Transcript 数学思想方法在小学中的渗透

数学思想方法在
小学数学的渗透
人民教育出版社小学数学室
陶雪鹤
米山国藏
学生们在初中或高中所学到
的数学知识，在进入社会后，几
乎没有什么机会应用，因而这种
作为知识的数学，通常在出校门
后不到一两年就忘掉了．然而不
管他们从事什么职业，那种铭刻
于头脑中的数学精神和数学思想
方法，却长期地在他们的生活和
工作中发挥着作用。
一 、什么是数学思想方法（可从两方面认识）
数学思想
对数学知识和所使用的方法的本质认识，是对数学规
律的理性认识。
可从两方面来理解的：广义理解、狭义理解。
基本数学思想：指从某些具体数学认识过程中提炼出
的一些观点，它在后继认识中被反复证实其正确性，带有
一般意义和相对稳定的特征。包括符号与变元表示的思想，
集合思想，对应思想，公理化与结构思想，数形结合的思
想，化归的思想，函数与方程的思想，极限思想等。
中小学数学教育、教学中传授的数学思想，应该都是
基本数学思想。
数学方法
数学思想指导下的解决数学问题过程中所运用的具体
手段（或途径）。
具体点说是以数学语言为工具进行科学研究的方法。
数学思想与数学方法既有区别又有密切的联系。
差异性：数学思想具有概括性和普遍性，而数学方法
则具有操作性和具体性。数学思想是数学方法实施的依
据，数学方法是数学思想得以实现的手段。
同一性：表现在“数学思想与数学方法同属方法论
的范畴”它们有时是等同的。
人们一般将数学思想与数学方法统称为数学思想方法。
二、小学数学涉及到的数学思想方法
集合思想
符号化思想
化归思想
极限思想
方程思想
函数思想
统计思想
模型思想
 符号化思想
什么是数学？数
学就是符号加逻
辑。
罗素
英国著名哲学家数学家
1．数学符号系统的形成。
萌芽状态
从数学早期到17世纪以前，数字的符号化处于低
级的萌芽状态。这个时期的数学家虽然有时也创用一
些符号来代替文字，但其思想总不能脱离具体的事和
物，和“符号化”还有相当的距离。以记数符号为例。
这个时期的数学家还没有形成有意识地、普遍地
用符号来表达数学的思想。以代数的发展为例。人们
把代数的发展分为三个阶段：
文字叙述代数:全部计算或推理都用文字语言来表达。
缩写代数：对常出现的量和运算等用缩写方法来表述。
符号代数：在运算或推理中普遍使用符号。
17世纪以前的代数基本上是文字叙述代数和缩写
代数。
古代的数学文章中，即使有零星记号出现（也是偶然
的、个别的、随意的。
比如埃及的草片文书中，用一个
人走近和走开的腿形来分别表示加法
和减法）.
加
减
17世纪以前，自觉地采用缩写方式简化数学
表达的，只有希腊数学家丢番图（Diophantus ）。
他在著名的《算术》中创用了一套缩写
符号。
（公元250年前后）
有意识地、普遍地运用符号
从17世纪开始，数学家们的著作中出现了大量的
数学符号，代数由缩写代数走向符号代数。
对符号代数的形成做出重要贡献的主要是法国的
韦达（Viete）和笛卡尔（Descartes）。
iiia,
表示未知数
b, ii+26x
c表示已知数
xA、E、I、O
- 9x
- 24∞0
表示已知数
y, 2 z+26x
表示未知数
x3 x,
- B、G、D
9x
- 24=0
韦达
(1540-1603)
笛卡尔
(1596-1650 )
开始注意符号的科学性和合理性。
17世纪后半叶，数学家们不仅普遍地使用符号
去表述、研究数学，而且开始注意符号的科学性和
合理性。反复研究用怎样的符号才能简洁、准确地
反映数学概念的本质。
1673年他创用了微分符号：dx,dy
1675年他又创用了积分符号：
∫（是sum的第一个字母的拉长）
莱布尼兹
(1646年－1716年 )
当时牛顿及许多数学家使用的微
分符号是：
x· y·
从17世纪开始，大量的数学符号一方面根据“适者
生存”的规律，另一方面借助著名数学家的名声，迅速
地成为整个数学界约定共同使用的符号。
如，17世纪以前，表示相等关系的符号有：
［，‖，∞，= 等
其中“=”是1557年英国数学家雷科德首创的。
直到17世纪后半叶，在被牛顿、莱布尼兹使用后，由于
他们的名声，加之“=”确切地表示了相等的含义，使用
也方便，才成为数学界约定共同使用的符号。
 建立约定的规范的数学符号系统
17、18两个世纪里，形成共同约定的、规范的、形
式化的数学符号系统。
由三个层次构成：
基本符号：+ ，-；△，□；a，x。
组合符号：“3×2”“a +b”“n!”
