Transcript 傅里叶(Fourier)变换

§4.2 留数在定积分计算上的应用
类型1. 形如

2π
R(cos x, sin x) d x
的积分, 其中
R(cosx,sinx)为cosx与sinx的有理函数. 令z=eix, 则
dz=ieixdx=izdx

2
0
R(cos x, sin x) d x 
0
 z 2  1 z 2  1 d z
  R
,
  f ( z) d z

2iz  iz
 2z
| z | 1
| z | 1
 2 π i{ f ( z ) 在 单 位 圆 z  1内 各 奇 点 留 数 之 和 } .

类型二：

f ( x ) dx

如果 f ( z ) 在上半平面有有限个奇点，则由留数定理：
R

f ( z ) dz 

f ( x )dx 
R
l

f ( z ) dz
CR
 2  i l 内上半平面内各奇点留
数之和
条件：
1  f  z  在实轴上无奇点
 2  f  z  在上半平面上存在有限个奇点外是解析的
3  当 z  
上半面和实轴
zf  z  一致地  0
如果 f(x)是有理分式，上述条件意味着分母没有实的零点，
且分母的次数至少高于分子两次。


类型三：  F ( x ) cos mxdx ，
0


0
G ( x ) sin mx 积分区间 0 ,  
F(x)为偶函数


F ( x ) cos mxdx 
0
1

2


F ( x )e
imx
 f ( z ) 在上半平面的留数之和
dx   i 
imz
 f ( z )  F ( z )e



同理：G(x)为奇函数


0
G ( x ) sin mxdx 
1
2i



G ( x )e
imxdx
 f ( z ) 在上半平面的留数之和

imz
e
)
z
(
G

)
z
(
f




类型四——实轴上有单极点函数的定积分：



f ( x ) dx  2  i
 Re sf ( z )   i  Re sf ( z )
上半平面
实轴上
第五章 傅里叶(Fourier) 变换
 掌握Fourier级数的展开方法
 掌握Fourier积分与Fourier变换方法
 了解δ函数的基本性质
第五章 傅里叶(Fourier) 变换
§5.1傅里叶级数
一 .周期函数的傅里叶展开
傅立叶

傅立叶(公元1768年～1830年),法国数学家、
物理学家。1768年3月21日生于欧塞尔，1830年5月16日
卒于巴黎。9岁父母双亡，被当地教堂收养。12岁由一主
教送入地方军事学校读书。17岁回乡教数学，1794到巴
黎，成为高等师范学校的首批学员，次年到巴黎综合工科
学校执教。1798年随拿破仑远征埃及时任军中文书和埃
及研究院秘书，1801年回国后任伊泽尔省地方长官。
1817年当选为科学院院士，1822年任该院终身秘书，后
又任法兰西学院终身秘书和理工科大学校务委员会主席。
在1759年拉格朗日(J.L.Lagrange)表示不可能用三角级数来表
示一个具有间断点的函数,因此三角级数的应用非常有限。正是在
这种多少有些敌对和怀疑的处境下,傅里叶约于半个世纪后提出了
他自己的想法。傅里叶很早就开始并一生坚持不渝地从事热学研
究，1807年他在向法国科学院呈交一篇关于热传导问题的论文中
宣布了任一函数都能够展成三角函数的无穷级数。这篇论文经 J.L.拉格朗日, P.-S.拉普拉斯, A.-M.勒让德等著名数学家审查，由于
文中初始温度展开为三角级数的提法与拉格朗日关于三角级数的
观点相矛盾，而遭拒绝。由于拉格朗日的强烈反对,傅里叶的论文
从未公开露面过。为了使他的研究成果能让法兰西研究院接受并
发表,在经过了几次其他的尝试以后,傅里叶才把他的成果以另一种
方式出现在"热的分析理论"这本书中。这本书出版于1822年,也即
比他首次在法兰西研究院宣读他的研究成果时晚十五年。这本书
已成为数学史上一部经典性的文献，其中基本上包括了他的数学
思想和数学成 就。
书中处理了各种边界条件下的热传导问题，以系统地运用三角
级数和三角积分而著称，他的学生以后把它们称为傅里叶级数和傅
里叶积分，这个名称一直沿用至今。傅里叶在书中断言：“任意”
函数（实际上要满足 一定的条件,例如分段单调）都可以展开成三
角级数,他列举大量函数并运用图形来说明函数的这种级数表示的普
遍性，但是没有给出明确的条件和完整的证明。
傅里叶的创造性工作为偏微分方程的边值问题提供了基本的求
解方法-傅里叶级数法,从而极大地推动了微分方程理论的发展，特
别是数学物理等应用数学的发展； 其次，傅里叶级数拓广了函数概
念，从而极大地推动了函数论的研究，其影响还扩及纯粹数学的其
他领域。
傅里叶深信数学是解决实际问题的最卓越的工具， 并且认为“
对自然界的深刻研究是数学最富饶的源泉。” 这一见解已成为数学
史上强调通过实际应用发展数学的一种代表性的观点。
傅立叶的两个最主要的贡献——
 “周期信号都可表示为谐波关系的正弦
信号的加权和”——傅里叶的第一个
主要论点
 “非周期信号都可用正弦信号的加权
积分表示”
——傅里叶的第二个主要论点
在工程计算中, 无论是电学还是力学, 经常要和随
时间而变的周期函数fT(t)打交道. 例如:
t
 具有性质fT(t+T)=fT(t), 其中T称作周期, 而1/T代表
单位时间振动的次数, 单位时间通常取秒, 即每秒
重复多少次, 单位是赫兹(Herz, 或Hz).
最常用的一种周期函数是三角函数
fT(t)=Asin(wt+j)
其中w=2/T
t
 而Asin(wt+j)又可以看作是两个周期函数
 sinwt和coswt的线性组合

