Transcript 教信系普通物理实验2013

非物理专业普通物理实验
教材：
补充讲义：
1、补充：液体电阻的测定和研究
2、§3·11用惠斯通电桥测量中值电阻
3、§3·10示波器的调整和使用
4、补充：多用电表的使用
闵行校区
实验A楼
339
340
341
332、334
5、补充：磁场的描绘和研究
332、334
6、补充：霍尔效应和霍尔效应法测量螺线管磁场
7、§3·4在气垫导轨斜面上测量速度和加速度
332、334
327
8、§4·2拉伸法测定弹性材料的杨氏模量
9、补充：力敏传感器及液体表面张力的系数的测定
10、§3·20用牛顿环测定平凹透镜的曲率半径
321、323
321、323
326、328
11、补充：测定衍射光栅的光栅常数（光具座）
12、§3·17分光计的调整和棱镜折射率的测定
330
326、328
实验目录
学生分组名单
A组
Ｂ组
Ｃ组
Ｄ组
Ｅ组
Ｆ组
G组
H组
I组
课程安排
绪
9月11日
A
第1天
B
C
论
D
实验预习
E
F
G
实验预习
H
I
实验预习
（1）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
（2）
2
3
1
5
6
4
8
9
7
（3）
3
1
2
6
4
5
9
7
8
第2天
实验预习
实验预习
实验预习
（1）
4
5
6
7
8
9
10
11
12
（2）
5
6
4
8
9
7
11
12
10
（3）
6
4
5
9
7
8
12
10
11
第3天
实验预习
实验预习
实验预习
（1）
7
8
9
10
11
12
1
2
3
（2）
8
9
7
11
12
10
2
3
1
（3）
9
7
8
12
10
11
3
1
2
第4天
实验预习
实验预习
实验预习
（1）
10
11
12
1
2
3
4
5
6
（2）
11
12
10
2
3
1
5
6
4
（3）
12
10
11
3
1
2
6
4
5
授课内容：
1、教材：绪论
§0·1
§0·2
§0·3
大学物理实验的地位和作用
本课程的目的和任务
大学物理实验的过程和要求
2、教材：第一章 误差和实验数据处理的基本知识
§1·1 物理量的测量与测量误差的概念
§1·2 直接测量量误差的估算
§1·3 间接测量结果的误差传递
§1·5 有效数字及其运算
§1·6 数据处理的基本方法
（教材中打“*”的内容供选学）
绪论
§0·1
大学物理实验的地位和作用
1、物理学是一门实验性很强的学科。物理概念的确定，物
理规律的发现、建立和检验，都是通过大量实验结果概括得
到的。
2、理工科专业的学生不仅要具备一定的理论知识，还要具
有较强的科学实验能力。
3、理工（医）科专业的教学计划中，大学物理实验是对学
生进行科学实验基本训练而独立设置的必修课程
§0·2
本课程的目的和任务
1、使学生获得物理实验的基本知识、基本方法和基本技能。
2、使学生具备从事科学实验的基本素质
科学态度、工作作风、探索精神、良好习惯
3、培养基本的科学实验能力
（1）阅读理解能力
（2）动手操作能力
（3）分析判断能力
（4）书写表达能力
（5）简单的实验设计能力。
4、加深对物理概念的掌握和理解。
§0·3
预习
大学物理实验的过程和要求
实验操作
完成实验报告
（1）预习
认真阅读实验教材，明确该实验的目的要求、实验原理、
要测量的物理量及测量方法，认真阅读教材中有关使用仪器的介
绍，弄清构造原理，操作方法和注意事项，在此基础上完成预习
报告：
（1）实验目的：说明实验的主要目的
（2）实验原理：应在对实验原理理解的基础上，用自己的语言
简要的叙述。一般应写出本实验所依据的主要公式和公式中各量
的意义，明确实验中所要直接测得的物理量及测量方法，还应画
出原理图、电路图或者光路图
（3）实验步骤及注意事项
（4）设计好记录实验数据用的表格
（2）实验操作
（1）检查仪器设备是否完备、齐全，记录所用仪器的型号、标
号和规格；
（2）按操作规程进行操作调试，切忌盲目操作；
（3）仔细观察实验现象、随时分析判断测量数据；
（4）积极思考、排除实验中的故障；
（5）如实记录实验测量的原始数据，数据记录应整齐清洁有条
理，养成列表法记录数据的习惯，以便于计算和复核。准备一
本专门的数据记录本。
（3）完成实验报告
