Transcript 8.1 傅里叶变换

§8.1 傅里叶变换
一个以L为周期的函数fL(t)，如果在区间[-L/2,L/2]上
连续，那么在[-L/2,L/2]上可以展开成傅里叶级数
a0 
f L (t )    (an cos nt  bn sin nt ),
2 n 1
L/2
其中
2π
2

L
, a0 

L L/ 2
f L (t )dt ,
L/2
an 
2
f L (t ) cos ntdt ,

L L/ 2
n  1, 2,
,
L/2
2
bn 
f L (t ) sin ntdt ,

L L/ 2
n  1, 2,
.
一个周期函数表示成正弦函数类的和，称为函数fL(t)
的傅里叶级数.
傅里叶级数的复指数形式
ei t  e  i t
cos t 
2
ei t  e  i t
ei t  e  i t
sin t 
 i
,
2i
2
a0   ei nt  e i nt
ei nt  e i nt 
f L (t )     an
 bn

2 n 1 
2
2i

a0   an  i bn i nt an  i bn  i nt 
  
e 
e
.
2 n 1  2
2i

L/2
记
a0 1
c0 

f L (t )dt ,

2 L L/ 2
an  i bn
cn 
2
L /2
L /2


1
   f L (t )(cos nt )dt  i  f L (t )(sin nt )dt 
L   L /2
 L /2

L /2
1
f L (t )(cos nt  i sin nt )dt


L  L /2
L /2
1
 i nt
dt , n  1, 2,
)e
t
(
f

L

L  L /2
an  i bn
c n 
2
L /2
1
 i nt

f
(
t
)e
dt , n  1, 2,
L

L  L /2
,
.
L /2
1
 i nt
cn 
f
(
t
)e
dt , n  1, 2,
L

L  L /2

f L (t )  c0   (cn e
n 1
i nt
 c n e
 i nt
,
)
 1 L /2
 i nt
 i nt
f L (t )     f L (t )e dt  e .
n   L  L /2



ce
n 
n
i nt
,
设非周期函数F(t)在区间 (, )内连续、可积，且
绝对可积，考虑区间(-L/2,L/2)，F(t)在此区间上有三
角级数表示

L
L
i nt
F (t )   cn e ,
t  ,
2
2
n 
其中系数为
L /2
1
 i nt
cn 
F (t )e
dt ,

L  L /2
n  0, 1, 2,
,
定义一个周期为L的函数FL(t)， FL(t)在区间(-L/2,L/2)
内等于F(t)，而在区间端点-L/2, L/2处的值可能等于
F(t)在这两点的平均值；
当L越大时，FL(t)与F(t)相等的范围也越大，可以猜测
当L时，周期函数FL(t)的极限为F(t)，即是
lim FL (t )  F (t ).
L 
对任意的   t   ，有
F (t )  lim
L 

i n t
c
e
 n .
n 
2π
  ，令 g n  cn L ，则有
当L时，
T
1 
i n 2πt / L (( n  1)  n)2π
FL (t ) 
gne

2π n 
L
L /2
以及
gn 

F (t )e  i n 2πt / L dt.
 L /2
记 n  n2π / L，有
1 
i n t
FL (t ) 
G
(

)e
(n 1  n ),

L
n
2π n 
其中对实数，函数 GL ( ) 定义为
GL ( ) 
L /2

 L /2
F (t )e  i t dt.
当L趋向无穷时，GL ( )自然趋向于一个函数G ( )，称为
函数F的傅里叶变换，L /2
G ( ) 

F (t )e  i t dt.
 L /2
随着L趋向无穷时，n  n1  n 趋向于零，而n 所对
应的点均匀地分布在整个数轴上，且取值从-到，


1
1
i n t
i t
FL (t ) 
G
(

)e
(



)

G
(

)e
d

L
n
n 1
n

2π n 
2π 
称为 G ( )的傅里叶逆变换.

G ( )  p.v.  F (t )ei t dt  lim

N 

N

F (t )ei t dt
N
N
1
1
i t
i t
F (t )  p.v.
G ( )e d  lim
G ( )e d


N  2π
2π 
N
定理8.1 若F(t)在(-, )上满足下列条件：
(1) F(t)在任何有限区间上连续或只有有限个第一类
间断点；
(2) F(t)在任何有限区间上只有有限个极值点；

(3) F(t)在区间(-, )上绝对可积，即是积分 F (t ) dt

收敛.则F的傅里叶变换G ( )存在，且有
 F (t )
1

i t
p.v.
G ( )e d   F (t  0)  F (t  0)

2π 


2

当F 连续时;
其他情形.
例8.1 证明：若F(t)满足傅里叶变换定理，则当F(t)为

奇函数时，有 F (t )  0 B( )sin t d 
其中
2 
B( )   F ( ) sin  d  ，并由定义傅里叶正弦变换。
 0
证: 因为F(t) 满足傅里叶变换定理条件，故当F(t)为
奇函数时,有

G( )   F ( ) e

i 

d  2i  F ( )sin  d 
0
此为ω的奇函数,但为复值.所以
1 
i 
i t
F (t ) 
G ( ) e d    G ( ) sin t d 

2 
 0
将G ( ) 代入得
2   
F ( )    F ( ) sin  d   sin t d .