Asin(wt+j)=asinwt+bcoswt
人们发现, 所有的工程中使用的周期函数都可以用
一系列的三角函数的线性组合来逼近.
方波
4个正弦波的逼近
100个正弦波的逼近
1 傅里叶级数
 若函数f(x)以2l为周期，即
 则可取三角函数族
1, cos
x
2 x
, cos
l
x
sin
, sin
l
f(x+2l)=f(x)
,... cos
kx
l
2 x
,... sin
l
,...
l
kx
,...
l
作为基本函数族，将f(x)展为傅里叶级数

f ( x)  a0 

k 1
( a k cos
kx
l
 b k sin
kx
l
)
(5 .1 .3)
三角函数族是两两正交的
l

l
cos
l
sin
l
cos
l
sin
l

l
kx
dx0
kx
cos
nx
l
l

( k  0),
l
l

dx0
l
l

kx
sin
kx
( k  n),
l
sin
nx
l
l
kx
nx
l
dx0
cos
l
dx0
dx0
( k  n),
利用上述正交性，可以求得级数展开的各系数：

f ( x)  a0 
 (a
cos
k
l
k 1
a0 
1

l
2l
ak 
1
bk 
1
l
l
l

l
l

l
l
kx
 b k sin
f ( ) d 
f ( ) cos
k 
d  ( k  1, 2 ,  )
l
f ( ) sin
k 
d  ( k  1, 2 ,  )
l
称为傅里叶系数
kx
l
)
2 傅里叶级数的收敛性
. 并非理论上的所有周期函数都可以用傅里叶级数
逼近, 而是要满足狄里希利(Dirichlet)条件, 即在区
间[-l,l]上
 (1), 连续或只有有限个第一类间断点
 (2), 只有有限个极值点
 则级数是收敛的，且
{
 级数和=
f (x)
1
2
( 在连续点 x ）
[ f ( x  0 )  f ( x  0 )]( 在间断点）
第一类间断点和第二类间断点的区别:
左极限及右
极限都存在
第一类间断点
第二类间断点
不满足狄氏条件的例:
f (t )  tg t
存在第二类间断点
1
f (t )  sin( )
t
在靠近0处存在着无限多个极值点.
 而在工程上所应用的函数, 尤其是物理量的
变化函数, 全部满足狄氏条件. 实际上不连
续函数都是严格上讲不存在的, 但经常用不
连续函数来近似一些函数, 使得思维简单一
些.
二 奇函数和偶函数的傅里叶展开

f ( x)  a0 
 (a
k
cos
kx
l
k 1
kx
 b k sin
)
l
若f(x)是奇函数，则ak为0

b
f ( x) 
k
sin
kx
k 1
1
a0 

2l
ak 
1
bk 
1

l

l
l
l
l
l
l
l
(5 .1 .8 )
l
f ( ) d   0
f ( ) cos
k 
d   0 ( k  1, 2,
)
l
f ( ) sin
k 
l
d 
2
l

