Transcript 第一章
第一、二节 极限概念引
入、数列的极限
概念的引入
数列的概念
数列极限的概念
收敛数列的性质
小结 思考题 作业
第一章
函数与极限
1
数列的极限
一、概念的引入
极限概念是从常量到变量, 从有限到无限,
即从初等数学过渡到高等数学的关键.
极限的思想源远流长.
庄子(约公元前355~275年)在《天下篇》
中写道: “一尺之棰,日取其半,万世不竭
”.
意思是: 一尺长的棍子, 第一天取其一半, 第二
天取其剩下的一半, 以后每天都取其剩下的一
半,这样永远也取不完.
2
数列的极限
刘徽(三世纪)的“割圆术”中说:
“割之弥细,所失弥少.割之又割,以至不可
割,则与圆周合体,而无所失矣.”
意思是:设给定半径为1尺的圆,从圆内接正6边
形开始,每次把边数加倍,屡次用勾股定理.求出
正12边形、
正24边形. ……等等正多边形的边长,
边数越多, 圆内接正多边形越与圆接近, 最后与
圆周重合, 则正多边形周长与圆周长就没有误
差了.
3
数列的极限
正六边形的面积 A 1
R
正十二边形的面积 A 2
正 6 2 n 1 形的面积 A n
A1 , A 2 , A 3 , , A n ,
S
4
数列的极限
二、数列 (sequence of number) 的概念
定义 按照自然数的顺序排列的一列数
x1 , x 2 , x n ,
简记为{ xn }, 其中 x n 称为数列 { x n }的 通项(general
term), 或者一般项.
如
n
2 ,4 ,8 , , 2 , ;
1 1 1
1
, , , , n , ;
2 4 8
2
n
{2 }
{
1
2
n
}
5
数列的极限
1 , 1 ,1 , , ( 1 )
n1
, ;
1 4
n ( 1)
2, , , ,
2 3
n
{( 1)
n1
, ;
{
n 1
}
n ( 1)
n 1
}
n
数列的(两种)几何表示法:
(1)数列对应着数轴上一个点列.
可看作一动点在数轴上依次取 x 1 , x 2 , , x n , .
x1
x3
x2
x4
xn
数列可看作自变量为正整数 n的函数:
xn f (n)
整标函数或下标函数
6
数列的极限
(2) 在平面上画出自变量坐标轴和因变量坐标轴,
则数列的几何意义是 平面上一串分离的点.
xn
o
·1 2· 3· 4
·
n
注 不可将这串点连成曲线.
7
数列的极限
三、数列极限的概念
问题 当 n 无限增大时, x n 是否无限接近于某一
确定的数值? 如果是, 如何确定?
研究数列 {1
1 1, 1
1
2
即
( 1)
,1
n1
n
1
3
} 当 n 时的变化趋势 .
,1
1
4
,1
1
,
5
1
4 3 6
2, , , ,
2 3 4 5
当n无限增大时, x n 无限接近于1.
8
数列的极限
研究数列 {1
( 1)
n1
} 当 n 时的变化趋势 .
n
当n无限增大时, x n无限接近于1.
“无限接近”意味着什么?
如何用数学语言刻划它.
|
x n 1 | (1 ( 1 )
n1
1
n
)1
1
n
xn 1
可以要多么小就多么小,只要n充分大,
则要看 x n 1 小到什么要求.
9
数列的极限
| x n 1 |
给定
1
100
给定
,由
1
1000
给定
1
n
1
100
1
n
, 只要 n 100 时 , 有 x n 1
, 只要 n 1000 时 , 有 x n 1
1
10000
1
1
,
100
,
1000
, 只要 n 10000 时 , 有 x n 1
1
,
10000
1
给定 0 , 只要 n N ( [ ]) 时 , 有 x n 1 成立 .
10
数列的极限
定义 设 x n 为一数列，如果对于任意给定的正数
(不论它多么小), 总存在正整数N, 使得当 n N
时，不等式
xn a
都成立. 那末就称常数a是数列 x n 的极限(limit),
或称数列 x n 收敛于a (converge to a) .
记为
或
lim x n a ,
n
x n a ( n ).
如果数列没有极限, 就说数列发散(diverge).
11
数列的极限
注
(1)
不等式 x n a 刻划了 x n 与 a 的无限接近 ;
(2) 正数 是任意给定的 , 但是一旦给出之后,
它就是确定了;
越小 , N 将越大 ;
(3) N 与给定的 有关 , 一般地说,
(4) {xn}有没有极限, “前面” 的有限项不起作用,
主要看“后面”的无穷多项.
采用逻辑符号将 lim x n a 的定义可缩写为:
n
N 定义 0 , N 0 , 当 n N 时 ,
有 xn a .
12
数列的极限
xn a
a xn a
(n N )
数列极限的几何意义
a
x 2 x1
当n N时,
x N 1
即 xn U ( a , )
2
a
(n N )
a
xN 2
x3
x
所有的点 x n 都落在 ( a , a )内 ,
只有有限个 ( 至多只有 N 个 ) 落在其外 .
注 数列极限的定义通常是用来进行推理
和证明极限,而不是用来求极限, 因为这里
需要预先知道极限值是多少.
13
数列的极限
例
证明 lim
n ( 1)
n
n1
1.
n
n1
虽然是可以任意小的正数,但使用定义证题
1
n ( 1)
x n 1 ,总暂时认为它是固定的,按照这
1
证时,对于给定的
n
n
个 找出使不等式成立的N. 解不等式
0, 要 x n 1 , 只要
所以, 取N
有
n ( 1)
n
1
,
1
n
, 或 n
1
则当n N时,
n 1
1
即 lim
n
n ( 1)
n1
1.
n
14
数列的极限
n
1
例 证明数列
x n cos
( n 1、2、3 ） 以 0为
用定义证数列极限存在时,关键是任意给
n
2
定 0 , 寻找N,但不必要求最小的N.
极限.
证 0, 要使 x n 0
由于
1
cos
n
n
0
2
n
1
1
1
1
cos
n
n
cos
0 .
2
n
2
1
n
1
只要
, 或 n , 取N [ ], 则当n N时,
为了简化解不等式的运算,常
n
常把 x n a 作适当地放大.
1
n
1
n
0
cos
0 . 即 lim cos
有
n
2
n
n
2
15
数列的极限
例 设 x n C ( C 为常数 ), 证明 lim x n C .
n
证 任给 0 , 对于一切自然数
xn C C C
n,
0 成立 ,
所以, lim x n C .
n
说明 常数列的极限等于同一常数.
16
数列的极限
n
例 证明 lim q 0 , 其中 0 q 1 .
n
证 0 ( 不妨设 0 1 ),
为了使 x n 0 q
n
ln
ln q
,
取N [
有 q 0 ,
n
n
, 只需使 n ln q ln ,
ln
ln q
], 则当n N时,
lim q 0 .
n
n
17
数列的极限
作业
习题1-2 (32页)
2. 3. 4. 5.
18
对于数列,即整标函数 x n f ( n ),
其自变量的变化只有一种情形.
第三节
函数的极限
而对于一般函数 y f ( x )来说,有:
自变量趋于无穷大时函数的极限
自变量趋于有限值时函数的极限
函数极限的性质
小结 思考题 作业
第一章
函数与极限
19
函数的极限
一、自变量趋于无穷大时函数的极限
设对充分大的x, 函数 f ( x ) 处处有定义.
如果随着x的无限增大, 相应的函数 f ( x ) 就
无限接近某一常数 A. 由此可引入函数当
x 时的极限概念.
以下分别用记号
x趋向于正无穷
x
x 趋向于负无穷
x
x
x 趋向于无穷
表示 x , x, | x | 无限增大的过程.
20
函数的极限
用数学语言刻划无限接近、无限增大.
f ( x ) A 表示 f ( x ) A 任意小 ;
x X 表示 x 的过程 .
1. 定义
定义1 ( X )设 f ( x ) 在 | x | a 上有定义 . 若
00,,
X
X
00,, 使 得 当 | x | X 时 , 恒 有
X a
| f ( x ) A |
则称 x 时函数 f ( x ) 有极限 A ,记作
lim f ( x ) A , 或 f ( x ) A ( x ).
x
21
函数的极限
2. 另两种情形
( 1 ) x 情形 :
lim f ( x ) A
x
设 f ( x ) 在 x a 上有定义 . 0 , X 0 ,
使当x X时, 恒有 | f ( x ) A |
f ( x) A
( 2 ) x 情形 : xlim
设 f ( x ) 在 x a 上有定义 . 0 , X 0 ,
使当x X时,恒有 | f ( x ) A |
22
函数的极限
lim f ( x ) A
x
lim
x
x
f ( x ) A 且 lim f ( x ) A
例 讨论极限 lim arctan x 是否存在?
x
解 显然有
lim arctan x
x
可见
2
, lim arctan x
x
,
2
lim arctan x 和 lim arctan x 虽然都存在,
x
x
但它们不相等.
故 lim arctan x 不存在.
x
23
函数的极限
如果在x的某种趋向下, f ( x ) 并不无限接近
一个常数, 则称:
在x的该种趋向下 lim f ( x ) 不存在.
例 当|x|无限增大时,
sin x , x
2
都不无限接近一个常数,
因此 lim sin x , lim x 都不存在.
2
x
x
24
函数的极限
3. lim f ( x ) A的几何意义
x
0,X 0,
当 | x | X 时 , 有
y
| f ( x ) A |
A f (x) A
y f ( x)
A
X
O
X
x
当 x X 或 x X 时 , 函数 y f ( x ) 图形
完全落在:
以直线 y A 为中心线 , 宽为 2 的带形区域内
.
25
函数的极限
y
y
例 证明 lim
sin x
x
0
x
x
0
O
sin x
1
x
0 成立.
x
sin x
x
即 |x|
sin x
x
x
证 0, 要使
sin x
sin x
,取 X
1
|x|
1
0 , 故 lim
x
, 只要
1
|x|
解不等式
解出 | x |
, 当 | x | X时, 有
sin x
0.
x
26
函数的极限
f ( x ) C , 则直线 y C是函数 y f ( x )
结 如果 lim
x
论 的图形的 水平渐近线(horizontal asymptote).
x 1
2
试证 xlim
1.
x 1
2
x 1
2
证
注意当x 0时,
0, 为了使
即 x
x 1
2
2
x 1
2
1
有
x 1
x
2
1
2
x 1
2
,取X
2
x 1
2
1 ,
2
2
x 1
2
只要使
2
x
2
x
2
, 当 x X时,有
x 1
2
,
,
解出x
2
lim
x
x 1
2
1.
27
函数的极限
二、自变量趋于有限值时函数的极限
用数学语言刻划 x x0 , 函数 f ( x )
无限接近 于确定值A.
f ( x ) A 表示 f ( x ) A 任意小 ;
0 x x0 表示 x x 0的过程 .
x x0
O
x0
x0
U ( x0 , )
x0
x
点 x 0的去心 邻域 , 体现 x 接近 x 0 程度 .
28
函数的极限
1.定义
定义2 ( ) 设函数 f ( x ) 在点x0某去心邻域内
有定义. 若 0, 0, 使当 0 x x0 时,
恒有
f (x) A
则称 x x 0时函数 f ( x )有极限 A , 记作
lim f ( x ) A , 或 f ( x ) A ( x x ).
0
x x
0
29
函数的极限
注 (1) 定义中的 0 x x 0 表示 x x 0 ,
所以 x x 0时 , f (x)有没有极限与f (x)在点x0
是否有定义并无关系.
(2) 定义中 标志x接近x0的程度, 它与
有关. 一般地说, 越小,
也将越小.
(3) 不要求最大的 , 只要求 存在即可.
30
函数的极限
2. lim f ( x ) A的几何意义
x x0
0, 0, 当 0 x x0 , f ( x ) A
0 , 作出带形区域
y
A y A
A
必存在x0的去心邻域
A
A
y f ( x)
0 x x0 ,
对于此邻域内的 x,
O
x0 x0 x0
x
对应的函数图形位于这一带形区域内.
31
函数的极限
一般说来, 论证 lim f ( x ) A,应从不等式
x x0
f ( x ) A 出发, 推导出应小于怎样的正数,
这个正数就是要找的与 相对应的 , 找到
就证明完毕. 这个推导常常是困难的.
但是, 注意到我们不需要找最大的 , 所以
可把
f (x) A
适当放大些, 变成易于解出
x x0 的式子, 找到一个需要的 .
32
函数的极限
例 证明 lim C C , ( C 为常数 ).
x x0
证 0, 任取 0, 当0 x x0 时,
f ( x) A C C 0
lim C C .
x x0
例 证明 lim x x 0 .
x x0
证 f ( x ) A x x 0 , 0, 取 ,
当0 x x 0 时,
f ( x ) A x x0
,
lim x x 0 .
x x0
33
函数的极限
x 1
2
例
证明 lim
x1
x1
2.
证 函数在点 x 1 处没有定义.
x 1
2
f (x) A
x1
2 x1
0,
要使 f ( x ) A , 只要取 ,
x 1
2
当0 x 1 时, 有
x 1
2
lim
x1
x1
x 1
2 ,
2.
34
函数的极限
例
证
可用 x x0 x0 保证
证明 : 当 x 0 0时 , lim
x
x x0
f (x) A
x
0, 要使
有
x
x x0
x
x0
x x0
x0
f (x) A
即只要 x x 0
取 min x 0 ,
x0
x0 .
x 0 且x 0
x 0 当0 x x 时,
0
x0 , lim
x x0
x
x0 .
