Transcript 刚体力学

第六章
刚体力学
§6.1
§6.2
§6.3
§6.4
§6.5
刚体运动概述
作用在刚体上的力系
刚体的平衡
刚体的定轴转动
刚体的平面平行运动
§6.1 刚体运动概述
一、刚体模型介绍
定义：刚体是整体及其部分的形状和大小保持不变的
物体。
(刚体可以看成任意两质点距离保持不变的质点系。)
作用力的传递过程：
作用在A端的力传递到Z端，是靠弹力（波）传
递完成的。当形变很小，讨论的运动过程的速度远
小于波传播速度时，可以忽略形变，且不考虑弹性
波的传播过程，把物体看成刚体。
刚体模型等价于弹性波传播速度无穷大。
刚体模型的适用范围：刚性物体的低速运动。
二、自由度
定义： 确定一个力学体系在空间的几何位置、位形
所需独立变量的个数称为该体系的自由度。
① 一个质点在空间有3个自由度。
② N个质点组成的质点系有3N个自由度。
③ 一个约束条件就少一个自由度。
z
m1
例
m2
x O
y
轻杆连接的2质点体系自由度5
r1  ( x1 , y1 , z1 )
r2  ( x2 , y2 , z2 )
l  ( x2  x1 ) 2  ( y2  y1 ) 2  ( z2  z1 ) 2
例
z
x
m1
O
轻杆两两连接的3质点体系自由度6
m2
m3
y
r1  ( x1 , y1 , z1 )
r2  ( x2 , y2 , z2 )
r3  ( x3 , y3 , z3 )
l12  ( x2  x1 ) 2  ( y2  y1 ) 2  ( z2  z1 ) 2
l23  ( x3  x2 ) 2  ( y3  y2 ) 2  ( z3  z2 ) 2
l31  ( x1  x3 )  ( y1  y3 )  ( z1  z3 )
2
2
2
例
轻杆两两连接的4质点体系自由度6
r1  ( x1 , y1 , z1 ), r2  ( x2 , y2 , z2 ),
z
x
m1
O
m2
m3
y
m4
r3  ( x3 , y3 , z3 ), r4  ( x4 , y4 , z4 )
l12  ( x2  x1 ) 2  ( y2  y1 ) 2  ( z2  z1 ) 2
l23  ( x3  x2 ) 2  ( y3  y2 ) 2  ( z3  z2 ) 2
l31  ( x1  x3 ) 2  ( y1  y3 ) 2  ( z1  z3 ) 2
l41  ( x4  x1 )  ( y4  y1 )  ( z4  z1 )
2
2
2
l42  ( x4  x2 ) 2  ( y4  y2 ) 2  ( z4  z2 ) 2
l43  ( x4  x3 ) 2  ( y4  y3 ) 2  ( z4  z3 ) 2
三、刚体的运动形式及自由度
1、自由刚体的自由度是6，非自由刚体的自由度数<6。
（刚体是任意两质点距离保持不变的质点系。）
2、刚体的运动形式及自由度
① 平动：自由度3
② 定轴转动：自由度1
③ 平面平行运动＝质点平面运动＋刚体定
轴转动：自由度3
④ 定点转动：自由度3
⑤ 一般运动＝平动＋定点转动：自由度6
四、刚体质心
简易判断密度均匀的刚
刚体是质量连续分布的质点系。 体的质心位置：
mc   dm    dV ,
1）如果具有对称中心，
rdm   rdV
质心就在对称中心。

rc 

mc
 dm
2）如果没有对称中心，
直角坐标系中
但刚体分区对称 ，个
部分的质心就在其对
rc  xc i  yc j  zc k
称中心，这些质心形
xc   xdm mc    xdV mc
成分立的质点组 ，刚
体的质心就是这个质
yc   ydm mc    ydV mc
点组的质心。
zc   zdm mc    zdV mc
薄板、细线质心的简易求法：
Pappus定理I：假如在一个平面上取任一闭合区域，
并使它在空间运动形成一个立体，在运动时，令各点
的运动方向始终垂直于该区域的平面，这样形成的立
体的体积就等于它的横截面积乘以质心在运动过程中
所经过的距离。
Pappus定理II：假如在一个平面上取一段曲线，并使
它在空间运动形成一个曲面，在运动时，令各点的运
动方向始终垂直于该曲线平面，这样形成的曲面就等
于曲线长度乘以质心在运动过程中所经过的距离。
五、刚体的运动特征
1）刚体的质心固结在刚体上，随刚体一起运动，
刚体的平动运动可以用质心的运动表征。
2
d rc
  F外
质心运动方程： m
2
dt
2)刚体的转动满足质点系角动量定理
角动量定理： dL dt   M外
3）刚体的内力做功为零。
内力做功决定于相对位移，刚体各质点的
相对位移为零。
4）刚体的动能定理：
Ek (t )  Ek (t0 )  A外
§6.2 作用在刚体上的力系
一、力系
1、定义：同时作用在一个刚体的一组力称为力系。
2、分类：
①共面力系：所有的力位于同一平面内。
a) 共点力系（汇交力系）：所有力的作用线交
于一点的力系。
b) 平行力系：所有力互相平行或反平行。
②异面力系：力的作用线不在一个平面内。
二、力系等效
1、等效力系的定义
如果在两个力系作用下，刚体的运动相同，则这
两个力系互为等效力系。
F  F
1i
2、力系的等效条件：
i
2j
j
r
1i
 F1i   r1 j  F1 j
i
j
3、零力系：力系力的矢量和为零，对固定参考点
的力矩和为零的力系。
说明：①所有的零力系都等效
②任何力系加上零力系后与原力系等效
③最简单的零力系是一对平衡力组成的力系
4、力偶：等值反向不共线的一对力。
 F1  F2  0

