Transcript 积分变换第1讲
积分变换
第1讲
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1
积分变换
2
傅里叶(Fourier)级数展开
3
在工程计算中, 无论是电学还是力学, 经常要
和随时间而变的周期函数fT(t)打交道. 例如:
具有性质fT(t+T)=fT(t), 其中T称作周期, 而1/T代表t
单位时间振动的次数, 单位时间通常取秒, 即每秒
重复多少次, 单位是赫兹(Herz, 或Hz).
4
最常用的一种周期函数是三角函数
fT(t)=Asin(wt+j)
其中w=2p/T
t
而Asin(wt+j)又可以看作是两个周期函数
sinwt和coswt的线性组合
Asin(wt+j)=asinwt+bcoswt
5
人们发现, 所有的工程中使用的周期函数都可
以用一系列的三角函数的线性组合来逼近.
方波
4个正弦波的逼近
100个正弦波的逼近
6
研究周期函数实际上只须研究其中的一个周
期内的情况即可, 通常研究在闭区间[T/2,T/2]内函数变化的情况. 并非理论上的所
有周期函数都可以用傅里叶级数逼近, 而是
要满足狄利克雷(Dirichlet)条件, 即在区间[T/2,T/2]上
1, 连续或只有有限个第一类间断点
2, 只有有限个极值点
这两个条件实际上就是要保证函数是可积函
数.
7
第一类间断点和第二类间断点的区别:
第二类间断点
第一类间断点
8
不满足狄氏条件的例:
f (t ) tg t
存在第二类间断点
1
f (t ) sin( )
t
在靠近0处存在着无限多个极值点.
而在工程上所应用的函数, 尤其是物理量的
变化函数, 全部满足狄氏条件. 实际上不连续
函数都是严格上讲不存在的, 但经常用不连
续函数来近似一些函数, 使得思维简单一些.
9
在区间[-T/2,T/2]上满足狄氏条件的函数的
全体也构成一个集合, 这个集合在通常的函
数加法和数乘运算上也构成一个线性空间V,
此空间的向量就是函数, 线性空间的一切理
论在此空间上仍然成立. 更进一步地也可以
在此线性空间V上定义内积运算, 这样就可
以建立元素(即函数)的长度(范数), 及函数间
角度, 及正交的概念. 两个函数f和g的内积定
义为:
T
2
[ f , g ] T f (t ) g (t ) d t
-
2
10
一个函数f(t)的长度为
|| f || [ f , f ]
T
2
-
T
2
f 2 (t ) d t
而许瓦兹不等式成立 :
[ f , g] f g
T
2
即 T f (t ) g (t ) d t
-
2
T
2
-
T
2
f 2 (t ) d t
T
2
2
g
T (t ) d t
-
2
这样可令
[ f , g]
cos
是f , g间的夹角余弦,
f g
则如果[ f , g ] 0称为f与g正交.
11
而在区间[-T/2,T/2]上的三角函数系
1, coswt, sinwt, cos 2wt, sin 2wt, ...,
cos nwt, sin nwt, ...
是两两正交的, 其中w=2p/T, 这是因为
cos nwt和sin nwt都可以看作是复指数函数
ejnwt的线性组合. 当nm时,
T p j(n - m )
d 0
-T2 e e d t 2p -pe
2pt
2p d t
T
其中 wt
, 则 d
,dt
d
T
T
2p
T
2
j nwt
j mwt
12
这是因为
p
pe
-
j( n - m )
p
1
j( n - m )
d
e
j(n - m)
-p
1
j( n - m )p
- j( n - m )p
[e
-e
]
j(n - m)
1
- j( n - m )p
j2( n - m )p
e
[e
- 1] 0
j(n - m)
13
由此不难验证
T
2
T
2
T
2
T
2
T
2
T
2
T
2
T
2
-
-
T
2
T
2
cos nwt d t 0
(n 1,2,3, ),
sin nwt d t 0
(n 1,2,3, ),
sin nwt cos mwt d t 0
(n, m 1,2,3, ),
sin nwt sin mwt d t 0
(n, m 1,2,3, , n m),
cos nwt cos mwt d t 0 (n, m 1,2,3, , n m),
14
而1, coswt, sinwt, ..., cos nwt, sin nwt, ...的函
数的长度计算如下:
1
T
2
2
1
T dt T
-
2
cos nwt
sin nwt
T
2
-
T
2
T
2
T
2
cos nwt d t
2
sin nwt d t
2
1 cos 2nwt
dt
-T2
2
T
2
1 - cos 2nwt
dt
-T2
2
T
2
T
2
T
2
15
因此, 任何满足狄氏条件的周期函数fT(t), 可
表示为三角级数的形式如下:
a0
fT (t )
(an cos nwt bn sin nwt ) (1.1)
2 n 1
为求出a0 , 计算[ fT ,1], 即
T
2
T
2
T
2
fT (t ) d t T
-
2
a0
dt
2
T
2
T
2
a0
(an T cos nwt d t bn T sin nwt d t ) T
2
2
2
n 1
2 T2
即 a0 T fT (t ) d t
T -2
16
为求an, 计算[fT(t), cosnwt], 即
T
2
-
T
2
T
2
a0
fT (t ) cos nwt d t T cos nwt d t
2 2
T
2
am T cos mwt cos nwt d t
-
m 1
n
2
T
2
bm T sin mwt cos nwt d t
-
m 1
T
2
2
T
an T cos nwt d t an
2
2
2 T2
即 an T fT (t ) cos nwt d t
T -2
2
17
同理, 为求bn, 计算[fT(t), sin nwt], 即
