Transcript 积分变换第1讲

积分变换
第1讲
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1
积分变换
2
傅里叶(Fourier)级数展开
3
在工程计算中, 无论是电学还是力学, 经常要
和随时间而变的周期函数fT(t)打交道. 例如:
具有性质fT(t+T)=fT(t), 其中T称作周期, 而1/T代表t
单位时间振动的次数, 单位时间通常取秒, 即每秒
重复多少次, 单位是赫兹(Herz, 或Hz).
4
最常用的一种周期函数是三角函数
fT(t)=Asin(wt+j)
其中w=2p/T
t
而Asin(wt+j)又可以看作是两个周期函数
sinwt和coswt的线性组合
Asin(wt+j)=asinwt+bcoswt
5
人们发现, 所有的工程中使用的周期函数都可
以用一系列的三角函数的线性组合来逼近.
方波
4个正弦波的逼近
100个正弦波的逼近
6
研究周期函数实际上只须研究其中的一个周
期内的情况即可, 通常研究在闭区间[T/2,T/2]内函数变化的情况. 并非理论上的所
有周期函数都可以用傅里叶级数逼近, 而是
要满足狄利克雷(Dirichlet)条件, 即在区间[T/2,T/2]上
1, 连续或只有有限个第一类间断点
2, 只有有限个极值点
这两个条件实际上就是要保证函数是可积函
数.
7
第一类间断点和第二类间断点的区别:
第二类间断点
第一类间断点
8
不满足狄氏条件的例:
f (t )  tg t
存在第二类间断点
1
f (t )  sin( )
t
在靠近0处存在着无限多个极值点.
而在工程上所应用的函数, 尤其是物理量的
变化函数, 全部满足狄氏条件. 实际上不连续
函数都是严格上讲不存在的, 但经常用不连
续函数来近似一些函数, 使得思维简单一些.
9
在区间[-T/2,T/2]上满足狄氏条件的函数的
全体也构成一个集合, 这个集合在通常的函
数加法和数乘运算上也构成一个线性空间V,
此空间的向量就是函数, 线性空间的一切理
论在此空间上仍然成立. 更进一步地也可以
在此线性空间V上定义内积运算, 这样就可
以建立元素(即函数)的长度(范数), 及函数间
角度, 及正交的概念. 两个函数f和g的内积定
义为:
T
2
[ f , g ]   T f (t ) g (t ) d t
-
2
10
一个函数f(t)的长度为
|| f || [ f , f ] 

T
2
-
T
2
f 2 (t ) d t
而许瓦兹不等式成立 :
[ f , g]  f  g
T
2
即  T f (t ) g (t ) d t 
-
2

T
2
-
T
2
f 2 (t ) d t
T
2
2
g
 T (t ) d t
-
2
这样可令
[ f , g]
cos 
是f , g间的夹角余弦,
f  g
则如果[ f , g ]  0称为f与g正交.
11
而在区间[-T/2,T/2]上的三角函数系
1, coswt, sinwt, cos 2wt, sin 2wt, ...,
cos nwt, sin nwt, ...
是两两正交的, 其中w=2p/T, 这是因为
cos nwt和sin nwt都可以看作是复指数函数
ejnwt的线性组合. 当nm时,
T p j(n - m )
d  0
-T2 e e d t  2p -pe
2pt
2p d t
T
其中  wt 
, 则 d 
,dt 
d
T
T
2p
T
2
j nwt
j mwt
12
这是因为
p
 pe
-
j( n - m )
p
1
j( n - m )
d 
e
j(n - m)
-p
1
j( n - m )p
- j( n - m )p

[e
-e
]
j(n - m)
1
- j( n - m )p
j2( n - m )p

e
[e
- 1]  0
j(n - m)
13
由此不难验证

T
2

T
2

T
2

T
2

T
2
T
2
T
2
T
2
-
-
T
2
T
2
cos nwt d t  0
(n  1,2,3, ),
sin nwt d t  0
(n  1,2,3, ),
sin nwt cos mwt d t  0
(n, m  1,2,3, ),
sin nwt sin mwt d t  0
(n, m  1,2,3,  , n  m),
cos nwt cos mwt d t  0 (n, m  1,2,3,  , n  m),
14
而1, coswt, sinwt, ..., cos nwt, sin nwt, ...的函
数的长度计算如下:
1 
T
2
2
1
T dt  T
-
2
cos nwt 
sin nwt 

T
2
-

T
2
T
2
T
2
cos nwt d t 
2
sin nwt d t 
2
1  cos 2nwt
dt 
-T2
2
T
2
1 - cos 2nwt
dt 
-T2
2
T
2
T
2
T
2
15
因此, 任何满足狄氏条件的周期函数fT(t), 可
表示为三角级数的形式如下:

a0
fT (t ) 
  (an cos nwt  bn sin nwt ) (1.1)
2 n 1
为求出a0 , 计算[ fT ,1], 即

T
2
T
2
T
2
fT (t ) d t   T
-

2
a0
dt 
2
T
2
T
2
a0
  (an  T cos nwt d t  bn  T sin nwt d t )  T
2
2
2
n 1
2 T2
即 a0   T fT (t ) d t
T -2
16
为求an, 计算[fT(t), cosnwt], 即

