Transcript 第9章定解问题

波动方程、输运方程、稳定场方程
数学物理方程
数学
物理方法
复变函数论
复变函数、解析函数（积分、
展开）、留数定理等
特殊函数论
勒让德函数、delta 函数
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第三篇 数学物理方程
数学物理方程：从物理问题中导出的函数方程，特别
是偏微分方程和积分方程。
重点讨论：二阶线性偏微分方程。
第9章 定解问题
（波动、输运、稳定场方程）
第10章
第11章
第12章
行波法
分离变量法
积分变换法
其他：格林函数法、 保角变换法、变分法等
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第9章 定解问题
1. 物理规律的数学表示——泛定方程
物理规律
物理量u在空间和时间中的变化规律，
即物理量u在各个地点和各个时刻所取的值之间的联系。
有可能从边界条件和初始条件去推算u在任意地点
(x,y,z)和任意时刻 t 的值 u(x,y,z,t).
(2) 只能是u在邻近地点和邻近时刻所取的值之间的关
系式。这种邻近地点、邻近时刻之间的关系往往
是偏微分方程。
泛定方程反映的是同一类物理现象的共性，和具体条件无关。
例：牛顿第二定律反映的是力学现象的普遍规律，跟具体条
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件无关。
2. 定解条件的提出
同一类物理现象中，各个具体问题又各有其特殊性，
即个性。边界条件和初始条件反映了具体问题的特殊环
境和历史，即个性。
例：一个物体做竖直上抛运动，一个物体斜抛运动。
t=0(初始)：
方程：两种情况下都为
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由初始条件得特解：
(1) 对竖直上抛：
(2) 对斜向上抛：
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结论：不同的初始条件
不同的运动状态，但都服从
牛顿第二定律。
综上所述，定解问题的完整提法：
在给定的边界条件和初始条件下，根据已知的物理
规律，解出某个物理量u 在给定的区域里随着地点(x,y,z)
和时刻t怎样变化，即求u(x,y,z,t)。
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另外，数理方程理论还有三个主要问题：
(1) 解的存在性问题
(2) 解的唯一性问题
讨论在什么定解条件下，对于哪一函数类，方程
的解是唯一的。通过唯一性问题的研究，可以明确：
对于一定的方程，需要多少个以及哪一些定解条件才
能唯一确定一个解。此外，用不同方法解同一个问题
时，得到的解式可能不一样，如果在理论上能证明解
是唯一的，则这两个形式不同的解必相等。
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(3)稳定性问题(初始条件微变时，解的变化也很小，
称解是稳定的)
讨论当定解条件略微改变时，解的变化如何。这
个问题的重要性在于：把一个物理问题表示成数学问
题时，一般总是作了一些简化或理想化的假定，与真
实情况有出入。研究稳定性问题，就可以对解的近似
程度作出估计。若解不稳定，定解条件的细小误差导
致了解的极大变化，则定解问题的解就不能正确地反
映其确定的物理现象。
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数学物理方程的导出
• 下面导出常见的一些数学物理方程：
 波动方程 （双曲型偏微分方程）
1、杆的纵振动方程
2、弦的横振动
 输运方程 （抛物型）
3、热传导方程
4、扩散方程
 稳定场方程．（椭圆型）
5、静电场
6、稳定温度场
7、稳定浓度场
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u(x,t)
9.1 波动问题
u(x+dx,t)
一、杆的纵振动方程 (杆：非刚性杆)
x
设：均匀细棒(杆)，沿杆长方向作微小振动
u(x,t): 平衡时坐标为 x 的点在 t 时刻沿 x 方向的位移。
求：细杆上各点的运动规律。
x+dx
研究对象：取一不包含端点的小段（x,x+dx）,并设杆的横截
面积为 s，密度为  ，杨氏模量为 Y
该小段在 t 时刻的伸长量 u(x+dx,t)-u(x,t)
u ( x  dx, t )  u ( x, t ) u