35
函数的极限
(1) 证明 lim 4 x 1 9
x 2
证 0, 由于 4 x 1 9
4x2
要使 4 x 1 9
解不等式, 解出 x 2 ( )
只要 x 2
4
4
,
可取
当0 x 2 时,
4 x 1 9 ,
4
有
lim 4 x 1 9
x 2
36
函数的极限
(2) 证明 lim cos x cos x 0
x x0
证 cos x cos x 0 2 sin
2 sin
x x0
2
x x0
2
sin
x x0
2
x x0
0, 可取 , 当0 x x 0 时,
有 cos x cos x0 , lim cos x cos x 0
x x0
同样有 lim sin x sin x 0 (自己证).
x x0
37
函数的极限
3. 左、右极限(单侧极限)
y 1 x y
例如,
1 x,
设 f (x) 2
x 1,
lim f ( x ) 1 .
x0
x0
1
O
x 0
y x 1
2
x
分 x 0 和 x 0 两种情况分别讨论!
x从左侧无限趋近
x 0 , 记作 x x 0 0 ;
x从右侧无限趋近
x 0 , 记作 x x 0 0 .
38
函数的极限
左极限 0 , 0 , 使得 x0 x x0时,
恒有 f ( x ) A .
记作
lim
x x0 0
f ( x ) A 或 f ( x0 0) A 或 f ( x 0 ) A.
( x x0 )
右极限 0 , 0 , 使得 x0 x x0 时,
恒有 f ( x ) A .
记作
lim
x x0 0
f (x) A
或 f ( x0 0) A 或 f ( x 0 ) A.
( x x0 )
39
函数的极限
注 { x 0 x x0 }
{ x 0 x x 0 } { x x x 0 0}
lim f ( x ) A
x x0
左极限f ( x0 0)和右极限f ( x0 0)均存在
且 f ( x0 0) f ( x0 0) A
性质常用于判断分段函数当x趋近于
分段点 时的极限.
40
函数的极限
x
例 试证函数 f ( x )
sin x
x1
x1
,
当 x 1时 , 无极限 .
证 lim f ( x ) lim
x 1
x 1
x 1
lim f ( x ) lim sin x sin 1
x 1
x 1
左、右极限不相等, 故
x 1时 , f ( x ) 无极限 .
41
函数的极限
例 讨论lim
|x|
x 0
的存在性.
x
x
x 0
证 lim
x 0
| x | lim
x
y
x
lim ( 1 ) 1
1
x 0
lim
x 0
|x|
x
lim
x 0
x
x
O
x
1
lim 1 1
x 0
左、右极限存在, 但不相等, 故极限不存在.
42
函数的极限
设函数
x
f (x)
x
x0
x0
,
讨论 x 0时 , 函数极限的存在性
.
答案 lim f ( x ) 0
x 0
总结一下 x的趋向一共有六种:
0
0
x x0 , x x , x x ,
x , x , x .
43
函数的极限
思考题
(1) 极限定义中 与
的关系是( B ).
( A) 先给定 后唯一确定 ;
( B) 先确定 后确定 ,但 的值不唯一;
( C) 先确定 后给定 ;
(D) 与 无关.
44
函数的极限
f ( x ) 与 lim f ( x ) 存在,则( C
(2) 如果 xlim
x x
x
0
(A) xlim
x
(B)xlim
x
0
).
f ( x ) 存在且 lim f ( x ) f ( x 0 );
x x0
0
f ( x ) 存在但不一定有lim f ( x ) f ( x 0 );
x x0
0
(C) xlim
x
(D) lim
f ( x ) 不一定存在;
0
x x0
f (x)
一定不存在.
45
函数的极限
x 1
3
(3)试证
lim
x1
x1
3
[提示] 仅需在 x 1 附近讨论问题, 如限定
0 x 2, x 1, 即限定在 0 | x 1 | 1范围内
讨论问题. 这时
x 1 ( x 1 )( x x 1 )
3
2
x x 2 ( x 2 )( x 1 )
2
x 1
3
x1
3 | x 2 || x 1 | 4| x 1 |
0 , 取 min
1, .
4
46
函数的极限
作业
习题1-3 (37页)
1.(1) (3) 2.(2) 3. 4. 5. 6.
47
数列的极限
第四节 极限的性质
一、收敛数列的性质
1. 有界性
定义
对数列 x n , 若存在正数M, 使得一切自然
数n,恒有 | x n | M 成立 ,则称数列 x n 有界; 否则,
称为无界.
如,
数列 x n
n
n1
n
有界; 数列 x n 2 无界.
数轴上对应于有界数列的点 x n 都落在
闭区间[ M , M ] 上.
48
数列的极限
定理1 收敛的数列必定有界.
证 设 lim x n a ,
n
由定义,
取 1,
则 N , 使得当 n N 时恒有 x n a 1 ,
即有 a 1 x n a 1 .
记 M max{ | x 1 |, | x 2 |, , | x N |, a 1 , a 1 },
则对一切自然数
n , 皆有 x n M , 故 x n 有界 .
注 有界性是数列收敛的必要条件, 不是充分条件.
推论 无界数列必定发散.
49
数列的极限
2. 唯一性
定理2 每个收敛的数列只有一个极限.
证 设 lim x n a , 又 lim x n b , 由定义,
n
0, N 1 , N 2 .
n
使得 当 n N 1时恒有 x n a ;
当 n N 2时恒有 x n b ; 取N maxN 1 , N 2 ,
则当 n N 时有 | a b | ( x n b ) ( x n a )
x n b x n a 2 .
仅当a b时 才能成立. 故收敛数列极限唯一.
50
数列的极限
例 证明 数列 x n ( 1 ) n 1 是发散的 .
反证法
证 假设数列 { xn }收敛，则有唯一极限a 存在.
取
1
2
, 则 N 0, 当 n N 时 , 有 xn a
即当 n N 时 , x n ( a
而 x n 无休止地反复取
1
2
,a
1
2
),
1
2
成立 ,
区间长度为1.
1 , 1 两个数 ,
不可能同时位于长度为1的区间内.因此这数列发散。
{ xn }是有界的, 但却发散.
51
数列的极限
3. 保号性
定理3 如果 lim x n a , 且 a 0 ( a 0 ), 则 N 0 ,
n
当 n N , 有 x n 0 ( x n 0 ).
a
证 a 0 由定义, 对 0, N 0 ,当 n N 时 ,
2
有
xn a
从而 xn a
a
2
a
2
,
a
2
0.
推论 如果数列 x n 从某项起有 x n 0 ( x n 0 ),
且 lim x n a , 那么 a 0 ( a 0 ).
n
用反证法
52
数列的极限
4. 收敛数列与其子数列(subsequence)间的关系
在数列 x n 中依次任意抽出无穷多项:
x n1 , x n 2 , x n k ,
( 其下标 n 1 n 2 n k ) 所构成的新数列
{ x n k } 叫做数列 { x n }的 子数列.
这里 x n k 是原数列中的第 n k 项, 在子数列中是
第k项,
k nk
53
数列的极限
定理4 收敛数列的任一子数列 收敛于同一极限.
证 设数列 { x n k }是数列 { x n }的任一子数列.
若 lim x n a , 则 0 , N , 当n N ,
n
xn a 成立.
现取正整数
K,使 nK N , 于是当 k K时, 有
正整数 K
nk nK N
x N x nK
*********************
N
nK
从而有 x n a , 由此证明 lim x n a .
k
k
k
54
数列的极限
由此定理可知, 仅从某一个子数列的收敛
一般不能断定原数列的收敛性;
但若已知一个子数列发散, 或有两个子数列
收敛于不同的极限值, 可断定原数列是发散的.
还可以证明:
数列 { x n } 的奇子数列 { x2 k 1 } 和偶子数列
{ x2k } 均收敛于同一常数a 时, 则数列 { x n } 也收
敛于a .
(证明留给做作业)
55
数列的极限
例 试证数列 cos n 不收敛.
证 因为 cos
n 的奇子数列
1, 1, 1,
收敛于 1,
而偶子数列 1 , 1 , 1 , 收敛于 1,
所以数列 cos n 不收敛.
56
数列的极限
思考题
(1) “ 0 , N 0 ,
xn a
1
3
当 n N时 ,
恒有
”是数列{ xn }收敛于a的( C
).
A. 充分但非必要条件
B. 必要但非充分条件
C. 充分必要条件
D. 既非充分也非必要条件
(2) 若 lim a n K , 则 lim a 2 n ( A ).
n
n
A. K
B. 2K
C.
K
2
D. 不确定
57
函数的极限
二、函数极限的性质
函数极限与数列极限相比,有类似的性质,
且证明方法也类似.
定理1(极限的唯一性) 若在自变量的某种变化
趋势下, f ( x ) 有极限, 则极限值必唯一.
定理2(局部有界性) 若当 x x 0时 , f(x)有极限,
则f(x)在U ( x 0 , ) 上有界;若当 x 时 , f(x)有
极限, 则存在 X 0 , 当 | x | X 时 ,函数 f ( x ) 有界 .
58
函数的极限
定理3(局部保号性)
( 1 ) 若 lim f ( x ) A , 且 A 0 ( 或 A 0 ),
x x0
则在 U ( x 0 , )内 , 有 f ( x ) 0 ( 或 f ( x ) 0 );
自己证
( 2 ) 若在 U ( x 0 , )内有 f ( x ) 0 ( 或 f ( x ) 0 ),
则必有 A 0 ( 或 A 0 ).
证 (1) 设A>0, 由 lim f ( x ) A ,取正数
x x0
则 0 , 使当 0 x x 0 , 有
A
f (x) A
,
2
A A
3 AA
即 A f (x) A
f ( x ) 0.
2 2
22
A
,
2
59
函数的极限
定理3 (1)的证明中, 不论 A 0或A 0,
只要取
A
2
, 便可得更强的结论:
f ( x ) A ( A 0 ), 则
定理 3 若 xlim
x
0
使在 U ( x 0 , )内 , 有 | f ( x ) |
证
0,
|A|
.
2
A
(1) A 0时 , 已证 f ( x ) , 也即
2
A
f (x)
2
(2) A 0时 ,自己证.
60
函数的极限
若 limU (fx( x,
) )内有
A , 且f A( x) 0( 或
A f (0x),) 0 ),
定理3((21 ))若在
定理3
0
(
或
0
x x
0
,0有
( 或f A
则在则必有
U ( x 0 , A)内
( x) 0 ).0 ( 或 f ( x ) 0 );
证 设 f ( x ) 0 , 假设上述论断不成立, 即设 A 0 ,
那末由(1)就有 U ( x 0 , ), 在该邻域内 f ( x ) 0 ,
这与 假设矛盾, 所以 A 0 .
类似可证 f ( x ) 0 的情形.
若定理3(2)中的条件改为 f ( x ) 0, 是否
必有 A 0 ?
不能! 如
61
函数的极限
★
定理4(函数极限与数列极限的关系)
lim x n x 0
n
x x0
如果极限 lim f ( x ) 存在, { x n }为函数 f ( x )
的定义域内任一收敛于x0的数列,且满足: x n x 0
( n N ), 那么相应的函数值数列{ f ( x n )} 必收敛,
n
x x0
且 lim f ( x ) lim f ( x ).
x x0
n
证 设 lim f ( x ) A , 则 0 ,
0,
当 0 | x x 0 | 时 , 有 | f ( x ) A | .
故对
0 , N , 当 n N 时 , 有| x n x 0 | .
当 n N时, 0 | xn x0 | , 有 | f ( xn ) A | .
n
A
n
即 lim f ( x )
62
函数的极限
注
以上定理也适用于其它极限过程
和lim f ( x ) 等(包括单侧极限), 其结论只
x
需根椐其极限过程 改动使不等式成立
的自变量范围.
63
函数的极限
四、小结
1.收敛数列的性质 有界性, 唯一性, 保号性,
收敛数列与其子数列间的关系.
2. 函数极限的性质
唯一性; 局部有界性; 局部保号性;
函数极限与数列极限的关系;
3. 函数的左右极限判定极限的存在性.
64
函数的极限
思考题
(1) 极限定义中 与
的关系是( B ).
( A) 先给定 后唯一确定 ;
( B) 先确定 后确定 ,但 的值不唯一;
( C) 先确定 后给定 ;
(D) 与 无关.
65
函数的极限
f ( x ) 与 lim f ( x ) 存在,则( C
(2) 如果 xlim
x x
x
0
(A) xlim
x
(B)xlim
x
0
).
f ( x ) 存在且 lim f ( x ) f ( x 0 );
x x0
0
f ( x ) 存在但不一定有lim f ( x ) f ( x 0 );
x x0
0
(C) xlim
x
(D) lim
f ( x ) 不一定存在;
0
x x0
f (x)
一定不存在.
66
函数的极限
x 1
3
(3)试证
lim
x1
x1
3
[提示] 仅需在 x 1 附近讨论问题, 如限定
0 x 2, x 1, 即限定在 0 | x 1 | 1范围内
讨论问题. 这时
x 1 ( x 1 )( x x 1 )
3
2
x x 2 ( x 2 )( x 1 )
2
x 1
3
x1
3 | x 2 || x 1 | 4| x 1 |
0 , 取 min
1, .
4
67
函数的极限
作业
习题1-4 (45页)
2. 3. 4. 5.
68
第五节
极限运算法则
一、 无穷小与无穷大
无穷小(infinitely small)
无穷大(infinitely great)
无穷小与无穷大的关系
小结 思考题 作业
第一章
函数与极限
69
无穷小与无穷大
数学分析的历史表明, 很多变化状态比
较复杂的变量,都可以转化为一种简单而重
要的变量,即所谓无穷小量.常常把整个变量
的理论称为“无穷小量分析”.