 0  0
2 
令 0 F ( ) sin  d   B( ) ,得


F (t )   B()sin t d .
0
例8.2 求函数
t  0;
0,
F (t )     t
e , t  0
的傅里叶变换，并求傅里叶逆变换的积分表达式，其
中>0.这个函数叫做指数衰减函数，是工程中常遇到
的一个函数.
解:
G ( ) 




F (t )e  i t dt   e   t e  i t dt
 e
0

0
 (  i )t
1
  i
dt 
 2
.
2
  i   
上式最后一行的表达式就是衰减函数的傅里叶变换
傅里叶逆变换


1
1
  i  i t
 i t
F (t ) 
G ( )e d 
e d
2
2


2π 
2π    

1  cos t   sin t

d
2
2

2π 
 

1  cos t   sin t
 
d.
2
2
π0
 
t2
例8.3 求函数 F (t )  Ae 的傅里叶变换和逆变换的积
分表达式，其中 A,   0 .这个函数叫做钟形函数，又
称为高斯(Gauss)函数，是工程技术中常见的函数之一.
解:

G ( ) 
 F (t )e
 i t

 Ae
2
 4 


dt  A  e
  ( t 2  i t )
dt

e
  ( t  i ) 2
dt .

i
 s ，则上式变为一复变函数的积分，
令t 
2

e

  ( t  2i  )2
 2i 
dt 

 2i 
e
  s2
ds.
  s2
e 为复平面s上的解析函数，取如图闭曲线：正方
形ABCD，由哥西积分定理得
 e
  s2

   s2
ds           e ds  0.
  AB  BC  CD  DA 
当正方形边长R时，
e


 s
R
2
ds 
dt 
R
AB


e
t

2
e
  s2

e
  s2
R
BC
e
dt 

R  2i 
ds 
e
t2
  R2
i
2
ds 
e
π
,

  ( R  i u )2
d( R  i u )
0
i
2

0

e
(  u 2 i 2 R  u )
du  e
  R2
2
u
e
 du  0.
0
同理可得，当R时，有

e
  s2
ds  0
DA
故有
lim
R 


e
  s2
CD
 2i 
即

 2i 
e
  s2


π
  s2
ds 
 lim    e ds  
 0,

 R   DC


ds 
π
π

.
高斯函数的傅里叶变换为
.
G ( ) 
π

2
Ae
 4 
.
G ( ) 的傅里叶逆变换

1
1
i t
F (t ) 
G ( )e d 

2π 
2π
π


A e



2
A
 4 
e cos td.

π 0
即有

π e  t   e
2
0
2
 4 
2
 4 
cos td.
(cos t  i sin t )d
§8.2 单位脉冲函数及其傅里叶变换
定义狄拉克(Dirac)函数：
0, 当t  0,
 (t )  
, 当t  0,

  (t )dt  1.

函数表达式为
1
 , 0  t  s;
 s (t )   s
0, 其他.
它表示一个矩形脉冲电流.

  (t )dt  1,
s
即矩形面积为1，为脉冲强度.

在脉冲强度不变的条件下，随着s减小，矩形脉冲电
流就变得越来越陡，因此有
0, 当t  0;
lim  s (t )  
s 0
, 当t  0,

lim   s (t )dt  1.
s 0
即

lim  s (t )   (t ).
s 0
表示的物理意义是 lim  s (t )是一个宽为0、振幅为、
s 0
强度为1的理想单位脉冲.
电流为零的电路中，某一个瞬时(设为t=0)进入一单位
电量的脉冲，求电路上的电流I(t).记Q(t)为进入上述电
路的电荷函数，那么
0, 当t  0;
Q(t )  
1, 当t  0,
dQ(t )
Q(t  t )  Q(t )
I (t ) 
 lim
,
t 0
dt
t
当t0时，I(t)=0；当t=0时，因为Q(t)不是一个连续
函数，不存在通常的导数.
Q(0  t )  Q(0)
I (0)  lim
 ,
t 0
t
电流强度I(t)= (t) .
考虑函数集合：D= {; 是定义在(-,)上无穷可
导、性质很好的函数}.不仅可以在(-,)上展开成幂级
数，而且当 x   时，函数快速地趋向于零.设,D，
k为一个实数或复数，则有，k均属于D，即是D
成为一个向量空间.

