Transcript 标准不确定度

第三章
测量误差及数据处理
本章包括以下4个方面的内容：
1、 测量误差的分类和测量结果的表征
2、 测量误差的估计和处理
3、 测量不确定度
4、测量数据处理
3.3
测量的不确定度
3.3.1、不确定度的概念
1．术语
（1）标准不确定度：用概率分布的标准偏差表示
A类标准
不确定度：
用统计方法得到的
B类标准
不确定度：
用非统计方法得到的
（2） 合成标准不确定度：各不确定度分量合成的
（3）扩展不确定度U：由合成标准不确定度的倍数表示的
2． 不确定度的分类
A 类标准不确定度 u A
标准不确定
度
B 类标准不确定度 uB
合成标准不确定度 uC
不确定度
U( k  2)
测量不
确定度
扩展不确定度
U( k  3)
U95
相对不确定度
U99
3． 不确定度的来源：被测量定义的不完善，测量装置或
仪器的影响，测量环境的不完善，计量标准和标准物质的
值本身的不确定度，由随机因素所引起的
3.3.2、误差与不确定度的区别
3.3.3不确定度的评定方法
1．标准不确定度的A类评定方法
①
1 n
x   xi
n i 1
n
②
③
S(X ) 

( xi  x ) 2
i 1
式中自由度为v=n－1.
n 1
S( X )
uA  S ( x ) 
n
自由度意义：自由度数值越大，说明测量不确定度越可信。
2．标准不确定度的B类评定方法
B类方法评定的主要信息来源是以前测量的数据，生产厂提
供的技术说明书，各级计量部门给出的仪器检定证书或校
准证书等。
uB 

k

——被测量不会超出的区间的半宽度；
K
——
置信因子，通常在2~3之间。
正态分布时概率与置信因子K的关系
概率P%
50
置信因子k 0.676
68.27
90
95
95.45
99
99.73
1
1.645
1.960
2
2.576
3
几种非正态分布的置信因子k
分布
k (p=1)
三角
6
梯形
6 / 1  2
均匀
3
反正弦
2
【例3.6】校准证书说明的标称值为10Ω的标准电阻Rs的电阻
值，在23℃时为（10.000742±0.000129），并说明其不确定
度区间具有99%的置信水平。求解电阻的相对标准不确定度。
解：由校准证书的信息已知α＝129 ，P＝0.99，假设为正态分
布，查表得k=2.58
uB 
电阻的标准不确定度为：

k
u B ( R s )  129 / 2.58  50
相应的相对标准不确定度为：  B (RS ) / RS
 50106 / 10  5 106
3．合成标准不确定度的计算方法
（1）协方差和相关系数的概念
相关性：如果有两个随机变量X和Y，其中一个量的变化导致另一
个量的变化，那么这两个量是相关的
统计独立：如果两个随机变量的联合概率分布是它们每个概率分布
的乘积，那么这两个随机变量是统计独立的
独立的变量之间肯定不相关，但不相关的变量间不一定独立。
①协方差：
Cov( X , Y )  E[( x   x )( y   y )]
协方差的估计值：
②相关系数：
S xy
Q( X , Y ) 
1 n

( xi  x )( yi  y )

n  1 i 1
Cov( X , Y )
 ( X ) (Y )
3．合成标准不确定度的计算方法
(2) 输入量相关时, 使用不确定度传播律
1/ 2
N 1 N


f f
 N  f  2

uC ( y )     u ( xi )  2  
r ( xi , x j )u( xi )u( x j ) 
i 1 j i 1 xi x j
 i 1  xi 



2
（3）输入量不相关时不确定度的合成
①
可写出函数关系式 Y＝ｆ（X1，X2，……，XN） ；
 N  f
u c ( y )   
 i 1  xi





2

2
u ( x i )