牛顿
牛顿对微积分的探讨,可以说使用了无
穷小的方法. 英国数学家、物理学家(1642—1727)
意大利数学家、力学家(1736—1813)
拉格朗日
拉格朗日曾用无穷小分析的方法,系统
地建立了动力学基础,创立了“分析力学”.
欧拉
欧拉于1748年写的二卷名著书名冠以
《无穷小分析引论》. 瑞士数学家(1707 —1783)
70
无穷小与无穷大
一、无穷小
1. 定义
极限为零的变量称为 无穷小量,简称 无穷小.
如, 当 x
0时 , 函数 sin x 是 无穷小 ;
当 x 时 , 函数
sin x
是 无穷小 ;
x
当 x 2时 , 函数 x 2 是 无穷小 ;
当 n 时 , 数列 {
( 1)
当 x 1时 ,
皆非无 穷小 .
n
}是无穷小 .
n
无穷小是指 在某个过程中 函数变化的趋势.
71
无穷小与无穷大
定义1 0 ( 不论它多么小 ), 0 (或X 0),
使得当 0 | x x 0 | (或 | x | X ),恒有
| f ( x ) |
则称 f ( x )当 x x 0 (或x )时的无穷小 , 记作
lim f ( x ) 0 (或 lim f ( x ) 0).
x x0
x
注 1) 无穷小是变量,不能与很小很小的数混淆;
“无穷小量”并不是表达量的大小,而是表
达它的变化状态的.
“无限制变小的量”
2) 零是可以作为无穷小的唯一的数.
72
无穷小与无穷大
2. 无穷小与函数极限的关系
定理1 lim f ( x ) A f ( x ) A ( x ),
x x
0
其中 ( x )是当 x x 0时的无穷小 .
证 设 lim f ( x ) A , 令 ( x ) f ( x ) A
x x0
0 , 0 , 当 0 | x x 0 | , 恒有
| f ( x ) A |
也即 | ( x ) |
则有 lim ( x ) 0 , f ( x ) A ( x ).
x x0
73
无穷小与无穷大
定理1
lim f ( x ) A f ( x ) A ( x ),
x x0
其中 ( x )是当 x x 0时的无穷小 .
设 f ( x ) A ( x ),
其中 A 是常数 , ( x )是当 x x 0时的无穷小 ,
于是
| f ( x ) A | | ( x ) |
0 , 0 , 当 0 | x x 0 | ,
恒有
| ( x ) |
即 | f ( x ) A | .
lim f ( x ) A .
x x0
类似可证明 x 的情形.
74
无穷小与无穷大
例 x 2时 , 函数 3 x 1 可表为
3 x 1 5 ( 3 x 6)
( 其中 3 x 6 是 x 2时的无穷小 , 即
lim ( 3 x 6 ) 0 )
x 2
故得 lim ( 3 x 1 ) 5 .
x 2
75
无穷小与无穷大
3. 无穷小的运算性质
定理2 在同一过程中, 有限个无穷小的代数和
仍是无穷小.
当x 时
证 设 及 是
的两个无穷小,
0 , N 1 0 , 当 | x | N 1时 , 恒有 | |
N 2 0,
当 | x | N 2时 , 恒有 | |
2
2
;
.
取 N max{ N1 , N 2 }, 当 | x | N 时 , 恒有
| || | | |
2
0 (x )
2
,
76
无穷小与无穷大
注
无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.
如, n 时 ,
1
n
是无穷小， 但 n 个
1
之和为 1
n
不是无穷小.
77
无穷小与无穷大
定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.
证 设函数 u 在 U ( x 0 , 1 )内有界 , 则 M 0 , 1 0 ,
使得当 0 | x x 0 | 1时 , 恒有 | u | M .
又设 是当 x x 0时的无穷小 ,
0 , 2 0 , 使得当 0 | x x 0 | 2时 ,
恒有 | |
. 取 min{ 1 , 2 }, 则当
M
0 | x x 0 | 时 , 恒有 | u | | u | | |
M
M
,
当 x x 0时 , u 为无穷小 .
78
无穷小与无穷大
推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小
的乘积是无穷小;
推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小;
推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.
如 , 当 x 0时 , x sin
都是无穷小.
1
x
2
, x arctan
1
x
79
无穷小与无穷大
二、无穷大
绝对值无限增大的变量称为 无穷大.
如, 当 x 0时 , 函数
1
, cot x 是无穷大;
x
2
当 x 时 , 函数 x , x 3
是无穷大.
80
无穷小与无穷大
定义2 M 0 ( 不论它多么大 ), 0 (或X 0),
使得当 0 | x x 0 | (或 | x | X ),恒有
| f ( x ) | M
则称 f ( x )当 x x 0 (或x )时的无穷大 ,
f ( x ) (或 lim f ( x ) ).
记作 xlim
x
x
0
特殊情形: 正无穷大,负无穷大．
lim
x x0
( x )
f ( x )
( 或 lim
x x0
( x )
f ( x ) )
定义
81
无穷小与无穷大
注
(1) 无穷大是变量,不能与很大的数混淆;
( 2 ) 切勿将 lim f ( x ) 认为极限存在
x x0
.
(3) 无穷大与无界函数的区别:
它们是两个不同的概念.
无穷大一定是无界函数, 但是无界函数
未必是某个过程的无穷大.
82
无穷小与无穷大
如 y x sin x 是无界函数, 但不是无穷大.
因为取 x x n 2 n
f (2n
2
) 2n
2
2
时,
当
而取 x x n 2 n 时 ,
f (2n ) 0.
所以 x 时, f (x)不是无穷大!
83
无穷小与无穷大
y
例 证明 lim
x1
证 M 0,
1
x1
要使
只要 x 1
1
M
y
解出 | x 1 |
1
x1
M,
, 取
当0 x 1 时, 有
1
M
1
x 1
O
1
x 1
1
x
1
,
M . lim
x1
1
x1
.
如果 lim f ( x ) , 则直线 x x 0 是函数 y f ( x )
x x
结
论 的图形的铅直渐近线(vertical asymptote).
0
84
无穷小与无穷大
三、无穷小与无穷大的关系
定理4 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;
恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.
证 设 lim f ( x )
x x0
1
0 , 此时对 M , 0 , 使得当
0 x x 0 时 ,有 f ( x ) M
当 x x 0时 ,
1
1
,即
1
.
f (x)
为无穷小 .
f (x)
85
无穷小与无穷大
定理4 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;
恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.
反之 , 设 lim f ( x ) 0 , 且 f ( x ) 0 .
x x0
M 0 , 此时对
0 x x0 时 ,
从而
1
1
M
, 0 , 使得当
有 f (x)
1
M
, 由于 f ( x ) 0 ,
M.
f (x)
当 x x 0时 ,
1
为无穷大 .
f (x)
意义 关于无穷大的讨论, 都可归结为关于
无穷小的讨论.
86
无穷小与无穷大
容易证明
∗ 两个正(负)无穷大之和仍为正(负)无穷大;
∗ 有界变量与无穷大的和、差仍为无穷大;
∗ 有非零极限的变量(或无穷大)与无穷大之
积仍为无穷大;
∗ 用无零值有界变量去除无穷大仍为无穷大.
例 求 lim ( x 1
x
解 lim ( x 1
x
x)
x )
87
无穷小与无穷大
四、小结
无穷小的概念;
无穷小与函数极限的关系;
无穷小的运算;
无穷大的概念;
无穷小与无穷大的关系.
88
无穷小与无穷大
思考题
当 x 0时 ,
1993年考研数学三, 3分
1
x
2
sin
1
x
是 ( D ).
A. 无穷小量
B.无穷大量
C. 有界量非无穷小量
D.无界但非无穷大量
89
二、极限运算法则
极限运算法则
求极限方法举例
小结 思考题 作业
第一章
函数与极限
90
极限运算法则
一、极限运算法则
lim f ( x ) 泛指任一种极限
定理1 设 lim f ( x ) A, lim g( x ) B, 则
(1)
lim[ f ( x ) g( x )] A B;
( 2)
lim[ f ( x ) g( x )] A B;
( 3)
lim
f ( x)
g( x )
A
, 其中 B 0 .
B
证 (1) lim f ( x ) A , lim g ( x ) B .
f无穷小与函数极限的关系
( x) A , g( x ) B .
其中 0 , 0 .
91
极限运算法则
( 2)
lim[ f ( x ) g( x )] A B;
[ A ] [B ]
f ( x) g( x)
[ A B ] [ ]
由无穷小运算法则,得 0
lim[ f ( x ) g ( x )]
A B lim f ( x ) lim g( x )
(2) 的特例是 lim[ Cf ( x )] C lim f ( x )
即常数因子可以提到极限符号外面.
lim[ f ( x )] [lim f ( x )]
n
n
n是正整数.
92
极限运算法则
定理2 设有数列 { x n }和 { y n }, 如果
lim x n A , lim y n B ,
n
n
那末 ( 1 ) lim ( x n y n ) A B ;
n
( 2 ) lim x n y n A B ;
n
( 3 ) 当 y n 0 n 1 , 2 , 且 B 0时 ,
lim
n
xn
yn
A
B
.
93
极限运算法则
lim[ f ( x ) g( x )] A B
定理3
如果 ( x ) ( x ), 而 lim ( x ) a ,
lim ( x ) b , 那末 a b .
证 令 f ( x ) ( x ) ( x ), 则 f ( x ) 0 . 由定理1(1),
有 lim f ( x ) lim ( x ) ( x )
lim ( x ) lim ( x ) a b .
由保号性定理, 有 lim f ( x ) 0 , 即 a b 0 ,
故 a b.
若在 U ( x 0 , )内有 f ( x ) 0 , 则必有 A 0 .
94
极限运算法则
注意
应用四则运算法则时,要注意条件:
参加运算的是有限个函数,它们的极限都
存在, 商的极限要求分母的极限不为0.
不要随便参加运算,
因为 不是数, 它是
表示函数的一种性态.
95
极限运算法则
二、求极限方法举例
2x 4
3
例 求 lim
x 2
解
x 5x 3
2
2
x lim 5 x lim 3
lim ( x 5 x 3 ) lim
x 2
x 2
x 2
2
x 2
( lim x ) 5 lim x lim 3
2
x 2
x 2
x 2
2
2 5 2 3 3 0,
2x 4
lim
x 2
x 5x 3
2
2 lim x lim 4
3
3
x 2
x 2
lim ( x 5 x 3 )
2
22 4
3
3
4.
x 2
96
极限运算法则
小 结
(1 ) 设 f ( x ) a 0 x a 1 x
n
n1
a n , 则有
lim f ( x ) a 0 ( lim x ) a 1 ( lim x )
n
x x0
x x0
x x0
n
a 0 x 0 a1 x 0
(2) 设 f ( x )
P(x)
Q(x)
x x0
x x0
lim Q ( x )
x x0
n1
an
a n f ( x 0 ).
, 且 Q ( x 0 ) 0 , 则有
lim P ( x )
lim f ( x )
n1
P ( x0 )
Q( x0 )
f ( x 0 ).
97
极限运算法则
例
求 lim
x1
解
4x 1
x 2x 3
2
2
lim ( x 2 x 3 ) 0 ,
商的法则不能用
x1
又 lim ( 4 x 1 ) 3 0 ,
x1
x 2x 3
2
lim
4x 1
x1
0
3
0.
由无穷小与无穷大的关系, 得
lim
x1
4x 1
x 2x 3
2
.
98
极限运算法则
x 2x 3
2
例 求 lim
x3
x 3
(
0
型)
0
解 x 3 时 , 分子,分母的极限都是零.
方 法 先约去不为零的无穷小因子 x 3,
再求极限.
x 2x 3
2
lim
x 3
x3
lim
x 3
( x 3 )( x 1 )
( x 3)
lim ( x 1 ) 4
x 3
消去零因子法
99
极限运算法则
3x 2x 1
2
例 求 lim
x 3x 5
3
x
(
型 ) 无穷小因子分出法
解 x 时 , 分子,分母的极限均为无穷大.
3
x
方 法 先用 去除分子分母, 分出无穷小,
再求极限.
3x 2x 1
3
2
lim
x
x 3x 5
3
lim x
x
1
2
x
3
x
2
2
1
x
5
x
3
0
0.
1
3
无穷小分出法 求有理函数当 x 的极限时,
先将分子、分母同除以x 的最高次幂, 以分出
无穷小, 再求极限.
100
极限运算法则
小 结
( a 0 0 , b 0 0 , m , n 为非负整数 )
a0
nm
b
m
m 1
a 0 x a1 x
am
0
nm
0
lim
n
n1
x b x
b1 x
bn
0
nm
x 2x 5
3
例 求 lim
x
3x 2x 3
5
x 2x 5
( 2 cos x 3 sin x )
3
解 lim
x
3x 2x 3
5
x 2x 5
0 , | 2 cos x 3 sin x | 6
3
lim
x
3x 2x 3
5
( 2 cos x 3 sin x ) 0
101
极限运算法则
例
1
1
1
求 lim
n 1 3
3
5
(
2
n
1
)(
2
n
1
)
解 和式的项数随着n在变化, 不能用运算法则.
方 法 先作恒等变形, 使和式的项数固定,
再求极限.
原式=
1
1 1 1
1
1
lim
1
n 2
3
3
5
2
n
1
2
n
1
1
1
1
lim 1
n 2
2
2n 1
102
极限运算法则
例 求 lim ( x 2 3 x
x 1 ) ( 型)
2
x
解 不满足每一项极限都存在的条件, 不能直接
应用四则运算法则.
