Transcript 1．随机误差

第三章
测量误差及数据处理
本章包括以下4个方面的内容：
1、 测量误差的分类和测量结果的表征
2、 测量误差的估计和处理
3、 测量不确定度
4、测量数据处理
3.1 测量误差的分类和测量结果表征
3.1.1、测量误差分类
1．随机误差
定义：在同一测量条件下（指在测量环境、测量人
员、测量技术和测量仪器都相同的条件下），多次
重复测量同一量值时（等精度测量），每次测量误
差的绝对值和符号都以不可预知的方式变化的误差
（1）随机误差的产生原因：对测量值影响微小但却互
不相关的大量因素共同造成。
（2）随机误差表示
 i  xi  x
x1  x2    xn 1 n
x
  xi
n
n i 1
（3）物理意义：精密度，表示测量结果的分散性
2．系统误差
定义：在同一测量条件下，多次测量重复同一量时，
测量误差的绝对值和符号都保持不变，或在测量条
件改变时按一定规律变化的误差
1）系统误差的产生原因：仪器、方法、环境、人员
2）随机误差表示
  x  A0
A0 :被测量的真值
3）物理意义：准确度，表征测量准确度的高低
3．粗大误差
定义：一种显然与实际值不符的误差，在数
据处理时，应剔除掉。
粗大误差的产生原因
（1）测量操作疏忽和失误
（2）测量方法不当或错误
（3）测量环境条件的突然变化
4．系差和随差的表达式
   i  x  A  xi  x  xi  A  xi
在任何一次测量中，系统误差和随机误差一般都是同时
存在的，而且两者之间并不存在绝对的界限。
3.1.2、 测量结果的表征
准确度——表示系统误差的大小。
精密度——表示随机误差的影响。
精确度——用来反映系统误差和随机误差的综合影响。
三者关系如下图所示：
3.2测量误差的估计与处理
3.2.1、随机误差的统计特性及减少方法
随机误差不可避免，服从概率统计规律，用数理统计方法处理
1．随机误差的分布规律
(1) 随机变
量的数字特
征
数字特
征
意义
数学期 反 映 平 均
望E(X) 特性
描述随机
方差
变量与数
D(X)
学期望的
分散程度
描述随机
标准偏 变 量 与 数
 学期望的
差
分散程度
定义
离散型

  E( X ) 
x
连续型

i
pi
  E( X ) 
i 1


D(X)= E(X－E(X))2

＝
D(X )
xp( x)dx
1．随机误差的分布规律
（2）测量误差的正态分布
概率密度函数
1
2
随机误
p( ) 
exp(
)
2
差△
2
2 
测量数
据X
p( x) 
1
2 
exp[
(x  ) 2
2
2
]
数学期
望
方差
标准
偏差
0

2


2
随机误差具有以下规律：
单峰性
p( )
p (x)
对称性
有界性
抵偿性

0
(a)随机误差
x
0
(b) 测量数据
随机误差和测量数据的正态分布曲线
标准偏差 
的意义
p( )
1

越大，曲线越平坦，数
据越分散
2

越小，曲线越尖锐，数
据越集中
3
0

（3）测量误差的非正态分布
分布
类型
概率
密度
函数
概率
密度
曲线
均匀分布
 1

p( x)   b  a
0

a xb
x  a, x  b
三角分布
1


p( x)   a 2  x 2
0

a
a  x  0
0 xa
a  x
 2
a
p( x)  
a  x
 a 2
p( x )
p( x )
0
反正弦分布
b
x
a(若
 b
数 学 ab
，
期望
则为0)
2
a  b
b
标 准 ba
2 3
偏差 ( 若
3 ,则
为
)
适 用 仪器中的刻度盘回差 、
条件 调谐不准确及仪器最小
及 分辨力引起的误差等；
应用 在测量数据处理中，
举例 “四舍五入”的截尾误
差；当只能估计误差在
a
某一范围
内，而不
知其分布时，一般可假
a
定该误差在
内均匀
分布。
a
x a
p( x )
a
0
x a
x
a
0
x
0
a
a
2
6
两个具有相同误差限的均
匀分布的误差之和，其分
布服从三角分布。
如在各种利用比较法的测
量中，作两次相同条件下
的测量，若每次测量的误
差是均匀分布，那么两次
测量的最后结果服从三角
分布。
a
0
x


