Transcript 第十二章_格林函数

第十二章
格林函数法
(Method of Green Function)
格林（Green）函数，又称为点源影响函数，是数学物理中
的一个重要概念．格林函数代表一个点源在一定的边界条件下和
初始条件下所产生的场．知道了点源的场，就可以用叠加的方法
计算出任意源所产生的场．
格林函数法是解数学物理方程的常用方法之一．
？什么是格林函数
乔治·格林 ( George
Green ,1793 —1841)
英国的数学物理学
家。
12.1泊松方程的格林函数法
一、解方程的基本思路
1、泊松方
程的求解问题，
能否化为简单
方程求解?
2、实际物体的场
能否用点源场的
叠加表示出来
。
4、物体的形状毕
竟影响场的情况，
物体的表面在求
解场的函数中一
定有所体现
3、点源的场
满足的方程
是否为易于
求解的方程
二、数学上的格林公式;
u (r )和v (r ) 在区域 T
T
及其边界

上具有连续一阶导数,
中具有连续二阶导数，应用矢量分析的高斯定理


A dS    AdV
单位时间内流体流过边界闭曲面S的流量
T
单位时间内V内各源头产生的流体的总量
将对曲面

的积分化为体积分

 uv  d s     (uv)dv

  uvdv   u  vdv
v
v
利用公式
v
(uv)  u  v  uv
称上式为第一格林公式．同理有

 vu  d s =    (vu)dv =  vudv   u  vdv

v
v
v
上述两式相减得到


(u
v
u
 v )ds =  (uv  vu )dv,
n
n
v
为第二格林公式

是 的外法向导数
n
三 泊松方程的解用点源函数与边界条件表示——解出积分公式
1 泊松方程的求解：
讨论具有一定边界条件的泊松方程的定解问题．
u (r ) ——泊松方程的解，物体的场。G (r ) ——特殊的方程的解，点源的场
(1) 泊松方程

u  f (r )
u
边值条件 [ u  
]   (r )
n
 (r ) 是区域边界  上给定的函数.
  0 对应第一类边界条件
  0 对应第二类边界条件
  0,   0 对应第三类边界条件
（2）、点源函数满足的场方程：
G(r , r0 ) 位于 r0 点的点源在 r 点产生的场
G(r , r0 ) =  (r  r0 )
（3）、泊松方程解的积分公式：

用 G(r , r0 ) 乘以 u = f ( ) 有：
r

用 u ( ) 乘以 G(r , r0 ) =  (r  r0 ) 有
r
①—②式有

G(r , r0 ) u = G(r , r0 ) f (r ) ①


u ( r ) G(r , r0 ) = u ( r )  (r  r0 ) ②


G(r , r0 ) u - uG(r , r0 ) = G(r , r0 ) f (r ) - u ( r )  (r  r0 )
在去掉含有点源的体积 T  K 中积分有：

K
[（ G(r , r0 ) u -u G (r , r0 ) ）]dv
0
T  K
=

T  K

G(r , r0 ) f (r ) dv-  u  (r  r0 ) dv
T  K
应用第二类格林公式，将体积分化为面积分


(G
u
G
u
)ds +
n
n

[G

=

T  K
u
G
u
]ds
n
n

G(r , r0 ) f (r ) dv③

T

| r  r0 | 1



  G(r , r0 ) f (r ) dv
G(r , r0 ) f (r ) dv 
③上式右端为：
T  K
 0
T
1
1
G(r , r0 ) =

4 | (r  r0 | 4
③上式左端为：


(G
u
)ds =
n

=
4




1 u
ds =
4 n


1 u 2
 d
4 n
u
u
d   
| 0  0
n
n
[d  
ds
]
2
r

u

G
ds   
n

1
=
4
带入③式：



u
1

1
[
]ds  
4
 4

1

2

d
2
ud  =  u (r0 )

u
G
(G
u
)ds +
n
n



u
G
u
]ds=
[G
n
n
u (r0 ) =  G(r , r0 ) f (r ) dvT

u


（ G(r , r0 )

T  K

G(r , r0 ) f (r ) dv③
u
G
u
)ds
n
n
泊松方程解得基本积分展式
需要知道 u (r ) 以及
两者之一。
u
在  上的表示。而实际问题中，只能知道它们
n
四 泊松方程解的简化：——具有实际意义的解
令格林函数满足一定的边界条件
① G(r , r0 ) 满足第一类边界条件：
u (r )  f (r )

 u |   (r )
G(r , r0 ) |

0
相应的格林函数 G(r , r0 ) 是下列问题的解：
 G (r , r0 )   (r - r0 )

