Transcript 一道中考题再创造

数学教学方法的核心是学生的“再创
造”,就是让学生在现实活动中通过自己的
实践和思考去创造、去获取数学知识,而
不是生吞活剥的将数学知识灌输给学生。
——弗赖登塔尔（国际上极负盛名的荷兰数学家和
数学教育家。
代表作：《作为教育任务的数学》）
原来问题看来不可解时，人类的高明
之处就在于迂回绕过不能直接克服的障碍，
就在于能想出某个适当的辅助问题。
——G.波利亚（美国。当代伟大数学家和 数学教育家。
代表作：《怎样解题》）
学生们在初中、高中接受的数学知识，因毕业进
入社会后几乎没有什么机会应用这种知识的数学，所
以通常出校门后不到一两年，很快就忘掉了。然而，
不管他从事什么业务，唯有深深地铭刻于头脑中的数
学精神、数学的思维方法、研究方法、推理方法和着
眼点等，使他们终身受益。
——米山国藏：日本。当代著名数学家和数学教育家。
代表作：《数学的精神 思想和方法》
以合理的学习材料为教学载体；
以学习的能力立意为教学主线；
以学生的思维提升为教学核心；
以自我的发展为教学最高境界。
——曹宝龙：杭州市普通教育研究室主任，博士，特
级教师 。提炼于《有效教学的几个问题》
根据数学教育大师的教育思想，数学教学的本
质到底是什么？我们不妨这样来认识：
如何让学生通过数学内容的学习去发挥数学资
源的再创造价值。
数学教学的目的不仅仅是把题目做出来，而且
更重要的是培养学生自主探求问题的数学精神和提
高对数学的欣赏水平。
以此，借助于2011年杭州市数学中考试题
第24题为载体，结合再创造思想谈谈个人的一点
认识。
◆浙江省名师名校长工作站导师
◆浙江省初中数学特级教师
◆郁达夫中学一线教师
◆盛志军
信箱：[email protected]
电话：13588392586
QQ: 214188006
题目：如图1，图形既
关于点O中心对称，又关于
直线AC，BD对称.AC=10，
BD=6，已知点E，M是线段
AB上的动点（不与端点重
合），点O到EF，MN的距
离分别为h1，h2 . △OEF与
△OGH组成的图形称为蝶形.
B
P
E
G
M
O
A
C
N
Q
F
H
D
图1
（1）求蝶形面积S的的最大值；
（2）当以EH为直径的圆与以MQ为直径的圆重合
时，求h1与h2满足的关系式，并求h1的取值范围.
之所以选这个题作为阐述我教学观点，是因
为本人不得不承认在题目中：
1.所涉及的数学基础知识，是课标最重点的
内容之一；
2.所运用的数学基本技能，是教学最熟悉的
常规要求；
3.所蕴含的基本思想方法，是学生最通用的
学习习惯；
4.所需要的基本活动经验，是数学最直觉的
心理品质。
假如初三年级一堂综合复习课正在进行。老师
试图把2011杭州的中考题作教学内容展开讨论.如果
您是这位老师，应该如何来组织和指导学生学习？
一、回溯经验，在“再”字上切
入
再创造首先在于理解和重视这个“再”字，它意
味着从头开始。面对新的任务，不是现成灌输，首要
的工作就是做好准备工作。对于教学而言，第一是调
度好新认知的联接点；第二就是促进思维活动的良好
起步。
（一）回溯活动经验，为再创造学习调度联结点
教学策略：
教师对题目构造有一个透彻的理解
教师对学生学情有一个清晰地把握
学生“所熟悉的具有相同
或相似未知量”的活动经
验
辅助问题
联结点
热身训练，为再创造解决问题做好充分的准备
就本题而言，不急于呈现题目，而是首先悄悄地热身训练:
(1) 如图2，DE∥BC, AB=a, BD=b, BC=c, 求DE.
(2) 如图3，DE∥BC, AP⊥BC于点O，交 DE于点P, AO=a,
PO=b, BC=c. 求DE.
(3) 如图4，当点D在何处时，ΔODE的面积最大？
(4) 如图5，在RtΔABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，
AC=3，BC=4，求 AD.