l
0
f ( ) sin
k 
d  ( k  1, 2,
l
叫做傅里叶正弦级数，
f(0)=f(l)=0
)
若f(x)是偶函数，则bk为0，展开式为

f ( x)  a0 
a
cos
k
kx
l
k 1
a0 
1

2l
 ak 
bk 
1
1
l

l

l
l
l
f ( ) d  
l
l
l
f ( ) cos
f ( ) sin
1

l
l
k 
f ( ) d 
0
k 
l
( 5 . 1 . 10 )
d 
2
l

l
f ( ) cos
d  ( k  1, 2,
l
0
d   0 ( k  1, 2,
k 
)
l
叫做傅里叶余弦级数, f ‘(0)=f ‘(l)=0
)
三 定义在有限区间上的函数的傅里叶展开
 f(x)定义在（0,l),可以采取延拓的方法，使其成为
某种周期函数g(x), 而在(0,l)上，g(x)≡f(x).然后对
g(x)作傅立叶级数展开，该级数的和在（0,l)上代
表f(x).
 延拓的方式有无数种，因而展开式也有无数种，
但他们在(0,l)上均代表f(x)。
 有时，对函数f(x)边界的限制就决定了延拓的
方式。如要求 f(0)=f(l)=0 ，则应延拓成奇周期
函数，如要求 f ‘(0)=f ‘(l)=0 ，则应延拓成偶的
周期函数。
四 复数形式的傅立叶级数
利用三角函数的指数形式
由cos j 
e
ij
e
 ij
2
, sin j  i
e
ij
e
 ij
2
 可将级数表示为:
kx
kx
kx
kx
i
i
i
i


l
e l
e l e l
 e
f ( x)  a0   ak
 ibk

2
2
k 1





 ak  ibk i kx ak  ibk i kx 
 a0   
e l 
e l 
2
2
k 1 


由于
且令c0  a0 ,
ck 
c k 
ck 
ak  ibk
, k  1, 2, 3, K
2
ak  ibk
, k  1, 2, 3, K
2
l
1

2l
f ( )[e
l
i
a0 

2l
ak 
1
bk 
1
k
l
] d
*
1
l
l

l
l
l

l
l
l
f ( ) d 
f ( ) cos
 c0   ck e
d  ( k  1, 2 ,  )
l
k 
f ( ) sin
d  ( k  1, 2 ,  )
l
(5.1.14)
k x
i
 i kl x

l
f ( x)  c0   ck e
 c k e

k 1 


k 

i
k x
l
k 1
若 2l  T ， 则



l
 ck e
k 1

2
T
i
k x
l



i
ck e
k x
l
(5.1.13)
k 
 w,
k
l
 kw  w k
若 2l  T ， 则

2

l
T
a0 
 (a
实数形式
ak 
bk 
T
2
T
2
T
cos w k x  b k sin w k x )
f ( ) d 
2
T

k
2
T

f ( ) co s w k  d  ( k  1, 2, L )
2

T
2
T

f ( ) sin w k  d  ( k  1, 2, L )
2

T
2


f ( x) 
ck e
iwk x
k 
T
复数形式
ck 
1
T
 kw  w k
k 1
T

l

f ( x )  a0 
1
 w,
k
2


T
2
f ( )[e
iwk  *
] d
例 定义方波函数为
1 | t | 1
f (t )  
0 | t | 1

如图所示:
f(t)
1
1
o
1
t
现以f(t)为基础构造一周期为T的周期
函数fT(t), 令T=4, 则

f 4 (t ) 

求傅立叶级数展开
f (t  4n),
n 
w 
2
T

2

4

,
w k  kw 
1
3
2
k
2
f4(t)
1
T=4
t
T

则由
得
f ( x) 

ck e
iwk x
; ck 
k 
T
2


f ( )[e
ce
iwk x
k


f4(t)
T
1

T
2

1
] d
T
k 
ck 
iwk  *
2

f (t ) 
1

4
T
fT (t )e
 iwk t
dt
1
T=4
1
3
t
2
2
2
f 4 (t )e
1
4iwk
 iwk t
dt 
1

4
1

1

1
e
 iwk t
1
1
4iwk
e
e
 iwk t
iwk
dt
e
 iwk

1 sin wk
1
 
 sinc(wk ) ( k  0, 1, 2, K )
2 wk
2
sinc函数介绍
sinc 函数定义为
sinc( x) 
sin x
x
严格讲函数在x  0处是无定义的, 但是因为
lim
sin x
x 0
1
x
所以定义 sinc( 0)  1, 用不严格的形式就写作
sin x
x
 1, 则函数在整个实轴连续
x0
sinc函数的图形:
sinc(x)
π
2π
x
ck 
1
2
前面计算出
sinc(wk ) ( k  0, 1, 2, L )
wk  kw  k
2
T