 M  r12  F2
力偶矩
① 力偶的力矩和与参考点无关，只和作用点的相
对位置有关。
② 力偶矩相等的力偶等效。
三、力的平移定理：
1、作用在刚体上的力的特性：
作用在刚体上的力是滑移矢量，可以沿着力的作
用线移动（滑移），但不能任意平移。
①力的效果决定于力的三要素：
大小、方向、作用点
力不是自由矢量
自由矢量：矢量和起始参考点无关，
如位移、速度、加速度；反之称为
非自由矢量，如位矢、力。
②作用在刚体上的力沿着力的作用线滑移时，
对刚体的作用效果不变。
2、力的平移定理：
作用在刚体上某点的一个力等效于作用于刚体上
另一点的一个与它相等的力及一个附加力偶。附
加力偶的力偶矩等于原力对新作用点的力矩。
F 1 = F2 = F 3
F2、F3构成零力系
O
F3
P
F2
F1
F1与力系（F1、F2、F3）
等效，F1、F3构成力偶。
四、力系的简化（等效力系）
1、共面力系：可分为共点力系和平行力系
力的滑移特性
①共点力系（汇交力系）:
共点力系等效于一个作用于交点的单力，单力
就是力系中所有力的矢量和。
②平行力系： 等效于一个单力或一个力偶。
D
F1′ F1
A
B
-f
f
A BC
C
f
-f
F1
D
F 1′
F 2 F 2′
F2 F
F＝F1+F2
F2
F＝F2 - F1
2、异面力系： 等效于一个单力与一个力偶
z
F1
-F3
F
A
F3
O
x
y
B
F2
§6.3 刚体的平衡
平动： 直线平动、曲线平动
刚体运动
转动： 定轴转动、一般转动
平动：运动过程中刚体任一直线的方向保持不变。
转动：刚体上一直线相对参考系的角度发生变化。
O
O


刚体的一般运动(n=6)
可视为随刚体上某一
O
基点A的平动和绕该点
的定点转动的合成.
刚体角速度(矢量)的绝对性
刚体运动分解为基点的平动和绕该点的定点转动的
合成,选择不同的基点，平动速度就不同,而转动角
速度就与基点的选择无关。即刚体上的角速度矢量
的大小和方向都相同,这即是刚体角速度的绝对性。
证明：如图,选c为基点，
p
c
R
 
Rc
R
c
则p点的速度
v p  vc    R
若选 c 为基点，则p点绕 c
点有一角速度   ，则
v p  vc     R
v p  vc    R
v p  vc     R
p
c
vc  vc    Rc
R
 
Rc
R  Rc  R
vc    R  vc     R

R
c

 vc    R  R     R
由此得到
  R    R  0
  
故刚体上的角速度矢量的大小和方向都相
同，与基点无关。
一、刚体的平衡状态
处于平衡（通常指静止）状态的刚体的动量和
角动量均不随时间改变（通常等于零）的状态。
二、刚体的平衡方程
1、刚体的运动方程
d 2 rc
质心运动方程： m
  F外
2
dt
角动量定理： dL dt   M外
2、平衡条件：
 F  0,
i
i
且  Mi  0
i
(对任一定点成立)
例 质量为 m ，长为 a 的匀质杆 AB 由系于两端长是 a
的线悬于 O 点，在 B 端挂质量为 m 的重物。求平衡
时杆与水平方向的夹角θ及每根线中的张力 TA 和 TB 。
解：考虑杆的刚体平衡，B为参考点
a
A
a
O
a
θ
B
y
O
x
m

TA  TB  m杆g  T物  0


 rAB  TB   rAB 2   m杆g  0



TA cos( 3   )  TB sin( 6   )  0




TA sin(   )  TB cos(   )  0
3
6

a


 mg 2 cos   TAa sin 3

tg 
1
2 3
, TA 
2mg
6mg
, TA 
13
13
定理：刚体受三力作用而平衡，若其中两力作用线汇交
于一点，则另一力的作用线必汇交于同一点，且三力的
作用线共面。
[证]