原式 lim
x
lim
x
3x 1
x 3x
1
3
x
2
1
3
x
3
2
分子有理化
1
x 1
2
1
x
2
(
型)
“根式转移”法
化为 型
103
极限运算法则
2
1
( 1 ) 求 lim
2
x1
x 1 x 1
x1
x 1 2
lim
解 原式= lim
2
x 1 ( x 1 )( x 1 )
x1
x 1
1
2
(2 x 3) (3 x 2)
20
( 2 ) 求 lim
( 2 x 1)
x
解 原式=
3
2
30
50
30
104
极限运算法则
1 x,
例 设 f (x) 2
x 1,
x 0
x 0
, 求 lim f ( x ).
x 0
解 x 0 是函数的分段点, 左右极限为
lim f ( x ) lim ( 1 x ) 1 ,
x 0
x 0
lim f ( x ) lim ( x 1 ) 1 ,
2
x 0
y 1 x y
x 0
左右极限存在且相等,
故 lim f ( x ) 1 .
x 0
1
O
y x 1
2
x
105
极限运算法则
定理4 (复合函数的极限运算法则)
y f [ g ( x )]
y f (u)
是由函数
与函数
设函数
u g( x)
y f [ g ( x )]
在 U ( x 0 ) 有定义, 若
复合而成,
lim g ( x ) u 0 , lim f ( u ) A , 且存在 0 0 ,
x x0
u u0
当 x U ( x 0 , 0 )时 , 有
g ( x ) u0 ,
则
lim f [ g ( x )] lim f ( u) A.
x x0
u u0
证
,当00, x
0 , 当0 u u0 ,
证 取 min
,
x0 时 ,
0
1
0
g
(
x
)
u
. g ( x ) u0 0
有 f ( u) A 及
同时成立, 即
0 g( x ) u0 对上述 0 , 1 0 ,当0 x x0 1 ,
, 故 f [ g( x )] A f ( u) A .
有 g( x ) u0 .
取 min 0 , 1 ,
106
极限运算法则
定理4 (复合函数的极限运算法则)
设函数
u g( x)
y f [ g ( x )]
复合而成,
是由函数
y f [ g ( x )]
y f (u)
与函数
在 U ( x 0 ) 由定义, 若
lim g ( x ) u 0 , lim f ( u ) A , 且存在 0 0 ,
x x0
u u0
当 x U ( x 0 , 0 )时 , 有
g ( x ) u0 ,
则
lim f [ g ( x )] lim f ( u) A.
u u0
x x0
注
定理中, 把 lim g ( x ) u
或 xlim
0
g ( x )
x x0
而把 uulim
f ( u ) A . 可得类似的结论。
u
0
107
u
极限运算法则
lim f [ g ( x )] lim f ( u) A.
x x0
u u0
如果函数 f ( u ) 和 g ( x ) 满足该定理的条件,
那么作代换 u g( x ) 可把求 lim f [ g ( x )] 化为
x x0
求 lim f ( u).
u u0
u 0 lim g ( x )
x x0
例 设 a 0 , 求极限: lim
3
x a
解
3
xa
xa
可看作 f ( u )
3
u 与u x a
复合而成.当 x a 时 , u 0 , 并且
lim
u 0
3
u 0 , 因而 lim
x a
3
x a lim
u 0
3
u 0.
108
极限运算法则
例 求 lim
1 x 1
x 0 3
1 x 1
1
解 令u (1 x )6 ,
则 x 0 , u 1,
u 1
3
原式= lim
u 1
u 1
2
故
u u1
2
lim
u 1
u1
3
2
这种用变量代换方法求极限,
实质就是复合函数求极限法.
109
极限运算法则
推论 若 lim f ( x ) A , lim g ( x ) B 0 ,
则 lim g ( x ) f ( x ) B A .
例 lim a
sin x
x x0
a
例 lim x x 0
x x0
sin x 0
a
x0
0 .
0 .
110
极限运算法则
三、小结
1.极限的四则运算法则及其推论;
2.极限求法:
对某些不能直接利用四则运算法则的极限,
有时可采用下述方法:
(1) 利用无穷小与无穷大互为倒数的关系;
(2) 利用无穷小与有界函数的乘积仍为无穷小的
性质;
(3) 消去零因子法;
(4) 无穷小因子分出法;
111
极限运算法则
(5) 根式转移法;
(6) 直接利用无穷大的概念判断;
(7) 利用左右极限求分段函数极限.
为了对求极限的方法有全面的了解,指出
还有下述方法:
(8) 利用夹逼定理;
(9) 利用连续函数的性质;
(10) 利用等价无穷小代换;
(11) 利用未定式求极限法.
112
极限运算法则
思考题
(1) 在某个过程中，若 f ( x ) 有极限，g ( x )
无极限，那么 f ( x ) g ( x ) 是否有极限？
为什么？
解答
没有极限．
假设 f ( x ) g ( x ) 有极限，
由极限运算法则可知：
g ( x ) [ f ( x ) g ( x )] f ( x )
与已知矛盾， 故假设错
误．
必有极限，
113
极限运算法则
x
(2) 试确定常数 a , 使 lim ( 3 1 x 3 a x ) 0
解 令t
1
x
0 lim
t 0
,则
3
1
1
t
3
3
a
t
3
lim
t 0
t 1 a
3
t
lim [ t 1 a ] 0
3
t 0
即 1 a 0 a 1
114
极限运算法则
作业
习题1-5(54页)
1. 2(2). 4. 6. 7. 8.
115
第六节
极限存在准则
两个重要极限
极限存在准则
两个重要极限
小结
思考题
第一章
函数与极限
作业
116
极限存在准则
限
两个重要极
一、极限存在准则
1. 夹逼准则
准则Ⅰ 如果数列
{ x n }, { y n }及 { z n }
(1 ) y n x n z n
( 2 ) lim y n a ,
n
满足下列条件:
( n 1 , 2 , 3 ),
lim z n a ,
n
那末数列 { x n } 的极限存在, 且 lim x n a .
n
证 yn a , zn a ,
0 , N 1 0 , N 2 0 , 使得
117
极限存在准则
限
两个重要极
(1 ) y n x n z n
当 n N 1时恒有
yn a ,
当 n N 2时恒有
zn a ,
取 N max{ N 1 , N 2 }, 上两式同时成立,
即 a yn a , a zn a ,
当 n N 时 , 恒有 a y n x n z n a ,
即 x n a 成立 , lim x n a .
n
上述数列极限存在的准则可以推广到函数
的极限.
118
极限存在准则
限
两个重要极
准则Ⅰ’ 如果
o
( 1 ) 当 x U ( x 0 , r ) (或 | x | M ),
有
g ( x ) f ( x ) h( x )
( 2 ) lim g ( x ) A ,
x x0
( x )
lim h ( x ) A ,
x x0
( x )
那末 lim f ( x ) 存在, 且等于A.
x x0
( x )
准则Ⅰ和 准则Ⅰ’ 称为 夹逼准则.
119
极限存在准则
限
两个重要极
1
例 求 lim (
n 1
2
n
n
解
n n
n 1
n n
n
n 2
2
1
n n
2
1
n n
2
n
2
1
2
又 lim
1
2
1
lim
n
1
1
).
n
n 1
,
2
1,
n
lim
n
lim (
n
n
n 1
2
1
n 1
2
1
lim
n
1
1
n 2
2
1
n
1,
由夹逼定理得
2
1
n n
2
) 1.
120
极限存在准则
限
两个重要极
注
利用夹逼准则是求极限的一个重要手段,
将复杂的函数 f (x)做适当的放大和缩小化简,
找出有共同极限值又容易求极限的函数 g(x)
和h(x)即可.
121
极限存在准则
限
两个重要极
2. 单调有界准则
如果数列 { x n }满足条件
x 1 x 2 x n x n 1 , 单调增加
x 1 x 2 x n x n 1 , 单调减少
准则Ⅱ
单调数列
单调有界数列必有极限.
几何解释:
x1
x 2 x 3x n x n 1
A
M
x
对数列 { x n } :
有界
有极限
单调有界
122
极限存在准则
限
两个重要极
例 证明数列 x n
极限存在.
3
3
3
( n 重根式 )的
证 (1) 显然 x n 1 x n ,
{ xn }是单调增加的;
(2) x 1
x k 1
3 3, 假定 x k 3 ,
3 xk
3 3 3,
{ xn }是有界的;
lim x n
n
存在.
123
极限存在准则
限
两个重要极
证明数列 x n
3
3
3
( n 重根式 )的
极限存在.
(3) 设 lim
n
xn A
3 x n , x n1 3 x n ,
x n1
2
A 3 A,
lim x n 1 lim ( 3 x n ),
2
2
n
解得
n
A
1
lim x n
n
13
, A
2
1
13
1
13
2
(舍去)
.
2
124
极限存在准则
限
两个重要极
准则Ⅱ
单调有界数列必有极限.
函数极限也有类似的准则. 对于自变量的
不同变化过程 ( x x 0 , x x 0 , x , x ),
准则有不同的形式.
准则Ⅱ’ 设函数 f (x)在点 x0的某个右邻域内
单调并且有界, 则f (x)在点 x0 右极限
f ( x0 )
必定存在.
125
极限存在准则
限
两个重要极
C
二、两个重要极限
B
作为准则Ⅰ' 的应用
(1)
lim
x 0
sin x
O
x
A
D
1
x
设单位圆 O , 圆心角 AOB x , ( 0 x
作单位圆的切线
, 得 ACO .
扇形 OAB 的圆心角为
)
2
x , OAB 的高为 BD ,
于是有 sin x BD , x 弧 AB , tan x AC ,
AOB 的面积 圆扇形 AOB 的面积 AOC 的面积
126
极限存在准则
限
即
两个重要极
1
sin x
2
1
x
2
1
tan x
2
sin x x tan x , 即 cos x
上式对于
sin x
x
x 0 也成立 .
2
lim cos x 1 , 又 lim 1 1 ,
x 0
x 0
lim
x 0
1,
sin x
1
x
x
lim
x 0
夹逼定理
1
sin x
0
该极限的特点: ( 1 ) 型未定式 ;
0
( 2 ) sin
与分数线另一侧的变量
形式一致 .
127
极限存在准则
限
两个重要极
lim
x
正确 lim
x
一般有
sin x
x
sin x
x
lim
( x) 0
1
( 非
0
型未定式.)
0
0
( x) 1
sin
( x)
128
极限存在准则
限
两个重要极
例 lim
x 0
例 lim
x 0
例 lim
x 0
例
x
x 0
3 3
x
3x
x
2
2
n
sin x
cos x 1
3
sin
1
x
lim
3
3
3 x 0
x
3
1
1 cos x
lim n sin
n
lim
tan x
sin
x
2 sin
lim
x 0
x
sin
lim 2
n
2
n
2
2
2
x
1
2 lim
2 x 0
2
x
sin
2 1
x
2
2
2
n
129
极限存在准则
限
两个重要极
lim
x 0
( 1 ) 求 lim
x
1 cos x
x
1 cos x
x
2
1
2
2
解 令t x, 则 x 时 , t 0 , 故
lim
x
1 cos x
x
2
lim
1 cos t
t 0
lim
t 0
t
2
1 cos t
t
2
1
2
130
极限存在准则
限
两个重要极
(2) 设 a b c 0, x
n
n
n
a b c , 求 lim x n .
n
n
n
解 由于
a
xn
n
a 3
1
以及 lim a a , lim a 3
n
n
n
lim a 3 n a 1
n
夹逼定理
lim x n a .
n
131
极限存在准则
限
两个重要极
作为准则 Ⅱ的应用
(2)
lim (1
x
1
) e
x
x
设 x n (1
1
n
n
) , 现证明数列{xn}单调增加 且有界.
按牛顿二项公式,有
x n (1
1
)
n
n
n ( n 1) ( n n 1) 1
n 1
n( n 1) 1
1
n
2
n!
n
2!
n
1! n
11
1
2!
(1
1
n
)
1
n!
(1
1
n
)( 1
2
n
) (1
n1
).
n
132
极限存在准则
限
x n (1
两个重要极
1
)
n
n
1 1
1
(1
2!
1
)
n
1
(1
n!
1
)( 1
n
2
) (1
n1
n
)
n
类似地,
x n1 1 1
1
(1
2!
(1
n!
1
1
n1
1
n1
1
( n 1 )!
(1
)
)( 1
1
n1
2
n1
)( 1
) (1
2
n1
n1
n1
) (1
)
n
n1
).
显然 x n 1 x n , { xn }是单调增加的;
133
极限存在准则
限
两个重要极
x n (1
1
)
n
11
n
1
(1
2!
xn 1 1
n
1
2
)
2!
1
3
1
n1
1
(1
n!
1
)( 1
n
2
) (1
n
11
1
)
n
1
2
n!
n1
2
n1
3,
{ xn }是有界的;
单调有界数列必有极限
lim x n 存在 . 记为 lim (1
n
1
n
(e 2.718 281 828 459 045)
1
) e
n
n
无理数
134
极限存在准则
限
两个重要极
可证明, 当x实数趋向 或 时,
函数 (1
1
)
的极限都存在且等于 e . 因此
x
x
lim (1
x
1
) e
x
x
指数函数 y e 以及自然对数 y ln x
x
中的底就是这个常数 e .
1
令 t
1
1
x
lim (1 x ) lim (1 ) t e .
x
x 0
t
t
1
或
lim(1 x ) x e
x 0
135
极限存在准则
限
两个重要极
lim (1
x
该极限的特点:
1
1
) e
x
lim(1 x ) x e
x
x 0
(1 ) 1 型未定式 ;
(2) 括号中1后的变量(包括符号)与幂互为倒数.