1/ 2
f
式中
称为灵敏系数
x i
②
不能写出函数关系式，合成标准不确定度为各标准不确定度分量ｕｉ
的方和根值。
uC 
N
2
u
 i
i 1
【例3-7】一台数字电压表出厂时的技术规范说明；“在仪器
校准后的两年内，1V的不确定度是读数的14×10－6倍加量程的
2×10－6倍”。在校准一年后，在1V量程上测量电压，得到一
组独立重复测量的算术平均值为V=0.928571V，并已知其A类标
准不确定度为uA( V)=14μV，假设概率分布为均匀分布，计
算电压表在1V量程上测量电压的合成标准不确定度。
解：电压的合成标准不确定度如下计算：
已知A类标准不确定度为uA( V )=14μV。
B类标准不确定度可由已知的信息计算，首先计算区间半宽

a  14106  0.928571
V  2 106 1V  15V
假设概率分布为均匀分布，则k = 3 ，那么，电压的B类标准不确定度为
u B (V )  15V / 3  8.7V
于是合成标准不确定度为
u C (V ) 
u A2 (V )  u B2 (V )  [(14 V ) 2  (8.7 V ) 2 ]1 / 2  16 V
4．扩展不确定度的确定方法
包含因子
合成不确定度
U＝
测量结果可表示为Y＝
ｙ±U
k·u
C
包含因子是的选取方法有以下几种：
1）如果无法得到合成标准不确定度的自由度，且测量值接近正态分布时，
则一般取ｋ的典型值为2或3，通常在工程应用时，按惯例取ｋ＝3。
2）根据测量值的分布规律和所要求的置信水平，选取ｋ值。
均匀分布时置信概率与置信因子k的关系
P﹪
k
57.74
1
95
99
100
1.65
1.71
1.73
3）如果uc(ｙ)的自由度较小，并要求区间具有规定的置信水平时，使用t分
布，求包含因子的方法如下：
①计算合成标准不确定度uc(y)的有效自由度
veff
v eff 
u C4 ( y )
N

i 1
C i4 u 4 ( x i )
vi
②根据要求的置信概率和计算得到的自由度veff，查t分布的t值表得k p
【例3-8】设某输出量 ，式中 是乘积关系，分别为n1=10次，n2=5次，
n3=15次重复独立测量的算术平均值。其相对标准不确定度分别为
u( x1 ) / x1  0.25%, u( x2 ) / x2  0.57%, u( x3 ) / x3  0.82%
求：测量结果y在95%置信水平时的相对扩展不确定度。
解：
2
 u C ( y) 

 
 y 
n

i 1
2
 u( xi ) 
2
2
2
2

  0.25%  0.57%  0.82%  (1.03%)
 xi 
uC ( y)
 1.03%
y
v eff 
[u C ( y )] 4
3

i 1
[c i u ( x i )]
vi
4

[u C ( y ) / y ] 4
3

i 1
[u ( x i ) / x i ]
vi
4

1.034
4
4
4
0.25
0.57
0.82


10  1 5  1 15  1
根据P=95%，veff=19，查t分布的t值表3－4得
U 95
 k P uC ( y) / y  2.09  1.03%  2.2%
y
 19.0
3.3.4测量不确定度的评定步骤
①明确被测量的定义及测量条件，明确测量原
理、方法、被测量的数学模型，以及所用的测量
标准、测量设备等；
②分析并列出对测量结果有明显影响的不确定
度来源，每个来源为一个标准不确定度分量；
③定量评定各不确定度分量，特别注意采用A类
评定方法时要剔除异常数据；
④计算合成标准不确定度；
⑤计算扩展不确定度；
⑥报告测量结果。
【例3．9】 用电压表直接测量一个标称值为200Ω的电
阻两端的电压，以便确定该电阻承受的功率。测量所用的
电压的技术指标由使用说明书得知，其最大允许误差为
±1％，经计量鉴定合格，证书指出它的自由度为10。当
证书上没有有关自由度的信息时，就认为自由度是无穷大
。标称值为200Ω的电阻经校准，校准证书给出其校准值
为199.99Ω，校准值的扩展不确定度为0.02Ω（包含因子
k为2）。用电压表对该电阻在同一条件下重复测量5次，
测量值分别为：2.2V、2.3V、2.4V、2.2V、2.5V。测量时
温度变化对测量结果的影响可忽略不计。要求报告功率的
测量结果及其扩展不确定度：
解 1）数学模型
V2
P
R
2）计算测量结果的最佳估计值
2.2  2.3  2.4  2.2  2.5
 n 
V  2.32V
① V   Vi  / n 
5
 i 1 
②
(V ) 2 (2.32) 2
P