k
2
, 可将ck以竖线标在频率图上
w
现在将周期扩大一倍, 令T=8, 以f(t)为基础构造一
周期为8的周期函数f8(t)

f 8 (t ) 
 f (t  8n),
n  
w
2

2
T

8

4
, w n  nw 
n
4
f8(t)
1
1
7
T=8
t
则
cn 


T
1

T
2

1

8
T
f T (t )e
 iw n t
dt
2
4
4
f 8 (t )e
1
 8iwn
 iw n t
dt 
1
e
 iw n t

1
1
1
e

8
 iw n t
1
1
8iwn
e
iw n
dt
e
 iw n

1 sin wn
1
 
 sinc( wn ) (n  0,1,2, )
4 wn
4
cn 
1
4
则在T=8时,
sinc( w n ) (n  0,1,2, )
w n  nw  n
2
8

n
4
, 再将cn以竖线标在频率图上
w
如果再将周期增加一倍, 令T=16, 可计算出
cn 
1
8
sinc( w n ) (n  0,1,2, )
w n  nw  n
2
16

n
8
, 再将cn以竖线标在频率图上
w
一般地, 对于周期T
cn 


1
T
1
T

2

T
fT (t )e
 iwn t
dt
2

T
1
1
e
1
Tiwn
 iwn t
dt
1
e
 iwn t

1
1
Tiwn
e
iwn
e
 iwn

2 sin wn
2
 
 sinc(wn ) (n  0, 1, 2, K )
T
wn
T
当周期T越来越大时, 各个频率的正弦波的频
率间隔越来越小, 而它们的强度在各个频率的
轮廓则总是sinc函数的形状, 因此, 如果将方波
函数f(t)看作是周期无穷大的周期函数, 则它也
可以看作是由无穷多个无穷小的正弦波构成,
将那个频率上的轮廓即sinc函数的形状看作是
f(t)的各个频率成份上的分布, 称作f(t)的傅里叶
变换.
 §5.2 傅立叶积分与傅立叶变换
（一）实数形式的傅立叶积分
对任何一个非周期函数f(x)都可以看成是由某个
周期函数g(x)当T=2l时转化而来的.
作周期为T的函数g(x), 使其在[-l,l]之内等于f(x),
在[-l,l]之外按周期2l延拓到整个数轴上, 则l越大,
g(x)与f(x)相等的范围也越大, 这就说明当T=2l
时, 周期函数g(x)便可转化为f(x), 即有
lim g ( x)  f ( x)
2 l  

g ( x )  a0 
 (a
k
cos w k x  b k sin w k x )
k 1
a0 
ak 
bk 
1
T
2
T
2
T
T

2
T

g ( ) d 
2
T

2

T
g ( ) cos w k  d  ( k  1, 2, L )
2
T

2

T
g ( ) sin w k  d  ( k  1, 2, L )
2
g(x)的傅立叶展开式在T→∞时的极限形
式就是所要寻找的非周期函数f(x)的傅
立叶展开。

l

2
 w,
T
k
l
 kw  w k
引入变量 w  w  w 
k
k
k 1
则
T 
2
w

2
wk
,

l
,
对g(x)展开式的三部分分别讨论：
lim a
0

T 
T
1
lim T 
T 
余弦部分

lim  [
T 
k 1
2
T


k 1

T
2
g ( ) d   0
有限
T 
2
T

2

1
T
g ( ) cos w k  d  ] cos w k x
w

2
wk
,
2
lim  [  
T 
2
T
2

T
2
g ( ) cos w k  d  ] cos w k x   w k
T  , wk 
2
T
 0, w k 变 为 连 续 参 量 ， 记 为 w ，
求和变成积分，上式成为


[
0
1




g ( ) cos w  d  ] cos w xd w
同理，正弦部分为


0
[
1




g ( ) sin w  d  ] sin w xd w
于是：

f (x) 