1
型 , 但第二个特点不具备, 则
若极限呈
注
通常凑指数幂使(2) 成立.
这个重要极限应灵活的记为:
“以1加非零无穷小为底,指数是无穷小的
倒数,其极限为数e”.
一般有
lim (1
( x )
( x)
1
( x)
)
e
136
极限存在准则
限
两个重要极
1
1 x
lim 1
e
x
x
(非1 型未定式.)
1
1
ln( 1 )
1 x
x ,
正确解法 令y 1 , 则 ln y
x
x
1
由于当 x 时 , ln 1 0, 故
x
1
ln 1
x
lim ln y lim
0.
x
x
x
从而原式
e 1.
0
137
极限存在准则
限
两个重要极
n
例
2
1
1
2
lim
1
e
lim 1 (1 )
n
n
n
n
2n
2
2
2
1
(1 ) lim 1
例 lim
x
x
3x
3x
x
3
2
x
3
3
e
2
2 sin x
例 lim 1 sin x
x 0
x
例
2
x
1
sin
x
(1 ) lim 1 sin x
x 0
1
1
x
x
e
2
x
e
x1
3
lim
(1 ) lim
e
x
2
x
x
x
2
2
e
1
x
138
极限存在准则
限
两个重要极
n
n 1
lim
(1 )
例
2
n n 2 n 1
2
n 2n 1
2 2n
lim 1 2
n
n 2n 1
例 lim (cos
x
解 原式=
2
1
x
)
2
lim ( 1 sin
2
lim sin
x
2 2n
n 2n 1
2
e
2
2
x
x
( 2 2n )n
2
(1 )
2
1
x
x
)
2
2
e
1
2
2
1
sin
2
1
1
1 x
x
lim
2
2 x 1
x 2
x
139
极限存在准则
限
两个重要极
1. 选择题
2
x sin
( 1 ) lim
x 0
sin x
1
x 的值为 ( D ).
( A ) 1;
(B ) ;
( C ) 不存在 ;
( D ) 0.
( 2 ) lim x sin
x
1
x
( C
).
( A) ;
( B ) 不存在 ;
( C ) 1;
( D ) 0.
140
极限存在准则
限
两个重要极
1
( 3 ) lim 1
x
x
( A) e
2x
( A ).
2
(B ) ;
;
( C ) 0;
(D)
1
2
.
2x
2x
3
3
1
1
3 x 2x 或
x
x lim
2 . 求 lim (
) lim
x 2 x
2x
x
x
2
2
1
1
x
x
解 原式 lim [( 1
x
1
x2
2x
)
x2
]x2 e 2
141
极限存在准则
限
两个重要极
三、小结
1. 极限存在准则
夹逼准则; 单调有界准则 .
2. 两个重要极限
lim
( x) 0
( x ) 1
sin
( x)
1
lim [1 ( x )] ( x ) e
( x) 0
142
极限存在准则
限
两个重要极
思考题
1
1. 求极限 lim ( 3 9 ) x
x
x
x
2. 求极限
1
1
lim cos
sin
x
x
x
x
3. 2002年考研数学二, 8分
设 0 x1 3 , x n1
x n ( 3 x n ) ( n 1 , 2 , ),
3
证明数列 { x n }的极限存在 , 并求此极限 . 答案 :
2
143
极限存在准则
限
两个重要极
思考题解答
1
1 . lim ( 3 9 )
x
x
x
x
1
1
1
x
lim ( 9 ) x 1
x
3
x
x
1
3
1
9 lim 1 x
x
3
x
3
x
x
9e 9
0
x
2.
x
2
2
2 2
1
1
1 sin
sin lim
原式= lim
cos
x
x
x
x
x
2
sin
2 x
x 1
原极限 e
lim sin lim
x
x
2
x 2
x
144
极限存在准则
限
两个重要极
3. 2002年考研数学二, 8分
设 0 x1 3 , x n1
x n ( 3 x n ) ( n 1 , 2 , ),
证明数列 { x n }的极限存在 , 并求此极限 .
解 3 x 1 均为正数,
故 0 x2
3
x1 ( 3 x1 )
1
2
( x1 3 x1 )
3
2
设 0 x k ( k 1 ), 则
0 x k 1
2
1
3
xk (3 xk ) ( xk 3 xk ) ,
2
2
由数学归纳法知, 对任意正整数 n 1 均有
0 xn
3
2
. 因而数列{ x n } 有界.
145
极限存在准则
限
两个重要极
又当 n 1时 , x n 1 x n
xn ( 3 xn
xn )
xn (3 xn ) xn
xn (3 2 xn )
3 xn
xn
0, 0 x n
3
2
因而有 x n 1 x n ( n 1 ), 即数列{ x n }单调增加.
x n存在.
由单调有界数列必有极限知 lim
n
设 lim x n a , 在 x n 1
xn (3 xn )
n
两边取极限,得 a
解之得 a
3
2
a (3 a ),
, a 0 (舍去).
故 lim x n
n
3
2
.
146
极限存在准则
限
两个重要极
作业
习题1-6 (65页)
1(1) (3) (5) (6) . 2(2) (4). 3. 4. 5.
147
第七节
无穷小的比较
无穷小的比较
利用等价无穷小替换求极限
小结 思考题 作业
第一章
函数与极限
148
无穷小的比较
一、无穷小的比较
如,当 x
0时 , x , x , sin x , x sin
lim
观
察
各
极
限
2
x 0
lim
x 0
x
2
0,
3x
sin x
1,
x
2
x sin
x
2
1
x
是无穷小.
x 0比 3 x 0 要快得多 ;
2
sin x 0 与 x 0 快慢相仿 ;
1
x
lim
x 0
2
lim sin
x 0
1
x
不存在. 不可比.
极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不同.
149
无穷小的比较
定义
设 ,
( 1 ) 如果 lim
是同一过程中的两个无穷小,
且 0.
0 ,就说 是比 高阶的无穷小;
记作 o( );
( 2 ) 如果 lim
( 3 ) 如果 lim
,
就说 是比
低阶的无穷小;
C ( C 0 ), 就说 与 是 同阶无穷小;
特别,当C 1时, 则称 与 是 等价无穷小,
记作 ~ .
infinitesimal equivalenec
150
无穷小的比较
( 4 ) 如果 lim
k
C ( C 0 , k 0 ),
就说 是关于 的 k 阶无穷小.
1
如n 时,
x 时,
n
1
2
是
是
x 0
100
的
1
n
2
1
o ;
n
同阶无穷小.
x
1 cos x
x
的 高阶无穷小,
n
x
因为 lim
1
22
1
,
2
所以当 x 0时 , 1 cos x 是 x 的
二阶无穷小.
151
无穷小的比较
常用等价无穷小
当x 0时
sin x ~ x ,
arcsin x ~ x ,
tan x ~ x ,
arctan x ~ x ,
ln( 1 x ) ~ x ,
e 1 ~ x,
1 x 1 ~
1
x,
2
1 cos x ~
1
n
1 x 1 ~
1
n
x
x,
2
x .
2
152
无穷小的比较
lim
1 cos x
x 0
x
2
例 证明 : 当 x 0时 , 4 x tan 3 x 为 x 的四阶无穷小 .
解
lim
4 x tan
x 0
3
x
x4
4 lim (
tan x
x 0
故当 x 0时 , 4 x tan
3
) 4,
x
3
x 为 x 的四阶无穷小
.
例 当 x 0时 , 求 tan x sin x 关于 x 的阶数 .
解
lim
x 0
tan x sin x
x
x
?
3
tan x
C
lim(C
( 0)
x 0
1 cos x
x
tan x sin x 为 x 的三阶无穷小
x
2
)
1
2
,
.
153
1
2
无穷小的比较
二、利用等价无穷小替换求极限
定理1 ~
o( ).
证 设 ~ , 则
lim
lim
1 lim
1 0,
因此 o ( ),
即 o ( ).
设 o ( ), 则
lim
lim
o ( )
因此 ~ .
o ( )
lim 1
1,
154
无穷小的比较
~ o( )
此定理说明:两个等价无穷小的差,比它们中
的任何一个都是高阶无穷小; 或者说,一个无穷小
与它的高阶无穷小
o ( ) 之和 , 仍与原无穷小
等价 , o( ) ~ .
例如 , 当 x 0时 ,
x 2 x 2 x 3 ~ x ,
xx~
x,
sin x x ~ x.
2
155
无穷小的比较
例 当x 0时,
sin x ~ x , 所以 当 x 0时有
sin x x o ( x ),
tan x ~ x , 所以 当 x 0时有
tan x x o ( x ),
arcsin x ~ x ,
所以 当 x 0时有
arcsin x x o ( x ),
1 cos x ~
1
2
x , 所以 当 x 0时有
2
1 cos x
1
2
x o ( x ).
2
2
156
无穷小的比较
定理2 (等价无穷小替换定理)
设 ~ , ~ 且 lim
则 lim
证 lim
lim
lim(
A (或 ),
A (或 ).
)
lim
lim
lim
lim
A ( 或 ).
157
无穷小的比较
等价无穷小替换定理说明,两个无穷小之
比的极限,可由它们的等价无穷小之比的极限
0
给
型未定式的极限运算带来方便.
代替.
0
例 求 lim
x 0
tan 2 x
.
sin 5 x
解 当x 0时, tan 2 x ~ 2 x , sin 5 x ~ 5 x ,
原式 lim
x 0
2x
5x
2
5
.
158
无穷小的比较
2
例 求 lim
x 0
tan 2 x
1 cos x
.
解 当 x 0时 , 1 cos x ~
1
2
原式 lim
x 0
(2 x )
1
x
2
x , tan 2 x ~ 2 x .
2
8.
2
2
注
加、减项的无穷小不要用等价无
穷小代换.
159
无穷小的比较
例 求 lim
x 0
tan x sin x
3
sin 2 x
解 当x 0时, tan x ~ x , sin x ~ x ,
错
原式
lim
x 0
x x
(2 x )
3
0.
解 当x 0时, sin 2 x ~ 2 x ,
1
tan x sin x tan x ( 1 cos x ) ~ x 3 ,
2
1 3
x
1
2
原式 lim
.
3
x 0 (2 x )
16
160
~ o( )
无穷小的比较
例 求 lim
tan 5 x cos x 1
x 0
tan x ~ x , sin x ~ x ,
1 cos x ~
sin 3 x
1 cos x
x o ( x ).
2
2
2
1
分子 , 分母同除以 x
x o( x )
2
2
2
原式 lim
3 x o( x )
x 0
5
x 0
2
sin 3 x 3 x o ( x ),
5 x o( x )
lim
x
2
解 tan 5 x 5 x o ( x ),
1
1
o( x )
x
3
1
2
x
2
o( x )
x
o( x )
x
5
.
3
161
无穷小的比较
ln( 1 x ) ~ x , sin x ~ x , tan x ~ x ,
1 . 求 lim
ln
1 x 2 sin x
x 0
解 lim
1 x 2 sin x
ln
x 0
tan x
lim
ln
x 0
1
2
tan x
lim
x 0
1 x
lim
tan x
ln( 1 x )
tan x
x 0
2 sin x
tan x
2 lim
x 0
sin x
tan x
5
2
162
无穷小的比较
x 0,
1 x 1 ~
1
x
2
1 x x 1
2
2 . 求 lim
x sin 2 x
3
x 0
.
解 当 x 0时 ,
( 1 x x 1) ~
2
1
2
(x x )~
2
1
x,
2
以及 ( x sin 2 x ) ~ sin 2 x ~ 2 x . 故
3
1
1 x x 1
2
lim
x 0
x sin 2 x
3
x
1
2
lim
.
x 0 2 x
4
163
无穷小的比较
三、小结
1. 无穷小的比较
反映了同一过程中, 两无穷小趋于零的速度
快慢, 但并不是所有的无穷小都可进行比较.
高(低)阶无穷小; 同阶(等价)无穷小; 无穷小的阶.
2. 等价无穷小的替换
求极限的又一种方法, 注意适用条件.
164
无穷小的比较
思考题
任何两个无穷小都可以比较阶的高低吗？
解答 不能．
例如 当 x 0时 ,
( x ) x sin
但
lim
x 0
(x)
(x)
1
x
, (x) x
lim sin
x 0
1
x
都是无穷小,
不存在.
故 当 x 0时 , ( x ) 和 ( x ) 不能比较.
165
无穷小的比较
作业
习题1-7 (70页)
1.
2. 3. 4. (2) (3) (4)
5.
166
第八节 函数的连续性与
连续函数运算
一、 函数的连续性
函数的连续(continuity)
函数的间断点
(discontinuous point)
小结 思考题 作业
第一章
函数与极限
167
函数的连续性与间断点
在自然界中,许多事物的变化是连续的,
如气温变化很小时,单摆摆长变化也很小.时
间变化很小时,生物生长的也很少.这种现象
在函数关系上的反映就是函数的连续性.
在高等数学中,主要的研究对象就是连
续函数. 从直观上不妨这样说, 连续函数的
特征就是它的图形是连续的,也就是说,可以
一笔画成.
168
函数的连续性与间断点
一、函数的连续性
1. 函数的增量
自变量 x 0 x , 称差 x x x0 为自变量在
x 0 的增量;函数随着从 f ( x 0 ) f ( x ), 称差
y f ( x ) f ( x 0 ) f ( x 0 x ) f ( x 0 ) 为函数的
增量.