固定s>0，对任意的D，积分   (t ) s (t )dt 定义

一个从向量空间D到实数或复数的一个线性映射.
因为D当然是一个连续函数，所以有

s
s
1
1
lim   (t ) s (t )dt  lim   (t )dt  lim   (t )dt   (0).
s 0
s 0
s 0 s
s

0
0




lim   (t ) s (t )dt 
s 0
  (t ) (t )dt   (0).




lim   (t ) s (t )dt 
s 0
  (t ) (t )dt   (0).
最后一个等式定义了从D到实数或复数上的一个线性
映射：对任意的D，有

  (t ) (t )dt   (0),


  (t ) (t  t )dt   (t ).
0
0

函数的傅里叶变换
G ( ) 

 i t
 i t

(
t
)e
d
t

e
 1.

t 0

例8.4 证明单位阶跃函数
0, t  0;
u (t )  
1, t  0
的傅里叶变换为 1  π ( ) .
i
证明
由函数的奇偶性，有

1  1
 i t
F (t ) 
 π ( ) e d


2π   i 



1
1
1 i t
i t

π ( )e d 
e d


2π 
2π  i



1
1 sin t
1 1 sin t
i t
   ( )e d 
d   
d .

2 
2π  
2 π0 


0
sin t
π
d  ;

2

当t=0时，显然有 

当t>0时，有

0

当t<0时，有 
0
0
sin t
sin t

d  0;


sin t
sin 
π
d  
dt  
d  ;

t

2
0
0
sin t


sin  (t )
sin 
π
d  
d (t )   
d   .

 (t )

2
0
0
当t0时，得
 12  1π ( π2 )  0, t  0;
1 1 sin t
F (t )   
d   1 1 π
t  0.
2 π0 
 2  π  2  1,

函数
1
i
 π ( ) 的傅里叶逆变换等于函数u(t)，命题得证.
若 G ( ) = 2π ( ) 时，则其傅里叶逆变换为


1
1
it
it
F (t ) 
G
(

)e
d


2π

(

)e
d  1.


2π 
2π 
所以， 1是 2π ( ) 的傅里叶逆变换.
i 0 t
例8.5 求函数F(t)= e 的傅里叶变换.


解
G( )   ei0t e it dt   e i( 0 )t d


 2π (  0 ),
ei 0t 和 2π (  0 ) 互为傅里叶变换和傅里叶逆变换.
例8.6 求正弦函数F(t)= sin 0t 的傅里叶变换.
解


i 0t
 i 0t
e

e
 i t
 i t
G ( )   e sin0tdt  
e dt
2i





1
 i( 0 ) t
 i( 0 ) t

e
e
dt

2i 
1
  2π (  0 )  2π (  0 ) 
2i
 i π  (  0 )   (  0 ) .
§8.3 傅里叶变换的性质
对函数f(t)，记其傅里叶变换为F[f]，即是
F( f )( ) 


i t
f (t )e dt.

函数的傅里叶逆变换记作F-1(g)，即是

1
i t
F( g )( ) 
g
(

)e
d.

2π 
对单位脉冲函数，F  ()  1
1
单位阶跃函数u(t)，F u  ( ) 
 π ( )
i
正弦函数 f (t )  sin 0t ，
F f  ()  i π  (  0 )   (  0 ) 
定理8.2 设函数f, g的傅里叶变换分别为F[f], F[g]，则
有下面的结论成立.
(1)(线性性质) 对任意的常数, ，有
F( f   g )( )   F( f )( )   F( g )( )
(2) (位移性质) 设t0为一个常数，则有
F[ f (t  t0 )]( )  ei t0 F[ f ]( )
(3) (微分性质) 如果 f (t )在 (, ) 上连续，或只有有
限个可去间断点，且当 t  时 f (t )  0 ，则有
F[ f ]( )  i  F[ f ]( ) 
(4) (积分性质) 如果当 t   时，有g (t ) 
t


1
，则有 F( g )( ) 
F( f )( )
i
f ( s)ds  0
证明(2)
F[ f (t  t0 )]( ) 

 i t
e
 f (t  t0 )dt

作变量替换，令t+t0=s，则有
F[ f (t  t0 )]( ) 

e
 i  ( s t0 )
f ( s)ds  e
i t0


e
 is
f ( s)ds

 eit0  F[ f ]( )
对于傅里叶逆变换，有一个类似的性质成立，即是
F [G (  0 )](t )  e
1
 i 0t
1
F (G )(t )
证明(3) F[ f ]( ) 


f (t )e  i t dt

 f (t ) e
 i 


 i   f (t )e  i t dt

 i  F[ f ]( ) 
如果 f ( k ) (k  1, 2, , n) 在(, ) 上连续或只有有限
个可去间断点，且 lim f ( k ) (t )  0, k  1, 2, , n  1 ，
t 
则有
(n)
n


