傅里叶(Fourier)变换
Download
Report
Transcript 傅里叶(Fourier)变换
§4.2 留数在定积分计算上的应用
类型1. 形如
2π
R(cos x, sin x) d x
的积分, 其中
R(cosx,sinx)为cosx与sinx的有理函数. 令z=eix, 则
dz=ieixdx=izdx
2
0
R(cos x, sin x) d x
0
z 2 1 z 2 1 d z
R
,
f ( z) d z
2iz iz
2z
| z | 1
| z | 1
2 π i{ f ( z ) 在 单 位 圆 z 1内 各 奇 点 留 数 之 和 } .
类型二:
f ( x ) dx
如果 f ( z ) 在上半平面有有限个奇点,则由留数定理:
R
f ( z ) dz
f ( x )dx
R
l
f ( z ) dz
CR
2 i l 内上半平面内各奇点留
数之和
条件:
1 f z 在实轴上无奇点
2 f z 在上半平面上存在有限个奇点外是解析的
3 当 z
上半面和实轴
zf z 一致地 0
如果 f(x)是有理分式,上述条件意味着分母没有实的零点,
且分母的次数至少高于分子两次。
类型三: F ( x ) cos mxdx ,
0
0
G ( x ) sin mx 积分区间 0 ,
F(x)为偶函数
F ( x ) cos mxdx
0
1
2
F ( x )e
imx
f ( z ) 在上半平面的留数之和
dx i
imz
f ( z ) F ( z )e
同理:G(x)为奇函数
0
G ( x ) sin mxdx
1
2i
G ( x )e
imxdx
f ( z ) 在上半平面的留数之和
imz
e
)
z
(
G
)
z
(
f
类型四——实轴上有单极点函数的定积分:
f ( x ) dx 2 i
Re sf ( z ) i Re sf ( z )
上半平面
实轴上
第五章 傅里叶(Fourier) 变换
掌握Fourier级数的展开方法
掌握Fourier积分与Fourier变换方法
了解δ函数的基本性质
第五章 傅里叶(Fourier) 变换
§5.1傅里叶级数
一 .周期函数的傅里叶展开
傅立叶
傅立叶(公元1768年~1830年),法国数学家、
物理学家。1768年3月21日生于欧塞尔,1830年5月16日
卒于巴黎。9岁父母双亡,被当地教堂收养。12岁由一主
教送入地方军事学校读书。17岁回乡教数学,1794到巴
黎,成为高等师范学校的首批学员,次年到巴黎综合工科
学校执教。1798年随拿破仑远征埃及时任军中文书和埃
及研究院秘书,1801年回国后任伊泽尔省地方长官。
1817年当选为科学院院士,1822年任该院终身秘书,后
又任法兰西学院终身秘书和理工科大学校务委员会主席。
在1759年拉格朗日(J.L.Lagrange)表示不可能用三角级数来表
示一个具有间断点的函数,因此三角级数的应用非常有限。正是在
这种多少有些敌对和怀疑的处境下,傅里叶约于半个世纪后提出了
他自己的想法。傅里叶很早就开始并一生坚持不渝地从事热学研
究,1807年他在向法国科学院呈交一篇关于热传导问题的论文中
宣布了任一函数都能够展成三角函数的无穷级数。这篇论文经 J.L.拉格朗日, P.-S.拉普拉斯, A.-M.勒让德等著名数学家审查,由于
文中初始温度展开为三角级数的提法与拉格朗日关于三角级数的
观点相矛盾,而遭拒绝。由于拉格朗日的强烈反对,傅里叶的论文
从未公开露面过。为了使他的研究成果能让法兰西研究院接受并
发表,在经过了几次其他的尝试以后,傅里叶才把他的成果以另一种
方式出现在"热的分析理论"这本书中。这本书出版于1822年,也即
比他首次在法兰西研究院宣读他的研究成果时晚十五年。这本书
已成为数学史上一部经典性的文献,其中基本上包括了他的数学
思想和数学成 就。
书中处理了各种边界条件下的热传导问题,以系统地运用三角