G (r , r0 ) |  0
G (r , r0 )
u (r0 )   G (r , r0 ) f (r )dV    (r )
dS
T
n


u (r0 ) =  G(r , r0 ) f (r ) dvT


（ G(r , r0 )
u
G
u
)ds
n
n
② G(r , r0 ) 满足第二类边界条件：
G
| 0
n 
u (r )  f (r )

 u
 n |   (rp )
相应的格林函数 G(r , r0 ) 是下列问题的解：
G (r , r0 )   (r - r0 )

 G (r , r0 )
|  0

n

u (r0 ) =  G(r , r0 ) f (r ) dv 
T



u (r0 ) =  G(r , r0 ) f (r ) dvT


G(r , r0 )  (r)ds
（ G(r , r0 )
u
G
u
)ds
n
n
③ G(r , r0 ) 满足第三类边界条件：




u (r )  f (r )
u
[ u   ]   (rp )
n
相应的格林函数




G(r , r0 ) 是下列问题的解：
G (r , r0 )   (r - r0 )
G (r , r0 )
[ G  
]  0
n
G
[ G  
]  0
n
两边同乘以函数 u 得
G
u[ G  
]  0
n
u
[ u   ]   (r )
n
相减得到
两边同乘以格林函数G
 [G
得到第三类边值问题的解
u
G
u
]  G
n
n
u (r0 )   G (r , r0 ) f (r )dV 
T

u (r0 ) =  G(r , r0 ) f (r ) dvT
u
G[ u   ]  G (r )
n


1
 (r)G(r , r )dS


（ G(r , r0 )
0

u
G
u
)ds
n
n
典型的泊松方程（三维稳定分布）边值问题
u (r )  f (r )


u

[ u   n ]   (r )
引入：为了求解定解问题，我们必须定义一个与此
定解问题相应的格林函数
它满足如下定解问题，边值条件可以是第一、二、三类条件：
G (r , r0 )   (r  r0 )

G

[ G  
]  0

n

格林函数的物理意义：
在物体内部（ T 内） r0
处放置一个单位点电荷，而该物体的界面保持电位为零, 那么该
点电荷在物体内产生的电势分布，就是定解问题的解――格林函
数．由此可以进一步理解通常人们为什么称格林函数为点源函
数．
解的基本思想：引用格林函数的目的：主要就是为了
使一个非齐次方程与任意边值问题所构成的定解问题转化为
求解一个特定的边值问题. 一般后者的解容易求得
格林函数互易定理：因为格林函数
处的脉冲（或点源）在
r
G(r , r0 ) 代表 r0
处所产生的影响（或所产生的场）,
所以它只能是距离| r  r0 | 的函数, 故它应该遵守如下的互易定理：
G(r , r0 )  G(r0 , r )
可得第一类边值问题的解
G (r , r0 )
u (r0 )   G (r , r0 ) f (r )dV    (r )
dS
T
n

利用格林函数的互易性则得到
u (r )   G (r , r0 ) f (r0 )dV0    (r0 )
T


u (r0 ) =  G(r , r0 ) f (r ) dvT


G (r , r0 )
dS0
n0
（ G(r , r0 )
u
G
u
)ds
n
n
第三类边值问题的解
u (r0 )   G (r , r0 ) f (r )dV 
T
1
 (r)G(r , r )dS


0

利用格林函数的互易性则得到
u (r )   G (r , r0 ) f (r0 )dV0 
T
1

  (r )G(r , r )dS
0

0
0
f (r0 )  0
对于拉普拉斯方程
u (r )    (r0 )
第一边值问题的解为

u (r )  
第三边值问题的解为
G (r , r0 )
]dS0
n 0
1
 (r )G(r , r )dS


0
0
0


u (r0 ) =  G(r , r0 ) f (r ) dvT


u
G
（ G(r , r0 )
u
)ds
n
n
§12、2 用电像法求格林函数
一 无界空间的格林函数
1 一般边值问题的格林函数G的处理;
将一般边值问题的格林函数G分成两部分：
使满足
G  G0  G1

G0   (r  r0 )


G1  0
这样可以使 G1 带有 G 的边值条件，而 G0 不具有边界条件，成为无界问题。
G0   (r  r0 )
2 无界格林函数的解——基本解
G0   (r  r0 )

