
B.
C.
D.
卫星的加速度大小为
1 2g
卫星的角速度为 4 R .
2R
卫星的周期为2 g .
1
卫星的线速度大小为 2
1
g.
2
2Rg.
D
例6 若分别以m和h表示通讯卫星
的质量和距地面的高度，以R、ω和
g表示地球半径、自转角速度和地球
表面的重力加速度，则通讯卫星受
到的地球的引力F为
A F=m(R2gω4)1/3 B F=mgR2/(R+h)2
C F=0
D 以上结果都不正确
(
B C
)
例7设地球的质量为M，地球的半径为R，万有引力恒量
为G。若取离地球无穷远处重力势能为零，则物体的重力
势能公式为Ep= -GMm/ r（式中，r为质量为m的物体离开
地心的距离）
①现有一质量为m的人造地球卫星在离地心为r的圆
形轨道上运行，推导卫星具有的机械能的表达式。
E=-GMm/(2r)
② 在地球表面发射一颗人造地球卫星，如果发射速
度太大，此卫星可以上升到离地心无穷远处，这个速度
称为第二宇宙速度（也称为逃逸速度），试推导第二宇
宙速度的表达式。
V =
2
2GM / R
③若已知第一宇宙速度为7.9km/s, 求第二宇宙速
度的数值。
V2=11.2 km/s
例8开普勒从1609年——1619年发表了著名的开普勒
行星运动三定律：
第一定律：所有的行星分别在大小不同的椭圆轨道上
围绕太阳运动，太阳在这个椭圆的一个焦点上。
第二定律：太阳和行星的连线在相等的时间内扫过的
面积相等。
第三定律：所有行星的椭圆轨道的半长轴的三次方跟
公转周期的平方的比值相等。
实践证明，开普勒三定律也适用于人造地球卫星的运
动。
如果人造地球卫星沿半径为r的圆轨道绕地球运动，当
开动制动发动机后，卫星速度降低并转移到与地球相切的
椭圆形轨道，如图所示。问在这之后，卫星经多长时间着
落？（假设空气阻力不计，地球表面重力加速度为g。）
GMm/r2=mr4π2/T2
r3/T2=[(r+R)/2]3/T’2
地球
卫星
t=T’/2
g=GM/R2
t=π[（r+R）/2]3/2/Rg1/2
例9登月飞行器关闭发动机后在离
月球表面112km的空中沿圆形轨道绕
月球飞行，周期是120.5min，已知
月球半径是1740km，根据这些数据
计算月球的平均密度。
（G＝6.67*10－11N*m2/kg2）
M=4π2（R+h）3/GT2
V=4πR3/3
ρ=M/V =3π（R+h）3/GT2R3 =3.26*103kg/m3
例10 在某星球上，宇航员用弹簧
秤称得质量为m的砝码重力为F，乘
宇宙飞船在靠近该星球表面空间飞
行，测得其环绕周期是T。据此求
该星球的质量。
2
2
F=GMm/R =mR(2π/T)
M=F3T4/16Gπ4
例11 天文观测表明，几乎所有远处的恒星（或星系）
都在以各自速度背离我们而运动，离我们越远的星体，背
离我们运动的速度（称为退行速度）越大；也就是说，宇
宙在膨胀。不同星体的退行速度v和它们离我们的距离r成
正比， 即 v=Hr
式中H为一常量，称为哈勃常数，已由天文观察测定
。为解释上述现象，有人提出一种理论，认为宇宙是从一
个大爆炸的火球开始形成的。假设大爆炸后各星体即以不
同的速度向外匀速运动，并设想我们就位于其中心，则速
度越大的星体现在离我们越远。这一结果与上述天文观测
一致。
由上述理论和天文观测结果，可估算宇宙年龄T，其计
算式为T= 1/H 。根据近期观测，哈勃常数H=3*10-2m/s·光
年，其中光年在一年中行进的距离，由此估算宇宙的年龄
约为 1*1010年。
例12 1986年2月20日发射升空的“和平号”空间站，
在服役15年后于2001年3月23日坠落在南太平洋。“和
平号”风风雨雨15年铸就了辉煌业绩，已成为航天史
上的永恒篇章。 “和平号”空间站总质量137t(吨)，
3
工作容积超过400m ，是迄今为止人类探索太空规模最
大的航天器，有“人造天宫”之称。在太空运行的这
一“庞然大物”按照地面指令准确溅落在预定海域，
这在人类历史上还是第一次。“和平号”空间站正常
运行时，距离地面的平均高度大约为350km。为保证空
间站最终安全坠毁，俄罗斯航天局地面控制中心对空
间站的运行做了精心安排和控制。在坠毁前空间站已
经顺利进入指定的低空轨道，此时“和平号”距离地
面的高度大约为240km。在“和平号”沿指定的低空轨
道运行时，其轨道高度平均每昼夜降低2.7km。
设“和平号”空间站正常运转时沿高度为350km
圆形轨道运行，在坠落前沿高度为240km 的指定
圆形低空轨道运行。而且沿指定的低空轨道运行
时，每运行一周空间站高度变化很小，因此计算
时对空间站的每一周的运动都可以作为匀速圆周
运动处理。 (1)简要说明，为什么空间站在沿圆
轨道正常运行过程中，其运动速率是不变的。 (2)
空间站沿正常轨道运行时的加速度与沿指定的低
空轨道运行时加速度大小的比值多大?结果保留2
位有效数字。 (3)空间站沿指定的低空轨道运行
时，每运行一周过程中空间站高度平均变化多大?
计算中取地球半径R=6.4×103km，结果保留1位有
效数字。
引力不作功
0.97
n=17圈，h=0.2km