A
A
A
A
D
D
E
D
B
C
图2
B
P
O
图3
E
D
C
B
P
E
O
图4
C
C
图5
B
（二）养成识题习惯，促进再创造思维活动的良好起步
1.识题与再创造
无论是平时数学学习还是参加各种考试，学生面对数学
题目，首要的任务就是认识这样问题，让学生一开始就要迅
速进入思维活动。识题和再创造联系起来，似乎是一项“普
遍性”的常规工作，但往往被学生和教师所忽略。大家知道
需要这项工作，但却没有养成良好的识题习惯，导致再创造
学习的失败。
识 题
良好习惯
识 题
再创造
2.怎样引导识题
（1）读题。实验表明，对于数学题而言，教师读题在引
起注意力水平上低于学生默读。值得指出，不管处于何种情
境，今后学生总是自己默读题目，而不可能依赖教师在旁边
高声读题。只有放手培养默读的习惯，学生才能更好的进入
思考问题的状态。
（2）审题。“必须理解题目：未知量是什么（或要证明
什么）？已知数据是什么？条件是什么?……”[1]这似乎司
空见惯，这些问题对于学生甚至对于我们教师都感到没有多
少价值，作者在这里提出显得太肤浅，其实大错特错了。
事实证明，在有限的测试时间里，学生在这个方面却是
个大漏洞。这完全是平时没有养成审题的良好习惯，匆匆下
手，或结果铸成大错，或中途“塞车”，浪费大量时间而半
途而废。
[1]［美］G.波利亚著：涂泓 冯秉天译：《怎样解题》［M］，上海科技教育出版
社，2002.6：序.
（3）找准关键词。（主要条件有哪些，要求什么问
题），如果是几何问题，要求学生在图上学会表示有关量
的符号。
如前面给出的问题中条件关键词：
①点O中心对称，直线 AC，BD对称；
②AC=10，BD=6
③E，M是动点；
④点O到EF，MN的距离分别为h1，h2.
要求学生把各个条件编上号写在草练本上，写出后再
反复认识一遍。如果平时长期坚持这样逐步形成习惯，那
么学生也必形成一个良好的思维活动起点。
二、顺应规律，在“做”字上生成
再创造学习数学是一种活动，这样的活动事实上告诫
我们，不仅要想数学，更重要的是“做”数学。
在做中必须顺应两大规律：
一是顺应数学的本身规律学习；
二是顺应学生的认知规律学习。
数学教育之道
老子说： “人法地，地法，天法道，道法自然。”数
学教育之道归根结底要顺乎自然。为此认识下面几个问题：
1.书本上的数学是现成的数学，演绎的数学。“真正的
数学家从不尊重他人的这种现成的数学”[2]。而是要顺乎
自然。
[2] [荷]弗赖登塔尔：《作为教育任务的数学》[M] ，上海教育出版社，1995 3：107.
2.数学本身的发展一开始并不都是演绎的出现在我们
面前，它往往是在不断猜测、归纳、而后通过不断生成、
证明其正确的结果。
3.作为数学教育的数学，显然不可能象数学家那样去
重复这样的劳动，但其中的数学精神确实要求我们学生根
据自己的认知水平主动通过活动去经历，体验，探求，这
是“做”数学的真正内涵。
4 .数学教师的任务是在其间为学生建立适当的路标，
引导学生由复杂到简单学习，由低层次到高层次去学习、
去生成新的再创造问题。
这也许就是再创造教学的本质。
（一）问题简单化，让新知识与回溯经验相衔接
日本著名数学教育家米山国藏认为，把问
题简单化这是学习数学的最基本精神。这里的
简单化事实上和弗赖登塔尔在再创造理论中的
“数学化”“形式化”“抽象化”“图式
化”“算法化”的思想是一致的。
无论是生活中的问题，还是数学本身比较
复杂的问题，简单化是发现数学规律的有效途
径。
（一）问题简单化，让新知识与回溯经验相衔接
数学化
图式化
形式化
简单化
抽象化
算法化
对于我们的研究问题的第一小题，这样引导：
1.根据对称性，与另一半边碟形部分什么关系？要求蝶
形S的最大面积，只要讨论其中一部分可以吗？
2.要求ΔOEF的最大面积，需要什么条件？EF知道吗？
3.把问题化归到相似三角形中去讨论可以吗？
4.求最大值你联想到什么知识来解决？
A
B
B
G
E
E
P
M
O
A
C
O
A
F
H
P
F
D
B
N
Q
E
D
F
O
D
把复杂图形简单化，凸显出数学的最本质图形中。
至此，这些与前面学生的经验回溯，自然融合在一起，(归
因)，从而问题(1)迎刃而解。于是，再创造出以下结论:
结论1：当动点在菱形边长的中点时，碟形的面积最大.