（1）数据处理和结果分析：要求写成数据处理的主要过程，
并根据误差理论计算误差。对要求作图的实验必须作出相应的
实验曲线。
（2）实验结果 ：写出测量的最后结果，并标明绝对和相对误
差或百分差。必要时，还须注明得到此结果的实验条件。
（3）问题讨论：对实验中观察到的现象或你感兴趣的问题进
行分析，改进实验的建议，实验中的体会级回答思考问题等
实验报告范例：见教材 P 3-4
第一章
§1·1
1·1·1
误差和实验数据处理的基本知识
物理量的测量与测量误差的概念
测量与单位
测量是人们对自然界中的现象和实体取得定量概念或数字
表征的过程。
在表示某一带测量的测量结果时，必须同时给出数值和单
位，两者缺一不可。物理实验中，各物理量的单位采用国际单
位制为基础的单位。
表达测量结果的要素
按测量过程分类：
直接测量：将待测量与预先定标好的仪器、量具直接进行
比较，读出其量值的大小
间接测量：不能直接用仪器和量具测得，而是通过对某些
相关物理量的直接测量，再根据相应的公式计算得出待测
量的大小。
按测量条件分类：
测量条件：包括观测者，仪器，测量方法，环境等
等精度测量：重复测量，每次的测量条件都完全相同
不等精度测量：重复测量，测量中有某一条件发生变化
1·1·2
误差及其
分类 一个待测的物理量，在一定的条件下总有一个客观存在
的量值，这个量值我们称之为真值。在实际的测量中，测量结
果和真值之间总存在一定的差值。这个差值就称之为误差。
误差是不可避免的，真值是测不出来的。
测量的目的在于尽量减少误差之后，得出一个在一定条
件下待测物理量的最可信赖值，并对其精确度作出正确的估计。
若真值为a , 最佳估计值x , 某次测量值为x , 则:
  xa
偏差（或称残差）记为： i  xi  x
测量误差记为：
一、系统误差
同一条件下对同一量进行多次测量时，误差的符号和绝对
值保持不变或按某一规律变量，该误差称为系统误差。
产生原因： 1）测量仪器本生的缺陷
2）实验理论和方法的不完善
3）环境的影响或没有在所规定的条件下使用仪器
4）实验者的习惯于偏向引入的系统误差
不能依靠在相同条件下进行多次重复测量来消除
分类：
已定系统误差：采用一定方法，数值和符号都能确定的系
统误差，可对测量值进行修正。
设已已定系统误差为x，则修正值cx  x
修正后的测量实际值为：实际值  x '  示值  x   修正值  cx 
未定系统误差：不知道误差的大小和符号，仅知误差的范
围（误差限）
二、偶然误差
同一条件下对同一量进行多次测量时，测量值彼此之间总
有少许差异，而且变化不定，并且在消除系统误差后依然如此，
这种绝对值和符号随机变化的误差称为偶然误差或随机误差。
产生原因： 1）实验者本人感觉器官分辨能力的限制
2）测量过程中，实验条件和环境因素的微小的、无
规则的起伏变化
特征：
A.随机产生，无规律；B.不能消除
偶然误差的统计规律：
当测量次数增加时，偶然误差服从一定的统计分布规律。
根据大量的实验事实和运用统计规律进行分析检验，在大学物
理实验中，测量的偶然误差服从正态分布规律。
正态分布规律
x出现的概率
（概率密度）
测量值x
服从正态分布的偶然误差所具有的三个特点：
单峰性：绝对值小得误差出现的概率比绝对值大的误差出现的概率大
对称性：分布曲线是对称的，说明绝对值相同的正负误差出现的概率相同
有界性：超过一定大小范围的误差出现的概率趋近于零。
1·1·3 精密度、准确度和精确度
精密度：是指重复测量所得的结果彼此离散的程度；
偶然误差的反映；
准确度：是指测量结果接近真值的程度；
系统误差的反映；
精确度：综合反映测量结果的离散程度及与真值接近的程度 ；
系统误差与偶然误差的综合反映。
精密度高
准确度差
准确度高
精密度差
精密度、准确度都高，
就是精确度高
§1·2 直接测量量误差的估算
§1·2·1 多次直接测量的误差估算与结果表示
一、算术平均值——测量结果的“最佳估计值”
设对某物理量测量了 n次（等精度测量）
测量列：x1 , x2 , x3 ,
, xn
n
算术平均值：x 
x
i 1
i
n
只有在重复次数n趋向无穷多，而系统误差又可忽略时，
x 才趋向于真值。
二、多次测量误差的估算
1、测量列的标准误差和标准偏差：
测量列：x1 , x2 , x3 ,
, xn
n
测量列的标准误差：