F1

F3

F2

F1

F3
O

F3
O
1、根据力的滑移特性，将 F1 , F2
沿作用线移至汇交点O
2、根据力的平行四边形法则，将
 
  
F1 , F2 合成合力 R  F1  F2

F2 3、根据二力平衡条件 F3   R ，


F1
这两力必共线，故 F3 也过O点 。

R




∴三力 F1 , F2 , F3 必汇交且共面。
F2
例：半径为R 的半球形碗内搁一均匀的筷子 AB。筷
子长2 l, 设
2R  l    R , 且为光滑接触。
求筷子平衡时的倾角 a。
B
l

A
2
 l

l
1


  arccos     
 8R  2 
 8R
§6.4 刚体的定轴转动
刚体作定轴转动时，其上的任意一点都绕转轴做
圆周运动,用一个变量θ=θ(t)即可描述其运动。
Y

r
设轨迹圆半径r：
θ
X
x=rcosθ，
y=rsinθ
一、刚体定轴转动的角量描述
定义：角位置θ,(与零点选取有关）
1.角位移
角位移不是矢量
   ( t  t )   ( t )
2. 角速度
平均 :  

t
o
 d
瞬时 :   lim

t  0 t
dt
r s
v
P
单位: rad s1
3. 角加速度

平均 :  
t
 d d 2
瞬时 :   lim

 2
t 0 t
dt dt
4.刚体定轴匀变速转动方程
1 2
   0   0t   t
2
单位: rad s 2
  0   t
 2  02  2 (  0 )
二、定轴转动刚体上任一点的速度和加速度
1、角量与线量的对应关系
  x d  dx   v
2、速度和角速度的关系
S  r
 a
S
d
v  lim
r
 r
t 0 t
dt
3、切向加速度和法向加速度
 dv
v
d
ˆ
ˆ
a  et  en  r
ˆet  r 2 eˆn
dt
R
dt
2
2
ˆ
 ret  r eˆn
r
的
起
始
点
在
转
轴
上
！
三、刚体的转动惯量
1、刚体对定轴的角动量
L   mi vi ri 
s
r
o  v
P
i i
 I
P  mv
质点动量：
L P
m r 
2
I m v
2、刚体的转动动能
1
2
Ek   mi vi
2
1
1 2
2
2
 (  mi ri )  I
2
2
1
I m v
质点的动能：Ek  mv 2
2
3、刚体的转动惯量
定义：刚体对固定轴的转动惯量等于各质元质量与
其至转轴的垂直距离的平方的乘积之和。
质量分立的体系：
I   mi ri2
质量连续分布的刚体：
线分布：dm   dl
I   r dm
2
面分布：dm   ds
体分布：dm   dV
说明：
1)转动惯量和质量类似，是刚体转动惯性大小
的量度，单位：kg·m2。
2)刚体的转动惯量不仅和刚体的总质量有关，
还和质量相对轴的质量分布有关。
3)质量均匀分布形状规则的刚体，可以用定义公
式计算，形状复杂的刚体通常通过实验测量。
4)回转半径k：
I   r dm  mk
2
2
几种典型形状刚体的转动惯量计算
1) 均匀细棒
a) 转轴过中心与杆垂直
z
I   r 2 dm
l
2
l

2

o
m
1
2
x
dx 
ml
l
12
2
b) 转轴过棒一端与棒垂直
I   r dm
z
dm
o
dx
2
m
1 2
 x
dx  ml
0
l
3
l
2
dm
dx
x
x
2)均匀细园环
转轴过圆心与环面垂直
dm  dl
m

2 R
I   R dm   R
2
dm
2

2 R
0
dl mR
R
z
m
o
2
问题：如何计算园环转轴通过园环直径的转动惯量？
3) 均匀圆盘绕中心轴的转动惯量
质量为m, 半径为R, 厚为l, 转轴过圆心与环面垂直
m
dm   2 rldr   2
R l
dI  r dm
2
I   r 2 dm
  2 r l  dr
R
1
2
 mR
2
l
R
3
o
0
圆柱的转动惯量？
z
r
m
4) 均匀薄球壳绕直径的转动惯量
质元面积
2 r dz
dS 
sin 
m