（二）过程层次性，让低层次知识在再创造中提升
1．再识题目结构，层次性与独立性相结合.
“学习过程是由各种层次构成的，用低层次的方法组织
的活动成为高层次的分析对象；低层次的内容又成为高层
次的题材。”[3]
上述过程实际上对于本题来说是一个低层次的学习，通
过低层次地学习，又必须及时小结反思，领悟到简单化图
形，挖掘相似三角形以及有关数学思想，从而提升到更高
层次的学习和探究。这就是再创造理论的又一个符合数学
发展和学生心理发展规律的原理。
[3][荷]弗赖登塔尔：《作为教育任务的数学》[M，]上海教育出版社1995 3：115.
本题两个小题中
“（1）求蝶形面积S的的最大值；
（2）当以EH为直径的圆与以MQ为直径的圆重合时，求
h1与h2满足的关系式，并求h1的取值范围.”
在第一问的基础上提出第二问，不难发现。两个小题相
对独立，但用到的相似三角形等和有关的数学思想，前小题对
后一小题有举足轻重的作用。
虽然没有因为第一小题的受阻造成第二小题的受阻，但
第一小题的低层次知识对第二小题的高层次发展有着重要的作
用。这种保持相对独立，在方法上呈现出有低级到高级的深入
探究的题型是值得欣赏的，也是学生再创造所蕴涵的价值。
2．重构低层图式，在师生互动中再创造
为了解决第二小题，我们同样用简单化的方法，为解题目标的达
成，构建底层图式（图7）
B
E
B
M
O
B
E
M
M
A
N
A
O
D
F
E
K
O
L
h1
K
h1
A
L
图7
设置下面一些提问，试图学生给予学生“一个合理的工作量”[4]。让学生
“获得尽可能多的独立经验”。
（1）图形重合意味着什么？
（2）半径相等有哪些可能？
（3）重合时h1,h2有什么关系？
（4）不重合时呢？OE=OM，（等量思想找关系）.
（5）由此怎样用h1,h2 来表示OE=OM？
（6）它们都是哪两个直角三角形的斜边？由勾股定理得到怎样的等式？
（7）EK，ML怎样用h1,h2 来表示？
[4] [美]G.波利亚著：涂泓 冯秉天译：《怎样解题》［M］，上海科技教育出版社，2002.6：1
2
所以
1
1




2
2
h 1  3(1  h1 )  h 2  3(1  h2 )
5
5




2
34(h1  h 2 )  90 ，得
( h1  h 2 )
0
25
45
h1  h 2，或 h1  h 2 
17
.
当h1=h2时，点E与点M重合，此时0＜h1＜5，
45
当 h1  h 2 
时，点E不与点M重合，此时
17
45
0  h1 
17
.
于是，得到以下结论：
结论2 菱形中的两个碟形顶点共圆时，则由菱形中心引
出的高相等或它们高的和是常数.