如图:
y
x x0 x
y
y f ( x)
y
y f ( x)
f ( x0 )y
x
x
f ( x0 )
O
x0
x0 x
x
O
x0
x0 x
x
169
函数的连续性与间断点
2. 连续的定义
定义1 设函数 f (x)在 U ( x 0 )内有定义, 若
充分必要条件
lim y 0
x 0
则称函数f(x)在x0处 连续,并称x0为函数f(x)的
把极限与连续性联系起来了,且提
连续点.
供了连续函数求极限的简便方法——
只需求出该点函数特定值.
设 x x x , y f ( x ) f ( x ),
0
0
x 采用了无穷小定义法
0 即为 x x0 , y 0 即为 f ( x ) f ( x ).
0
自变量在x0点的增量为无穷小时,
f ( x ) f ( x 0 ), 则称函数f(x)在x 处
定义2
若xlim
函数的增量也为无穷小.形象地表示了
0
x
连续性的特征.
连续.
0
170
函数的连续性与间断点
定义3 ( ) 0, 0,
使当 x x0 时, 恒有 f ( x ) f ( x0 ) .
把极限定义严密化,便于分析论证.
连续性的三种定义形式不同, 但本质相同.
这三种定义中都含有 三个要素:
(1) f (x)在 U ( x 0 )内有定义;
f ( x ) 存在;
(2) xlim
x
0
(3) lim f ( x ) f ( x 0 )
x x0
171
函数的连续性与间断点
注
由上述定义可知, f(x)在x0点的连续性
是描述 f(x)在x0点邻域的性态的. 即它是对
某一邻域而言. 因此在孤立点处无连续可言.
一般讲,证明的命题用函数连续的定
义1方便; 判断函数在某点是否连续, 尤其
是判断分段函数在分界点处是否连续用
定义2方便.
172
函数的连续性与间断点
lim y 0
x 0
例 证明 函数 y sin x 在区间 ( , )内连续 .
证 任取 x ( , ),
y sin( x x ) sin x
2 sin
x
cos( x
2
x
x 0
x
) 2
2
0
即
x
2
1
sin
x
2
lim y 0 cos( x
x 0
x
2
x
2
) 1
即 函数 y sin x 对任意 x ( , ) 都是连续的.
类似可证, 函数 y cos x 在区间 ( , ) 内
是连续的.
173
函数的连续性与间断点
定义2
1
x sin ,
例 试证函数 f ( x )
x
0,
lim f ( x ) f ( x 0 )
x x0
x 0,
在x 0
x 0,
处连续.
证
lim x sin
x 0
1
x
又 f (0) 0,
0,
lim f ( x ) f ( 0 ),
x 0
函数 f ( x ) 在 x 0 处连续 .
174
函数的连续性与间断点
3. 左、右连续
若 lim
x x0 0
f ( x ) f ( x 0 ) f ( x 0 0 ) f ( x 0 ) ,
则称 f ( x )在点 x 0 处 左连续(continuity from
left);
若 lim
x x0 0
the
f ( x ) f ( x 0 ) f ( x 0 0 ) f ( x 0 ) ,
则称 f ( x )在点 x 0 处 右连续(continuity from
right).y
y
右连续
左连续
O
the
x0
x
O
x0
x
175
函数的连续性与间断点
定理1 函数 f ( x )在 x0 处连续
函数 f ( x )在 x0处既左连续又右连续.
f ( x0 0)
f ( x0 0) f ( x0 )
此定理常用于判定分段函数在分段点
处的连续性.
176
函数的连续性与间断点
例 讨论函数
x2,
f (x)
x 1,
x 1,
x 1,
y
在 x 1处的连续性 .
解 lim f ( x )
x1
lim x 1 f (1),
2
x1
O
1
lim f ( x ) lim ( x 1 ) 2 f (1),
x1
x1
x
所以 f ( x ) 在 x 1 左连续, 在 x 1右不连续.
故函数 f ( x ) 在点 x 1处不连续 .
177
函数的连续性与间断点
4. 连续函数(continous function)与连续区间
在区间上每一点都连续的函数, 称该区间
上的 连续函数,或称函数在该区间上连续.
continuous
这时也称该区间为 连续区间.
f ( x ) 在开区间 ( a , b ) 内连续 f ( x ) C ( a , b )
左端点 x a 右连续 ( lim f ( x ) f (a ))
x a
x b
右端点 x b 左连续 ( lim f ( x ) f (b ))
f ( x ) C [a , b ]
178
函数的连续性与间断点
关于连续函数, 有一个对某些问题的推理
很有用的定理.
定理2 设 f ( x )在 x 0 连续 , 且 f ( x 0 ) 0 , 则存在 x 0
的一个邻域, 使得在此邻域内
y
f (x)
f ( x0 )
2
0.
f ( x0 )
f ( x0 )
2
连续函数的图形
O
x0
x
是一条无缝隙的连绵而不断的曲线.
179
函数的连续性与间断点
例如, 有理整函数(多项式)
P ( x ) a0 a1 x an x
n
x0 ( , ) , lim P ( x ) P ( x0 ) 第五节中已证
x x0
因此有理整函数在 ( , ) 内是连续的.
有理分式函数 R( x )
P( x)
Q( x )
只要 Q( x0 ) 0 , 都有 lim R( x ) R( x0 )
x x0
因此有理分式函数在其定义域内的每一点
都是连续的.
180
函数的连续性与间断点
二、函数的间断点及其分类
定义4 若f ( x )在x0处 出现如下三种情形之一:
( 1 ) f ( x ) 在点 x 0 处 无定义;
( 2 ) lim f ( x ) 不存在;
x x0
( 3 ) lim f ( x ) f ( x 0 ).
x x0
则称 x0为f ( x )的 间断点.
181
函数的连续性与间断点
间断点分为两类:
第一类间断点(discontinuity point of the first kind):
f ( x0 0 ) 及 f ( x0 0 ) 均存在,
若
称 x0为可去间断点.
若
称 x0为跳跃间断点.
第二类间断点(discontinuity point of the second
kind):
f ( x0 0 ) 及 f ( x0 0 ) 中至少一个不存在.
若其中有一个为 , 称 x0为无穷间断点.
若其中有一个为振荡,称 x0为振荡间断点.
182
函数的连续性与间断点
初等函数无定义的孤立点是间断点.
分段函数的分段点可能是间断点, 也
可能是连续点, 需要判定.
183
函数的连续性与间断点
例 函数 f ( x )
1
f ( x )在点 x 0 处无定义 ,
则称 x0为f ( x )的间断点 .
,
x
由于函数 f ( x ) 在 x 0 处 无定义,
y
f ( x)
x
且 lim f ( x ) , lim f ( x )
x 0
x 0
1
皆不存在.
O
x
故 x 0 为f(x)的第二类 间断点.
且是无穷型间断点.
第二类间断点: f ( x 0 0 ), f ( x 0 0 ) 至少有
一个不存在. 若 f ( x 0 0 ), f ( x 0 0 )之中有
一个为 , 则 x x 0 称为无穷型间断点
.
184
函数的连续性与间断点
lim f ( x )不存在 ,
x x0
1
sin ,
例 函数 f ( x )
x
0 ,
f ( x )在 x 0 处
x 0,
则称 x0为f ( x )的间断点 .
x 0,
有定义, 但当 x 0时 , sin
1 , 1 之间来回无穷次振荡, lim sin
x 0
故 x 0 为f (x)的第二类 间断点.
1
x
1
在
x
不存在,
y
y sin
且是无穷次振荡型间断点.
1
x
O
x
185
函数的连续性与间断点
lim f ( x )不存在 ,
x x0
x 0,
x,
例 函数 f ( x )
1 x , x 0 ,
f ( x ) 在 x 0 处 有定义,
lim ( x ) 0
x 0
则称 x0为f ( x )的间断点 .
lim ( 1 x ) 1
y
1
x 0
f ( 0 0 ) f ( 0 0 ),
O
x
故 x 0 为f (x)的第一类 间断点. 且是跳跃间断点.
f ( x0 0 ) 及 f ( x0 0 ) 均存在, 则点x0为
f ( x ) 的第一类间断点. 但 f ( x 0 0 ) f ( x 0 0 ),
则点x0为函数 f(x) 的 跳跃型间断点(Jump
discontinuity).
186
函数的连续性与间断点
lim f ( x ) f ( x 0 ),
如果 f ( x )在点x xx0 处的极限存在 ,
例 讨论函数
为ff((xx)的间断点
但 lim f ( x ) 则称
f ( x 0x)0或
)在点 x 0 .
0
2 x , x 0 x0 x 1 ,
则称点 x 0为函数 f ( x )的
处无定义,
f ( x ) 1,
在 x 1处的连续性 .
x 1
可去间断点.
f ( 1 ) 1 1 x ,
x 1,
y 1 x
y
解 f (1 0 ) 2 , f (1 0 ) 2 ,
f ((11),) 2
lim f ( x ) 2
x1
2
y 2
x
1
x 1 为函数的 第一类 间断点.
O
1
且是可去间断点(removable discontinuity).
2 x ,
则 f (x)
1 x ,
0 x 1 , 在 x 1处
x 1,
x
连续.
187
函数的连续性与间断点
注
对可去间断点x0, 设 lim f ( x ) A,
x x0
如果 补充 或改变 x0的函数值, 使之等
于A, 则可使x0变为连续点.
(这就是为什么将这种间断点称为
可去间断点的理由.)
188
函数的连续性与间断点
x 1
2
如 函数 y
x1
在点 x 1处没有定义 ,
所以 , 函数在点 x 1不连续 .
x 1
2
但 lim
x1
x1
y
lim x 1 2
x1
2
如补充定义:令 f (1) 2,
1
则 所给函数在 x 1处连续 .
O
所以 x 1称为函数的可去间断点
1
x
.
189
函数的连续性与间断点
总结两类间断点:
第一类间断点: 跳跃型, 可去型
第二类间断点: 无穷型, 无穷次振荡型
极限与连续之间的关系:
f(x)在x0点连续
f(x)在x0点存在极限
190
函数的连续性与间断点
1
求函数 f ( x )
的间断点 ,并指出其类型.
1x
0
1 e 1 x10
解 当 x 0 , x 1时 ,函数无定义, 是函数的间断点.
x 0, 由于 lim f ( x ) lim
x 0
x 0
1
x
1 e
,
1 x
所以 x 0 是函数的第二类间断点, 且是无穷型.
x 1, 由于 xlim
1 f ( x ) lim
xlim
1
x1
1
f ( x ) lim
x1
x
1 e
1
1 x
x
1 e
1 x
0
1
所以 x 1是函数的第一类间断点, 且是跳跃型.
191
函数的连续性与间断点
sin x
x0
x
a
x 0 问 a , b 为何值时 ,
设f (x)
1
b x sin
x 0
x
( 1 ) lim f ( x ) 存在 ; ( 2 ) f ( x ) 在 x 0 处连续 .
x 0
解 因为 lim
x 0
f ( x ) 1 , lim f ( x ) b ,
所以
x 0
( 1 ) 要 lim f ( x ) 存在 , 必需且只需
x 0
lim f ( x ) lim f ( x ), 即 b 1 ( a 可任取 ).
x 0
x 0
( 2 ) 要 f ( x ) 在 x 0 处连续 , 必需且只需
lim f ( x ) lim f ( x ) f (0), 即 a b 1 .
x 0
x 0
192
函数的连续性与间断点
三、小结
1. 函数在一点连续的三个定义、必须满足的
三个条件;
2. 区间上的连续函数;
3. 函数间断点的分类:
第一类间断点: 跳跃型, 可去型
间断点
第二类间断点: 无穷型, 无穷次振荡型
(见下图)
193
函数的连续性与间断点
第
一
类
间
断
点
第
二
类
间
断
点
y
可去型
O
x0
跳跃型
y
O
x
x0
x
y
y
无穷型
O
O
x0
x
无穷次振荡型
x
194
函数的连续性与间断点
思考题 (是非题)
若 f ( x )在 x 0点连续 , | f ( x ) | 是否在 x 0点也连续 ?
是
f ( x ) f ( x0 ) f ( x ) f ( x0 )
若 | f ( x ) | 在 x 0点连续 , f ( x )在 x 0点是否也连续 ?
1 , x 0;
| f ( x ) | 1 处处连续.
非 如 f (x)
1, x 0 ,
但 f ( x ) 在 x 0 处 不连续.
195
二、连续函数的运算与初等函数
的连续性
四则运算的连续性
反函数与复合函数的连续性
初等函数的连续性
小结 思考题 作业
第一章
函数与极限
196
连续函数的运算与初等函数的连续性
一、四则运算的连续性
定理1 若函数 f ( x ), g ( x )在点 x 0 处连续 , 则
( 1 ) 和 ( 差 )函数 f ( x ) g ( x ), 也在点 x0连续;
( 2 ) 乘积函数
f ( x ) g ( x ), 在点 x0连续;
( 3 ) 如果 g ( x 0 ) 0 , 则商函数
f (x)
g( x)
在点 x0连续.
如,由于 sin x , cos x 在 ( , )内连续 ,
故 tan x , cot x 在其定义域内连续.
197
连续函数的运算与初等函数的连续性
二、反函数与复合函数的连续性
定理2 单调的连续函数 必有单调的连续反函数.
如,
y sin x 在 [
,
2
2
]上 单调增加且连续,
故 y arcsin x 在[ 1 , 1 ]上 也是单调增加且连续.
同理, y arccos x 在 [ 1 , 1 ]上单调减少且连续.
y arctan x 在( , )内单调增加且连续.
y arc cot x 在 ( , )内单调减少且连续.