 (x
i 1
 a)2
i
测量列的标准偏差：
s 
故 只有理论上的意义
n
n
 (x
i 1
i
因真值a是未知的，
 x )2
白塞尔公式
(n  1)
对一个测量列而言，如果求得的 s小，就表示测量的精密度较高
测量列的标准偏差 s的统计意义
 s并不能代表测量列中某次测量值偏差的大小。就某次具体的
测量而言，其偏差i可能大于 s , 也可能小于 s。
 s只是对一组测量值离散性的估计。根据统计理论，对于该测
量列中任何一个测量值而言，其偏差
落在  - s ,  s  区间的概率为68.3%，
落在  -2 s , 2 s  区间的概率为95.5%，
落在  -3 s ，3 s  区间的概率为99.73%，
故常称3 s为极限误差。在误差理论中，这些区间称为置信区间，
相应的概率称为置信度。
2、算术平均值的标准偏差：
算数平均值的误差为各测量值误差的平均值，而测量值
的偶然误差在相加时有所抵消，因此，算数平均值的标准偏
差要比测量列的标准偏差小，误差理论可以证明，当测量次
数n很大时，
n

 x 
s
n

2
(
x

x
)
 i
i 1
n(n  1)
可以看到，增加测量次数 n 对提高测量精度是有益的。
在实验中，只要条件许可，尽可能采用多次测量，但由于实
验操作时间有限，不可能重复测量很多次，一般为6到10次，
此时仍用上式计算标准偏差，所得结果当然有不同程度的近
似性。
三、测量结果的表示及统计意义
设对某量进行多次等精度测量时，分别求得求平
均值及其标准偏差，则测量结果可表示为：
x  x  x 
这种表示并不意味着真值就是x    x  到 x    x 
中的一个，在消除系统误差的前提下，仅是表示真值
在x    x  到 x    x  范围内的可能性较大。
根据统计理论可以证明，真值在此范围内的概率
为68. 3%，这就是平均值的标准偏差的统计意义。
四、绝对误差、相对误差及百分差
1、绝对误差
为反映测量结果的误差范围，可以把最后测量结果表示成
如下形式：
x  x  x
上式中的x称为测量结果的绝对误差。例如，
对于多次等精度测量，就用  x  表示绝对误差。
2、相对误差
在对不同的测量结果进行比较时，单就绝对误差的大小还
不能客观全面的评价测量结果的优劣，如：
L1 = ( 1000 ± 1 ) m，
L2 = ( 1.00 ± 0.01 ) m
为评价和比较不同的测量结果，引入相对误差的概念，其
定义为：
x
E
 100%
x
表示绝对误差在整个待测量中所占的百分比， 用 E 表示
1
E1 
100%  0.1%,
1000
0.01
E2 
100%  1%
1.00
3、百分差
百分差是将测量值x和公认值（或理论值）x0比较得到的，
反映测量值和公认值（或理论值）的偏离程度。
P
x  x0
x0
 100%
例如：上海地区重力加速度的公认值为g0=979.4cm/s2，而测
量值为g=984.6cm/s2，则百分误差为：
P
g  g0
g0
100% 
984.6  979.4
979.4
100%  0.5%
§1·2·2 单次直接测量结果的误差估算
为什么进行单次测量？
1、由于实验条件的限制，某些量不可能做到在相同的条件下进行
多次测量
2、偶然误差对测量的总误差影响不大，不必进行多次从发测量