级数和三角积分而著称,他的学生以后把它们称为傅里叶级数和傅
里叶积分,这个名称一直沿用至今。傅里叶在书中断言:“任意”
函数(实际上要满足 一定的条件,例如分段单调)都可以展开成三
角级数,他列举大量函数并运用图形来说明函数的这种级数表示的普
遍性,但是没有给出明确的条件和完整的证明。
傅里叶的创造性工作为偏微分方程的边值问题提供了基本的求
解方法-傅里叶级数法,从而极大地推动了微分方程理论的发展,特
别是数学物理等应用数学的发展; 其次,傅里叶级数拓广了函数概
念,从而极大地推动了函数论的研究,其影响还扩及纯粹数学的其
他领域。
傅里叶深信数学是解决实际问题的最卓越的工具, 并且认为“
对自然界的深刻研究是数学最富饶的源泉。” 这一见解已成为数学
史上强调通过实际应用发展数学的一种代表性的观点。
傅立叶的两个最主要的贡献——
“周期信号都可表示为谐波关系的正弦
信号的加权和”——傅里叶的第一个
主要论点
“非周期信号都可用正弦信号的加权
积分表示”
——傅里叶的第二个主要论点
在工程计算中, 无论是电学还是力学, 经常要和随
时间而变的周期函数fT(t)打交道. 例如:
t
具有性质fT(t+T)=fT(t), 其中T称作周期, 而1/T代表
单位时间振动的次数, 单位时间通常取秒, 即每秒
重复多少次, 单位是赫兹(Herz, 或Hz).
最常用的一种周期函数是三角函数
fT(t)=Asin(wt+j)
其中w=2/T
t
而Asin(wt+j)又可以看作是两个周期函数
sinwt和coswt的线性组合
Asin(wt+j)=asinwt+bcoswt
人们发现, 所有的工程中使用的周期函数都可以用
一系列的三角函数的线性组合来逼近.
方波
4个正弦波的逼近
100个正弦波的逼近
1 傅里叶级数
若函数f(x)以2l为周期,即
则可取三角函数族
1, cos
x
2 x
, cos
l
x
sin
, sin
l
f(x+2l)=f(x)
,... cos
kx
l
2 x
,... sin
l
,...
l
kx
,...
l
作为基本函数族,将f(x)展为傅里叶级数
f ( x) a0
k 1
( a k cos
kx
l
b k sin
kx
l
)
(5 .1 .3)
三角函数族是两两正交的
l
l
cos
l
sin
l
cos
l
sin
l
l
kx
dx0
kx
cos
nx
l
l
( k 0),
l
l
dx0
l
l
kx
sin
kx
( k n),
l
sin
nx
l
l
kx
nx
l
dx0
cos
l
dx0
dx0
( k n),
利用上述正交性,可以求得级数展开的各系数:
f ( x) a0
(a
cos
k
l
k 1
a0
1
l
2l
ak
1
bk
1
l
l
l
l
l
l
l
kx
b k sin
f ( ) d
f ( ) cos
k
d ( k 1, 2 , )
l
f ( ) sin
k
d ( k 1, 2 , )
l
称为傅里叶系数
kx
l
)
2 傅里叶级数的收敛性
. 并非理论上的所有周期函数都可以用傅里叶级数
逼近, 而是要满足狄里希利(Dirichlet)条件, 即在区
间[-l,l]上
(1), 连续或只有有限个第一类间断点
(2), 只有有限个极值点
则级数是收敛的,且
{
级数和=
f (x)
1
2
( 在连续点 x )
[ f ( x 0 ) f ( x 0 )]( 在间断点)
第一类间断点和第二类间断点的区别:
左极限及右
极限都存在
第一类间断点
第二类间断点
不满足狄氏条件的例:
f (t ) tg t
存在第二类间断点
1
f (t ) sin( )
t
在靠近0处存在着无限多个极值点.
而在工程上所应用的函数, 尤其是物理量的
变化函数, 全部满足狄氏条件. 实际上不连
续函数都是严格上讲不存在的, 但经常用不
连续函数来近似一些函数, 使得思维简单一
些.