结论: 反三角函数在其定义域内皆连续
198
连续函数的运算与初等函数的连续性
此定理对计算某些极限是很方便的.
y f [ g ( x )]
y
定理3 设函数
是由函数
u g( x)
而函数
o
f (u)
与函数
x x0
复合而成, U ( x 0 ) D f g . 若 lim g ( x ) u 0 ,
y f ( u ) 在 u u0
连续, 则
lim f [ g ( x )] lim f ( u)
x x0
f ( u0 ).
u u0
证 f ( u ) 在点 u u 0 连续 , 0, 0,
使当 u u0 时,
恒有 f ( u) f ( u0 ) 成立.
又 lim g ( x ) u 0 , 对于 0, 0,
x x0
使当 0 x x0 时,
恒有 g ( x ) u0 u u 0 成立.
199
连续函数的运算与初等函数的连续性
0, 0,
使当 u u0 时,
恒有 f ( u) f ( u0 ) 成立.
对于 0, 0, 使当 0 x x0 时,
恒有 g ( x ) u0 u u 0 成立.
将上两步合起来:
0 , 0 , 使当 0 x x 0 时 ,
f ( u ) f ( u 0 ) f [ g ( x )] f ( u 0 ) 成立 .
lim f [ g ( x )] f ( u 0 ) f [ lim g ( x ) ].
x x
0
x x0
200
连续函数的运算与初等函数的连续性
定理3 若 lim g ( x ) u 0 , 函数 f ( u ) 在点 u 0 连续 ,
lim 与f 可交换次序;
x x
意义 1. 在定理的条件下,
则有 lim f [ g ( x )] f ( u 0 ) f [ lim g ( x ) ].
x 2.
x 变量代换 u g ( x ) 的理论依据.
x x
0
0
0
x
例
1
求 lim sin 1
x
x
解
1
由 lim g ( x ) lim 1 e , sin u 在u e连续,
x
x
x
g( x )
x
x
1
1
lim
所以 sin
lim lim
sin 1 sin lim 1
x
xx
x
x
x
xx
sin e .
201
连续函数的运算与初等函数的连续性
例
求 lim
ln( 1 x )
x 0
解 这里
x
ln( 1 x )
.
1
ln( 1 x ) x 在 x 0
x
不连续,
1
但 lim ( 1 x ) x e , ln u 在 u
x 0
lim
ln( 1 x )
x 0
x
e 连续 ,
1
所以
1
lim ln( 1 x ) x ln[ lim (1 x ) x ]
x 0
x 0
ln e 1 .
定理3 若 lim g ( x ) u 0 , 函数 f ( u ) 在点 u 0 连续 ,
x x
则有 lim f [ g ( x )] f ( u 0 ) f [ lim g ( x ) ].
x x
0
0
x x0
202
连续函数的运算与初等函数的连续性
x 0, e 1 ~ x
x
例 求 lim
e
x 0
1
x
.
x
解 令 e x 1 t , 则 x ln( 1 t ),
当 x 0时 , t 0 .
e 1
x
lim
x 0
x
lim
t 0
t
ln( 1 t )
a 1
lim
t 0
1
1
1.
ln( 1 t ) t
x
同理可得
lim
x 0
ln a
x
203
连续函数的运算与初等函数的连续性
定理4
设函数
与函数 u
g( x)
y f [ g ( x )]
复合而成, U ( x 0 ) D f g . 若函数
u g( x )在x x0
y f ( u)在u u0
在点 x x0
例
y sin
1
x
y sin u
u
1
是由函数
y f (u)
连续,
且 g ( x 0 ) u0 ,
连续, 则复合而成
而函数
y f [ g ( x )]
也连续.
是由连续函数
在 ( , )内连续
复合而成
在 ( , 0 ) ( 0 , )内连续
x
1
因此 y sin 在 ( , 0 ) ( 0 , )内连续 .
x
204
连续函数的运算与初等函数的连续性
三、初等函数的连续性
(1) 三角函数及反三角函数 在它们的定义域内
是连续的;
x
(2) 指数函数 y a ( a 0 , a 1 ) 在 ( , )内
单调且连续;
(3) 对数函数 y log a x ( a 0 , a 1 ) 在 ( 0 , )内
单调且连续;
log a x
u
ya ,
(4) 幂函数 y x a
在 ( 0 , )内 连续; 讨论 不同值.
u log
a
x
(均在其定义域内连续
)
基本初等函数在定义域内是连续的.
205
连续函数的运算与初等函数的连续性
基本初等函数在定义区间内连续 一切初等函数
在定义区间内
连续函数经四则运算仍连续
连续
连续函数的复合函数连续
注 1. 初等函数仅在其定义区间内连续,
在其定义域内不一定连续;
如, y cos x 1 , D : x 0 , 2 , 4 ,
这些孤立点的邻域内没有定义.
定义区间是指包含在定义域内的区间.
206
连续函数的运算与初等函数的连续性
注 2. 初等函数求极限的方法 代入法.
lim f ( x ) f ( x0 ) ( x0 定义区间 )
x x0
例 求 lim sin
x1
e
x
1.
1
e 1 sin
解 原式 sin
1 x 1
e 1.
2
例 求 lim
x 0
.
x
( 1 x 1 )( 1 x 1 )
2
解 原式 lim
x ( 1 x 1)
2
x 0
lim
x 0
2
x
1 x 1
2
0
0.
2
207
连续函数的运算与初等函数的连续性
2002年考研数学三, 填空题, 3分
n 2 na 1
设常数 a , 则 lim ln
n
2
n
(
1
2
a
)
1
n
n
n 2 na 1
n 2na 1
lim ln
lnlim
n
n
n
(
1
2
a
)
n
(
1
2
a
)
解
1
ln lim 1
n
n
(
1
2
a
)
1
ln lim 1
n
n
(
1
2
a
)
1
1 2a
ln e
1
1 2a
n
n
n (1 2 a )
1
(1 2a )
.
208
连续函数的运算与初等函数的连续性
四、小结
连续函数的和差积商的连续性;
反函数的连续性;
复合函数的连续性: 两个定理; 两点意义.
初等函数的连续性:
定义区间与定义域的区别;
求极限的又一种方法.
209
连续函数的运算与初等函数的连续性
思考题1
如果函数 f (x)、g(x)至少有一个在点x0不
连续, 那么, f (x) + g(x)在该点是否连续?
思考题2 (是非题)
设 y f ( u ), u g ( x ), 且 lim g ( x ) 存在 ,
x x0
y f ( u ) 在 u 0 g ( x 0 ) 处有定义,则
lim f [ g ( x )] f [ lim g ( x )]
x x0
x x0
210
连续函数的运算与初等函数的连续性
思考题1
如果函数 f (x)、g(x)至少有一个在点x0不
连续, 那么, f (x) + g(x)在该点是否连续?
解答 (1) 若两个函数 中只有一个在点x0不连续,
则f (x) + g(x)在点x0必不连续.
用反证法证之:
不妨设在点x0, f (x)连续, g(x)不连续; 并假设
f (x) + g(x)在点x0连续, 则由连续函数的运算性
质有: g ( x ) [ f ( x ) g ( x )] f ( x ) 在点x0连续,
与已知矛盾. 故 f (x) + g(x)在点x0不连续.
211
连续函数的运算与初等函数的连续性
思考题1 如果函数 f (x)、g(x)至少有一个在点x0不连续,
那么, f (x) + g(x)在该点是否连续?
解答
(2) 若f (x)、g(x)在点x0均不连续,则
在f (x) + g(x)在点x0可能连续, 也可能不连续.
如:
1,
f (x)
0,
x 0,
x 0,
0,
g( x)
1,
x 0,
x 0,
在 x = 0处均不连续, 但 f ( x ) g ( x ) 1 在 x = 0处
在 x = 0处连续.
1,
又f (x)
0,
x 0,
2,
g( x)
1,
x 0,
x 0,
3, x 0,
在 x = 0处均不连续, f ( x ) g ( x )
1, x 0 ,
x 0,
在 x = 0处亦不连续.
212
连续函数的运算与初等函数的连续性
思考题2 (是非题)
设 y f ( u ), u g ( x ), 且 lim g ( x ) 存在 ,
x x0
y f ( u ) 在 u 0 g ( x 0 ) 处有定义,则
lim f [ g ( x )] f [ lim g ( x )]
x x0
x x0
u 0,
1,
u g ( x ) sin x ,
非 设 y f (u)
1, u 0 ,
在 x 0 0 处 , lim g ( x ) lim sin x 0 , 故
x 0
x 0
f [ lim g ( x )] f ( 0 ) 1 . 但
x 0
1,
f [ g ( x )]
1,
2 n x ( 2 n 1 ) ,
( 2 n 1 ) x ( 2 n 2 ) .
n 0 , 1, 2 , .
213
连续函数的运算与初等函数的连续性
思考题2 (是非题)
设 y f ( u ), u g ( x ), 且 lim g ( x ) 存在 ,
x x0
y f ( u ) 在 u 0 g ( x 0 ) 处有定义,则
lim f [ g ( x )] f [ lim g ( x )]
x x0
x x0
且
1 )u , g ( x )
1 , 若 y 2 nf ( u), ux g( 2( n
x
),
正确的说法是:
f [ g ( x )]
1 ) u x g( (x2 n) 处亦连续,
2 ) .
( un) 在点
y1 , f( 2
在点x0连续,
0
0
则 lim f [ g ( x )] f [ lim g ( xn)]. 0 , 1 , 2 , .
lim x
f [x 0g ( x )] 1 , lim x f x[0g ( x )] 1 ,
x 0
x 0
所以, lim f [ g ( x )] 不存在.
x 0
f [ lim g ( x )] f ( 0 ) 1
x 0
故 lim f [ g ( x )] f [ lim g ( x )].
x 0
x 0
214
连续函数的运算与初等函数的连续性
作业
习题1-8 (80页)
1. 2. 3.(1) (3) (5) (7) 4.(2) (4)
(6) 5. 7.
215
第九节
闭区间上连续函数
的性质
最大值(maximum
)和
在闭区间上的连续函数有一些重要的性质,
最小值(minimum)定理
这些性质主要应用于分析和论证某些问题时作
为理论的根据.
这些性质的几何意义很明显.
介值定理(
intermediate
value theorem )
小结
思考题
第一章
函数与极限
作业
216
闭区间上连续函数的性质
一、最大值和最小值定理
定义 设f (x)在区间I上有定义, 若存在点 I ,
使得当 x I 时 , 恒有
f ( ) f ( x )
( f ( x ) f ( )),
则称 f ( )为函数f(x)在区间I上的 最小(大) 值,
记为
f ( ) min f ( x )
x I
( f ( ) max f ( x )).
xI
例 y 1 sin x , 在 [ 0 , 2 ]上 , y max 2 , y min 0;
y sgn x , 在 ( , )上 , y max 1 , y min 1;
在 ( 0 , ) 上 , y max y min 1 .
217
闭区间上连续函数的性质
定理1(最大值和最小值定理)在闭区间上连续的
函数一定有最大值和最小值.
若 f ( x ) C [ a , b ],
则 1 , 2 [ a , b ],
y
y f ( x)
使得 x [ a , b ],
有 f ( 1 ) f ( x ),
f ( 2 ) f ( x ).
O
a
2
1 b x
注 (1) 定理1中的条件“闭区间”和“连续性”
是不可少的.
218
闭区间上连续函数的性质
如: 函数 y x 在开区间(0,1)内连续,
2
y x 在(0,1)内没有最大值或最小值.
2
又如: 函数
x 1,
y f ( x ) 1,
x 3,
y
y f ( x)
0 x 1,
x 1,
1 x 2
1
O
1
2
x
在闭区间[0,2]上有间断点 x 1, 函数f (x)在[0,2]上
既没有最大值,也没有最小值.
219
闭区间上连续函数的性质
(2) “闭区间”和“连续 仅是定理的充分条件,
性” 而不是必要条件.
如 函数 y sin x 在开区间 (0, 2 ) 内连续,
但它在 x
2
处取得最大值1; 在 x
处
2
取得最小值 1 .
x,
又如 函数 f ( x )
1,
3
x [ 1 , 1 ], x 0
x 0
在闭区间 [ 1 ,1 ]上有间断点 x 0 , 但它在 x 1处
取得最小值 1; 在 x 0 , 1 处取得最大值 1.
220
闭区间上连续函数的性质
定理2(有界性定理)
设 f ( x ) C [ a , b ], 则 f ( x ) 在 [ a , b ]上有界 .
证 设 f ( x ) C [ a , b ],
由定理1(最值定理), x [ a , b ], 有
m f (x) M ,
取 K max{
| m |, | M |},
则有 f ( x ) K .
函数 f ( x ) 在 [ a , b ]上有界 .
221
闭区间上连续函数的性质
二、介值定理
零点定理
定理3(方程实根的存在定理) 设 f ( x ) C [ a , b ],
( a , b ),
且 f (a ), f ( b ) 异号 , 则至少存在一点
f ( ) 0 ,
使得
( a , b ).
是方程 f ( x ) 0的根 , 又称为函数
的零点.
y
y f (x)
y f ( x)
几何意义: 如图所示.
a
O
b
x
222
闭区间上连续函数的性质
定理4(介值定理) 设 f ( x ) C [ a , b ], f ( a ) f ( b ),
且 f (a ) A, f (b ) B ,
则至少存在一点
C 为介于 A , B 之间的任一数
,
( a , b ), 使得
f ( ) C ,
( a , b ).
证 辅助函数 ( x ) f ( x ) C , 则 ( x ) C [ a , b ],
且 (a ) f (a ) C A C ,
(b ) f (b ) C B C ,
零点定理
( a ) ( b ) 0 , ( a , b ), 使
( ) 0 , 即 ( ) f ( ) C 0 , f ( ) C .