若被测量 x 与一个量
成
 a sin 
正
弦
关
2系 ，
即
，而
x
本身又是在0～
之间
是均匀分布的，那么
服从反正弦分布。
如圆形刻度盘偏心而致的
刻度误差，与具有随机相
位的正弦信号有关的误差
等。
2．有限次测量的数学期望和标准偏差的估计值
（1）有限次测量的数学期望的估计值——算术平均值
1
x
n
n
x
i
i 1
（2）算术平均值的标准偏差
2
2 1
 (x)   (
n

n

xi ) 
i 1
1
1
n
2
 (
2
n

i 1
1 2
2
n

(
X
)

 (X )
2
n
n
 (x) 
 (X )
n
xi ) 
1
n2
[ 2 ( x1 )   2 ( x 2 )     2 ( x n )]
（3）有限次测量数据的标准偏差的估计值
1
s ( x) 
n 1
s( x ) 
n

 i2
i 1
1

n 1
s( x)
n

( xi  x ) 2
i 1
 i  xi  x
n
【例3-1】 用温度计重复测量某个不变的温度，得11个测
xi 的
量值
序列（见下表）。求测量值的平均值及其标准
偏差。
序
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
52
53
52
52
53
53
52
53
53
53
53
8
1
9
7
1
3
9
0
2
0
1
号
xi
解：①平均值
1
x
n
n

xi 
i 1
1
(528 531 529 527 531 533 529 530 532 530 531)  530.1
11
（℃）
②用公式  i  xi  x
于下表中
序
计算各测量值残差列
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
52
53
52
52
53
53
52
53
53
53
53
8
1
9
7
1
3
9
0
2
0
1
－
+0
－
－
+0
+2
－
－
＋
号
xi
i
2.1
.9
1.1
3.1
.9
.9
1.1
0.1
0.9
0.1
+0
.9
③实验偏差
1
s ( x) 
n 1
④ x
n

 i2  1.767
（℃）
i 1
的标准偏差
s( x ) 
s ( x)
n

1.767
11
 0.53
（℃）
3．测量结果的置信问题
（1）置信概率与置信区间
P[ x  E ( x)  k ]  P[   k ] 

k
k
p( )d
置信概率
置信限
置信系数
置信区间
①
对同一测量结果而言，置信区间越小，置信概率就越越小
②
小
对不同测量结果，若取相同置信概率，则标准偏差越小，置信区间就越
（2）正态分布的置信概率
置信系数k
置信概率P ( 
 k )
1
2
3
0.683
0.954
0.997
p ( )
68.3%
置信系数一般取2～3
95.4%
99.7%
3 2 