单次直接测量结果的误差来源：
1、仪器误差Δins ：在正确使用仪器不产生其他附件误差的条
件下所给出的仪器示值的误差极限。Δins一般由仪器生产厂家
给出，在大学物理实验中，一般取仪器的最小分度值作为Δins
的估值。
仪器误差满足平均分布：  s 
米尺： Δins = 1mm
s 
ins
3
ins
ins

2
3
 0.6mm
2、环境条件的影响：如果单次测量是在一种非正常的不利条件
下进行，是我们无法保证测量的极限误差在仪器误差或仪器的最
小刻度范围内，就不应取Δins为极限误差的估值，而应根据具体
测量条件取更大的值。
§1·3
间接测量结果的误差传递
1·3·1 误差传递的基本公式
（适用于单次测量、极限误差）
N  f  x, y , z ,
，x, x,
y, y, z , z
一、对已定系统误差，误差的大小和正负都是确定的：
f
f
f
绝对误差：N  x  y  z  
P16 (1·3·2)
x
y
z
N  ln f
 ln f
 ln f
相对误差：

x 
y 
z  
P16 (1·3·3)
N
x
y
z
二、对未定系统误差和极限误差，只知道误差大小，不知道误差的正负：
绝对误差：N 
f
f
f
x 
y 
z  
x
y
z
N  ln f
 ln f
 ln f
相对误差：

x 
y 
z  
N
x
y
z
P16 (1·3·4)
P17 (1·3·5)
常用函数关系的误差传递公式（教材P17）
加减法，先算绝对误差后算相对误差
乘除法、复杂函数关系，先算相对误差后算绝对误差
P17
例1 3  1
单次测量测得一圆柱体的直径D  1.00  0.01 cm  p  0.997  ,
长度L  16.00  0.01 cm  p  0.997 ，求圆柱体的体积V。
这里可作为极限误差的传递来处理。
1
1
2
V   D L   3.142 1.002 16.00  12.57cm3
4
4
V
D L
0.01 0.01
2

 2

 2.1%
V
D
L
1.00 16.00
D  12.6  0.021  0.27cm3
最后结果：圆柱体的体积
V
V  12.57  0.27  cm  p  0.997  ; E 
100%  2.1%
V
3
P18
例1 3  2
用单摆测重力加速度，已知摆长的测量值为L  90.00cm，
系统误差为L  0.05cm，周期的测量值为T  1.905s，系统
误差为T  0.001s，求修正后的重力加速度。
本例中，误差的正负和大小均是确定的，属于已定系统误差
的传递，且函数关系式是乘除，所以先计算相对误差方便。
L
0.9000
2
2

4




9.791
m
/
s
T2
1.9052
g L
T
0.05
0.001

2

 2
 0.05%
g
L
T
90.00
1.905
g  4 2
故重力加速度包含的系统误差为：
g
g  g 
 9.791  0.0005   0.005 m / s 2
g
重力加速度的修正值  g  0.005 m / s 2
修正后的重力加速度值为g  9.796 m / s 2
1·3·2 标准偏差的误差传递公式
x  x   x , y  y   y , z  z   z ,
N  f  x, y, z ,