W  0.027W
R
199.99
3）测量不确定度的分析
本例的测量不确定度主要来源为①电压表不准确；②电
阻不准确；③由于各种随机因素影响所致电压测量的重复
性。
4）标准不确定度分量的评定
①电压测量引入的标准不确定度
(a)电压表不准引入的标准不确定度分量u1（V）。已
知电压表的最大允许误差为±1%，且该表经鉴定合格
，所以u1（V）按B类评定。测量值可能的区间半宽度
a1为a1=2.32V×1%=0.023V。设在该区间内的概率分布
为均匀分布，所以取置信因子k1＝
3 ，则:
a1 0.023
u1 (V ) 

 0.013V
k1
3
(b) 电压测量重复性引入的标准不确定度分量u2（V）。已
知测量值是重复测量5次的结果，所以u2（V）按A类评定。
n
V 
V
i 1
n
5
S 
 (x
i 1
i
i
 2.32V
 x)2
5 1

0.122  0.022  0.082  0.122  0.182
V  0.13V
4
u 2 (V )  S ( x ) 
(c)由此可得: u (V ) 
S
n

0.13
5
V  0.058V
u1 (V ) 2  u 2 (V ) 2  0.013 2  0.058 2 V  0.059V
v eff (V ) 
u C4 (V )
u14 (V )
v1

u 24 (V )
v2

0.05944
4
4
 4.3
0.013
0.058

10
4
②电阻不准引入的标准不确定度分量u（R）
由电阻的校准证书得知，其校准值的扩展不确定度U
＝0.02Ω，且k=2，则u（R）可由B类评定得到
u ( R) 
a2 U
0.02


 0.01
k2
k
2
5）计算合成标准不确定度uC(P)
V2
P
其中输入量V（电压）和R（电阻）不相关。所以
R
u C ( P )  c12 u 2 (V )  c 22 u 2 ( R )
①计算灵敏系数c1和c2，得
P 2V 2  2.32


 0.023V / 
V
R
199 .99
P V 2
(2.32) 2
2
2
c2 
 2 

0
.
00013
V
/

R R
(199.99) 2
c1 
②计算uC (P) ，得
u C ( P)  (0.023) 2 (0.059 ) 2  (0.00013 ) 2 (0.01) 2  0.0014W
6）确定扩展不确定度U
①要求置信水平P为95%（即P＝0.95）
②计算合成标准不确定度uC (P)
自由度
v(V )  4.3
可设为
，则
u (V )
veff
u (R)
的有效自由度veff：
v，
(R)
的自由度