公式符号：“3×2＜7”“a +b =b +a”“a∥b”
2．符号化思想的含义。
人们有意识地、普遍地运用符号去表述、研究
数学的思想。
3．小学数学中常用的数学符号。
元素符号：表示数和几何图形的符号。
如：阿拉伯数字；表示数的字母，表示常数的字母π；
“∠”表示角，“△”表示三角形等。
运算符号：如：＋、－、 ×、÷。
关系符号：表示数、式、图形或集合之间的关系的符号称
为关系符号。
如： =, ≈, >, <等。 ∥ Ａ  B
性质符号：表示数或形的性质符号。如：正号“＋”负号
“－”。
结合符号：如：(
)〔 〕{ }等。
4．符号化思想在小学数学教材中的体现。
 在概念的形成过程中，体现出数学符号对概
念本质反映的特点。
 在表示一些关系式时，渗透符号抽象、简明、
易记的特点。
a+b=b+a
S=ab
 教学用字母表示数，体现代数式的特点。
a÷2
5 (b+c)
m
-4
5．在教学中渗透符号化思想。
 从概念的本质揭示符号的意义。
 10以内数的认识。
 负数的认识。
 适当介绍符号的形成过程。 五下分数
 采取适宜方式，帮助学生理解用代数式表示
数量关系的概括性。
 方程思想
1. 什么是方程思想？
在解决问题时，将已知量和未知量之间的数
量关系，通过适当设元建立方程，然后求解使
问题得到解决的思维方式。
方程思想是解决问题的重要思想方法。
例 “牛吃草”问题。
2. 算术思维与方程思维的特点。
算术思维
 未知量、已知量地位不同。
 思考过程往往是逆向的。
方程思维
 未知量、已知量地位同等，便于分析数量关系。
 具有形式化、一般化的特点。
 思考过程往往是顺向的。
从思维发展的角度来说，代数的方法具有一般
性、普遍性 。
吴文俊
鸡兔同笼
四则难题制造了许许多多的
奇招怪招。但是你跑不远更不能
腾飞… … 可是一引进代数方法,
这些东西都变成了不必要的、平
平淡淡的。你就可以做了, 而且
每个人都可以做, 用不着天才人
物想出许多招来才能做,非但可
以跑得很远而且可以腾飞。
3.克服方程思维学习的障碍。
 适当加强文字语言与代数式“互译”的训练。
列代数式。
说出代数式表示的具体含义。
设定字母，列代数式。
 采用多种方法引导学生找出等量关系。
直观呈现数量关系。
半独立写等量关系。
设定未知量，列方程。
 化归思想
1. 什么是化归思想？
将待解决的问题，通过某种转化过程，归
结为另一个已解决或较易解决的问题的方法。
化归思想是数学家最擅长的思想方法。
2. 化归思想常用的几种方法。
 分割法。 例
把要解决的问题分成若干个小问题，然后
逐一求解，达到整个问题解决的方法。
过程：
 变形法。 例
对不易直接解决的问题，加以适当变形，实
现由难到易的化归，达到问题解决。
映射法。 例
是指在两类数学对象或两个数学集合的元素
之间建立某种“对应关系”，通过映射将原来
的问题化归为新问题，在解决新问题的同时，
原问题也得以解决。
3. 在小学数学教学中渗透化归思想。
 明确渗透化归思想的教材因素。
 数与代数
 几何图形面积公式的推导
 注意在教学中渗透化归思想。
 注意应用化归思想解决教学中的问题。
 函数思想
1. 什么是函数思想？
用运动、变化的观点去描述客观世界中量与
量之间互相依赖、互相制约的关系的思想。
量与量之间的依赖关系是用函数来描述的。
2. 小学数学涉及的几种函数。
 正比例函数: y = k x (k≠0 ）。
 商不变时, 被除数与除数;
 正方形的周长与边长：C 正方形＝4a。
一次函数: y= k x + b( k≠0) 。
一元二次函数: y = a x 2 + bx + c (a≠0 ）
 S 正方形＝a 2,
S 圆＝ r 2
 反比例函数（ y = k/ x , k ≠0）。
3. 函数思想在小学数学教材中的体现。
 渗透变量的概念。
 渗透两个变量的依存关系。
 教学正、反比例，揭示两个相关联的变量
的关系。
 极限思想
1. 什么是极限思想？
研究变量在一定的变化过程中的终极状态
的思想。
1
…
…
1
n
2
3
4
0
极限
极限描述性的定义：
对于数列 {an }: a1 , a2 , a3 , …, an , …
如果当 n 无限增大时，an无限趋近于一个常数
A，则称 {an } 以 A为极限。记作:
lim a n = A
n
2. 我国古代的极限思想
 极限思想的萌芽。
 极限思想的应用。
3. 在小学数学教学渗透极限思想
 帮助学生理解无限。
 通过直观手段，帮助学生理解“无限逼近”。
4. 运用极限思想对一些问题做出正确的解释。