2
 f  2
 f  2
 f  2
绝对误差：  N       x       y       z   
 x 
 z 
 y 
2
2
P18 (1·3·7)
相对误差：
 N
N
2
  ln f  2
  ln f  2
  ln f  2
 
  y
  x
   z   

x

y

z






2
2
P18 (1·3·8)
常用函数关系的标准偏差传递公式(教材P19)
间接测量量的误差计算举例
内径 D1  2.880  0.004cm
外径 D2  3.600  0.004cm
例：已知空心圆柱体的
高度 h  2.575  0.004cm
求环的体积V 和及其误差ΔV。

2
2
2
1

解： 求环体积 V  ( D  D )h   (3.6002  2.8802 )  2.575  9.436cm3
4
 lnV
2 D2
 2
,
求偏导
2
D2
D2  D1
合成
求ΔV
结果
4
 lnV
 2 D1
 2
,
2
D1
D2  D1
 lnV 1

h
h
2 D2  D2 2 2 D1 D1 2  h 2
V
 ( 2
) ( 2
)  ( )  (带入数据)  0.0081
2
2
D2  D1
D2  D1
h
V
V  V
V
 9.436  0.0081  0.08cm3
V
V =（ 9.44±0.08）cm3，E = 0.8%
§1·5
有效数字及其运算
1·5·1 有效数字的概念
测量结果中所有可靠数字和一位欠准数字统称为有效数
字。有效数字的个数则称为有效位数。
1.32545 , 24.675 ,
65890 ,
0.579
, 0.000982
,
0.21067
（1）数值前面的 “ 0 ” 不是有效数字
（2）有效位数不是 “ 小数位数 ”
一、单位换算应保持有效位数不变
测量及结果的数值和数学上的一个数偶不同的含义。在进
行单位换算或改变小数点位置时，可采用科学记数法，把不同
单位用10的不同次幂表示，从而保持有效数字不变。
如： 3.7 m = 3.7×103 mm
二、直接测量的读数原则
直接测量时，凡是可以进行估读的仪器，必需在仪器的最
小刻度下估读一位，估读时，即使刚好是整数刻线对齐，估读
数“0”也涉及有效位数，也应记下。 一般按最小分度值的1/2、
1/5、或1/10估读。
对一定的测量对象而言，有效数字的位数实际反映了所用
测量仪器的精密程度。
可以估读的
仪器一定要
估读！
三、测量结果的有效位数应根据和绝对误差对其来决定
1、因实验误差本身是估计的欠准数字，根据一般只保留一位欠
准数字的原则，所以误差一般只取一位有效数字，至多取二位
（取二位的情况是当误差的第一位数值较小，例如为“1,2,3”，
利用尾数取舍法处理引起的附加误差在整个误差中占的百分比
较大时，保留二位），多余的尾数则采取4舍6入5凑偶的原则取
舍。
例：
误差 Δ = 0.548 mm时，取为Δ = 0.5 mm
误差Δ = 1.37 时，
取为Δ = 1.4 
2、测量结果的有效数字的最后位应与误差位对齐，多余尾数的
取舍原则同上。