4 R 2
z
r
dz
r
sin  
R
 R
圆环质元
dm   2 r dZ / sin 
 2 RdZ
均匀薄球壳转动惯量
2
2
I   2 Rr dz   2 R( R  z )dz  mR
R
R
3
R
2

R
2
2
典
型
形
状
刚
体
的
转
动
惯
量
ω
O´ ω
m
O
R
l
R
圆环 I=mR2
ω
1
2
I

ml
细圆棒
12
R1
L
ω
R2
R
2
圆球 I  mR 2
5
ω
R
圆柱
I
1
mR 2
2
圆筒
I
1
m( R12  R22 )
2
球壳
2
I  mR 2
3
例 求组合刚体的转动惯量。
如图所示，一质量为M、半径为R的圆盘，边缘粘一
质量为m的质点，试求对中心轴oz的转动惯量。
解：圆环dm的转动惯量为r2dm
z
R
I 盘   r  2rdr
2
M
m
0
1
1
4
2
  R  MR
2
2
1
2
2
I 总  MR  mR
2
转动惯量三要素：质量、转轴、质量分布
4、平行轴定理
设C是刚体的质心，刚体绕过质心C 的转轴的转动
惯量IC、将此轴平移距离 d 后，刚体绕此新轴的转
动惯量ID为：
I D  IC  md
2
I D    mi ri ri
C d D
P
ri
ri 
i
   mi ( ri  rD ) ( ri  rD )
i
   mi ri2    mi rD2  2  mi ri
i
i
 IC  md
i
2
1) 均匀细棒
z
a) 转轴过中心与杆垂直
I   r dm  
2
l
2
l

2
b) 转轴过棒一端与棒垂直
m
1 2
I   r dm   x
dx  ml
0
l
3
2
l
o
m
1
2
x
dx 
ml
l
12
2
z
dm
o
dx
2
应用平行轴定理
2
dm
dx
1
l 1 2
2
I  I c  I d  ml  m    ml
12
2 3
x
x
5、正交轴定理
如果一块薄板绕位于板上两个相互垂直的轴
（设为x、y轴）的转动惯量为 Ix 和 Iy ，则薄板
Iz  I x  I y
绕z轴的转动惯量为：
z
O
y
x
P
适用于薄板刚体或者平
面分布的质点组，z轴
垂直与刚体平面。
例 求质量为m、半径为R的细元环绕直径转动的转动惯量。
解1：用λ表示细元环的质量密度
λ=m/2πR ; dm=λds
z
I y   r dm
2

 2  ( R sin  ) 2 Rd 
0
2R
mR

 2R  sin d 
2
2
0

3
O
x
R

dm
r
y
3
2
解2： 垂直轴定理 Iz=Ix+Iy
（质量分布在xy平面内）
已知圆环绕中心轴：Iz=mR2
Ix＝Iy＝ Iz /2
2
四、定轴转动定律
1.力对定轴转动刚体转轴的力矩
过力的作用点作轴的垂面,
交轴于O′点。
力F 分解为F∥和F⊥。

O′ d
过O′点作F⊥的垂线d。
力F对轴 l 的力矩:
Ml  dF
定义： M  r  F
（r 垂直于l）
r
F
F
F
F
Fr
O
为力F对转轴的力矩。

2.刚体对定轴的角动量
L   mi vi ri   mi ri   I
2
o
ri
vi
Fi
θi
对转轴的分量
3.刚体定轴转动定律
视刚体为质点系，质点系的角动
量定理：
d
 M i外   M内  dt  Li
d  Liz
 M i外z 
dt
dL d ( I  )
M

dt
dt
M   Mi外z
L   Liz
I:刚体对转轴的转动惯量
d
dL d  I  
定轴转动定律： M 

I
 I
dt
dt
dt
I 不
变时
成立
dp d  mv 
dv

m
 ma
牛顿第二定律： F 
dt
dt
dt
说明：(1)定轴转动定律和牛顿第二定律形式类似、地
位相当。
(2)力矩、角动量、转动惯量必须对同一转轴而
言, 转动定律具有瞬时性。
(3)L是角动量转轴上的分量、M是外力对转轴
的力矩之和。
五、刚体定轴转动的角动量定理
由质点系角动量定理，相对z 轴对任一瞬时有：
dL d 

Mz 
   I ii 
dt dt  i

即使物体不是刚体，即对定轴的转动惯量I随
时间改变，只要任一瞬时它可看作是绕该定轴
以角速度ω转动，即有：
dL d 
 d 
 
Mz 
   I ii     I i   
dt dt  i
 dt  i  
对上式积分有

t
t0
Mdt  I   I 00
刚体定轴转动的角动量定理
六、刚体角动量守恒定律
说明：
当M外  0时, L  I   const.
1. 角动量保持不变是转动惯量与角速度的积不变.
角动量守恒的两种情况:
(1) 刚体定轴转动时, 如果转动惯量不变,
则角速度也不变;
(2) 如转动惯量改变, 则角速度也改变.
2.多物体组成的系统角动量具有可叠加性；
I  I 11  I 22 
3.角动量守恒定律是一条普适定律。
例 设电风扇的电机力矩恒定为M，风叶所受空气阻力矩
为Mf =－Kω，风叶转动惯量为I。求（1）通电后t时刻
的角速度ω；(2)稳定转动时的角速度；（3）稳定转动
时断开电源，风叶还能继续转多少角度？