A (w ) cos w xd w 
0

B (w ) sin w xd w
0
称为非周期函数
f ( x )的傅立叶积分表达式，
其中
A (w ) 
B (w ) 
1

1







f ( ) cos w d 
f ( ) sin w d 
称为 f ( x )的傅立叶变换式。

g ( x )  a0 
 (a
k
cos w k x  b k sin w k x )
k 1
a0 
ak 
bk 
T
1

T
T


T
T
2
g ( ) d 
2
T
2
2
2

T
g ( ) cos w k  d  ( k  1, 2, L )
ωk=k ω =kπ/l (k=0,1,2,…)是
分离值
2
T

2

T
g ( ) sin w k  d  ( k  1, 2, L )
2

f (x) 
周期函数的傅里叶级数展开


A (w ) cos w xd w 
0

B (w ) sin w xd w
0
称为非周期函数
f ( x )的傅立叶积分表达式，
其中
A (w ) 
B (w ) 
1

1







f ( ) cos w d 
f ( ) sin w d 
称为 f ( x )的傅立叶变换式。
傅氏积分定理
若f(x)在(, +)上满足条件:
1, f(x)在任一有限区间上满足狄氏条件;
2, f(x)在无限区间(, +)上绝对可积,
则f(x)可表成傅立叶积分，且
积分值=[f(x+0)+f(x-0)]/2。

在(,)绝对可积是指的 | f ( x) | d x收敛


f (x) 
讨论：
1


A (w ) cos w xd w 
0
f ( x )的傅立叶积分表达式，
分为
其中

f ( x) 
B (w ) sin w xd w
0
称为非周期函数
若 f ( x )为奇函数，则傅立叶积


B (w ) sin w xd w
A (w ) 
0
称为傅立叶正弦积分
B (w ) 
1

1







f ( ) cos w d 
f ( ) sin w d 
称为 f ( x )的傅立叶变换式。
其中
B (w ) 
2



f ( ) sin w d 
0
称为 f ( x )的傅立叶正弦变换。
2
若 f ( x )为偶函数，则傅立叶积

f ( x) 

A (w ) cos w xd w
0
称为傅立叶余弦积分
其中
A (w ) 
2



f ( ) cos w d 
0
称为 f ( x )的傅立叶余弦变换。
分为
例 矩形函数为

1 | x |


rect ( x)  
0 | x |


f(t)
h
1
2
,
1
2
1
o
1
函f (t )  hrect (t )展傅立分。
解：f (t )是偶函数，可展为傅里叶余弦积分
f (t ) 


0
A(w ) cos wt d w
t
其傅里
2
A(w ) 
 

f ( ) cos w d 
h
0

2
 

hrect ( ) cos w d 
0

2
 
1
0
h cos w d  
2h sin w

w
o 1/2
例 矩形函数为

1
rect ( x)  
0

| x |
| x |
f(t)
h
1
2,
1
2
T o
T
将矩形脉冲f (t )  h rect (t / 2T )展为傅立叶积分。
解：f (t )是偶函数，可展为傅里叶余弦积分
f (t ) 


0
A(w ) cos wt d w
t
其傅里叶变换为
2
A(w ) 


2

2


T
0





h
f ( ) cos w d 
0
o T
hrect ( / 2T ) cos w d 
0
h cos w d  
2h sin wT

w
A(ω)
2hT/π
2π/T
o π/T
频谱图是连续谱，含有一切频率。
3π/T
ω
4π/T
（二）复数形式的傅立叶积分
 实数形式的傅立叶积分可以过渡到复数形
式的傅立叶积分
由欧拉公式
cos wx 
e
iwx
e
iwx
, sin wx  i
2
e
iwx
e
2
代入傅里叶积分式 :

f ( x) 

0

A (w ) cos w xd w 

0
B (w ) sin w xd w
iwx
得：

1
2
f (x) 

[ A (w )  iB (w )]e
iw x
dw 
0
1
2
[ A (w )  iB (w )]e
 iw x
dw
0
ω -ω


1
2

[ A (w )  iB (w )]e
iw x
dw 
0


1
2
1

[ A (w )  iB (w )]e
iw x
dw 
iw x
dw
[ A (  w )  iB (  w )]e
iw x
dw
2
0
0
[ A (  w )  iB (  w )]e
1
2

0
傅里叶积分式
两个积分合并

f ( x) 
iw x

F (w ) e

1 [ A (w )  iB (w )]
2
1 [ A (  w )  iB (  w )]
2
dw
( 5 . 2 . 14 )