T
2
-
T
2
T
2
a0
fT (t ) cos nwt d t   T cos nwt d t 
2 2

T
2
  am  T cos mwt cos nwt d t 
-
m 1
n
2
T
2
  bm  T sin mwt cos nwt d t 
-
m 1
T
2
2
T
 an  T cos nwt d t  an
2
2
2 T2
即 an   T fT (t ) cos nwt d t
T -2
2
17
同理, 为求bn, 计算[fT(t), sin nwt], 即

T
2
-
T
2
T
2
a0
fT (t ) sin nwt d t   T sin nwt d t 
2 2

T
2
  am  T cos mwt sin nwt d t 
-
m 1
n
2
T
2
  bm  T sin mwt sin nwt d t 
-
m 1
T
2
2
T
 bn  T sin nwt d t  bn
2
2
T
2 2
即 bn   T fT (t ) sin nwt d t
T -2
2
18
最后可得:

a0
fT (t )    (an cos mwt  bn sin nwt ) (1.1)
2 n 1
T
2 2
其中 a0   T fT (t ) d t
T -2
T
2 2
an   T fT (t ) cos nwt d t (n  1,2, )
T -2
T
2 2
bn   T fT (t ) sin nwt d t (n  1,2, )
T -2
19
而利用三角函数的指数形式可将级数表示
为:
jj
- jj
jj
- jj
e e
e -e
由 cos j 
, sin j  - j
得:
2
2
a0
fT (t )  
2
j nwt
- j nwt
j nwt
- j nwt

 e e

e -e
   an
- j bn

2
2
n 1 


a0
 an - j bn j nwt an  j bn - j nwt 
 
e 
e

2 n 1  2
2

20
如令wn=nw (n=0,1,2,...)
a0
且令c0  ,
2
an - jbn
cn 
, n  1,2,3, 
2
an  jbn
c- n 
, n  1,2,3, 
2


fT (t )  c0   cn e
n 1
jw n t
 c- n e
- jw n t
  c e

n  -
jw n t
n
21
给定fT(t), cn的计算如下:
a0 1
c0 
  fT (t ) d t
2 T
an - jbn 1
当n  1时cn 
  fT (t ) cos nwt d t 2
T
1
- j  fT (t ) sin nwt d t
T
1
  fT (t )[cos nwt - j sin nwt ] d t
T
1
- jnwt
  fT (t )e
dt
T
T
2
-
T
2
T
2
-
T
2
T
2
-
T
2
T
2
-
T
2
T
2
-
T
2
22
而
an  j bn
1 T2
j nwt
c- n 
 cn   T f T (t )e dt
2
T -2
因此可以合写成一个式子
1
cn 
T

f T (t ) 
T
2
-
T
2
f T (t )e - jw nt dt (n  0,1,2, )

c e
n  -
1

T
jw n t
n


 jw nt
- jw n
f
(

)
e
d

e

T
T

 - 2

n  -
T
2
23
例 定义方波函数为
1 | t | 1
f (t )  
0 | t | 1
如图所示:
f(t)
1
-1
o
1
t
24
现以f(t)为基础构造一周期为T的周期函数
fT(t), 令T=4, 则
f 4 (t ) 

 f (t  4n),
n  -
2p 2p p
np
w

 , w n  nw 
T
4
2
2
f4(t)
-1
1
3
t
T=4
25
则
T
2
1
- jw n t
cn   T fT (t )e
dt
T -2
1 2
1 1 - jw n t
- jw n t
  f 4 (t )e
dt   e
dt
4 -2
4 -1
1
1
1
- jw n t
jw n
- jw n

e

e -e
- 4 jw n
4
j
w
n
-1
1 sin w n 1
 
 sinc( w n ) (n  0,1,2, )
2 wn
2


26
sinc函数介绍
sinc 函数定义为
sin x
sinc( x) 
x
严格讲函数在x  0处是无定义的, 但是因为
sin x
lim
1
x 0
x
所以定义 sinc( 0)  1, 用不严格的形式就写作
sin x
 1, 则函数在整个实轴连续
x x0
27
sinc函数的图形:
sinc(x)
x
28
前面计算出
1
cn  sinc( w n ) (n  0,1,2, )
2
2p np
w n  nw  n

, 可将cn以竖线标在频率图上
T
2
w
29
现在将周期扩大一倍, 令T=8, 以f(t)为基础构
造一周期为8的周期函数f8(t)
f 8 (t ) 

 f (t  8n),
n  -
2p 2p p
np
w

 , w n  nw 
T
8
4
4
f8(t)
-1
1
7
t
T=8
30
则
T
2
1
- jw n t
cn   T fT (t )e
dt
T -2
1 4
1 1 - jw n t
- jw n t
  f 8 (t )e
dt   e
dt
8 -4
8 -1
1
1
1
- jw n t
jw n
- jw n

e

e -e
- 8 jw n
8
j
w
n
-1
1 sin w n 1
 
 sinc( w n ) (n  0,1,2, )
4 wn
4


31
则在T=8时,
1
cn  sinc( w n ) (n  0,1,2, )
4
2p np
w n  nw  n

, 再将cn以竖线标在频率图上
8
4
w
32
如果再将周期增加一倍, 令T=16, 可计算出
1
cn  sinc( w n ) (n  0,1,2,)
8
2p np
w n  nw  n