t dt
d
d

解：1) M  K   I

0 M  K
0 I
dt
K

t
M
I
  (1  e )
K
M
2) t   m  K
为电扇的稳定角速度
d
d
 I
3)  K   I
dt
d

  Kd 
0
0

m
Id 
I
IM
  m  2
K
K
例：如图，圆盘绕过o点定轴转动，圆盘的M、R、及
ω0已知。子弹m,以v0射入盘边缘，求此后盘转动
的角速度。
R
o
v0
0
错 解：对M和m,用动量守恒律
mv0  MV0  (m  M )u
其中：V0=Rω0
正解： 对M和m 用角动量守恒律，对转轴有
1
1
2
mRv 0  MR 0  ( MR 2  mR 2 )
2
2
1

   mRv0  MR 20 
2


1
( MR 2  mR 2 )
2
例 有一长为l，质量为m1的均匀细棒，静止平放在光滑
水平桌面上，它可绕通过其端点O且与桌面垂直的固定
光滑轴转动。另有一质量为m2 、水平运动的小滑块，
从棒的侧面沿垂直于棒的方向与棒的另一端A相碰撞，
并被棒反向弹回，碰撞时间极短。已知小滑块与细棒碰
撞前后的速率分别为v和u，则碰撞后棒绕轴转动的角速
度 为多大？
解：对于整个系统不考虑轴间的摩擦阻力
矩，则系统不受外力矩的作用，碰撞
前后角动量守恒。
m
2
u
O
v
A
m1
m2vl = Iω - m2 ul
1 2
细棒绕O转动的转动惯量为 I = m1l
3
代入上式求得
  3(v  u)m2 m1l
例 一轻绳跨过一定滑轮, 滑轮视为圆盘, 绳的两端
分别悬有质量为m1和m2的物体, m1<m2 . 设滑轮的质
量为m, 半径为r, 所受的摩擦阻力矩为Mr. 绳与滑轮
之间无相对滑动. 求: 物体的加速度和绳的张力.
解: 隔离法列出运动方程
T1  m1 g  m1a
m2 g  T2  m2 a
T2r  T1r  M r  I 
滑轮边缘上的切向加速度
和物体的加速度相等
a  r
T1

T1
a
a
T 2
T2
m1
m1
m2
G1
a
m2
G2
从以上各式解得
T1

T1
a
a
T 2
T2
m1
m1
m2
G1
a
m2
G2
m2  m1  g  M r / r

a
I
m2  m1  2
r
m2  m1  g  M r / r


1
m2  m1  m
2
T1  m1  g  a 
T2  m1  g－a 
 a r
例 光滑斜面与水平面成 解：细绳拉紧时滑块的速度
θ角，在斜面上放一质量
v = 2gLsinθ
为 m的 物 块 ， 在斜 面 的
延长线上方有一半径为 由角动量守恒求初始角速度
R，转动惯量为I的轮轴， mvR  I  mR( R )
0
0
轮轴上绕有细绳，一端
与 m相 连 。 物 块由 静 止 0  mR 2 gL sin  I  mR 2
下滑距离为L时细绳拉紧，
开始计时，求任一时刻  mg sin   T  ma  mR

轮轴的角速度。
mgRsinθ
TR

I


β=
T
T
mR 2 + I
ω = ω0 + βt


mg
mR( 2gLsinθ + gtsinθ)
=
I + mR 2

七、刚体定轴转动的功能原理
1.力矩的功
o rdθ
ds
刚体在力F作用下绕定轴转动
角位移dθ，力F做功：

F
P
dA  F  ds  F sin ( rd )
Fr sin   M dA  Md
力F使刚体由θ0转到θ时，力矩做功为：

力矩做功功率：
A   Md
dA
d
P
M
 M
dt
dt
0
P  F v
当功率一定时，转动力矩与角速度成反比。
2、定轴转动的动能定理
d
将M  I  I
两边同乘以 d 并积分
dt


d
 Md    I dt d  0 I d
1 2 1 2
A  I  I 0  Ek  Ek 0
2
2
E p  mghc
3、刚体的重力势能
0
4、刚体定轴转动的功能原理


Md  E  E0
M为除重力外其余外力的合力矩
0
5、机械能守恒定律
只有保守力做功，系统机械能守恒。
例 质量m半径为R的均匀圆盘,可在水平桌面上绕中心
轴转动,盘面与桌面间摩擦系数为μ,求盘转过一圈时摩
擦力矩的功.
解： dM
 rdf
dm   2rdr
R
df  gdm
m
 2
R
M    2gr dr
0
2
2
 mg R
3
4
A
mg R
3
r
例 一均匀细棒绕通过其端点
由定轴转动定律
并与棒垂直的水平轴转动，
1 2
3g
M = Iβ = ml β β = cosθ
棒长为l，质量为m。 开始时
3
2l
棒处于水平位置。令棒由静
1
1 2 dω
止下摆，求(1)棒在任意位置 (2) mg cosθ = ml
2
3
dt
0
时的角加速度；(2) θ角为30 ，
1 2 dω dθ 1 2 dω
0
= ml
= ml ω
90 时的角速度。 N
3
θ
3
dθ
o