F (w ) 
w 0
w 0
F (w ) 
由于
A (w ) 
1




1 [ A (w )  iB (w )]
2
1 [ A (  w )  iB (  w )]
2
f ( ) cos w d  ， B (w ) 

w 0
w 0
1




f ( ) sin w d 
对于 w  0
F (w ) 
1
2



f ( )[cos w  i sin w ] d  
1

2


f ( )[ e
i w
] d
*
对于w  0
F (w ) 

1
2



1
2



f ( )[cos(  w  )  i sin(  w  )] d  
f ( )[ e
iw 
1
2



f ( ) e
d
傅里叶变换式
] d
*
无论 w  0 还是 w  0 , 都有 F (w ) 
 iw 
1
2



f ( )[ e
i w
] d
*
( 5 . 2 . 15 )
f ( x) 
F (w ) 



F (w ) e
1
2
iw x
傅立叶逆变换
dw
(傅里叶积分式)



f ( x )[ e
iw x *
傅立叶变换
] dx
可以写成对称的形式：
F (w ) 
f ( x) 
1
2
1
2



f ( )[ e
iw 
] d
*


F (w ) e
iw x
dw

可以记为F(w)=F [f(x)] 和 f(x)=F-1[F(w)]
F(w)称作f(t)的象函数, f(x)称作F(w)的原函数.
可以说象函数F(w)和原函数f(x)构成了一个傅氏变换对.
 傅立叶变换在光学中的应用
数学上可以将一个复杂的非周期函数做傅里叶积分变换，相应的在
物理上，一个复杂结构的光学图像可以被分解成一系列连续单频信
息的积分-----傅立叶光学
图像的信息可以用其透过率函数表示：t=t（x），可以展成傅立叶积分形式

1 
iw x
iw x *
t
(
x
)[
e
] dx
t( x) 
T (w ) e d w T (w ) 



2

若用一束复振幅为U1
的平行光照射这个
光学图像（衍射屏）
U 2 ( x )  t U 1 ( x )
这样把衍射屏的空间频率ω的信息以透过率函数

的形式加到了入射光U1上，变为出射光U2，分
iw x
 U 1 T (w ) e d w
析U2的傅立叶变换函数u2（ ω ），就能得到衍

射屏的空间频率信息，即光学图像的样貌。

1
iw x *
u 2 (w ) 
U
(
x
)
t
(
x
)[
e
] dx
1


2

 0,
例1 求函数f (t )    t
e ,
t0
的傅氏变换及
t0
其积分表达式, 其中  0.这个f (t )叫做指数
衰减函数, 是工程技术中常碰到的一个函数.
f(t)
t
解：
F (w )  F[ f (t )] 



1
2
1
2
1

1

2

e

f (t ) e

 t
e
iwt
iwt
dt
dt
0


e
 (   iw ) t
dt
0
1
2   iw

1
  iw
2   w
2
2
这就是指数衰减函数的傅氏变换.
例2 求函数f (t )  A e
 t
2
的傅氏变换及其积分
表达式, 其中A,   0. 这个函数叫做钟形脉冲
f(t)
函数, 也是工程技术中常碰到的一个函数.
解：
1
F (w )  F[ f (t )] 


1
2
1
2



Ae

Ae
 t
w2
4

2
2
e
 iw t



e


f (t ) e
 iw t
dt
O
dt

iw
   t 
 2



2
dt 
1

2


Ae
w2
4
t
因此有
Ae
 t
2

1

2


Ae
w2
4
 如果令=1/2, 就有

Ae
t
2
2

1
2

Ae
w2
2
可见钟形函数的傅氏变换也是钟形函数

g ( x )  a0 
 (a
k
cos w k x  b k sin w k x )
k 1
a0 
ak 
bk 
1
T
2
T
T

g ( ) d 
2
T

2
T

2

T
g ( ) cos w k  d  ( k  1, 2, L
2
周期函数的傅里叶级数
展开
ωk=k ω =kπ/l
)
(k=0,1,2,…)是分离值
T
2

T
2

T
g ( ) sin w k  d  ( k  1, 2, L )
2

l

f (x) 


A (w ) cos w xd w 
0

B (w ) sin w xd w
0
称为非周期函数
f ( x )的傅立叶积分表达式，
其中
A (w ) 
B (w ) 
1

1







f ( ) cos w d 
f ( ) sin w d 
称为 f ( x )的傅立叶变换式。

2
 w,
T
k
l
 kw  w k
wk  wk  wk 1 
T 
2
w

2
wk
,

l
,
1
若 f ( x )为奇函数，则傅立叶积

f ( x) 