2 3 
正态分布不同置信限的概率
0
（3）t分布的置信限
t分布与测量次数有关。当n>20以后，t分布趋于正态分布。正态分布
是t分布的极限分布。
给定置信概率和测量次数n，查表3－4得置信因子kt，自由度：v=n-1
（4）非正态分布的置信因子
分布
k (P=1)
三角
均匀
反正弦
6
3
2
结论：被测量X的测量结果A应表示为：A  x  ks(x ) ，其中，
k为置信因子，由概率分布和置信概率确定
【例3-2求例3-1中温度的测量结果，要求置信概率取0.95。
解：第①～④步同例3-1，此处略
⑤因为是小子样，测量次数为11，应采用t分布
P=0.95,
  111  10
,查表3－4得 k t  2.23
，则
k t s( x )  2.23 0.53  1.1819
故测量结果为：
A  x  ks(x ) =530.1  1.2 ℃。（置信概率P=0.95）
3.2测量误差的估计与处理
3.2.2
系统误差的判断及消除方法
1．系统误差的特征
多次测量同一量值时，
误差的绝对值和符号保
持不变，或者在条件改
变时，误差按一定的规
律变化。不具有低偿性
2．系统误差的发现方法
（1）．不变的系统误差： 校准、修正、实验比对法
（2）变化的系统误差
①残差观察法
i
i
0
i
(a)
0
i
(b)
残差观察法
(a) 存在线性变化的系统误差
(b)无明显系统误差
②马利科夫判据
判别有无累进性系统误差的常用方法。
把n个等精度测量值所对应的残差按测量先后顺序排列，
把残差分成两部分求和，再求其差值D。若D近似等于
零，则上述测量数据中不含累进性系差。否则，包含。
③阿贝－赫梅特判据
检验周期性系差的存在。
n 1

i 1
 i i  1  n  1  s 2
3．系统误差的削弱或消除方法
（1）从产生系统误差根源上采取措施减小系统误差
仪器、方法、环境、人员
（2）用修正方法减少系统误差
（3）采用一些专门的测量方法
①替代法
②交换法
③ 对称测量
法
④ 减小周期性系统误差的半周期法
3.2.3
粗大误差及其判断准则
1、粗大误差的产生原因：
测量人员的主观原因、客观外界条件的原因
2、粗大误差的判别准则
1）莱特检验法
若  i  3s
x i 为异常数据。
，则该误差为粗大误差，所对应的测量值
2）格拉布斯检验法
若  max  G  s
，则该误差为粗大误差，应剔除
4）应用举例
【例3-3】 对某电炉的温度进行多次重复测量，所得结果
列于下表，试检查测量数据中有无粗大误差（异常数据）。
序号
1
2
3
4
5
6
7
8
测量值 （℃）x
20.42
20.43
20.40
20.43
20.42
20.43
20.39
20.30
i
序号
9
10
11
12
13
14
15
测量值 （℃）x
20.40
20.43
20.42
20.41
20.39
20.39
20.40
i
解：① 计算得 x  20.404
计算残差  i  xi  x
为可疑值
序
测 量 值
号 （℃） x
i
1
2
3
4
5
6
7
8
20.42
20.43
20.40
20.43
20.42
20.43
20.39
20.30
残差
（℃）
s=0.033
 8  0.104
填入下表中，可以看到
i
+0.016
+0.026
－0.004
+0.026
+0.016
－0.026
－0.014
－0.104
②用莱特检验法
序号
9
10
11
12
13
14
15
 8  0.104
差
测量值 （℃） 残
（℃）
xi
20.40
20.43
20.42
20.41
20.39
20.39
20.40
－0.004
+0.026
+0.016
+0.006
－0.014
－0.014
－0.004
3 · s=3×0.033=0.099
 8  3 s
故 x8
i
可以判断为粗大误差，应剔除
剔除后的数据计算得： x '  20.411
计算残差得：
 i '  xi  x
残 差 i
序 测 量
号 值 x（
i ℃ ） （℃）
1
2
3
4
5
6
7
8
20.42
20.43
20.40
20.43
20.42
20.43
20.39
20.30
s′= 0.016
+0.016
+0.026
－0.004
+0.026
+0.016
－0.026
－0.014
－0.104
残 差 i '
（℃）
（去掉 x8
后）
+0.009
+0.019
－0.011
+0.019
+0.009
+0.019
+0.029
——
将残差数据填入下表中得
序
测量值
号 （℃） x i
9
10
11
12
13
14
15
20.40
20.43
20.42
20.41
20.39
20.39
20.40
残 差 i
（℃）
残 差 i '
（℃）
去掉 x8 后）
－0.004
+0.026
+0.016
+0.006
－0.014
－0.014
－0.004
－0.011
+0.019
+0.009
－0.001
－0.021
－0.021
－0.011
14个数据的 均小于3 s′，故14个数据都为正常数据。
3.2.4
测量结果处理步骤
1．等精度测量
①利用修正值等方法，对测量值进行修正，将已经减弱不变
系统误差影响的各数据 xi (i  1,2,  n)
，依次列成表格；
②求出算术平均值
③列出残差
 i  xi  x
1
x
n
n
x
i
i 1
n
i  0

