附录Ⅱ 误差分析和数据处理 - 南京航空航天大学精品课程建设
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Transcript 附录Ⅱ 误差分析和数据处理 - 南京航空航天大学精品课程建设
材料力学
测试原理及实验
误差分析和数据处理
南京航空航天大学力学中心
二○○四年七月
附录Ⅱ
误差分析和数据处理
被测量的真值和试验所得的给出值总存在一定
的差异，这就是测量误差。而误差的存在使我们
对客观事物的认识受到不同程度的歪曲，因此就
必须进行误差分析。
附录Ⅱ
误差分析和数据处理
另一方面，一般原始的测试技术都是参差不齐
的，需运用数学方法加以精选、加工，以求获得可
靠、真正反映事物内在本质的结论，这就是要进行
数据处理。
误差分析和数据处理是判断科学实验和科学
测试结果质量和水平的主要手段。
Ⅱ-1 误差的基本概念
一、误差的定义和表示方法
（一）误差定义：
测量误差：是指被测量的实测值与其真值的
差别。
Ⅱ-1 误差的基本概念
（二）表示方法
１、绝对误差
绝对误差=测量值- 真值
其中真值在以下情况下被认为是已知的。
Ⅱ-1 误差的基本概念
（１）理论真值：由理论公式计算所得结果；
（２）规定真值：由国际上公认的某些基准量。
（如一米是光在真空中于1/299792458 秒时间内所
到之长度）
（３）相对真值
Ⅱ-1 误差的基本概念
２．相对误差
绝对误差
相对误差
100%
被测真值
相对误差便于评价测量精度的高低。
Ⅱ-1 误差的基本概念
３、引用误差
仪表的最大示值误差
引用误差=
100%
仪表的测量上限
（又称基本误差，而仪表的基本误差应不超过所
允许的误差，允许误差可引用误差的形式表示，
且当允许误差去掉百分号、正负号后的数字被称
为仪表的准确度级，如 0.1;0.2;0.5
）
Ⅱ-1 误差的基本概念
二、误差的来源
（一）测量装置误差
（二）环境误差
（三）方法误差
（四）人为误差
Ⅱ-1 误差的基本概念
三、误差的分类
（一）随机误差
在相同条件下，对同一对象进行多次测量，
有一种大小、符号都作随机性变化而无确定规律的
误差，称为随机误差。
Ⅱ-1 误差的基本概念
（二）系统误差
在相同条件下，对同一对象进行多次测量，
有一种绝对值和符号不变，或按某一规律变化的
误差，称为系统误差。
（三）粗大误差
Ⅱ-1 误差的基本概念
四、测试数据的精度
（一）准确度
表示测量结果中系统误差大小的程度。反映
测试数据的平均值与被测量真值的偏差。
（二）精密度
表示测量结果中随机误差大小的程度。反映
了测试数据相互之间的偏差。
Ⅱ-1 误差的基本概念
（三）精确度
表示测量结果中系统误差和随机误差综合大小
的程度，反映了测量结果与被测真值偏离的程度。
Ⅱ-1 误差的基本概念
五、不确定度
根据国家计量局《关于表达不确定度的建议
草案》，把不确定度按估计其权值所用的方法不
同归并成两类：
A类分量：对一系统多次重复测量后，用统计方法计
算出的标准偏差。
B类分量：用其他方法估算出的近似的标准偏差。
Ⅱ-1 误差的基本概念
而后用方和根的方法合成A类分量和B类分量，
合成后仍以标准偏差的形式表征，称为合成不确
定度。合成不确定度乘以一系数，从而得到总不
确定度，用下式表示：
U K
其中：
K
U
合成不确定度；
置信系数；
总不确定度。
Ⅱ-2 随机误差的性质与处理
一、正态分布规律
在工程应用中，大多数随机误差的分布具有
以下几个特点：
（一）对称性：绝对值相等的正、负误差出现的概
率相等。
（二）单峰性：绝对值得误差出现的概率大，