T
2
-
T
2
T
2
a0
fT (t ) sin nwt d t T sin nwt d t
2 2
T
2
am T cos mwt sin nwt d t
-
m 1
n
2
T
2
bm T sin mwt sin nwt d t
-
m 1
T
2
2
T
bn T sin nwt d t bn
2
2
T
2 2
即 bn T fT (t ) sin nwt d t
T -2
2
18
最后可得:
a0
fT (t ) (an cos mwt bn sin nwt ) (1.1)
2 n 1
T
2 2
其中 a0 T fT (t ) d t
T -2
T
2 2
an T fT (t ) cos nwt d t (n 1,2, )
T -2
T
2 2
bn T fT (t ) sin nwt d t (n 1,2, )
T -2
19
而利用三角函数的指数形式可将级数表示
为:
jj
- jj
jj
- jj
e e
e -e
由 cos j
, sin j - j
得:
2
2
a0
fT (t )
2
j nwt
- j nwt
j nwt
- j nwt
e e
e -e
an
- j bn
2
2
n 1
a0
an - j bn j nwt an j bn - j nwt
e
e
2 n 1 2
2
20
如令wn=nw (n=0,1,2,...)
a0
且令c0 ,
2
an - jbn
cn
, n 1,2,3,
2
an jbn
c- n
, n 1,2,3,
2
fT (t ) c0 cn e
n 1
jw n t
c- n e
- jw n t
c e
n -
jw n t
n
21
给定fT(t), cn的计算如下:
a0 1
c0
fT (t ) d t
2 T
an - jbn 1
当n 1时cn
fT (t ) cos nwt d t 2
T
1
- j fT (t ) sin nwt d t
T
1
fT (t )[cos nwt - j sin nwt ] d t
T
1
- jnwt
fT (t )e
dt
T
T
2
-
T
2
T
2
-
T
2
T
2
-
T
2
T
2
-
T
2
T
2
-
T
2
22
而
an j bn
1 T2
j nwt
c- n
cn T f T (t )e dt
2
T -2
因此可以合写成一个式子
1
cn
T
f T (t )
T
2
-
T
2
f T (t )e - jw nt dt (n 0,1,2, )
c e
n -
1
T
jw n t
n
jw nt
- jw n
f
(
)
e
d
e
T
T
- 2
n -
T
2
23
例 定义方波函数为
1 | t | 1
f (t )
0 | t | 1
如图所示:
f(t)
1
-1
o
1
t
24
现以f(t)为基础构造一周期为T的周期函数
fT(t), 令T=4, 则
f 4 (t )
f (t 4n),
n -
2p 2p p
np
w
, w n nw
T
4
2
2
f4(t)
-1
1
3
t
T=4
25
则
T
2
1
- jw n t
cn T fT (t )e
dt
T -2
1 2
1 1 - jw n t
- jw n t
f 4 (t )e
dt e
dt
4 -2
4 -1
1
1
1
- jw n t
jw n
- jw n
e
e -e
- 4 jw n
4
j
w
n
-1
1 sin w n 1
sinc( w n ) (n 0,1,2, )
2 wn
2
26
sinc函数介绍
sinc 函数定义为
sin x
sinc( x)
x
严格讲函数在x 0处是无定义的, 但是因为
sin x
lim
1
x 0
x
所以定义 sinc( 0) 1, 用不严格的形式就写作
sin x
1, 则函数在整个实轴连续
x x0
27
sinc函数的图形:
sinc(x)
x
28
前面计算出
1
cn sinc( w n ) (n 0,1,2, )
2
2p np
w n nw n
, 可将cn以竖线标在频率图上
T
2
w
29
现在将周期扩大一倍, 令T=8, 以f(t)为基础构
造一周期为8的周期函数f8(t)
f 8 (t )
f (t 8n),
n -
2p 2p p
np
w
, w n nw
T
8
4
4
f8(t)
-1
1
7
t
T=8
30
则
T
2
1
- jw n t
cn T fT (t )e
dt
T -2
1 4
1 1 - jw n t
- jw n t
f 8 (t )e
dt e
dt
8 -4
8 -1
1
1
1
- jw n t
jw n
- jw n
e
e -e
- 8 jw n
8
j
w
n
-1
1 sin w n 1
sinc( w n ) (n 0,1,2, )
4 wn
4
31
则在T=8时,
1
cn sinc( w n ) (n 0,1,2, )
4
2p np
w n nw n
, 再将cn以竖线标在频率图上
8
4
w
32
如果再将周期增加一倍, 令T=16, 可计算出
1
cn sinc( w n ) (n 0,1,2,)
8
2p np
w n nw n
, 再将cn以竖线标在频率图上
16
8
w
33
一般地, T对于周期T
1 2
- jw n t
cn T fT (t )e
dt
T -2
1 1 - jw n t
e
dt
T -1
1
1
1
- jw n t
jw n
- jw n
e
e -e
- Tjw n
Tj
w
n
-1
2 sin w n 2
sinc( w n ) (n 0,1,2, )
T wn
T
34
当周期T越来越大时, 各个频率的正弦波的频
率间隔越来越小, 而它们的强度在各个频率
的轮廓则总是sinc函数的形状, 因此, 如果将
方波函数f(t)看作是周期无穷大的周期函数,
则它也可以看作是由无穷多个无穷小的正弦
波构成, 将那个频率上的轮廓即sinc函数的形
状看作是f(t)的各个频率成份上的分布, 称作
f(t)的傅里叶变换.