无界问题
对于点电荷知，单位强度的点电荷的电势为：
所以，可以给出无界空间格林函数
在二维极坐标系下，我们可以给出;
推导:
G0  
G0 (r , r0 )  
G0 (r , r0 ) = 
1
4 | r  r0 |
1
4 | r  r0 |
1
1
ln
2 | r  r0 |
三维球对称
对于三维球对称情形，我们选取
r0  0
对式 G0   (r  r0 )两边在球内积分
 G(r ,0)dV    (r )dV
T
T
  (r )dV  1
T
利用高斯定理得到

T
G(r ,0)dV     G(r ,0)dV 
T

S
G(r ,0)  dS 
G 2
 S r r sin  d d
故有
G 2
 S r r sin  d d  T G(r ,0)dV  1
使上式恒成立，有
G(r ,0)
4πr
 1
r
2
G(r ,0) 
r  ， G  0
因此
-1
4πr
c0
c
,故得到
-
对于三维无界球对称情形的格林函数可以选取为
G(r , r0 ) 
-1
4π | r  r0 |
代入 （12.1 ）得到三维无界区域问题的解为
f (r0 )
1
u (r )   
dV0
T
0|r r |
4π
0
上式正是我们所熟知的静电场的电位表达式
二维轴对称情形
用单位长的圆柱体来代替球．积分在单位长的圆柱体内进行，即
 G(r ,0)dV    (r )dV
T
因为
T
  (r )dV  1
T
 G(r ,0)dV    G(r,0)dV  
T
由于
G 
T
G
er , G
r
S
G(r ,0) dS
只是垂直于轴，且向外的分量，所以上式在
圆柱体上、下底的面积分为零，只剩下沿侧面的积分，即
G
 r rddz  T  (r )dV  1
选取的圆柱的高度为单位长，则很容易得到下面的结果
G
1

r
2πr
令积分常数为0，得到
-1
1
G(r ,0)  ln  c
2π r
G(r ,0) 
-1
2π
ln
1
r
因此二维轴对称情形的格林函数为
1
-1
G(r , r0 )  ln
2π | r  r0 |
得到二维无界区域的解为
u (r ) 
-1
2π S0
f (r0 )ln
1
dS0
| r  r0 |
二 用电像法求解格林函数
用格林函数法求解的主要困难还在于如何确定格林函数本身
一个具体的定解问题，需要寻找一个合适的格林函数
为了求解的方便，对一些具体问题我们给出构建格林函数的方法
1.电像法的基本思路： 对物体的一部分影响可等效为点源所产生的场，
即某种场源总可以等效为一种点源。
为了满足边界条件：电势为零，所以还得在边界外像点（或对称点）放置
一个合适的负电荷，这样才能使这两个电荷在界面上产生的电势之和为零
2. 实际问题分析;
①、问题；接地导体球面内有一点电荷为  0 激发的电势
G   (r  r0 )
G|

0
令 G= G0  G1
G0 (r , r0 )  
1
4 | r  r0 |
G1可用电像法求得：
①由边界条件确定电荷所在位置：
像在球外，距原点为 r1 ，电量为 q，电势为 G1 (r , r1 )
由三角形相似有：
r0 a

a r1
P
M1
M 0 (  )
对于p点
P
所以有： | r  r1 |
a
| r  r0 |
即 | r  r1 | =
r0
PM 1
a


| r  r0 | PM 0 r0
在球面上有
M 0 (  )
| r  r0 | = PM 0
| r  r1 | = PM 1

1
+
q
4 | r  r0 | 4 | r  r1 |
②、取电量原则：
M1
| r  r1 |
0
a
q
 
r0
| r  r0 |
a 1
G1 
r0 4
1
a2
| r  2 r0 |
r0
1
a 1
1
+
G (r , r0 ) = 
2
r
4

a
4 | r  r0 | 0
| r  2 r0 |
r0
3 圆内泊松方程第一边值问题的格林函数满足
G   (r  r0 )

G |圆周上  0
其解为
a / r0
1
1
1
G(r , r0 ) = 
+
ln
ln
2 | r  r0 | 2 | r  r1 |
三 常见格林函数：
G0 (r , r0 ) = 
无界问题的格林函数
极坐标系下的二维无界平面的格林函数
球内第一边值问题的格林函数
1
4 | r  r0 |
G0 (r , r0 ) = 
G (r , r0 ) = 
1
1
1
ln
2 | r  r0 |
a 1
1
2
4 | r  r0 | r0 4 | r  a r |
0
r02
+
平面圆内第一类边值问题的格林函数：
x0
1
1
1
G (r , r0 ) = 
+
ln
ln
2 | r  r0 | 2 | r  r0 |
例1、 在球内解拉普拉斯方程的第一边值问题：
 3u  0, (r  a)

u | r a  f ( , )
解：这是球内的第一边值问题，其格林函数为：
G (r , r0 ) = 
1
a 1
1
4 | r  r0 | r0 4 | r  r1 |
+
u (r )   G (r , r0 ) f (r0 )dV0 +   (r0 )