uC4 ( P)
0.00144
 4 4

 5.2
4 4
4
4
c1 u (V ) c2 u ( R) 0.023  0.059

4.3
v(V )
v( R)
取veff的较低整数，则veff为5。
③根据P＝0.95，veff＝5，查t分布表3－42，得 k0.95  t 0.95 (5)  2.57
④扩展不确定度U0.95为
U 0.95  k0.95uc ( P)  2.57  0.0014 0.003 6 W  0.004W
7）报告最终测量结果
功率P＝（0.027±0.004）W
（置信水平P＝0.95）
正负号后的值为测量结果的扩展不确定度，置信水平为0.95，
包含因子为2.57，有效自由度为5。
3.4
测量数据的处理
3.4.1、有效数字的处理
1．数字修约规则
四舍六入，
逢五取偶
例如，将下列数据舍入到小数第二位。
12.4344→12.43
25.3250→25.32
63.73501→63.74
17.6955→17.70
0.69499→0.69
123.115→123.12
2．有效数字
从左边第一个非零数字到最
末一位数为止的全部数字
例如：3.142
8.700
8.7×103
0.0807
四位有效数字，极限误差≤0.0005
四位有效数字，极限误差≤0.0005
二位有效数字，极限误差≤0.05×103
三位有效数字，极限误差≤0.00005
测量结果（或读数）的有效位数应由该测量的不确定度来
确定，即测量结果的最末一位应与不确定度的位数对齐。
3．近似运算法则
保留的位数原则上取决于各数中准确度最差的那一项
3.4.2 测量数据的表示方法
1．列表法
X
2
4
6
8
10
Y
8.0
8.2
8.3
8.1
8.0
2．图示法
3．经验公式法
就是通过对实验数据的计算，采用数理统计的方法，确定它们之
间的数量关系，即用数学表达式表示各变量之间关系。
根据变量个数的不同及变量之间关系的不同，分为一元线形
回归（直线拟合），一元非线性回归（曲线拟合），多元线
性回归和多项式回归等。
几种典型曲线对应的直线方程的转换（部分）
函数
名称
双
曲
线
曲线形状
b0  0
y
y
b1  0
经验公式
b0  0
b1  0
0
0
幂
函
数
b
1
 b0  1
y
x
x
转换关
系
直线方程
X  1/ x Y  b0  b1 X
Y  1/ y
x
y
b1  1
b1  1
0  b1  1
0
a 0 0
x
y  ax b1
Y  log y
X  log x
b0  b1 log a
Y  b0  b1 X
3.4.3 建立经验公式的步骤
已知测量数据列( x i , y i i  1,2,  , n
),建立公
式的步骤如下：
yi
1）将输入自变量 x i 作为横坐标，输出量
即测量值作
为纵坐标，描绘在坐标纸上，并把数据点描绘成测量曲线。
2）对所描绘曲线进行分析，确定公式的基本形式。
①直线，可用一元线性回归方法确定直线方程。
②某种类型曲线，则先将该曲线方程变换为直线
方程，然后按一元线性回归方法处理。
③如果测量曲线很难判断属于何种类型，这可以
按曲线多项式回归处理。
3）由测量数据确定拟合方程（公式）中的常量。
4）检验所确定的方程的准确性。如果此方程是由曲线方程变
换得来，则应先把拟合直线方程反变换为原先得曲线方程再
进行检验。
①
测量数据中的自变量代入拟合方程计算出函数值
y′
 i  yi  yi '
②计算拟合残差  i ，
③计算拟合曲线的标准偏差

 i 2
nm
式中：m为拟合曲线未知数个数，n为测量数据列长度。
④如果标准偏差很大，说明所确定的公式基本形式有
错误，应建立另外形式公式重做。
3.4.4
一元线性回归
设拟合的直线为 y  a  bx
下几种方法：
1.端点法
a  y1  bx1
，也称直线拟合，通常有一
b
yn  y1
xn  x1
2.平均选点法
k
x1 
x
k
i
i 1
y1 
k
n
x2 
b
x
y
i
i 1
k
n
i
i  k 1
nk
y 2  y1
x 2  x1
y2 
y
i
i  k 1
nk
a  y1  bx1  y 2  bx 2
xyii
3.最小二乘法
n
n
n
 
xi
a
i 1
i 1
n
(

n
xi y i 
n
 
yi
i 1
n
xi ) 2  n
i 1

xi 2
i 1
n
x y
i
b
i 1
n
i 1

xi ) 2  n
i 1
i 1
i
n
(
x i2
n
x y
i
i
i 1
n

x i2
i 1
[3-10】 对量程为10Mpa的压力传感器，用活塞式压力计进行测
试，输出由数字电压表读数，所得各测量点的输出值列于下表
中。试用端点法、平均选点法和最小二乘法拟合线性方程，并
计算各种拟合方程的拟合精度。
压力
2
4
6
8
10
20.093
30.135
40.128
50.072
（MPa）
输出 （mV） 10.043
解：计算过程略。结果见下表
xi
压力 (Mpa)
输出 y i
端点法
平均选点法
（mV）
理想直线
残差
y i '  a  bxi
 i  yi  yi '
2
10．043
10．044
4
20．093
6
最小二乘法
理想直线
残差
理想直线
y i '  a  bxi
 i  yi  yi '
y i '  a  bxi
 i  yi  yi '
－0．001
10．95
－0．052
10．080
－0．0337
20．052
0．041
20．097
－0．004
20．090
0．003
30．135
30．060
0．093
30．099
0．054
30．100
0．053
8
40．128
40．068
0．060
40．101
0．027
40．110
0．018
10
50．072
50．068
－0．004
50．103
－0．031
50．120
－0．048
残差
拟合直线方程
y  0.036  5.004x
y  0.093 5.001x
y  0.070  5.005x
拟合误差σ
0．068
0．049
0．048
第三章小结
1.随机误差：概念及其计算步骤
2．系统误差
3. 粗大误差：概念及剔除方法
4. 不确定度：A类 、B类、合成及扩展不确定
度
5. 测量数据处理