Transcript 第二章 极限与连续

第二章 极限与连续
第一节 极限的概念
• 一、数列极限
• 1. 数列的概念
• 定义1 将自变量为正整数的函数un=f(n)的函
数值按自变量n由小到大的顺序排成的一列数
• u1，u2，u3，…，un，…
• 称为数列. 记为{un}，其中un=f(n)为数列{un}
的通项或一般项. 由于一个数列{un}完全由其
一般项un所确定，有时也将数列{un}简写成un.
• 定义2 对于数列{un}，若存在一个常数M >0，
使得|un|≤M ( n =1，2，…)恒成立，则称数列
un为有界数列，或称数列有界.
• 如果数列{un}有界，也可理解成存在两个数M
和m，使得m≤un≤M，也称M为数列的上界，m
为数列的下界.
• 定义3 对于数列{un}，若数列的各项满足
un≤un+1，则称数列{un}为单调增加的数列；
若数列的各项满足un≥un+1，则称数列{un}为
单调减少的数列. 单调增加的数列或单调减少
的数列统称为单调数列.
2. 数列的极限
• 定义4 对于数列{un}，当项数n无限增大
时，如果数列un的值无限接近于一个确
定的常数A，则称A为数列的极限，或称
数列{un}的极限存在，记为
• 注意：并非所有的数列都有极限，如果
当n→∞时，un无限接近的常数A不存在，
则数列{un}的极限不存在. 若极限不存在,
又称数列发散.
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•
3. 收敛数列的性质
1、如果数列收敛，那么它的极限是唯一
2、如果数列收敛，那么数列一定有界
3、如果且a>0(a<0)那么存在正整数N>0，
当n>N时，
• 4、如果数列收敛于a那么它的任一子 数
列也收敛,且收敛于a。
二、函数的极限
• 前面讨论了数列的极限，数列作为一种
较为简单的特殊函数（整标函数），可
以方便地观察其变化趋势. 现在就一般函
数y=f(x)的变化趋势进行讨论.
•
• 上面定义中x→∞含有两种情况：
• （1）x取正值无限增大，记为x→+∞.
• （2）x取负值而绝对值无限增大，记为
x→-∞.
• 对于某些函数f(x)，自变量x的变化趋势
只能或只需取这两种情形中的一种，对
于这两种情形有：
•
• 2. 当时，函数的极限
• 当自变量x无限趋近于某个确定的数值
x0时，函数f(x)的变化趋势也是我们经
常遇到的问题. 我们用x→x0表示x无限
趋近于确定的数值x0，其几何意义则是
数轴上的动点x到定点x0的距离越来越
小，逐渐趋近于0. 在这种情况下，由于
只考虑函数f(x)的变化趋势，因此无论
f(x)在x0处有无定义，都不影响我们的
讨论. 先考虑下面的例子.
•
• 定义8 设函数f(x)在x0的去心邻域内有
定义，当x从x0的左右两侧无限趋近于
x0时，相应的函数值f(x)无限趋近于一
个确定的常数A，则称A为当x趋近于x0
时函数f(x)的极限，记作
• 定义9 设函数f(x)在x0的去心邻域左侧
（x0-d，x0）内有定义，当x从x0的左
侧无限趋近于x0时，相应的函数值f(x)
无限趋近于一个确定的常数A，则称A为
当x趋近于x0时函数f(x)的左极限，记作
• 定义10 设函数f(x)在x0的去心邻域右
侧（x0，x0+d）内有定义，当x从x0的
右侧无限趋近于x0时，相应的函数值
f(x)无限趋近于一个确定的常数A，则称
A为当x趋近于x0时函数f(x)的右极限，
记作
•
三、函数极限的性质
• 以上讨论了函数极限的各种情形，并将
数列的极限作为函数极限的一种特例来
处理. 它们描述的问题都是：在自变量的
某个变化趋势下，函数值无限趋近于确
定的常数，在有些方面它们具有一定的
共性. 下面给出函数极限的上述性质.
第二节 极限的运算法则
一、极限的四则运算法则
• 在自变量x的同一变化趋势下，设函数
f(x)和g(x)的极限都存在，分别用和表
示. 注意：此处省略了自变量x的变化趋
势，表示在下面的讨论中，对于x→x0，
x→x0-，x→x0+，x→∞，x→ - ∞，
x→ + ∞中的任何一种情形，结论都成立
（下同）.
二、复合函数的极限运算
法则
第三节
两个重要极限
第四节 无穷小量与无穷大
量
• 一、无穷小量
• 1. 无穷小量的定义
• 定义1 若函数f(x)在x的某种变化过程中
极限趋近于0，则称f(x)为在x的这种变
化趋势下的无穷小量，简称无穷小.
• 2. 无穷小的性质
• 性质1 有限个无穷小量的代数和是无穷小量.
• 注意：无穷多个无穷小量的代数和未必是无穷
小量.
• 性质2 有限个无穷小量的乘积是无穷小量.
• 推论 常数与无穷小量的乘积是无穷小量.
• 性质3 有界函数与无穷小量的乘积是无穷小
量.