二 奇函数和偶函数的傅里叶展开
f ( x) a0
(a
k
cos
kx
l
k 1
kx
b k sin
)
l
若f(x)是奇函数,则ak为0
b
f ( x)
k
sin
kx
k 1
1
a0
2l
ak
1
bk
1
l
l
l
l
l
l
l
l
(5 .1 .8 )
l
f ( ) d 0
f ( ) cos
k
d 0 ( k 1, 2,
)
l
f ( ) sin
k
l
d
2
l
l
0
f ( ) sin
k
d ( k 1, 2,
l
叫做傅里叶正弦级数,
f(0)=f(l)=0
)
若f(x)是偶函数,则bk为0,展开式为
f ( x) a0
a
cos
k
kx
l
k 1
a0
1
2l
ak
bk
1
1
l
l
l
l
l
f ( ) d
l
l
l
f ( ) cos
f ( ) sin
1
l
l
k
f ( ) d
0
k
l
( 5 . 1 . 10 )
d
2
l
l
f ( ) cos
d ( k 1, 2,
l
0
d 0 ( k 1, 2,
k
)
l
叫做傅里叶余弦级数, f ‘(0)=f ‘(l)=0
)
三 定义在有限区间上的函数的傅里叶展开
f(x)定义在(0,l),可以采取延拓的方法,使其成为
某种周期函数g(x), 而在(0,l)上,g(x)≡f(x).然后对
g(x)作傅立叶级数展开,该级数的和在(0,l)上代
表f(x).
延拓的方式有无数种,因而展开式也有无数种,
但他们在(0,l)上均代表f(x)。
有时,对函数f(x)边界的限制就决定了延拓的
方式。如要求 f(0)=f(l)=0 ,则应延拓成奇周期
函数,如要求 f ‘(0)=f ‘(l)=0 ,则应延拓成偶的
周期函数。
四 复数形式的傅立叶级数
利用三角函数的指数形式
由cos j
e
ij
e
ij
2
, sin j i
e
ij
e
ij
2
可将级数表示为:
kx
kx
kx
kx
i
i
i
i
l
e l
e l e l
e
f ( x) a0 ak
ibk
2
2
k 1
ak ibk i kx ak ibk i kx
a0
e l
e l
2
2
k 1
由于
且令c0 a0 ,
ck
c k
ck
ak ibk
, k 1, 2, 3, K
2
ak ibk
, k 1, 2, 3, K
2
l
1
2l
f ( )[e
l
i
a0
2l
ak
1
bk
1
k
l
] d
*
1
l
l
l
l
l
l
l
l
f ( ) d
f ( ) cos
c0 ck e
d ( k 1, 2 , )
l
k
f ( ) sin
d ( k 1, 2 , )
l
(5.1.14)
k x
i
i kl x
l
f ( x) c0 ck e
c k e
k 1
k
i
k x
l
k 1
若 2l T , 则
l
ck e
k 1
2
T
i
k x
l
i
ck e
k x
l
(5.1.13)
k
w,
k
l
kw w k
若 2l T , 则
2
l
T
a0
(a
实数形式
ak
bk
T
2
T
2
T
cos w k x b k sin w k x )
f ( ) d
2
T
k
2
T
f ( ) co s w k d ( k 1, 2, L )
2
T
2
T
f ( ) sin w k d ( k 1, 2, L )
2
T
2
f ( x)
ck e
iwk x
k
T
复数形式
ck
1
T
kw w k
k 1
T
l
f ( x ) a0
1
w,
k
2
T
2
f ( )[e
iwk *
] d
例 定义方波函数为
1 | t | 1
f (t )
0 | t | 1
如图所示:
f(t)
1
1
o
1
t
现以f(t)为基础构造一周期为T的周期
函数fT(t), 令T=4, 则
f 4 (t )
求傅立叶级数展开
f (t 4n),
n
w
2
T
2
4
,
w k kw
1
3
2
k
2
f4(t)
1
T=4
t
T
则由
得
f ( x)
ck e
iwk x
; ck
k
T
2
f ( )[e
ce
iwk x
k
f4(t)
T
1
T
2
1
] d
T
k
ck
iwk *
2
f (t )
1
4
T
fT (t )e
iwk t
dt
1
T=4
1
3
t
2
2
2
f 4 (t )e
1
4iwk
iwk t
dt
1
4
1
1
1
e
iwk t
1
1
4iwk
e
e
iwk t
iwk
dt
e
iwk
1 sin wk
1
sinc(wk ) ( k 0, 1, 2, K )
2 wk
2
sinc函数介绍
sinc 函数定义为
sinc( x)
sin x
x