（三）欣赏简约美，让数学在再创造中进入新境界
数学的最大特征就是简约性。再创造的价值不仅
仅是把某一个题目做出，而是要不断寻求数学理性思
维的生长点，选择最佳途径，从而进入新的探求境界。
其中简约性就是数学境界之一。
如上述第（2）小题，直接想到从OE=OM给出解
答，显然在计算上比较麻烦。有没有更简约的途径呢？
（链接简约性解法二）
三、变换题材，在“拓”字发
展
数学是在变换中不断发展。
这里的变换指改变数学的形态或通过“引入新条件，新
关系，将所给的式子或条件变换为具有新形态的式子或条
件”，[5]但它是建立在再创造的思想下的数学学习方法。
这里的“式子或条件”，弗赖登塔尔称之为数学“题材”。
如何达到变换呢？一般是把原“题材”作为“低层次”
内容，在“拓”字上求发展，实行“二次开发”，从而形
成新的“题材”。
原题材
拓
数学新形态
变换
新题材
引入新条件
[5]邵光华著：《作为教学任务的数学思想与方法》［M］，上海教育出版社，2009.9:24
例如 “结论1：当动点在菱形边长的中点时，碟形
的面积最大。”当作原“题材”。
拓展一：
如图9，图形既关于点O中心
对称，又关于直线AC，BD对称，
AC=10，BD=6，已知点E，（不与
端点重合），点O到E距离为h1，
问当动点在边何处时，四边形
EFHG的面积最大？
B
E
G
O
C
A
F
H
D
图9
说明：
这里，显然先证明四边形EFHG是矩形之后，它的
面积是蝶形面积的2倍。解法和原题解法是几乎一样的。
但让学生了解两者之间的联系是必要的。
把结论2： “菱形中的两个碟形顶点共圆时，则由菱
形中心引出的高相等或它们高的和是常数”当作原题材。
拓展二： 如图10，图形既关于点O中心对
称，又关于直线AC，BD对称，且AB=2，
若∠ABC=90°已知点E，M是线段AB上的
动点（不与端点重合），点O到EF，MN的
距离分别为h1，h2.△OEF与△OGH组成的
图形称为蝶形.当以EH为直径的圆与以MQ
为直径的圆重合时，求h1与h2满足的关系式，
并求h1的取值范围.
说明：这里，稍改条件，把菱形改为正方形，那是轻易
而举的事。这是个演绎的过程。事实上，把原题目作为例题
教学时，也可以把此题作为特殊性，通过归纳的思路，合情
推理出求h1+h2=常数，这是再创造思想指导学习的重要策略。
拓展三：
如图10，图形既关于点O中心对称，又
关于直线AC，BD对称，且AB=2，已知点E，
M是线段AB上的动点（不与端点重合），
点O到EF，MN的距离分别为h1，h2.△OEF
与△OGH组成的图形称为蝶形.当以EH为直
径的圆与以MQ为直径的圆重合时，h1与h2
h1  h2  2
满足的关系式
,并求∠ABC的度数.
说明：这里把条件与结论互换，同时根据这一特殊条件可推
出含45°的特殊角，从而提高学生思维品质，这也是再创造
思想指导学习的途径之一。
拓展四：
如图11，图形既关于点O中心
对称，又关于直线AC，BD对称，
且AC=10， BD=6，已知点E是线
段AB上的动点（不与端点重合），
点O到EF距离为h. △OEF与
△OGH组成的图形称为蝶形.以EH
为直径作圆。当该圆面积达到最
小时，求h的值。
说明：该题求最小值，与原题求最大值所不同的是，这
里用到的是主要是几何方法，原题用的是二次函数。让学生
最明白，在探究的路上，迷雾茫茫，要善于识别，不要一看
到最大值和最小值，就想到二次函数。
这样的拓展何止这么几种！
值得思考的的问题
1.再创造教学思想和方法是我们数学教学发展方向。
这里以一道中考题作为介质展开研究，比较充分
的显示出该题的再创造价值。这道被认为难度系数相
当低的中考题，其实蕴含着丰富的数学知识和思想，
但学生却望洋兴叹。
我们的教学是通过再创造真正培养学生数学精神
的，还是为了培养学生成为考试的附庸品的，这值得
我们平时教学的深刻反思，也值得当今教育有识之士
的呐喊。
2.再创造教学是十分关注“过去、现在、今后”
不断发展的系统过程。
本文中从解题教学的角度出发，通过三个方面阐
述了再创造教学的基本框架。要十分明智地认识到它
不是一种教学模式，而是一种教学方式，更重要的是
一种教学思想。
教学没有墨守成规的一成不变的模式，教学如果
成为一种一成不变的模式，那么就抹杀了教学的本
质——对千姿百态的人的影响，更扼杀了人的主观能
动性。
活学活用：
简单化
输入杭州中考题优秀资源
再创造思想和方法
再：回溯学习经验
做：顺应规律生成经验
拓：变换数学题材
输出（学习目标）
“再”是一个数学的“历史性”问题
“做”是一个数学的“数学化”问题
“拓”是一个数学的应用性问题。
归结起来，形成了数学再创造教学的系统性。
让学习再创造，
让教再创造；
让学再创造；
让学生今后真正创造！