• 注意：两个无穷小的商未必是无穷小量.
• 二、无穷大量
• 定义2 在自变量的某种变化趋势下，若
函数f(x)的绝对值无限增大，则称函数
f(x)为在x的这种变化趋势下的无穷大量，
简称无穷大.
• 三、无穷小量与无穷大量的关系
• 根据无穷小量和无穷大量的定义，它们
的关系可用下面的定理来描述：
• 定理2 在自变量的同一变化趋势下，无
穷大量的倒数是无穷小量；恒不为零的
无穷小量的倒数是无穷大量.
• 使用无穷小量与无穷大量的关系定理可
以方便地讨论极限结果是无穷大量的情
况.
• 四、无穷小量的阶比较
• 定义3 设(x)与β(x)均为自变量在同一
变化趋势下的无穷小.
第五节 函数的连续性
• 一、函数连续的概念
• 1. 变量的改变量
• 定义1 如果自变量x从初值x0变到终值
x1，那么终值x1与初值x0的差x1 - x0叫
做自变量的改变量（有的称为自变量的
增量），记为Dx= x1 - x0.
• 定义2 设函数y = f (x)在x0的邻域内有定
义，当自变量x由x0变成x0+Dx时，相应
的函数值由f (x0) 变成f (x0+ Dx)，则称f
(x0+Dx) -f (x0)为在x0点的函数的改变量
（有的称为函数的增量），记为Dy= f
(x0+Dx) -f (x0)，如图2.3所示.
• 3. 函数在区间的连续性
• 定义7 如果函数f(x)在开区间(a，b)内
的每一点都连续，则称函数f(x)在(a，b)
内连续.
• 定义8 如果函数f(x)在开区间(a，b)内
连续，且在左端点x = a处右连续，即，
同时在右端点x = b处左连续，即，则称
函数f(x)在闭区间 [a，b] 上连续.
• 二、函数的间断
• 定义9 如果函数y=f(x)在x0点不连续，则称
x0为函数f(x)的一个间断点，也称函数f(x)在
该点间断.
• 由函数在x0点连续的定义可知，如果函数
y=f(x)在x 0点满足下列3个条件之一，则x0
点是f(x)的一个间断点.
• （1）函数在x0点没有定义.
• （2）函数在x0点的极限不存在.
• （3）虽然存在，但不等于x0点的函数值，即
≠f(x0).
三、初等函数的连续性
• 3. 反函数的连续性
• 定理3 若函数y=f(x)在某区间上单调且
连续，则其反函数在对应的区间上也单
调且连续，且它们的单调性相同.
• 4. 初等函数的连续性
• 由于连续函数经过四则运算及复合运算
后仍然是连续函数，再根据初等函数的
定义可得如下结论.
• 定理4 初等函数在其定义内都是连续的.
• 定理4说明，今后在求初等函数在定义域
内指定点的极限时，只需计算该点的函
数值即可.
四、闭区间上连续函数的
性质
• 定理5（最大值和最小值存在定理）闭区间上
的连续函数一定存在最大值和最小值.
• 说明：定理中的闭区间和连续这两个条件缺一
不可. 若函数在开区间内连续，则它在该区间
内未必能取得最大值和最小值，如函数y=x2
在区间(0，1)内就没最大值和最小值. 若函数
在闭区间不连续上，也未必能取得最大值和最
小值. 图2.4
• 推论 若函数y=f(x)在闭区间上连续，则它在
该区间上有界.
• 定理6（零点定理） 若函数f (x)在[a，
b]上连续，且f(a)与f(b)异号，即
f(a)·f(b)＜0，则至少存在一点ξ(a，b)，
使得f(ξ)=0，如图2.4所示.
• 函数f (x)的零点即为方程f (x)=0的根，
因此零点定理又称为根的存在定理，用
它来证明方程根的存在性是非常有效的，
结合函数的单调性也可以明确方程根的
分布情况.
• 定理7 (界值定理)若函数f(x)在闭区间[a，
b]上连续, f(a)≠ f(b),则对于任意f(a)与
f(b)之间的一个常数c，必有至少存在一
点，使得f(ξ)=c.
• 推论 若函数f(x)在闭区间[a，b]上连续,
则它必能取到它所在区间上的最小值与
最大值之间的一切值.
• 例16 证明方程x5-3x=1在(1，2)内至少存在
一个实根.
• 证明 将方程x5-3x=1化成x5-3x-1=0，构造
函数f(x)= x5-3x-1，由于f(x)在[1，2]上连续，
且f(1)= -3<0，f(2)=25>0，因此连续函数f(x)
在区间端点处的函数值异号. 由零点定理可知，
f(x)在(1，2)内至少存在一点ξ，使得f(ξ)=0，
即ξ是方程f(x)=0的一个根，故方程x5-3x=1
在(1，2)内至少存在一个实根.
第六节 数项级数的基本概
念
一、数项级数的定义及敛
散性
二、级数的基本性质和级
数收敛的必要条件
三、正项级数及其敛散性
判别法
四、任意项级数及其判别
法