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第一章 信号及其描述
 信号的分类与描述
周期信号与离散频谱
 瞬变非周期信号与连续频谱
 随机信号

傅里叶级数的三角函数展开式


在有限区间上，凡满足狄里赫利条件的周期函数
（信号）x(t)都可以展开为傅氏级数
傅里叶级数的三角函数展开式为

xt   a0   an cos n0t  bn sin n0t 
n 1
1
a0 
T0
T0
2
T
 0
2

xt dt
2


T0为周期， 0 T
0
n = 1,2,3…
2
an 
T0
2
bn 
T0
T0
2
T
 0
2
xt cosn0tdt
T0
2
T
 0
2
xt sin n0tdt


傅里叶级数的三角函数展开式

同频项合并后得到

xt   a0   An sin n0t   n 
n 1
An  a  b
2
n
2
n
an
tg n 
bn
幅值谱：圆频率（横坐标）—幅值
相频谱：圆频率（横坐标）—相位
n 是整数序列，故频谱是离散的，频率间隔等于ω0
ω0 称为基频；n ω0 称为 n 次谐波
三角波的傅里叶级数1

三角波的时域描述


xt   


T
2A
t，
 0 t  0
T0
2
T0
2A
A
t , 0t 
T0
2
A
三角波的傅里叶级数2
A 4A 
1
1

xt    2  cos0t  2 cos30t  2 cos50t  
2  
3
5

A 4A  1
  2  2 cos n0t
2  n 1 n
n  1,3,5,
周期性三角波的频谱
返回
傅里叶级数的复指数函数展开式


根据欧拉公式
有
e
 jt
 cost  j sin t
1
cos t 
2
e
1
sin t  j
2

 jt
e
e
 j t
jt
e
( j  1)

jt

三角函数展开式

xt   a0   an cos n0t  bn sin n0t 
n 1
傅里叶级数的复指数函数展开式
三角函数展开式改写为

1
 jn0t
jn0t 
1
xt   a0    (an  j bn) e
 j (an  j bn) e 
2

n 1  2
令
则
1
c n  2 ( a n  j bn ) ;
1
c  n  2 ( a n  j bn ) ;

xt   c0   cn e
 jn0t
n 1
或

xt    cn e

jn0t

  cn e
c0  a0
jn0t
n 1
(n  0,  1,  2, )
实频谱图与虚频谱图
把 an、bn表达式带入cn、c-n中得到
1
cn  T0
一般情况下
c c
n
其中
c
n

nR
2
cnR

cn与 c-n共轭；即
T0
2
T
 0
2
 xt e
 jn0t
 j cnI 
ce
2
cnI

cn  c n
dt
j n
n
n
 arctg cnI
c
nR
n   n
实频谱图： cnR  
双边幅频图：
虚频谱图： cnI  
双边相频图：
两种傅里叶级数展开式比较


复指数函数形式的频谱为双边谱，三角函
数形式的频谱为单边谱；
两种频谱各谐波幅值在分量上有确定关系
1
| cn |  An , | c0 |  a0
2

双边幅值谱为偶函数，双边相频谱为奇函
数
负频率的说明
正
弦
函
数
和
余
弦
函
数
的
频
谱
图
cos 0t 
1
2
e
 j0t
e
j0t

sin 0t  j
1
2
e
 j 0 t
e
j0t

周期函数的频谱特征
周期函数的频谱是离散的
 每条谱线只出现在基波频率的整倍数上，
基波频率是诸分量频率的公约数
 各频率分量的谱线表示该谐波的幅值和
相位； 常见周期信号谐波幅值总的趋势
是随谐波次数的增高而减小的
三角波的频谱

周期信号的强度表述
x
峰值*
峰峰值
均值/常值分量
p
 x t  max
* 可用电压表测量
x p p  x(t )max  x(t )min
x 
xt dt

T
1
T0
0
0
绝对均值*

x

xt dt

T
1
T0
0
0
均方根值*
（有效值）
均方值
（平均功率）
xrms
1

T0
T0

0
1

Pav T0
x 2 t dt
T0

0
x 2 t dt
几种信号的强度
电压表测量时注意事项




峰值、绝对均值和有效值可用三值电压表或普
通电压表来测量。
峰值可根据波形折算或用记忆瞬峰示值的仪表
测量，也可用示波器测量。
均值可用直流电压表测量。
有效值用交流电压表测量。但存在系统误差，
使用时要注意。因为电压表上的有效值刻度，
都是依据单一简谐信号来刻度的。
谢 谢！
狄里赫利条件
如果函数 f (x) 在开区间 ( ,  ) 内分段单调，
并在该区间内有有限个第一类间断点，那么：
（1）Sm (x) 在连续点 x 收敛于 f (x) ；
（2）在第一间断点收敛于 f ( x0  0)  f ( x0  0) ；
2
（3）在区间端点，即 x   与 x   上等于
f (  0)  f (  0)
2
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