B (w ) sin w xd w
0
称为傅立叶正弦积分
其中
B (w ) 
2



f ( ) sin w d 
0
称为 f ( x )的傅立叶正弦变换。
分为
2
若 f ( x )为偶函数，则傅立叶积

f ( x) 

A (w ) cos w xd w
0
称为傅立叶余弦积分
其中
A (w ) 
2



f ( ) cos w d 
0
称为 f ( x )的傅立叶余弦变换。
分为
复数形式的傅立叶积分及其系数表达式
————傅立叶变换对
f ( x) 
F (w ) 



F (w ) e
1
2

iw x
dw
(傅里叶积分式)


傅立叶逆变换
f ( x )[ e
iw x *
] dx
傅立叶变换
可以记为F(w)=F [f(x)] 和 f(x)=F-1[F(w)]
F(w)称作f(t)的象函数, f(x)称作F(w)的原函数.
可以说象函数F(w)和原函数f(x)构成了一个傅氏变换对.
三 傅立叶变换的基本性质
 1 导数定理

F [f '(x)]=iwF(ω)
 证 由傅氏变换的定义, 并利用分部积分可得
F[ f ( x )] 
0

1
2
1
2



 iwx

f ( x) e
dx

f ( x) e
 iw x
 iw

 iwF[ f ( x )]  iwF (w )
1
2



f ( x) e
 iwx
dx
 推论

F [f(n)(x)]=(iw)nF [f(x)]. 同样, 我们
还能得到象函数的导数公式, 设
F [f(x)]=F(w), 则
d
dw
F (w )  F[ ixf ( x )].
一般地, 有
d
n
dw
F (w )  ( i ) F[ x f ( x )]
n
n
n
2. 积分定理
F 

( x)
1

f ( x) d x 
F[ f ( x)].
 iw
证 因为
F(
d

dx
d

dx
( x)
( x)
f ( x) d x  f ( x ),
(x)

f ( x ) d x ) = F[ f ( x )]  iw F  f ( x ) d

F[ f ( x)]  iw F (w )
x

3 相似性定理
w 
F[ f (ax)]  F   (a  0)
a a
1
证：
F[ f (ax)] 
1

2


2a
1

2a


f (ax) e

F[ f (ax )] 
1

f ( x) e
iwx


f ( y) e
iwx / a
 i wy / a
dx
令y  ax则
dx
1
a
dy
F(
w
a
)
4. 延迟定理
F[ f ( x  x0 )]  e
 iwx0
F[ f ( x)]
 证 由傅氏变换的定义, 可知
F[ f ( x  x0 )] 

1

2

2
 iw x0
f (u ) e
1




e
1

2
f ( x  x0 ) e
 iw ( u  x0 )
f (u ) e
 iw u
dx
 令x-x0=u
du


 iw x
du  e
 iw x0
F[ f ( x)]
5 位移定理
F[e
iw0 x
f ( x)]  F (w  w0 )
证：
F[e

iw 0 x
1
2
f ( x )] 

1
2


f ( x) e
 F (w  w0 )



e
iw 0 x
 i (w w 0 ) x
dx
f ( x) e
 iw x
dx
6 卷积定理 若F 1(w)=F [f 1(x)], F 2(w)=F [f 2(x)], 则
F[ f1 ( x ) * f 2 ( x )]  2 F1 (w ) F2 (w )
其中 f 1 ( x ) * f 2 ( x ) 
1
2


f 1 ( ) f 2 ( x   ) d 

为 f 1 ( x ) 和 f 2 ( x )的卷积
证 按傅氏变换的定义, 有


 e iwx d x
F[ f1 ( x)  f 2 ( x)] 
f
(

)
f
(
x


)
d

1
2









2
1

1
 
 
2
 
f1 ( ) e

iw
f2 (x   ) e
iw ( x  )
d d x



 e iwx d x
F[ f1 ( x)  f 2 ( x)] 
f
(

)
f
(
x


)
d

  1 2

2   
1


1
 
 
2
 
1

2


f1 ( ) e
f1 ( ) e
iw
f2 (x   ) e
iw ( x  )
d d x
  f ( x   ) e  iw ( x  ) d x  d 
  2

 iw
令y  x  



f2 ( y) e
 2 F1 (w )  F2 (w )
 iw ( y )
d y  F ( f 2 ( y ))  F2 ( w )
 1 导数定理 F [f(n)(x)]=(iw)nF [f(x)].
2. 积分定理
( x)
1