严格讲函数在x 0处是无定义的, 但是因为
lim
sin x
x 0
1
x
所以定义 sinc( 0) 1, 用不严格的形式就写作
sin x
x
1, 则函数在整个实轴连续
x0
sinc函数的图形:
sinc(x)
π
2π
x
ck
1
2
前面计算出
sinc(wk ) ( k 0, 1, 2, L )
wk kw k
2
T
k
2
, 可将ck以竖线标在频率图上
w
现在将周期扩大一倍, 令T=8, 以f(t)为基础构造一
周期为8的周期函数f8(t)
f 8 (t )
f (t 8n),
n
w
2
2
T
8
4
, w n nw
n
4
f8(t)
1
1
7
T=8
t
则
cn
T
1
T
2
1
8
T
f T (t )e
iw n t
dt
2
4
4
f 8 (t )e
1
8iwn
iw n t
dt
1
e
iw n t
1
1
1
e
8
iw n t
1
1
8iwn
e
iw n
dt
e
iw n
1 sin wn
1
sinc( wn ) (n 0,1,2, )
4 wn
4
cn
1
4
则在T=8时,
sinc( w n ) (n 0,1,2, )
w n nw n
2
8
n
4
, 再将cn以竖线标在频率图上
w
如果再将周期增加一倍, 令T=16, 可计算出
cn
1
8
sinc( w n ) (n 0,1,2, )
w n nw n
2
16
n
8
, 再将cn以竖线标在频率图上
w
一般地, 对于周期T
cn
1
T
1
T
2
T
fT (t )e
iwn t
dt
2
T
1
1
e
1
Tiwn
iwn t
dt
1
e
iwn t
1
1
Tiwn
e
iwn
e
iwn
2 sin wn
2
sinc(wn ) (n 0, 1, 2, K )
T
wn
T
当周期T越来越大时, 各个频率的正弦波的频
率间隔越来越小, 而它们的强度在各个频率的
轮廓则总是sinc函数的形状, 因此, 如果将方波
函数f(t)看作是周期无穷大的周期函数, 则它也
可以看作是由无穷多个无穷小的正弦波构成,
将那个频率上的轮廓即sinc函数的形状看作是
f(t)的各个频率成份上的分布, 称作f(t)的傅里叶
变换.
§5.2 傅立叶积分与傅立叶变换
(一)实数形式的傅立叶积分
对任何一个非周期函数f(x)都可以看成是由某个
周期函数g(x)当T=2l时转化而来的.
作周期为T的函数g(x), 使其在[-l,l]之内等于f(x),
在[-l,l]之外按周期2l延拓到整个数轴上, 则l越大,
g(x)与f(x)相等的范围也越大, 这就说明当T=2l
时, 周期函数g(x)便可转化为f(x), 即有
lim g ( x) f ( x)
2 l
g ( x ) a0
(a
k
cos w k x b k sin w k x )
k 1
a0
ak
bk
1
T
2
T
2
T
T
2
T
g ( ) d
2
T
2
T
g ( ) cos w k d ( k 1, 2, L )
2
T
2
T
g ( ) sin w k d ( k 1, 2, L )
2
g(x)的傅立叶展开式在T→∞时的极限形
式就是所要寻找的非周期函数f(x)的傅
立叶展开。
l
2
w,
T
k
l
kw w k
引入变量 w w w
k
k
k 1
则
T
2
w
2
wk
,
l
,
对g(x)展开式的三部分分别讨论:
lim a
0
T
T
1
lim T
T
余弦部分
lim [
T
k 1
2
T
k 1
T
2
g ( ) d 0
有限
T
2
T
2
1
T
g ( ) cos w k d ] cos w k x
w
2
wk
,
2
lim [
T
2
T
2
T
2
g ( ) cos w k d ] cos w k x w k
T , wk
2
T
0, w k 变 为 连 续 参 量 , 记 为 w ,
求和变成积分,上式成为
[
0
1
g ( ) cos w d ] cos w xd w
同理,正弦部分为
0
[
1
g ( ) sin w d ] sin w xd w
于是:
f (x)
A (w ) cos w xd w
0
B (w ) sin w xd w
0
称为非周期函数
f ( x )的傅立叶积分表达式,
其中
A (w )
B (w )
1
1
f ( ) cos w d
f ( ) sin w d
称为 f ( x )的傅立叶变换式。
g ( x ) a0
(a
k
cos w k x b k sin w k x )
k 1
a0
ak
bk
T
1
T
T
T
T
2
g ( ) d
2
T
2
2
2
T