T
G (r , r0 )
dS0
n0
G G
1 
1
a 1 
1



n
r
4 r | r  r0 | r0 4 r | r  r1 |
| r  r0 | = r 2  2rr0 cos   r02
| r  r1 | = r 2  2rr0 cos   r12
r  r0 cos 
r  r1 cos 
G G
1
1


所以

[ 2
[ 2
]
]+
2 3/ 2
2 3/ 2
n
r
4r0 (r  2rr1 cos   r1 )
4 (r  2rr0 cos   r0 )
2
2
2
a

|
r

r
|

r
1 r  | r  r0 | a
1
0
0


4
2a | r  r0 |3
4
2a | r  r0 |3
2
0
2
2
带入积分解：
G (r , r0 )
u (r )   G (r , r0 ) f (r0 )dV0 +   (r0 )
dS0
T

n0

=
2
 
0
0
=
2
2
2
1 r02  | r  r0 | 2  a 2
1 a  | r  r0 | r0
2

] a sin  0 d 0 d 0
f ( 0 ,  0 ) [ 
4
4
2a | r  r0 |3
2a | r  r0 |3

2
0
0
 
2
2
1 a  r0
] a 2 sin  0 d 0 d 0
f ( 0 ,  0 ) [
4 | r  r0 |3
例2、在半空间z>0内求解拉普拉斯方程的第一边值问题：
 3u  0, ( z  0)

u | z a  f ( x, y)
解：先求半无界空间的格林函数：
 3G   ( x  x0 ) ( y  y0 ) ( z  z 0 )

G | z a  0
z
M ( x, y , z )
M 0 ( x0 , y0 , z0 )
用电像法：像在平面下方
y
G (r , r0 ) = 
=
1
4
1
+
1
x
4 | r  r0 | 4 | r  r1 |
M 1 ( x0 , y0 ,  z0 )
图 14.1
1
( x  x0 ) 2  ( y  y 0 ) 2  ( z  z 0 ) 2

1
4
1
( x  x0 ) 2  ( y  y 0 ) 2  ( z  z 0 ) 2
z0
G
G
1
| z 0 
| z 0 
n
z
2 [( x  x0 ) 2  ( y  y 0 ) 2  ( z  z 0 ) 2 ]3 / 2
z
U(x,y)= 0
4


 


f ( x0 , y 0 )
z0
dx0 dy0
2
2
2 3/ 2
[( x  x0 )  ( y  y0 )  ( z  z 0 ) ]
例3 圆形区域第一边值问题的格林函数构建
物理模型：在圆内任找一点
M 0 ( 0 ) 放置一个单位电荷

R2
P

M1
R1

M 0 (  )
x
根据图，这两电荷在圆内任一观察点
P(  ) 所产生的电势为
-
1
1
u  ln
 ln
c
2π |   0 | 2π |   b |
-1
当观察点 P 位于圆周上 (   a) 时，应该有
，即满足第一类齐次边值条件 u |  0

u0
, 即为
1

ln[a 2  02  2a0 cos(   )] + ln[a 2  b2  2ab cos(   )]  c  0
4π
4π
上式应对任何  值成立，所以上式对  的导数应为零，即
2a 0 sin(   )
1

2ab sin(   )

0
+
2
2
2
2
4π a  0  2a 0 cos(   ) 4π a  b  2ab cos(   )
即得到
b[a2  02  2a0 cos(   )]  0 [a2  b2  2ab cos(   )]  0
要求上式对任意的  值要成立，故提供了确定
b(a 2  02 )  0 (a 2  b 2 )  0
2 a 0b  2a 0b  0
 ,b的方程
联立解得
  1,
b
a2
0
于是圆形区域 (   a) 的第一类边值问题的格林函数为
-1
1
1
G (  , 0 ) 
ln
 ln
+
2π |   0 | 2π
.
即为
1
| 
a2
0
|
 2 02  a 4  2 0 a 2 cos(   )
G (  , 0 )  ln{ 2 2
}
2
4π
a [   0  2 0 cos(   )]
-1
其中
  x2  y 2 , 0  x02  y02
§12、3 含时间的格林函数
一 格林函数法求波动方程及热传导方程
utt  a 2 u  f (r , t )

 u
  u |   ( M , t )
 n
u |   (r ), u |   (r )
t t 0
 t 0
格林函数： 单位脉冲点力所引起的振动，称为波动问题的格林函数，
Gtt  a 2 G   (r  r0 ) (t  t0 )