，并验证
i 1
④按贝塞尔公式计算标准偏差的估计值
1
s
n 1
n

2
i
i 1
⑤判断是否有粗差，如有应剔除，然后重新计算均值和方差
⑥计算算术平均值的标准偏差
sx 
s
n
⑦写出最后结果的表达式，即 A= x  k  sx
【例3-4】 对某电压进行了16次等精度测量，测量数据
中已记入修正值，列于下表中。要求给出包括误差在内的
测量结果表达式。
序号
1
2
3
4
5
6
7
8
测量值
(V)
xi
序号
205．30
204．94
205．63
205．24
206．65
204．97
205．36
205．16
解：①求出算术平均值
②列出残差
 i  xi  x
测量值
(V)
9
10
11
12
13
14
15
16
1
x
16
205．71
204．70
204．86
205．35
205．21
205．19
205．21
205．32
16

i 1
xi
xi  205.30
n
i  0

，并验证
i 1
1
s
16  1
16

i 1
2
i
 0.4434
序
号
1
2
3
4
5
6
7
8
测量值
(V)
xi
205．30
204．94
205．63
205．24
206．65
204．97
205．36
205．16
残差
i
0．00
－0．36
＋0．33
－0．06
＋1．35
－0．33
＋0．06
－0．14
xi
序号 测量值
(V)
9
10
11
12
13
14
15
16
残 差 i
205．71
204．70
204．86
205．35
205．21
205．19
205．21
205．32
③按莱特准则判断有无  i  3s  1.3302
 5  1.35  3s
x 5  206.65
数据
，应将对应
粗大误差，加以剔除。现剩下15个数据
＋0．41
－0．60
－0．44
＋0．05
－0．09
－0．11
－0．09
＋0．02
，查表中第5个
视为
④ 重新计算剩余15个数据的平均值： x’i=205.21
1
s' 
15  1
15
 '
i 1
2
i
 0.27
⑤ 重新计算 i '  xi  x '
填入下表
序 测量值 x
i
号 (V)
1
205．30
2
204．94
3
205．63
4
205．24
5
206．65
6
204．97
7
205．36
8
205．16
残差
0．00
－0．36
＋0．33
－0．06
＋1．35
－0．33
＋0．06
－0．14
i
,
残 差 i'
＋0．09
－0．27
＋0．42
＋0．03
——
－0．24
＋0．15
－0．05
序 测量值 x
i
号
(V)
9
205．71
10
204．70
11
204．86
12
205．35
13
205．21
14
205．19
15
205．21
16
205．32
i
残 差 i '
＋0．41
－0．60
－0．44
＋0．05
－0．09
－0．11
－0．09
＋0．02
＋0．50
－0．51
－0．35
＋0．14
0．00
－0．02
0．00
＋0．11
残差
'i
⑥按莱特准则再判断 'i  3s  0.81
有无，现各
均小于3s，则认为剩余15个数据中不再含有粗大误差。
⑦ 对 i '
作图，判断有无变值系统误差，见下图。从
图中可见无明显累进性或周期性系统误差。
⑧计算算术平均值的标准偏差：s x
写出测量结果表达式：
 s' / 15  0.27 / 15  0.07
x  x ' 3sx  205.2  0.2
（V） （
3.2.5
误差合成分析
本节课小结
测量系统动态特性
测量误差分类：随机、系统、粗大误差
随机误差的统计特性以及减小方法
数字特性
均值、实验偏差、实验标准差
置信区间、概率，置信系数