g ( ) cos w k d ( k 1, 2, L )
ωk=k ω =kπ/l (k=0,1,2,…)是
分离值
2
T
2
T
g ( ) sin w k d ( k 1, 2, L )
2
f (x)
周期函数的傅里叶级数展开
A (w ) cos w xd w
0
B (w ) sin w xd w
0
称为非周期函数
f ( x )的傅立叶积分表达式,
其中
A (w )
B (w )
1
1
f ( ) cos w d
f ( ) sin w d
称为 f ( x )的傅立叶变换式。
傅氏积分定理
若f(x)在(, +)上满足条件:
1, f(x)在任一有限区间上满足狄氏条件;
2, f(x)在无限区间(, +)上绝对可积,
则f(x)可表成傅立叶积分,且
积分值=[f(x+0)+f(x-0)]/2。
在(,)绝对可积是指的 | f ( x) | d x收敛
f (x)
讨论:
1
A (w ) cos w xd w
0
f ( x )的傅立叶积分表达式,
分为
其中
f ( x)
B (w ) sin w xd w
0
称为非周期函数
若 f ( x )为奇函数,则傅立叶积
B (w ) sin w xd w
A (w )
0
称为傅立叶正弦积分
B (w )
1
1
f ( ) cos w d
f ( ) sin w d
称为 f ( x )的傅立叶变换式。
其中
B (w )
2
f ( ) sin w d
0
称为 f ( x )的傅立叶正弦变换。
2
若 f ( x )为偶函数,则傅立叶积
f ( x)
A (w ) cos w xd w
0
称为傅立叶余弦积分
其中
A (w )
2
f ( ) cos w d
0
称为 f ( x )的傅立叶余弦变换。
分为
例 矩形函数为
1 | x |
rect ( x)
0 | x |
f(t)
h
1
2
,
1
2
1
o
1
函f (t ) hrect (t )展傅立分。
解:f (t )是偶函数,可展为傅里叶余弦积分
f (t )
0
A(w ) cos wt d w
t
其傅里
2
A(w )
f ( ) cos w d
h
0
2
hrect ( ) cos w d
0
2
1
0
h cos w d
2h sin w
w
o 1/2
例 矩形函数为
1
rect ( x)
0
| x |
| x |
f(t)
h
1
2,
1
2
T o
T
将矩形脉冲f (t ) h rect (t / 2T )展为傅立叶积分。
解:f (t )是偶函数,可展为傅里叶余弦积分
f (t )
0
A(w ) cos wt d w
t
其傅里叶变换为
2
A(w )
2
2
T
0
h
f ( ) cos w d
0
o T
hrect ( / 2T ) cos w d
0
h cos w d
2h sin wT
w
A(ω)
2hT/π
2π/T
o π/T
频谱图是连续谱,含有一切频率。
3π/T
ω
4π/T
(二)复数形式的傅立叶积分
实数形式的傅立叶积分可以过渡到复数形
式的傅立叶积分
由欧拉公式
cos wx
e
iwx
e
iwx
, sin wx i
2
e
iwx
e
2
代入傅里叶积分式 :
f ( x)
0
A (w ) cos w xd w
0
B (w ) sin w xd w
iwx
得:
1
2
f (x)
[ A (w ) iB (w )]e
iw x
dw
0
1
2
[ A (w ) iB (w )]e
iw x
dw
0
ω -ω
1
2
[ A (w ) iB (w )]e
iw x
dw
0
1
2
1
[ A (w ) iB (w )]e
iw x
dw
iw x
dw
[ A ( w ) iB ( w )]e
iw x
dw
2
0
0
[ A ( w ) iB ( w )]e
1
2
0
傅里叶积分式
两个积分合并
f ( x)
iw x
F (w ) e
1 [ A (w ) iB (w )]
2
1 [ A ( w ) iB ( w )]
2
dw
( 5 . 2 . 14 )
F (w )
w 0
w 0
F (w )
由于
A (w )
1
1 [ A (w ) iB (w )]
2
1 [ A ( w ) iB ( w )]
2
f ( ) cos w d , B (w )
w 0
w 0
1
f ( ) sin w d
对于 w 0
F (w )
1
2
f ( )[cos w i sin w ] d
1
2
f ( )[ e
i w
] d
*
对于w 0
F (w )
1
2
1
2
f ( )[cos( w ) i sin( w )] d
f ( )[ e
iw
1
2