例： x  12.457821 mm  ,  x  0.043  mm  ,
x  12.46  0.04  mm  , E 
0.04
 100%  0.32%
12.46
即：误差末位在小数点后第二位，测量结果的最后一位也取到
小数点后第二位。
1·5·2 有效数字的运算规则：
一、加减运算
1.389 + 17.2 + 8.65 + 94.12 = ?
1.3 8 5
17.2
8.6 5
+
94.1 2
—————
121.3 5 5
121.4
结果的小数位数与参加运算的数中小数位数最少的
一个相同
二、乘除运算
12.385 × 2.2 =
?
12.385
×
2.2
—————
24770
24770
—————
272470
27
结果的有效位数与参加运算的数中有效位数最少的
一个相同
三、乘方、开方运算
结果的有效位数与底数的有效位数相同
四、三角函数运算
sin60°5′=0.866751708 (查表)
∵sin1′=0.0002908882045
∴sin60°5′=0.8668
五、对数运算
结果的有效位数与真数的有效位数相同
六、特殊数的有效位数
可以认为准确数字或常数的有效位数是无限多位
§1·6
§1·6·1
§1·6·2
§1·6·3
§1·6·4
数据处理的基本方法
列表法
作图法及其应用
逐差法
最小二乘原理与曲线拟合
§1·6·1 列表法
优点：简明、条理清楚。
设计数据记录表格的原则：
1、表格中所列物理量均应标明名称和单位；
2、表格中各物理量的排列尽量与测量顺序一致；
3、表格中所列数据主要是原始数据，重要的中间计算
结果也可列入表中；
4、如有必要，还应记下测量表格中各量所用的仪器及
其规格，以及环境条件，以利对结果复查。
列表法示例
测定钢珠直径的实验 P24
原始
数据
物理量名称、单位
中间
计算
结果
§1·6·2 作图法及其应用
优点：
1、直观、能形象地表示相关量之间的关系；
2、利用图线可找出两相关量之间的经验公式；
3、在某些情况下，利用图线可外推到没有测量的区域或在
实际测量点之间内插；
用毫米方格纸作图
例：作图法处理实验数据
实验数据列表如下：
表1：伏安法测电阻实验数据
U (V )
I (mA)
0.74
2.00
1.52
4.01
2.33
6.22
3.08
8.20
3.66 4.49 5.24 5.98 6.76 7.50
9.75 12.00 13.99 15.92 18.00 20.01
作图步骤：
1.选择合适的坐标分度值，确定坐标纸的大小
坐标分度值的选取应能反映测量值的有效位数，一般以 1～2mm对应于
测量仪表的仪表误差。（实际在选择坐标分度值时，应既满足有效数字的要
求又要便于作图和读图，一般以1 mm 代表的量值是10的整数次幂或是其2
倍或5倍）
根据表１数据U 轴可选 1.0 mm对应于0.10V，I 轴可选1.0 mm对应于
0.20mA，并可定坐标纸的大小（略大于坐标范围、数据范围） 约为
130mm×130mm。
2. 标明坐标轴：
用粗实线画坐标轴，
用箭头标轴方向，标坐标
轴的名称或符号、单位,
再按顺序标出坐标轴整分
格上的量值。
I (mA)
20.00
18.00
16.00
14.00
3.标实验点：
实验点可用“ ”、
“ ”、“ ”等符号标
出（同一坐标系下不同曲
线用不同的符号）。
12.00
10.00
8.00
6.00
4.00
4. 连成图线：
2.00
0 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00 7.00 8.00 9.00 10.00
用直尺、曲线板等把
点连成直线、光滑曲线。
一般不强求直线或曲线通
过每个实验点，应使图线两边的实验点与图线最为接近且分布大体均匀。图
线正穿过实验点时可以在点处断开。
U (V)
图解法
利用已做好的图线，定量地求得待测量或得出相关量的经
验公式，称为图解法。
1、求与直接测量点相关量的对应值：在利用有限个实验数据绘
制成y-x曲线图后，即可方便地通过曲线求出与任意x值相对应
的y值，或与任意y值相对应的x值
2、外推法：通过对测得的实验曲线延长的方法，求得实际上难
于测量的点的量值。
3、求经验公式：利用实验方法求得相关物理量之间的函数关系。
例：可用利用图解法求直线的斜率。
（1）求斜率要用两点法，不能只取一点，因为直线不一定通过原点
（2）所选两点不能取实验测量点，且两点尽量分开些，两点太近，会影响
所求斜率的有效位数，使结果不准确。
5.标出图线特征：
在图上空白位置标明
实验条件或从图上得出的
某些参数。如利用所绘直
线可给出被测电阻R大小：
从所绘直线上读取两点 A、
B 的坐标就可求出 R 值。
I (mA)
20.00
B(7.00,18.58)
18.00
16.00
14.00
12.00
由图上A、B两点可得被测电阻R为：
U  U A 7.00  1.00
R B