dθ
mg
dθ dt

解：（1）棒在重力矩作用
下转动
l
M = mg cosθ
2
分离变量积分
 g
 l
0 2 cos d  0 3  d
ω= (3gsinθ ) l
θ = 30 0 ,ω=
3g
2l
θ = 90 0 ,ω=
3g
l
用动能定理求解
作用于杆的力有重力及轴对杆的支承力N , N 过O点,
l
其力矩为零.重力矩为mg cos  .
2

l
l
A   mg cos  d  mg sin 
0
2
2
1
1 2
由转动动能定理得
mgl sin   I   0
2
2
  ( mglsin ) / I  ( 3g sin ) l
3g
  30 ,  
2l
0
还可以用机械能守恒
3g
  90 ,  
l
0
例 如图所示，滑轮转动惯量为0.01kg·m2，半径为
7cm，物体质量为5kg，由一绳与倔强系数k=200N/m
的弹簧相连，若绳与滑轮间无相对滑动，滑轮轴上
的摩擦忽略不计。

求：（1）当绳拉直，弹簧无伸长时，使物体由静止
而下落的最大距离；
（2）物体速度达到最大值的位置及最大速率。
k
T2
T1
m

解 : ( 1) 设物体下落最大距离为h, 开始时物体所在位置为
重力势能零点.则根据机械能守恒 :
1 2
0  kh  mgh
2
2mg
h
 0.49m
k
( 2) 加速度为零时速度最大, 设这时物体的速率为v,
下落的距离为x, 则 T1  mg , T2  kx, 且 T1  T2 .
mg  kx
k
T2
T1
mg
x
 0.245m
k
根据机械能守恒 :
1 2 1 v 2 1
0  kx  I ( )  mv 2  mgx
2
2 R
2
m
v=
2mgx - kx 2
= 1.3m / s
2
I R +m
刚体和质点力学规律的对照

F
m

mv

M
I
I
2
mv / 2


F  dp / dt



 Fdt  mv  mv0

 F  0  动量守恒
mv 2 mv02
 F  dr  2  2
I 2 / 2


M  dL / dt



 Mdt  I  I 0

 M  0  角动量守恒
I  2 I 02
 Md  2  2
转动定律：
d
Mz  Iz
dt
Mz 是外力对转轴（z轴）力矩，
Iz 是刚体对转轴的转动惯量。
当Mz＝0时，角动量守恒，即：L  I   常数
z
z
力矩作功：
A外＝ M z d
1
2
定轴转动刚体的动能： Ek  I 
2
动能定理：
（转动动能）
1 2 1 2
A外＝ I   I 0
2
2
当外力为保守力或非保守外力不做功时，
刚体的机械能守恒。
§6.5 刚体的平面平行运动
刚体作平面平行运动时,刚体中各点都平行于某一平
面而运动,即各点始终和某一平面保持一定的距离。
一、运动学特征
1. 基面、基点与基轴.
基面: 选定一轨道平面为参考平面，简称为基面，
其他轨道平面均平行于基面.
基点: 选定基面上的一点作为参考的基点.
基轴: 通过基点且垂直基面的直线被称为基轴,
一般选基轴通过质心。
刚体的平面运动＝基轴的平动+绕基轴的转动
（n=3）
2.运动学关系式
A
A´
取A为基点，考察B点的运动
C´
B´
B
C
rB  rA  rBA  rA  r
'
B
vB  vA    rB
aB  aA    rB   r
2

3.转动中心（瞬心）: 基面上存在一个特殊点 R0 ，
其瞬时速度为零 ,该点被称作瞬心.过该点且垂直于
运动平面的转轴称为瞬时转轴。
在平面平行运动问题中，利用瞬时转轴概念，
可将问题简化为单纯的转动问题。
确定瞬心的方法:

瞬心位矢的方程:
R0
vc
C
vc 
o
B
vB

A
o
vA
vc    R0  0
(1)如图，若已知质心C的速度 vc 和角速
度
,则可知瞬心 o 在与 vc 垂直的
方向上距离C点为 vc  的地方。

(2)在任一瞬时，截面上任一点的速度
方向均与该点相对于瞬心的位置垂直。
故只要过截面上任意两点引两条与速度
方向垂直的直线，两直线的交点即为瞬
心的位置。
瞬心可以在刚体上，也可以在刚体外与刚体
保持刚性连结的空间点上（如图二）。
二、运动方程
利用质心运动定理，求质心的运动
mac   F 外
mxc  Fx
myc  Fy
利用定轴转动定理，在质心坐标系中，讨论通过
质心并垂直于空间固定平面的轴的转动，有
I c  M c
平面平行运动有三个自由度，利用上述三个方程
完全描述运动.
定轴转动的转动定律同样适用刚体通过质心并垂直
于平面的轴的转动。
证：要使定轴转动定律适用于通过加速度为 ac 的
质心的转轴 ，应在作用于刚体的力矩中加上惯性力
矩 M I 即可，
Mc  M I  I c 
惯性力对质心的力矩
M I    ric  mi ac  ac   mi ric
i
所以
Mc  I c 
i
即刚体相对过质心的动轴的转动定律和定轴转
动定律相同，只要考虑外力矩，不需要考虑惯
性力的力矩。
三、功能原理
由质点系动能柯尼希定理
1 2 1
Ek  mvc  I c 2
2
2
2
d rc
由质心运动定理
m 2 F
dt
r2
1 2
1 2
mvc  t   mvc  t0    F  dr
r1
2
2
由质心角动量定理
I c  M c
合外力
总外力矩
2
1
1
2
2
I c t   I c t0    M c d
1
2
2
刚体平面平行运动的功能原理为
r2
2
r1
1
Ek  t   Ek  t0   W   F  dr   M c d
讨论：
⑴ 若不取质心为基点，就不能如此分解.
⑵ 如果作用在刚体上的力仅为保守力，必然
导致机械能守恒，即
1 2 1
mvc  J c 2  E p  const
2
2
四、滚动及摩擦力
有滑动滚动：接触面之间有相对滑动的滚动。
滚动
无滑动滚动：
接触面之间无相对滑动的滚动。
（纯滚动）
1.纯滚动（无滑摩擦）的运动学判据
x  R
dx
d
R
dt
dt
vc  R
θ
ac  R
纯滚动运动学判据
 vc  R

 ac  R
2.纯滚动接触点的速度为零，
 vE
E
  rcA
D
vD
以质心C为基点，任一点E
的速度为:
vE  vC    rCE
C v F
c
A v
c
vA  0
最高点D的速度为
vF
vD  vC    rCD  2vC
接触点A的速度为
vA  vC    rCA  vC  vC  0
如纯滚动有摩擦力则为静摩擦力
3.纯滚动中的瞬心和瞬轴
以接触点A为基点：
vA  0
任一点 P 的速度为
vP  vA    rAP
   rAP
例如： vC    rAC
vD    rAD
 vE
E
D
vD
C v F
c
A
vA  0
vF
对于纯滚动，若取接触点A 为基点，在某瞬时
刚体的平面平行运动，可视为A点的单纯转动。
4.纯滚动过程中静摩擦力做功为零
R
vc

f
x
如图，静摩擦力做功为
W   f  dr   Mc d  f  x  fR
根据运动学判据，有  x  R

W  f   x  R   0
5. 滚动中的摩擦力
若忽略滚动物体和承滚面的形变，在有滑动滚动
中，摩擦力为滑动摩擦力；在纯滚中，摩擦力为
静摩擦力。静摩擦力的方向不易判断，必须视具
体情况而定。
确定静摩擦力方向的方法：
假定两刚性表面不存在摩擦，判定其中一个刚体
相对滑动将滑向何方，作用在此刚体的静摩擦力
方向必与其反向.

实例：
①车轮在刚性水平地面上纯滚动.
v
静摩擦力为零
②汽车主、被动轮所受静摩擦力的方向

v
（a）
f
f
f
（b）
③车轮在斜面上的纯滚动
车轮向上，静摩擦力必向上；
v
v
主动轮有向前的静摩擦力，
作为推动汽车前进的动力
(a)；被动轮受向后的摩擦
力(b)。
f
车轮向下，静摩擦力仍向上.
例 一质量为m, 半径为R的均质圆柱, 在水平外力F作用
下, 在粗糙的水平面上作纯滚动, 力的作用线与圆柱中
心轴线的垂直距离为l. 求: 质心的加速度和圆柱所受的
静摩擦力.
解: 设静摩擦力f 的方向如图所示,
则由质心运动方程 F  f  maC
圆柱对质心的转动定律：
ac
R
Fl  fR  IC 
纯滚动条件
aC  R
圆柱对质心的转动惯量为
m
f
1
2
I C  mR
2
F
联立以上四式, 得
2F ( R  l )
aC 
3mR
R  2l
f 
F
3R
由此可见
ac
R
m
f
l  R 2, f  0 静摩擦力向后
l  R 2, f  0
静摩擦力向前
l  R 2 , f  0 无摩擦力
F
例 有一半径为r 的匀质圆柱体, 从其质心距地面高为h
的滑道上由静止滚下, 进入半径为R的圆环形滑道, 设
圆柱体在两段滑道上均做纯滚动。求此圆柱体能在圆环
形滑道内完成圆周运动, h至少有多大的值?
解: 取圆柱体, 弯形和圆形滑道以及地球为一个系统,
在圆柱体下滑过程中机械能守恒
2r
h
C
vC P
Rr
R
1 2 1 2
mgh  mvC  J   mg ( 2R  r )
2
2
而 J  1 mr 2
vC  r
2
4
所以 v  g ( h  2R  r )
3
2
C
圆柱体在圆形滑道顶点时的质心运动方程为
vC2
FN  mg  m
Rr
vC2
vC2
FN   mg  m
 m(
 g)
Rr
Rr
圆柱体能完成完整的圆周运动的条件应当是
vC2
FN  0
g0
Rr
可得圆柱体在圆环滑道上完成圆周运动的条件
4
( h  2R  r )  R  r
3
11
7
h
R r
4
4
例 何时开始纯滚动？有一缓慢改变倾角的固定斜面，如
图所示。一质量为m ，半径为R 的匀质圆柱体从高h 处由
静止沿光滑斜面滑下，紧接着沿粗糙水平面运动。已知水
平面与圆柱体间的摩擦系数,求：
1）圆柱体沿水平面运动多长时间后开始作纯滚动。
2）圆柱体达到纯滚动前经历的水平距离。
C
N
h
CC
f
mg
x
解：1）沿光滑斜面，
h
圆柱体仅作滑动；
沿水平面达到纯滚
动前作滑滚运动。
C
N
CC
f
mg
1