f ( ) e
d
傅里叶变换式
] d
*
无论 w 0 还是 w 0 , 都有 F (w )
iw
1
2
f ( )[ e
i w
] d
*
( 5 . 2 . 15 )
f ( x)
F (w )
F (w ) e
1
2
iw x
傅立叶逆变换
dw
(傅里叶积分式)
f ( x )[ e
iw x *
傅立叶变换
] dx
可以写成对称的形式:
F (w )
f ( x)
1
2
1
2
f ( )[ e
iw
] d
*
F (w ) e
iw x
dw
可以记为F(w)=F [f(x)] 和 f(x)=F-1[F(w)]
F(w)称作f(t)的象函数, f(x)称作F(w)的原函数.
可以说象函数F(w)和原函数f(x)构成了一个傅氏变换对.
傅立叶变换在光学中的应用
数学上可以将一个复杂的非周期函数做傅里叶积分变换,相应的在
物理上,一个复杂结构的光学图像可以被分解成一系列连续单频信
息的积分-----傅立叶光学
图像的信息可以用其透过率函数表示:t=t(x),可以展成傅立叶积分形式
1
iw x
iw x *
t
(
x
)[
e
] dx
t( x)
T (w ) e d w T (w )
2
若用一束复振幅为U1
的平行光照射这个
光学图像(衍射屏)
U 2 ( x ) t U 1 ( x )
这样把衍射屏的空间频率ω的信息以透过率函数
的形式加到了入射光U1上,变为出射光U2,分
iw x
U 1 T (w ) e d w
析U2的傅立叶变换函数u2( ω ),就能得到衍
射屏的空间频率信息,即光学图像的样貌。
1
iw x *
u 2 (w )
U
(
x
)
t
(
x
)[
e
] dx
1
2
0,
例1 求函数f (t ) t
e ,
t0
的傅氏变换及
t0
其积分表达式, 其中 0.这个f (t )叫做指数
衰减函数, 是工程技术中常碰到的一个函数.
f(t)
t
解:
F (w ) F[ f (t )]
1
2
1
2
1
1
2
e
f (t ) e
t
e
iwt
iwt
dt
dt
0
e
( iw ) t
dt
0
1
2 iw
1
iw
2 w
2
2
这就是指数衰减函数的傅氏变换.
例2 求函数f (t ) A e
t
2
的傅氏变换及其积分
表达式, 其中A, 0. 这个函数叫做钟形脉冲
f(t)
函数, 也是工程技术中常碰到的一个函数.
解:
1
F (w ) F[ f (t )]
1
2
1
2
Ae
Ae
t
w2
4
2
2
e
iw t
e
f (t ) e
iw t
dt
O
dt
iw
t
2
2
dt
1
2
Ae
w2
4
t
因此有
Ae
t
2
1
2
Ae
w2
4
如果令=1/2, 就有
Ae
t
2
2
1
2
Ae
w2
2
可见钟形函数的傅氏变换也是钟形函数
g ( x ) a0
(a
k
cos w k x b k sin w k x )
k 1
a0
ak
bk
1
T
2
T
T
g ( ) d
2
T
2
T
2
T
g ( ) cos w k d ( k 1, 2, L
2
周期函数的傅里叶级数
展开
ωk=k ω =kπ/l
)
(k=0,1,2,…)是分离值
T
2
T
2
T
g ( ) sin w k d ( k 1, 2, L )
2
l
f (x)
A (w ) cos w xd w
0
B (w ) sin w xd w
0
称为非周期函数
f ( x )的傅立叶积分表达式,
其中
A (w )
B (w )
1
1
f ( ) cos w d
f ( ) sin w d
称为 f ( x )的傅立叶变换式。
2
w,
T
k
l
kw w k
wk wk wk 1
T
2
w
2
wk
,
l
,
1
若 f ( x )为奇函数,则傅立叶积
f ( x)
B (w ) sin w xd w
0
称为傅立叶正弦积分
其中
B (w )
2
f ( ) sin w d
0
称为 f ( x )的傅立叶正弦变换。
分为
2
若 f ( x )为偶函数,则傅立叶积
f ( x)
A (w ) cos w xd w
0
称为傅立叶余弦积分
其中
A (w )
2
f ( ) cos w d
0
称为 f ( x )的傅立叶余弦变换。
分为
复数形式的傅立叶积分及其系数表达式
————傅立叶变换对
f ( x)
F (w )
F (w ) e
1
2
iw x
dw
(傅里叶积分式)
傅立叶逆变换
f ( x )[ e
iw x *
] dx
傅立叶变换
可以记为F(w)=F [f(x)] 和 f(x)=F-1[F(w)]
F(w)称作f(t)的象函数, f(x)称作F(w)的原函数.