, 再将cn以竖线标在频率图上
16
8
w
33
一般地, T对于周期T
1 2
- jw n t
cn   T fT (t )e
dt
T -2
1 1 - jw n t
 e
dt
T -1
1
1
1
- jw n t
jw n
- jw n

e

e -e
- Tjw n
Tj
w
n
-1
2 sin w n 2
 
 sinc( w n ) (n  0,1,2, )
T wn
T


34
当周期T越来越大时, 各个频率的正弦波的频
率间隔越来越小, 而它们的强度在各个频率
的轮廓则总是sinc函数的形状, 因此, 如果将
方波函数f(t)看作是周期无穷大的周期函数,
则它也可以看作是由无穷多个无穷小的正弦
波构成, 将那个频率上的轮廓即sinc函数的形
状看作是f(t)的各个频率成份上的分布, 称作
f(t)的傅里叶变换.
35
对任何一个非周期函数f(t)都可以看成是由
某个周期函数fT(t)当T时转化而来的.
作周期为T的函数fT(t), 使其在[-T/2,T/2]之内
等于f(t), 在[-T/2,T/2]之外按周期T延拓到整
个数轴上, 则T越大, fT(t)与f(t)相等的范围也
越大, 这就说明当T时, 周期函数fT(t)便可
转化为f(t), 即有
lim fT (t )  f (t )
T 
36
f(t)
O
t
O
t
fT1(t)
fT2(t)
37
由公式
1
fT (t ) 
T
可知


 jw nt
- jw n
d  e

 -T2 fT ( )e

n  -
T
2

1

 jw nt
- jw n
f (t )  lim
f
(

)
e
d

e

T
T

 - 2

T   T
n  -
当n取一切整数时, w n 所对应的点便均匀分
T
2
布在整个数轴上, 两个相邻的点的距离为
w n  w n - w n -1
2p
p

, 或T 
,
T
w n
38
如图
2p 2p 2p
T T T
{
{
{
{
2p
T
O w1 w2 w3
wn-1wn
w
f (t )又可写为
1
f (t )  lim
T   T
1
 lim
w n 0 2p


 jw nt
- jw n
d  e

 -T2 fT ( )e

n  -

T
2

 jw nt
- jw n
d   e w n

 -T2 fT ( )e

n  -
T
2
39
1 
 jw nt
- jw n
令 T (w n ) 
fT ( )e
d  e
T


2p  - 2

T

1
 2
 jw nt
- jw n
f (t )  lim
fT ( )e
d   e w n

T


w n 0 2p

n  -  2
T
2
 lim
w n 0


n  -
T
(w n )w n
当w n  0, 即T  ,T (w n )   (w n )
1  
- jw n
 e jw nt
 (w n ) 
f
(

)
e
d





2p -
40
1  
- jwn
j wn t

由 (wn ) 
f
(

)
e
d

e

2p  -
f (t )  lim
wn 0


n -
T
(wn ) wn


-
-
   (wn )d wn    (w )d w
最后得
1   
- jw
jw t

f (t ) 
f ( )e
d e d w



2p -  -
此公式称为函数f(t)的傅里叶积分公式, 简称
傅氏积分公式,
41
傅氏积分定理 若f(t)在(-, +)上满足条件:
1, f(t)在任一有限区间上满足狄氏条件; 2, f(t)
在无限区间(-, +)上绝对可积, 则有
1   
- jw
jwt

f (t ) 
f ( )e
d  e d w (1.4)



2p -  -
成立, 而左端的f (t )在它的间断点t处, 应以
f (t  0)  f (t - 0)
来代替.
2

在(-,)绝对可积是指的 | f (t ) | d t收敛
-
42
(1.4)式也可以转化为三角形式
1   
- jw
jwt

f (t ) 
f ( )e
d e dw



2p -  -
1   
jw ( t - )
 dw

f
(

)
e
d


2p -  -
1   

f ( ) cos w (t -  ) d 


2p -  -

 j  f ( ) sin w (t -  )d  dw

-

因 f ( ) sin w (t -  )d 是w的奇函数,
-
1
f (t ) 
2p
  f ( ) cos w (t -  ) d   d w (1.5)
- -


43
又考虑到积分


-
f ( )cos w (t -  ) d
是w的偶函数,
从
1
f (t ) 
2p
可得
f (t ) 
1


-

p

0
 f ( )cos w (t -  )d   d w (1.5)
 -


  f ( )cos w (t -  )d   d w (1.6)
 -

44
今天学号大于2004111111的同学交作业
45
作业 习题一
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第1题
今天学号大于2004111111的同学交作业
46