35
对任何一个非周期函数f(t)都可以看成是由
某个周期函数fT(t)当T时转化而来的.
作周期为T的函数fT(t), 使其在[-T/2,T/2]之内
等于f(t), 在[-T/2,T/2]之外按周期T延拓到整
个数轴上, 则T越大, fT(t)与f(t)相等的范围也
越大, 这就说明当T时, 周期函数fT(t)便可
转化为f(t), 即有
lim fT (t ) f (t )
T
36
f(t)
O
t
O
t
fT1(t)
fT2(t)
37
由公式
1
fT (t )
T
可知
jw nt
- jw n
d e
-T2 fT ( )e
n -
T
2
1
jw nt
- jw n
f (t ) lim
f
(
)
e
d
e
T
T
- 2
T T
n -
当n取一切整数时, w n 所对应的点便均匀分
T
2
布在整个数轴上, 两个相邻的点的距离为
w n w n - w n -1
2p
p
, 或T
,
T
w n
38
如图
2p 2p 2p
T T T
{
{
{
{
2p
T
O w1 w2 w3
wn-1wn
w
f (t )又可写为
1
f (t ) lim
T T
1
lim
w n 0 2p
jw nt
- jw n
d e
-T2 fT ( )e
n -
T
2
jw nt
- jw n
d e w n
-T2 fT ( )e
n -
T
2
39
1
jw nt
- jw n
令 T (w n )
fT ( )e
d e
T
2p - 2
T
1
2
jw nt
- jw n
f (t ) lim
fT ( )e
d e w n
T
w n 0 2p
n - 2
T
2
lim
w n 0
n -
T
(w n )w n
当w n 0, 即T ,T (w n ) (w n )
1
- jw n
e jw nt
(w n )
f
(
)
e
d
2p -
40
1
- jwn
j wn t
由 (wn )
f
(
)
e
d
e
2p -
f (t ) lim
wn 0
n -
T
(wn ) wn
-
-
(wn )d wn (w )d w
最后得
1
- jw
jw t
f (t )
f ( )e
d e d w
2p - -
此公式称为函数f(t)的傅里叶积分公式, 简称
傅氏积分公式,
41
傅氏积分定理 若f(t)在(-, +)上满足条件:
1, f(t)在任一有限区间上满足狄氏条件; 2, f(t)
在无限区间(-, +)上绝对可积, 则有
1
- jw
jwt
f (t )
f ( )e
d e d w (1.4)
2p - -
成立, 而左端的f (t )在它的间断点t处, 应以
f (t 0) f (t - 0)
来代替.
2
在(-,)绝对可积是指的 | f (t ) | d t收敛
-
42
(1.4)式也可以转化为三角形式
1
- jw
jwt
f (t )
f ( )e
d e dw
2p - -
1
jw ( t - )
dw
f
(
)
e
d
2p - -
1
f ( ) cos w (t - ) d
2p - -
j f ( ) sin w (t - )d dw
-
因 f ( ) sin w (t - )d 是w的奇函数,
-
1
f (t )
2p
f ( ) cos w (t - ) d d w (1.5)
- -
43
又考虑到积分
-
f ( )cos w (t - ) d
是w的偶函数,
从
1
f (t )
2p
可得
f (t )
1
-
p
0
f ( )cos w (t - )d d w (1.5)
-
f ( )cos w (t - )d d w (1.6)
-
44
今天学号大于2004111111的同学交作业
45
作业 习题一
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第1题
今天学号大于2004111111的同学交作业
46