223
闭区间上连续函数的性质
几何意义:
连续曲线弧
y f ( x )与水平直线
y C
至少有一个交点.
y
y f ( x)
B
C
P1
P2
P3
A
O
a
1
2
3
b
x
224
闭区间上连续函数的性质
推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值
M 与最小值 m 之间的任何值(不会有任何遗漏).
几何意义:
y
M
y f ( x)
P1
C
a
O
x1
P2
P3
1 2 3 x2 b
x
m
225
闭区间上连续函数的性质
注
闭区间上连续函数的性质常用于:
证明某些等式或不等式;
判断某些方程根的存在性或实根的范围.
226
闭区间上连续函数的性质
例
证明方程 x 8 x 1 0 在区间 ( 0 ,1 ) 内
3
至少有一根 .
证 令 f ( x ) x 8 x 1 , 则 f ( x ) 在 [ 0 ,1 ]上连续 ,
3
又 f ( 0 ) 1 0 , f (1 ) 6 0 ,
由零点定理,
( 0 ,1 ), 使 f ( ) 0 , 即 3 8 1 0 ,
方程 x 8 x 1 0 在 ( 0 ,1 )内至少有一根
3
.
227
闭区间上连续函数的性质
例 证明:任何实系数奇数次代数方程必有实根.
证 设实系数奇数次代数方程为
a 0 x a1 x
n
n1
a n 1 x a n 0 ( a 0 0 , n 为奇数 ),
设 f ( x ) a0 x n a1 x n1 an1 x an , 且不妨设
由于
a1 1
an 1
f ( x ) a0 x 1
n
a0 x
a0 x
a0 0,
n
, 故 x 0 , f ( x1 ) 0;
当x
时, f (x)
f
(
x
)
1
因为
在闭区间 [ x 2 , x 1 ] 上连续,
由零点定理,
,即方程有实根.
时 , f (f x( )x )
故 x 2 0 , f ( x2 ) 0.
x0 当
(xx
,
x
)
0
,
使得
2
1
0
228
闭区间上连续函数的性质
例 设函数 f ( x ) 在区间 [ a , b ] 上连续 , 且 f ( a ) a ,
f ( b ) b . 证明 ( a , b ), 使得 f ( ) .
辅助函数
证 令 F ( x ) f ( x ) x , 则 F ( x )在 [ a , b ]上连续 ,
而 F (a ) f (a ) a 0,
F (b ) f (b ) b 0,
由零点定理,
( a , b ), 使F ( ) f ( ) 0 ,
即 f ( ) .
229
闭区间上连续函数的性质
设 f ( x ) 在 [ a , b ]上连续 , , 0 ,
例
证明:
[ a , b ], 使得 f ( ) f ( a ) f ( b ) .
证 若 f ( a ) f ( b ), 取 a 即可 .
设 f ( a ) f ( b ),
令
f (a )
f ( b ), 可类似证明
.
f (a ) f (b)
显然 f ( a ) f ( b ),
介值定理
( a , b ), 使 f ( ) ,
f ( )
.
即得
f (a ) f (b )
230
闭区间上连续函数的性质
设 f ( x ) 和 g ( x ) 在 [ a , b ]上连续 ,且 f ( a ) g ( a ),
f ( b ) g ( b ), 证明 : [ a , b ], 使 f ( ) g ( ).
证 设F ( x ) f ( x ) g( x ), 则
F ( x ) 在 [ a , b ]上连续 , 且
F ( a ) f ( a ) g ( a ) 0;
F ( b ) f ( b ) g ( b ) 0 . 零点定理
( a , b ), 使 F ( ) 0 , 即 f ( ) g ( ).
231
闭区间上连续函数的性质
三、小结
四个定理
最值定理;有界性定理;零点定理;介值定理.
注意条件
1. 闭区间;
2. 连续函数．
这两点不满足上述定理不一定成立．
232
闭区间上连续函数的性质
思考题 (是非题)
设 y f ( x ) 在 [ a , b ]上有定义 , 在 ( a , b )内连续 ,
且 f ( a ) f ( b ) 0 , 则至少存在一点 ( a , b ),
使 f ( ) 0 .
非
x , 0 x 1,
例如: f ( x )
在 [ 0 ,1 ]上有定义 ,
1, x 0
在 ( 0 ,1 )内连续 . 且 f ( 0 ) f ( 1 ) ( 1 ) 1 0 ,
但在 ( 0 ,1 )内不存在 , 使 f ( ) 0 .
233
闭区间上连续函数的性质
作业
习题1-9 (87页)
1. 2. 3. 4. 5.
补充 一个登山运动员从早上7:00开始攀登某座
山峰 ,在下午7:00到达山顶,第二天早上7:00再从
山顶开始沿着上山的路下山,下午7:00到达山脚.
试利用介值定理说明:这个运动员在这两天的某
一相同时刻经过登山路线的同一地点.
234
第一章 函数与极限
习 题 课
教学要求
典型例题
235
第一章
函数与极限
习题课
一、教学要求
1. 理解函数的概念.
2. 了解函数奇偶性、单调性、周期性和有界性.
3. 理解复合函数的概念，
了解反函数的概念.
4. 掌握基本初等函数的性质及其图形.
5. 会建立简单实际问题中的函数关系式.
6. 理解极限的概念.
7. 掌握极限四则运算法则.
236
第一章
函数与极限
习题课
8. 了解两个极限存在准则, 会用两个重要极
限求极限.
9. 了解无穷小、无穷大, 以及无穷小的阶的
概念. 会用等价无穷小求极限.
10. 理解函数在一点连续的概念.
11. 了解间断点的概念,并会判定间断点的
类型.
12. 了解初等函数的连续性和闭区间上连续
函数的性质.
237
第一章
函数与极限
习题课
二、典型例题
例 求 lim(
x 0
1 tan x
1 sin x
1
lim[1
lim [1
x 0
(1 )
1
1 tan x
1) ]
1 sin x
tan x sin x
x0
3
) .
解 原式 lim[ 1 (
x 0
x
1 sin x
3
1
]
tan x sin x
1 sin x
x
x
3
1 sin x
tan x sin x
]
tan x sin x
1 sin x
1
x
3
238
第一章
函数与极限
lim
习题课
tan x sin x
x 0
1 sin x
lim
x0
lim
x 0
11
1
x
3
sin x (1 cos x )
1
cos x (1 sin x ) x
1
cos x (1 sin x )
1
2
3
lim
x 0
sin x
x
lim
x 0
1 cos x
x
2
1
2
1
原式 e 2 .
239
第一章
函数与极限
习题课
x 1
2
例 已知 lim (
x
x 1
ax b) 3, 求常数a、b.
(1 a ) x (b a ) x 1 b
2
解 原极限= lim
x
1 a 0
b a 3
x 1
3
a 1
b4
240
第一章
函数与极限
习题课
例 设f ( x ) lim
x
n
2 n 1
x
ax b
2n
1
为连续函数,
求a、b.
解
ax b
| x | 1
1
| x | 1
x
f (x)
1 (1 a b ) x 1
2
1 (1 a b) x 1
f ( x ) 连续 ,
2
x 1时 , f ( 1 0 ) f ( 1 0 ) f (1)
1 a b
1
2
( 1 a b )
即
241
第一章
函数与极限
习题课
ax b
1
x
f (x)
1
(1 a b )
2
1 (1 a b)
2
| x | 1
| x | 1
1 a b
ab1
( 1 a b )
2
f ( x ) 连续 ,
x 1
x 1
x 1时 , f ( 1 0 ) f ( 1 0 ) f (1)
1
1
即
(1 a b)
2
得 b 0, a 1
242
第一章
例
函数与极限
习题课
cos x
讨论f ( x )
2
| x 1 |
x 1
的连续性.
x 1
解 将 f ( x )改写成
f (x)
cos
x
1 x 1
2
x1
x 1
1 x
x 1
显然 f ( x ) 在 ( , 1 ), ( 1 ,1 ), ( 1 , ) 内连续 .
243
第一章
函数与极限
习题课
cos 2 x
f (x) x 1
1 x
1 x 1
x 1
x 1
当 x 1时 ,
lim f ( x ) lim ( 1 x ) 2
x 1
x 1
lim f ( x ) lim cos
x 1
lim
x 1
x
x 1
2
0
f ( x ) lim f ( x )
x 1
故 f ( x ) 在 x 1间断 , 且为第一类 跳跃 间断点.
244
第一章
函数与极限
习题课
cos 2 x
f (x) x 1
1 x
1 x 1
x 1
x 1
当 x 1时 ,
lim f ( x ) lim cos
x1
x
x1
2
0
lim f ( x ) lim ( x 1 ) 0 .
x1
x1
lim f ( x ) lim f ( x ) f (1)
x1
x1
故 f ( x ) 在 x 1 连续 .
f ( x ) 在 ( , 1 ) ( 1 , ) 连续 .
245
第一章
函数与极限
例 设
习题课
是多项式,且
求
解 设 p( x ) x 2 x a x b
3
2
(其中 a, b为待定系数)
p( x ) x 2 x a x b
3
2
~ x ( x 0)
得 b 0 , a 1.
故 p( x ) x 2 x x
3
2
246
第一章
函数与极限
习题课
1
例 已知当 x 0时 , (1 x 2 ) 3 1与 cos x 1是
等价无穷小 , 求常数 .
1
(1 x ) 3 1
2
解
lim
x 0
1
cos x 1
1
(1 x ) 1 ~
2
3
1
原极限= lim
x 0
3
1
x , cos x 1 ~
2
3
x
2
2
x
1
1
2
x
2
2
3
1
3
2
2
247
第一章
函数与极限
习题课
例 求
01
1
的间断点,并判别其类型.
解 x 1 , x 1 , x 0 是间断点,
x 1, lim
x 1
(1 x ) sin x
x ( x 1)( x 1)
1
2
sin 1 ,
x = –1为第一类可去间断点
x 1, lim f ( x ) ,
x 1
x = 1为第二类无穷间断点
x 0
x 0 lim f ( x ) 1 , lim f ( x ) 1 ,
x 0
x = 0为第一类跳跃间断点
248
第一章
例
函数与极限
习题课
当x 0时, 3
解 设其为 x 的
k
3
lim
x
因
lim
2
x 0
lim
3
1
故 k
1
3
k
2
x2
x C 0,
xk
x
3
阶无穷小,则
x
x 0
x 0
x 是 x 的几阶无穷小?
x
2
3k
x lim
x 0
k0
x
2
3k
x
x 0
(1 x 2 ) lim x 6
3
x
1
x 0
k
lim 3 (1 x 2 )
3
1
6
249
第一章
函数与极限
习题课
例 设函数
有无穷间断点
x 0 及可去间断点 x 1 , 试确定常数a 及 b.
解
为无穷间断点, 所以
e b
x
lim
x 0
( x a )( x 1)
lim
x 0
( x a )( x 1)
e b
x
a
1 b
0
a 0,b1
e b
x
为可去间断点, lim
x 1
lim ( e b ) 0
x
x 1
x ( x 1)
极限存在
b lim e e
x
x 1
250
第一章
函数与极限
习题课
例 设函数 f ( x ) 在 ( , )内有定义 , 对任意实数
x, y 满足关系式 f ( x y ) f ( x ) f ( y )
且 f ( x ) 在 x 0点连续 .
试证 : f ( x ) 在 ( , )内
处处连续.
证 任取 x 0 ( , ), 设 x 为增量
,
x 0
lim f ( x0 x ) lim [ f ( x 0 ) f ( x )]
x 0
lim f ( x 0 ) lim f ( x )
x 0
x 0
lim f ( x ) f ( 0 )
x 0
f ( x0 ) f (0)
f ( x 0 0 ) f ( x0 )
所以, f ( x ) 在 ( , ) 连续 .
251
第一章
函数与极限
习题课
例 设f ( x )在闭区间[0,1]上连续, 且f (0) f (1),
1
证明必有一点 [0,1]使得f ( ) f ( ).
2
1
证 令 F ( x ) f ( x ) f ( x ),
2
1
则 F ( x ) 在 [ 0 , ]上连续 .
2
1
1
1
F ( 0 ) f ( ) f ( 0 ), F ( ) f ( 1 ) f ( ),
2
2
2
讨论
若 F (0) 0, 则 0, f (0
1
1
若 F ( ) 0, 则 ,
2
2
1
1
1
2
) f ( 0 );
1
f ( ) f ( );
2 2
2
252
第一章
函数与极限
习题课
1
1
F (0) f ( ) f (0)
2
1
1
F ( ) f (1 ) f ( )
2
2
若 F (0) 0, F ( ) 0, 则
2
1
1
2
F ( 0 ) F ( ) [ f ( ) f ( 0 )] 0.
2
2
1
由零点定理知, ( 0 , ), 使 F ( ) 0 .
2
1
即 f ( ) f ( )成立.
2
1
综上, 必有一点 [ 0 , ] [ 0 ,1 ],
2
1
使 f ( ) f ( ) 成立.
2
253
第一章
例
函数与极限
习题课
设 f ( x )在
上连续,且恒为正,
证明: 对任意的
必存在一点
使
证 当 f ( x1 ) f ( x2 ) 时,取
或
则有
当 f ( x1 ) f ( x2 ) 时,
令 F ( x ) f 2 ( x ) f ( x1 ) f ( x2 ) 则
f ( x1 ) f ( x2 )
[ f ( x1 ) f ( x2 )] 0
故由零点定理知,
2
使
即
254
第一章
函数与极限
习题课
作业
总习题一 (87页)
3. 4. 7. 8. 9. 10. 11. 12.
255