 G
 G |  0
a

 n
G |t   0, Gt |t   0

因为驱动力是在
t  时刻出现的，所以，在此前，弦保持静止
现需要讨论以下三个问题
一 Green函数的对称性
二 如何用格林函数把定解问题的解u(x,t）表示出来
三 如何求出格林函数
可以证明 Green函数具有对称性
G (r , t ; r0 , t0 )  G (r ,t0 ; r0 ,t )
将r,t换为r0,t0
u (r , t )  a 2 u (r , t )  f (r , t )
0 0
0 0
 t0t0 0 0
 u (r0 , t0 )

 u (r0 , t0 ) |   ( M 0 , t0 )



n
0

u (r , t ) |   (r ), u (r , t ) |   (r )
0
0
t0 0 0 t0 0
 0 0 t0 0
相应的G的定解问题中，令 r与r0互换，t和t0分别换为-t0和-t
 
 
 
2
Gt0t0 (r , t ; r0 , t0 )  a G (r , t ; r0 , t0 )   (r  r0 ) (t  t0 )

 
 
 G (r , t ; r0 , t0 )
  G (r , t ; r0 , t0 ) |  0



n
0

G (r , t ; r0 , t0 ) |t 0  0, Gt (r , t ; r0 , t0 ) |t 0  0
0
0
0

将方程ut0t0 (r0 , t0 )  a 2 u (r0 , t0 )  f (r0 , t0 )两边同乘G (r , t ; r0 , t0 )
Gt0t0 (r, t; r0 , t0 )  a 2 G(r, t; r0 , t0 )   (r  r0 ) (t  t0 )两边乘u(r0 , t0 )
两式相减，并在T内积分
t

 

u (r , t )    G (r , t ; r0 , t0 ) f ( r0 , t0 )dV0 dt0
0
T
u
G
 a   (G
u
)dS 0 dt0   [Gut0  uGt0 ]t0 0 dV0
0
n0
n0

T
2
t
ut  a 2 u  f (r , t )

 u
a   u |   ( M , t )
 n
u |   (r )
 t 0
输运问题
t

 

u (r , t )    G (r , t ; r0 , t0 ) f (r0 , t0 )dV0 dt0
0
T
u
G
 a   (G
u
)dS 0 dt0   [uG ]t0 0 dV0
0
n0
n0

T
2
t
§12、4 用冲量定理法求格林函数
例1求解定解问题
x

2
utt  a u xx  A cos l sin t

u | x 0  0, u | x l  0
u |  0, u |  0
t t 0
 t 0

解： 相应格林函数的定解问题
Gtt  a 2Gxx   ( x   ) (t   )

G | x 0  0, G | x l  0
G |  0, G |  0
t t 0
 t 0
用冲量定理法，问题转化为
Gtt  a 2Gxx  0

G | x 0  0, G | x l  0
G |  0, G |   ( x   )
t t 
 t 
用分离变量法 可得
1
2 
G ( x, t ;  , )  (t   ) 

l
a n 1
1
na (t   )
n
nx
sin
cos
cos
n
l
l
l
u ( x, t )  
t
 0
l

0
f ( , )G ( x, t ; , )dd
l
1 t

   (t   ) A cos sin  dd
l  0  0
l
l
2A  1
nx t

na (t   )
n

cos
cos
sin  sin
cos
dd





0


0
a n 1 n
l
l
l
l
t
2A  1
nx l

n
na (t   )

cos
cos
cos
d  sin  sin
d




0


0
a n 1 n
l
l
l
l
u ( x, t )  
t
 0
l

0
f ( , )G ( x, t ; , )dd
Al
x t
a (t   )
u ( x, t ) 
cos  sin  sin
d
a
l  0
l
Al
1
at a
x

( sin
 sin t ) cos
2
2 2
2
a    a / l
l
l
l
第十三章 积分变换法
傅里叶变换
f(x+2l)=f(x)
kx
kx
f ( x)  a0   (ak cos
 bk sin
)
l
l
k 1