可以说象函数F(w)和原函数f(x)构成了一个傅氏变换对.
三 傅立叶变换的基本性质
1 导数定理
F [f '(x)]=iwF(ω)
证 由傅氏变换的定义, 并利用分部积分可得
F[ f ( x )]
0
1
2
1
2
iwx
f ( x) e
dx
f ( x) e
iw x
iw
iwF[ f ( x )] iwF (w )
1
2
f ( x) e
iwx
dx
推论
F [f(n)(x)]=(iw)nF [f(x)]. 同样, 我们
还能得到象函数的导数公式, 设
F [f(x)]=F(w), 则
d
dw
F (w ) F[ ixf ( x )].
一般地, 有
d
n
dw
F (w ) ( i ) F[ x f ( x )]
n
n
n
2. 积分定理
F
( x)
1
f ( x) d x
F[ f ( x)].
iw
证 因为
F(
d
dx
d
dx
( x)
( x)
f ( x) d x f ( x ),
(x)
f ( x ) d x ) = F[ f ( x )] iw F f ( x ) d
F[ f ( x)] iw F (w )
x
3 相似性定理
w
F[ f (ax)] F (a 0)
a a
1
证:
F[ f (ax)]
1
2
2a
1
2a
f (ax) e
F[ f (ax )]
1
f ( x) e
iwx
f ( y) e
iwx / a
i wy / a
dx
令y ax则
dx
1
a
dy
F(
w
a
)
4. 延迟定理
F[ f ( x x0 )] e
iwx0
F[ f ( x)]
证 由傅氏变换的定义, 可知
F[ f ( x x0 )]
1
2
2
iw x0
f (u ) e
1
e
1
2
f ( x x0 ) e
iw ( u x0 )
f (u ) e
iw u
dx
令x-x0=u
du
iw x
du e
iw x0
F[ f ( x)]
5 位移定理
F[e
iw0 x
f ( x)] F (w w0 )
证:
F[e
iw 0 x
1
2
f ( x )]
1
2
f ( x) e
F (w w0 )
e
iw 0 x
i (w w 0 ) x
dx
f ( x) e
iw x
dx
6 卷积定理 若F 1(w)=F [f 1(x)], F 2(w)=F [f 2(x)], 则
F[ f1 ( x ) * f 2 ( x )] 2 F1 (w ) F2 (w )
其中 f 1 ( x ) * f 2 ( x )
1
2
f 1 ( ) f 2 ( x ) d
为 f 1 ( x ) 和 f 2 ( x )的卷积
证 按傅氏变换的定义, 有
e iwx d x
F[ f1 ( x) f 2 ( x)]
f
(
)
f
(
x
)
d
1
2
2
1
1
2
f1 ( ) e
iw
f2 (x ) e
iw ( x )
d d x
e iwx d x
F[ f1 ( x) f 2 ( x)]
f
(
)
f
(
x
)
d
1 2
2
1
1
2
1
2
f1 ( ) e
f1 ( ) e
iw
f2 (x ) e
iw ( x )
d d x
f ( x ) e iw ( x ) d x d
2
iw
令y x
f2 ( y) e
2 F1 (w ) F2 (w )
iw ( y )
d y F ( f 2 ( y )) F2 ( w )
1 导数定理 F [f(n)(x)]=(iw)nF [f(x)].