相对伸长量：
dx
x
胡克定律
P ( x, t )  Y
u ( x, t )
(P：应力，作用于单位横截面的内力)
x
对该小段，有两个侧面  两侧均受到应力的作用
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沿x方向的合力：
u(x,t)
u(x+dx,t)
x
x+dx
(1)
由牛顿第二定律：
(2)
得
令
， 并记：
，有
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问题：方程中a的物理意义？(从其表达式看出，它是反映
杆本身性质的一个量)
说明：在以上推导中所作的简化假定
(1) 杆作小振动，这样才能应用胡克定律，并略去
由于杆的伸缩所引起的密度的变化，从而得到一个线性
方程；
(2) 杆很细，则在任意时刻每一截面上各点位移相
同，这样可只用一个变量x来标志同一截面上的各个点，
否则u将不只是 x 和 t 的函数。
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二、弦的横振动方程
设：均匀柔软的细弦沿 x 轴绷紧，在平衡位置附近产生振幅极
小的横振动
u(x,t): 坐标为 x 的点在 t 时刻沿 y 方向的位移
ds
求：细弦上各点的振动规律
研究对象：选取不包括端点的一小段（x,x+dx）
简化假设：(1) 弦是柔软的，即不抵抗弯曲，弦上的任意一点的
张力沿弦的切线方向
(2) 振幅极小
仅考虑
和
张力与水平方向的夹角
和
很小，
的一阶小量，略去二阶小量：
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(线性化)
ds
并且由此导出弦的长度近似不变：
(3)弦的重量与张力相比很小，可以忽略。
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由牛顿第二定律：
纵向：T(x+dx)cos  2  T ( x) cos 1  0 (弦只作横振动) (1)
 2u
横向： dx 2  T ( x  dx) sin  2  T ( x) sin 1  F ( x, t )dx
t
其中：F(x,t )为单位长度弦所受到的强迫力
u ( x, t )
又
sin 1  1  tan 1 
x
sin  2   2  tan  2 
u ( x  dx, t )
x
由(1)及
(2)
(3)
(4)
ds
——张力与 x 无关
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将(3)，(4)代入(2)，且张力与x无关：
定义：
，则有
——弦的强迫振动方程
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讨论：
(a) 弦不受外力时，即F(x,t)=0，则有：
比较杆和弦的振动方程，发现它们遵守完全相同的运动
方程。
(b) 二维、三维振动方程略。
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三、波动方程的定解条件
1. 初始条件——描述系统的初始状态
振动方程含有对时间的二阶偏导数 两个初始条件
——系统各点的初位移
——系统各点的初速度
2. 边界条件——描述系统在边界上的状况
(1)第一类边界条件：给出未知函数 u 在边界上的值
例：对于两端固定的弦的横振动，其边界条件为：
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(2) 第二类边界条件：给定未知函数u在边界上的法向
导数值
例：杆在x=0端固定，在x=l 端受外力F(t)的作用，边
界条件
(第一类)
推导：考虑细杆x=l 端的一小段
到的力
(第二类)
，这一小段受
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由牛顿第二定律得：
令
，且
有限
讨论：若x=l 端既不固定，又不受 F(t) 作用，即x=l为
自由端，则有
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(3) 第三类边界条件：给出边界上未知数u及其法向导
数之间的线性关系
例：杆在x=0端固定，在x=l端受到弹性系数为k的弹簧
的拉力，其边界条件为
(第一类)
(第三类)
推导：在x=l 端受的力为F(t)=－ku(l, t)—弹力，代入
，则有
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3. 衔接条件
在研究具有不同介质的问题中，在不同介质的界面处有
衔接条件。
例：用两根不同介质的杆接成的一根杆的纵振动，在连接处
位移相等，应力也相等，在连接点
处有以下衔接条件
u1
u2
Y