F  f  ( )  (i  ) F  f  ( )
例8.8 求常系数线性常微分方程
y ( n )  an 1 y ( n 1)   a1 y  a0 y  f (t )
的解，其中  t   ，a0,a1,...,an-1均为常数.
解 函数y和f的傅里叶变换分别记为Y ( )  F[ y ]( )和
F ( )  F[ f ]( )
(i  ) n Y ( )  an 1 (i  ) n 1Y ( ) 
 a1 (i  )Y ( )  a0Y ( )  F ( ),
[(i  ) n  an 1 (i  ) n 1 
 a1 (i  )  a0 ]Y ( )  F ( ).
F ( )
所以有 Y ( ) 
(i  ) n  an 1 (i  ) n 1   a1 (i  )  a0
记函数 H ( ) 
1
(i  )  an 1 (i  )
n
n 1

 a1 (i  )  a0
,
则有Y ( )  H ( ) F ( ) ，再求傅里叶逆变换，可得


1
1
i t
i t
y(t ) 
Y
(

)e
d


H
(

)
F
(

)e
d.


2π 
2π 
定理8.3* 设f, g为实函数，记 F ( )  F[f ]( ) ，
G ( )  F[g ]( ) , 则有





1
1
f (t ) g (t )dt 
F ( )G( )d 
F ( )G( )d,


2π 
2π 
其中F ( ), G ( ) 分别为函数 F ( ), G ( ) 的共轭函数.
证明 由傅里叶逆变换公式有




f (t ) g (t )dt 


 1 

i t
f (t ) 
G ( )e d dt

 2π 




1
i t

G( )   f (t )e dt d,

2π 
 

又e
i t
 e it ，而函数f是实函数，所以有
f (t )eit  f (t )eit  f (t )eit .
因此，得






1
 i t
f (t ) g (t )dt 
G ( )   f (t )e d

2π 
 




1
 i t

G ( )  f (t )e dt d

2π 
 


1

F ( )G ( )d.

2π 
同理有




1
f (t ) g (t )dt 
F ( )G( )d.

2π 
定理8.4* 设 F ( )  F[f ]( )，则有


1
2
2
 f (t ) dt  2π  f ( ) d.
称为帕塞瓦尔(Parseval)等式.
证明 在定理8.3中，取f(t)=g(t)，有





1
1
2
f (t ) dt 
F ( ) F ( )d 
f ( ) d.


2π 
2π 
2
§ 8.4 卷 积
1. 卷积定义
设函数f, g定义在 (, ) 上.若对任意的 x  (, ),

积分
 f ( y) g ( x  y)dy

收敛，则称该积分为函数f与g的卷积，记为f*g，即

f * g ( x) 

f ( y ) g ( x  y )dy.

卷积满足交换律，即是

f * g ( x)  g * f ( x) 
 g ( y) f ( x  y)dy.

例8.8 证明卷积满足乘法对加法的分配律，即
f *( g  h)  f * g  f * h.
证明 根据卷积定义，有

f *( g  h)( x) 

f ( y )[ g ( x  y )  h( x  y )]dy





f ( y ) g ( x  y )dy 

 f * g ( x)  f * h( x).


f ( y )h( x  y )dy
0, t  0;
0, t  0;
例8.9 设函数 f (t )  
函数 g (t )   t
e , t  0;
1, t  0;
求f与g的卷积.

解 从卷积定义，有 f * g (t ) 

f ( s) g (t  s)ds

当且仅当 t  s  0，函数f(s)g(t-s)0.
若t>0时，此时有 s  t  0，所以f=0，因此f(s)g(t-s)=0；
若t>0，此时只有当 0  s  t 时，有f(s)g(t-s)0，所以有

f * g (t ) 


t

f ( s ) g (t  s )ds 

f ( s ) g (t  s )ds

  e  (t  s ) ds  e  t (et 1 )  1  e t .
0
2.卷积定理
定理8.5 设函数f, g满足傅里叶变换定理8.1中的条件，
则
F f * g  ()  F f  () F g  ()
考虑傅里叶逆变换，则有
F-1 (F f  F g )(t )  f  g (t )
证明 由傅里叶变换的定义，有
F[ f * g ]( ) 





  i t
 i t
f * g (t )e dt     f (s) g (t  s)ds e dt
  


 


 
f ( s)e
 i t
g (t  s)e
 i (t  s )
dsdt
 


f ( s)e  it g (t  s)e  i (t  s ) dsdt
 







 i t
 i (t  s )
f ( s)e   g (t  s)e
dt  ds
 

 F f  () F g  ()