F  f ( x) d x 
F[ f ( x)].

 iw
 运用傅氏变换的微分性质以及积分性质, 可以
把线性常系数微分方程转化为代数方程, 通过
解代数方程与求傅氏逆变换, 就可以得到此微
分方程的解. 另外, 傅氏变换还是求解数学物理
方程的方法之一.
例 求微分积分方程
t
ax(t )  bx(t )  c  x(t ) d t  h(t )

的解, 其中<t<+, a,b,c均为常数.
 解: 根据傅氏变换的微分性质和积分性质,
 F [x(t)]=X(w), F [h(t)]=H(w).
 在方程两边取傅氏变换, 可得
aiwX (w )  bX (w ) 
X (w ) 
c
iw
H (w )
c 

b  i aw 

w

X (w )  H (w )
x(t) = F -1 [ X(w) ],

x (t ) 
 X (w ) e

iw x
dw
§5.3 δ函数
在物理和工程技术中, 常常会碰到单位
脉冲函数. 因为有许多物理现象具有脉
冲性质, 如在电学中, 要研究线性电路受
具有脉冲性质的电势作用后产生的电流;
在力学中, 要研究机械系统受冲击力作
用后的运动情况等. 研究此类问题就会
产生我们要介绍的单位脉冲函数.
在原来电流为零的电路中, 某一瞬时(设为t=0)进入
一单位电量的脉冲, 现在要确定电路上的电流i(t).
以q(t)表示上述电路中的电荷函数, 则
0,
q (t )  
1,
t  0;
t  0.
 由于电流强度是电荷函数对时间的变化率, 即
i (t ) 
d q (t )
dt
 lim
t 0
q (t  t )  q (t )
t
所以, 当t0时, i(t)=0, 由于q(t)是不连续的, 从而在
普通导数意义下, q(t)在这一点是不能求导数的.
如果我们形式地计算这个导数, 则得
i (0)  lim
t 0
q (0  t )  q (0)
t
 1 
 lim  

t 0
 t 
 这表明在通常意义下的函数类中找不到一个函数能
够表示这样的电流强度. 为了确定这样的电流强度,
引进一称为狄拉克(Dirac)的函数, 简单记成d-函数.
有了这种函数, 对于许多集中于一点或一瞬时的量,
例如点电荷, 点热源, 集中于一点的质量及脉冲技术
中的非常窄的脉冲等, 就能够象处理连续分布的量那
样, 以统一的方式加以解决.
二 d-函数的定义与性质
 （1）定义
 0; x  0
d ( x)  
; x  0
 0; t  t 0
i (t )  d (t  t0 )  
  ; t  t0
 （2）性质
1 奇偶性
δ（-x)=δ(x), δ’（-x)=-δ’(x)
x
H ( x)   d (t ) d t
2
是阶跃函数

x
H ( x)   d (t ) d t 

（x  0)
（x  0)
挑选性
3


0
1


d (t  t0 ) f (t ) d t  f ( t 0 )
三 d-函数的傅立叶变换
 d-函数的傅氏积分为: d ( t )


d (t ) 

F (w ) e
iw t

1
2

e
iw t
dw

dw

F (w )  F[d (t )]

1

2


d (t ) e
 iwt
dt 
1
2
e
 iw t

t0
1
2
例 求正弦函数f(t)=sinw0t的傅氏变换
F (w )  F[ f (t )] 




1
2
1


4i
i
2


e
e
iwt
 iw 0 t
e
sin w0t d t
iwt
dt
2i



2
iw 0 t


4i
1
e
1
e
i (w w0 ) t
e
 i ( w w 0 ) t
dt
d (t ) 
2d (w  w0 )  2d (w  w0 )
d (w  w0 )  d (w  w0 )
1
2



e
iw t
dw
如图所示:
|F(w)|
sint

1/2
t
 w0
1/2
O
w0 w
在频谱分析中, 傅氏变换F(w)又称为
f(t)的频谱函数, 而它的模|F(w)|称为
f(t)的振幅频谱(亦简称为频谱). 由于
w是连续变化的, 我们称之为连续频
谱, 对一个时间函数作傅氏变换, 就
是求这个时间函数的频谱.