2
mg
h
R
=
mv


动力学方程为： 
0
2

 -μmg = mac

1
2
 μmgR = mR × β

2
由以上三式解得：
v0 = 2g  h - R 
ac = -μg
β = 2μg R
x
达到纯滚动前有： vc = v0 + ac t =
2g  h - R  - μgt
ω = ω0 + βt = 2μgt R
达到纯滚动时有： vc = Rω
解得作纯滚动经历的时间：
v0
t=
=
3μg
2g  h - R 
3μg
2）达到纯滚动时经历的距离：
1 2
v02
1
v02
x = v0 t + at =
+  -μg 
2
2
3μg 2
 3μg 
5 h - R
5v02
=
=
18μg
9μ
例 沿加速平板表面的纯滚动：在水平板上放一半径为 R,
质量为m 的匀质球。设平板具有加速度a ，球沿平板作纯
滚动，求球质心的加速度和所受静摩擦力的大小。
y

ma C
mg
o
解：以球为研究对象、平板为参考系
（非惯性系），则动力学方程为
N
ac
f
a x
 f  ma  mac

2
2
  f R  5 mR 
a  R
 c
5
2
由以上三式解得： ac = - a , f = ma
7
7
球心的加速度为 a = a + a = a - 5 a = 2 a
c
c
7
7
§6.6 陀螺的运动
绕对称轴高速旋转的刚体称为陀螺，或称回转
仪。陀螺在运动过程中通常有一点保持固定，故属
刚体的定点运动.利用角动量和角速度的矢量性质，
可以解释陀螺的运动.
一、陀螺的进动
z
z rCsin
进动
M

mg

rC
O
Lsin
M
d
z
O
O
L
mg
如图，对固定点0，陀螺只受重力矩的作用，即
z
L

O
Lsin
M
d
mg


M    ri  mi g     mi ri   g
i
 i

mi ri

 mg  rc  mg
m
i
根据刚体角动量定理
dL  Mdt
即角动量的变化量dL应像M一样垂直于L。L顶
端绕一水平圆周运动.陀螺自转轴绕竖直轴的
转动即为进动。
如图 dL  L sin  d
z

O
L
Lsin
M
d
mg
dL
Mdt
d 

L sin  L sin 
rc mg sin  dt rc mg


dt
L sin 
L
其中L是陀螺的自转角动量，为陀
螺绕其对称轴旋转的转动惯量I与
自转角速度ω的乘积.因此，陀螺
的进动角速度为
mgrC
d
M
P 


dt L sin 
J
陀螺的进动角速度随着自转角速度ω、I的增
大而减少，与角度θ无关.
二、陀螺特点: 保持转动方向
z
z
进动
章
动
进动
进动
O
O
1.不受外力矩或外力矩很小时，刚体的角动量
保持恒定 L  J   const
高速自转的陀螺具有极大的反抗外力矩的
作用，力图保持其转轴在空间的方向不变.
2.章动－当陀螺的自转角速度不够大时，则除了
自转和进动外，陀螺对称轴还会在铅垂面内上下
摆动，即角会有大小波动，称为章动.
1、掌握刚体概念和刚体的基本运动.
2、理解转动惯量的意义及计算方法,会利用平行轴定
和垂直轴定理求转动惯量.
3、熟练应用刚体定轴转动定律.
4、应用刚体的角动量定理、角动量守恒定律及机械
能守恒定律解决转动问题.
5、掌握刚体平面平行运动的基本规律和计算方法.
6、陀螺部分不要求掌握，只需了解陀螺运动现象和
基本特征.