Y
u1 x  x0  u2 x  x0
1
x  x0
2
x  x0
x
x
其中：
、
是杨氏模量
为两根不同介质的杆的位移，
4. 其它定解条件：有限性条件、周期性条件
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9.2 输运问题
一、热传导方程
1. 热传导现象：当导热介质中各点的温度分布不均匀时，
有热量从高温处流向低温处。
2. 方程的推导
设：介质中任一小体积： ，边界面：S，介质的比热 c；
质量密度：
介质中的热源：F(x，y，z，t)——热源密度：在单位
时间，单位体积中放出的热量
求：介质内各点温度 u(x，y，z，t)满足的方程
内介质吸收热量的来源：热传导，热源
对于热传导，有热传导的傅里叶定律：
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在各向同性的介质中，热流强度 与温度的负梯度成正比：
( k  0 ：热传导系数)
：单位时间内垂直通过等温面单位面积的热量，即 q 
dQ
dsdt
的方向：等温面的法线方向（由高温指向低温）
定律的物理意义：q 正比于温度的下降率
单位时间内流入
的热量：
单位时间内热源在
中释放的热量：
Q2   F ( x, y, z , t )dV
V
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单位时间内，
中介质温度升高所需的热量:
能量守恒定律：
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二、扩散方程
1.扩散现象：当空间各点浓度分布不均匀时，就有粒子从高
浓度处流向低浓度处。（浓度：单位体积中的粒子数）
2.方程的推导：
设：空间中任一小体积
，边界面 S，粒子源强度：F(x,y,z,t)
——单位时间，单位体积内产生的粒子数。
求：空间各点粒子浓度 u(x,y,z,t)的方程
内粒子数增加的来源：扩散，粒子源
扩散浓度： ——单位时间通过垂直于 （粒子定向运动速
度）的单位面积的粒子数 N=uv，方向： 的方向
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对于扩散现象，有斐克定律：
扩散强度与浓度的负梯度成正比，即
D：扩散系数
扩散导致
粒子源
内粒子增加的数量：
粒子增加的数量：
内粒子数总的增加数：
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粒子数守恒：
若D为常数，且设
，则
内无粒子源：F=0
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总结：热传导：热量的传递；扩散：粒子的运动，两
者物理本质不同，但满足同一微分方程。
三、热传导方程的定解条件
1.初始条件
热传导方程含有对时间的一阶偏导数，因此只需
要一个初始条件——初始时刻的温度分布：
2.边界条件
(1) 第一类边界条件：给定温度在边界上的值
导热杆（一维问题）在x=0端保持为零度，x=l端保持
为T度
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三维：
（S—给定区域v的边界）
(2) 第二类边界条件：给定温度在边界上的法向导数值
(关键：物理意义)
单位时间内通过边界面单位面积沿法线方向流出的热量为q(t)
导热杆(一维) ：x=0 端绝热、x=l 端有热流流出
x=0端：
即
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三维：有热流流出界面：
： 的法线分量
若边界面绝热：
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(3)第三类边界条件：给定边界上温度与温度的法向导
数的线性关系。
牛顿冷却定律：单位时间内从物体通过边界上单位面积流
到周围介质的热量跟物体表面和外界的温差成正比。
：热交换系数；
：周围介质的温度
一维：x=l 端自由冷却
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令
，则
同理：x=0端自由冷却
 ux (0, t )  hu(0, t )  hu1
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小结：确定边界条件的基本方法与导出方程的基本方法
类似，即从所讨论现象服从的一般规律出发，考察
与边界相连的代表元，得到函数在界面上满足的关
系式。要求对物理规律熟悉。
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9.3 稳定场问题
一、静电场
介质：介电常数
，电荷分布  f ( x, y, z )  电场强度
E ( x, y, z ) 满足
  E  0 ——无旋场
（1）
f
 ——有源场
（2）
E 
证明：电磁学高斯定理
换成体积分
V的任意性
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推导电势满足的方程：对于任意的标量函数有
引入电势
即：可用电势来描述静电场。
代入(2)式：
f
  u

2
无电荷分布：
(泊松方程)
，则
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二、稳定温度场
温度场：温度在空间的分布构成一个标量场。
规律：
稳定状态：温度u 不随时间变化，则
——泊松方程
无热源：f=0
——拉普拉斯方程
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三、稳定浓度场：方法同稳定温度场
四、稳定场方程的定解条件
不含初始条件，只含边界条件或其他条件。
边界条件
三类：第一、二、三类边界条件。见教材p194表9-1。
分类
边界条件
第一类
u |s  1 ( x)
第二类
第三类
un |s  2 ( x) (un  hu) |s  3 ( x)
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衔接条件：
两种介质分界面上，静电场电势 u 的边值关系：
u1  u2
u2
u1
2
 1
  f
n
n
f
界面上的自由电荷面密度
有限性条件：见教材p196。
周期性条件：
物理量在同一点同一时刻有确定值，采用球坐标系时
u(r , ,   2 )  u(r, ,  )
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重点讨论：二阶线性偏微分方程。
3类典型方程
波动方程
具体物理问题
（可逆过程）
（双曲型）
3、热传导方程
4、扩散方程
5、静电场
稳定场方程
物理现象
(t  t )
1、杆的纵振动方程
2、弦的横振动
输运方程
泛定方程
6、稳定温度场
( 不可逆过程）
（抛物线型）
f
 u

2
（椭圆型）
（泊松方程）
（与时间无关）
7、稳定浓度场
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