 0.379( k)
I B  I A 18.58  2.76
10.00
6.标出图名：
在图线下方或空白位
置写出图线的名称及某些
必要的说明。
8.00
6.00
4.00
2.00
0
A(1.00,2.76)
1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00 7.00 8.00 9.00 10.00
至此一张图才算完成
电阻伏安特性曲线
U (V)
§1·6·3
逐差法
两个测量值成线性关系时，利用逐差法可以方便地求得斜
率和截距。并能充分地利用测量数据。 设x、y之间有线性关系
y = a + bx ，实验数据为：x1, x2, … , xn 和 y1, y2, …, yn。
 y1  a  bx1
 y  a  bx
 2
2


 yn  a  bxn
根据一般的逐项
取差法，
y1  y2 
b
( x2  x1 )  ( x3  x2 ) 
 y1  y2  y1  b  x2  x1 

 y2  y3  y2  b  x3  x 2 


yn 1  yn  yn 1  b  xn  xn 1 

 yn
yn  y1

 ( xn  xn1 ) xn  x1
这样的计算方法是不可取的。
逐差法的基本方法是把测量数据分为前后个数相等的两组，后
面一组中各个数据减去前面一组中相应的数据，再将结果取平
均求斜率b



 y1  y n 1  y1  b  x n 1  x1 
2
 2



y  y  y  b  x  x 
2
n
2
n
2
2
2

2
 2






 y n  yn  y n  b  xn  x n 

2
2

2 
n
2


 y n i  yi 

i 1  2

b
n
2


 x n i  xi 

i 1  2

求得b后，可以运用累加法求截距a
n
n
y
i 1
n
i
 na  b xi
i 1
a
y
i 1
i
n
 b xi
i 1
n
 y  bx
§1·6·4
最小二乘原理与曲线拟合
图解法处理数据时，人工拟合的曲线不是最佳的。
科研工作中常用最小二乘法来拟合曲线。
用最小二乘法求得变量之间的函数关系称为回归
方程，因此用实验数据寻求最佳拟合线的问题也常称
为方程的回归问题。
设两个变量x与y之间存在线性关系， y  a  bx
设对x和y做了n次测量： x1 , x2 ,
, xn
y1 , y2 ,
, yn
考虑最简单的情况：每个测量值都是等精度的，
且x, y中，只有y有偶然误差。
 y1  (a  bx1 )  1
 y  (a  bx )  
n
n
2
 2
2
2
2
, 令：Q  i    yi  a  bxi 

i 1
i 1

 yn  (a  bxn )  n
最小二乘法要求Q取最小值，使其最小的条件是：
Q
Q
 2Q
 2Q
 0,
 0, 2  0, 2  0。
a
b
a
b
n
 Q
 a  2  yi  a  bxi   0

i 1

n

Q

 2  yi  a  bxi  xi  0
 b
i 1
可解出最佳拟合值：bˆ 
n
n
n
i 1
i 1
i 1
n xi yi   xi  yi


n xi2    xi 
i 1
 i 1 
n
n
2
，
ˆ
aˆ  y  bx
n
相关系数：r 
  x  x  y  y 
i 1
n
i
  xi  x 
i 1
i
2
n
  yi  y 
,
2
i 1
r值越接近1，说明测量数据的线性越强。
r  0, 则表示x与y完全不相关。
 1  r  1,
线性关系（相关系数）
课后自测练习
P33
五、七、八（1、3、5）、九
P34
十六（2、3、5）