1 l
a0   f ( ) d 
2l l
1 l
k
ak   f ( ) cos
d  (k  1,2,)
l
l
l
1 l
k
bk   f ( ) sin
d  (k  1,2,)
l
l
l
称为傅里叶系数
f ( x) 

c e
k  
l
i
kx
l
k
i
1
ck   f ( )[e
2l l
k
l *
] d
非周期性函数


0
0
f ( x)   A( ) cos xd   B( ) sin xd
其中

f ( x) 

ix
F ( )e d

1
A( ) 
 
B ( ) 
1


 


f ( ) cos  d 
f ( ) sin  d 
称为f ( x )的傅立叶变换式。
1
F ( ) 
2



f ( )[ei ]* d 
三 傅立叶变换的基本性质
 1 导数定理
2. 积分定理
3 相似性定理
F [f '(x)]=iF(ω)
( x)
1


F  f ( x) d x 
F ( ).

 i
1  
F[ f (ax)]  F   (a  0)
a a
4. 延迟定理
F[ f ( x  x0 )]  e
 ix0
F[ f ( x)]
积分变换法是通过积分变换简化定解问题的一种有效的求
解方法．对于多个自变量的线性偏微分方程，可以通过实施积
分变换来减少方程的自变量个数，直至化为常微分方程，这就
使问题得到大大简化，再进行反演，就得到了原来偏微分方程
的解．积分变换法在数学物理方程（也包括积分方程、差分
方程等）中亦具有广泛的用途．尤其当泛定方程及边界条件均
为非齐次时，用经典的分离变量法求解，就显得有些烦琐和笨
挫，而积分变换法为这类问题提供了一种系统的解决方法，并
且显得具有固定的程序，按照解法程序进行易于求解．利用积
分变换，有时还能得到有限形式的解，而这往往是用分离变
量法不能得到的．
特别是对于无界或半无界的定界问题，用积分变换来
求解，最合适不过了．（注明：无界或半无界的定界问题
也可以用行波法求解）
用积分变换求解定解问题的步骤为：
第一：根据自变量的变化范围和定解条件确定选择适当
的积分变换；
第二：对方程取积分变换，将一个含两个自变量的偏微分方
程化为一个含参量的常微分方程；
第三：对定解条件取相应的变换，导出常微分方程的定解条件；
第四：求解常微分方程的解，即为原定解问题的变换；
第五：对所得解取逆变换，最后得原定解问题的解．
１3.１ 傅里叶变换法解数学物理定解问题
用分离变量法求解有限空间的定解问题时，所得
到 的本征值谱是分立的，所求的解可表为对分立本征
值求和的傅里叶级数．对于无限空间，用分离变量法
求解定解问题时，所得到的本征值谱一般是连续的，所
求的解可表为对连续本征值求积分的傅里叶积分．
因此，对于无限空间的定解问题，傅里叶变换是一种很
适用的求解方法．本节将通过几个例子说明运用傅里叶
变换求解无界空间（含一维半无界空间）的定界问题的
基本方法，并给出几个重要的解的公式．
下面的讨论我们假设待求解的函数
及其一阶导数是有限的 .
弦振动问题
例.1 求解无限长弦的自由振动定解问题
（假定：函数
及其一阶导数是有限的，以后不再特别指出．
这一定解问题在行波法中已经介绍，读者可以比较行波解
法和傅氏解法）
【解】
应用傅里叶变换，即用
遍乘定解问题中的各式，
并对空间变量x积分（这里把时间变量看成参数），按照傅
里叶变换的定义，我们采用如下的傅氏变换对：
简化表示为
对其它函数也作傅氏变换，即为
于是原定解问题变换为下列常微分方程的定解问题
上述常微分方程的通解为
代入初始条件可以定出
这样
最后，上式乘以
并作逆傅氏变换．应用延迟定
理和积分定理得到
这正是前面学过的的达朗贝尔公式.
例.2
热传导问题
例2 求解无限长细杆的热传导（无热源）问题
【解】 作傅氏变换，
定解问题变换为
常微分方程的初值问题的解是
再进行逆傅里叶变换，
交换积分次序
引用积分公式
且令
以便利用积分公式，即得到
稳定场问题
我们先给出求半平面内
拉普拉斯方程的第一
边值问题的傅氏变换 系统解法（读者可以与格林函数解法进
行比较）
例 3 定解问题
【解】 对于变量
作傅氏变换，有
定解问题变换为常微分方程
因为
可取正、负值，所以常微分定解问题的通解为
因为
常微分方程的解为
设
，故得到
根据傅氏变换定义，
再利用卷积公式
最后得到原定解问题的解为
的傅氏逆变换为