2. 积分定理
( x)
1
F f ( x) d x
F[ f ( x)].
iw
运用傅氏变换的微分性质以及积分性质, 可以
把线性常系数微分方程转化为代数方程, 通过
解代数方程与求傅氏逆变换, 就可以得到此微
分方程的解. 另外, 傅氏变换还是求解数学物理
方程的方法之一.
例 求微分积分方程
t
ax(t ) bx(t ) c x(t ) d t h(t )
的解, 其中<t<+, a,b,c均为常数.
解: 根据傅氏变换的微分性质和积分性质,
F [x(t)]=X(w), F [h(t)]=H(w).
在方程两边取傅氏变换, 可得
aiwX (w ) bX (w )
X (w )
c
iw
H (w )
c
b i aw
w
X (w ) H (w )
x(t) = F -1 [ X(w) ],
x (t )
X (w ) e
iw x
dw
§5.3 δ函数
在物理和工程技术中, 常常会碰到单位
脉冲函数. 因为有许多物理现象具有脉
冲性质, 如在电学中, 要研究线性电路受
具有脉冲性质的电势作用后产生的电流;
在力学中, 要研究机械系统受冲击力作
用后的运动情况等. 研究此类问题就会
产生我们要介绍的单位脉冲函数.
在原来电流为零的电路中, 某一瞬时(设为t=0)进入
一单位电量的脉冲, 现在要确定电路上的电流i(t).
以q(t)表示上述电路中的电荷函数, 则
0,
q (t )
1,
t 0;
t 0.
由于电流强度是电荷函数对时间的变化率, 即
i (t )
d q (t )
dt
lim
t 0
q (t t ) q (t )
t
所以, 当t0时, i(t)=0, 由于q(t)是不连续的, 从而在
普通导数意义下, q(t)在这一点是不能求导数的.
如果我们形式地计算这个导数, 则得
i (0) lim
t 0
q (0 t ) q (0)
t
1
lim
t 0
t
这表明在通常意义下的函数类中找不到一个函数能
够表示这样的电流强度. 为了确定这样的电流强度,
引进一称为狄拉克(Dirac)的函数, 简单记成d-函数.
有了这种函数, 对于许多集中于一点或一瞬时的量,
例如点电荷, 点热源, 集中于一点的质量及脉冲技术
中的非常窄的脉冲等, 就能够象处理连续分布的量那
样, 以统一的方式加以解决.
二 d-函数的定义与性质
(1)定义
0; x 0
d ( x)
; x 0
0; t t 0
i (t ) d (t t0 )
; t t0
(2)性质
1 奇偶性
δ(-x)=δ(x), δ’(-x)=-δ’(x)
x
H ( x) d (t ) d t
2
是阶跃函数
x
H ( x) d (t ) d t
(x 0)
(x 0)
挑选性
3
0
1
d (t t0 ) f (t ) d t f ( t 0 )
三 d-函数的傅立叶变换
d-函数的傅氏积分为: d ( t )
d (t )
F (w ) e
iw t
1
2
e
iw t
dw
dw
F (w ) F[d (t )]
1
2
d (t ) e
iwt
dt
1
2
e
iw t
t0
1
2
例 求正弦函数f(t)=sinw0t的傅氏变换
F (w ) F[ f (t )]
1
2
1
4i
i
2
e
e
iwt
iw 0 t
e
sin w0t d t
iwt
dt
2i
2
iw 0 t
4i
1
e
1
e
i (w w0 ) t
e
i ( w w 0 ) t
dt
d (t )
2d (w w0 ) 2d (w w0 )
d (w w0 ) d (w w0 )
1
2
e
iw t
dw
如图所示:
|F(w)|
sint
1/2
t
w0
1/2
O
w0 w
在频谱分析中, 傅氏变换F(w)又称为
f(t)的频谱函数, 而它的模|F(w)|称为
f(t)的振幅频谱(亦简称为频谱). 由于
w是连续变化的, 我们称之为连续频
谱, 对一个时间函数作傅氏变换, 就
是求这个时间函数的频谱.