绝对值大的出现的概率小。
Ⅱ-2 随机误差的性质与处理
随机误差的分布的几个特点：
（一）对称性：绝对值相等的正、负误差出现的概
率相等。
（二）单峰性：绝对值得误差出现的概率大，
绝对值大的出现的概率小。
（三）有界性：在有限次的测量中，绝对值很大
的误差出现的概率近于零。
（四）抵偿性：随着测量次数的增加，随机误差
的代数和趋近于零。
以上规律的概率分布成为正态分布。
Ⅱ-2 随机误差的性质与处理
二、正态分布线
高斯于1795年提出了正态分布的随机误差值
与其出现的概率之间的函数关系式：
1
2 / 2 2
y p( )
e
2
其中 y 为误差出现的概率密度
1 n 2
i
为标准差或均方根差 lim
n
n i 1
i 为随机误差
i xi Ts
xi 为单次测量结果。
Ts 为被测量的真值。
Ⅱ-2 随机误差的性质与处理
将式绘制成曲线就是著名的高斯正态分布曲线，
如图
测量值落在区间 [ xa , xb ]内的概率为曲线在该
段的积分，有
xb
b
xa
a
p{xa x xb } p( x)dx p( )d
Ⅱ-2 随机误差的性质与处理
三、随机误差的评价指标
（一）算术平均值
测量的目的是为了得到被测量的真值 Ts ，但
每次都有随机误差（在不计粗大误差和系统误差
的情况下）。而通常把测量值的算术平均值 x 作
为被测量的近似真值。
（二）剩余误差
用 表示剩余误差，而
i xi x
Ⅱ-2 随机误差的性质与处理
（三）标准差
人们发现，标准差 可以比较好的表达正态分
布规律的分散性大小，在工程实际应用中， 用以
下算式估算
1 n 2
i
n 1 i 1
Ⅱ-2 随机误差的性质与处理
（四）算术平均值的标准差
一般用算术平均值 x 作为真值 Ts 的近似值，
而用 x表示算术平均值的标准差，用以表示 x 的
分散程度。有关系式：
n
x
i 1
2
i
n(n 1)
n
Ⅱ-2 随机误差的性质与处理
四、置信概率和极限误差
（一）置信概率
在一组等精度的测量值中，大小 x为的测量值
落入指定区间 [ xa , xb ]内的概率称为置信概率，而
该指定区间 [ xa , xb ] 称为置信区间。
（二）单次测量的极限误差
显然置信区间取得宽，置信概率就大，反之则
小。
一般，当置信区间宽为 时，测量值落入区
间 (Ts )内的概率为68.3%，也就是说，进行100
次测量，大约有68次的值是落在 的范围的。
Ⅱ-2 随机误差的性质与处理
当置信区间宽为 2 时，对应概率为95.4%
当置信区间宽为 3 时，对应概率为99.7%
因此可认为绝对值大于 3 的误差几乎不可能
出现，所以通常又把 3 的误差称为单次测量误
差，用 lim 表示。
lim 3
（三）算术平均值的概率误差
lim 3 x
其中：
lim 算术平均值的极限误差
x 算术平均值的标准差
Ⅱ-3系统误差的发现和消除
系统误差是由固定不变的或按确定规律变化的
因素造成的，一般说来这些因素是可以掌握的。
对待系统误差的基本措施就是设法发现并消除它。
Ⅱ-3系统误差的发现和消除
一、系统误差的分类
按系统误差出现的特点及对测量结果的影响，
可分为定值系统误差和变值系统误差两类。
（一）定值系统误差
在测试过程中，误差的大小和符号是不变的。
Ⅱ-3系统误差的发现和消除
（二）变值系统误差
1、累积性系统误差：在测试过程中，随着测量
时间的增长或测量数值的增大误差值也随它逐渐
增大或减小这样的误差，称累积性系统误差或线
形变化系统误差。
2、周期性系统误差：误差的大小和符号呈周期性
变化。
3、按复杂规律变化的系统误差：
Ⅱ-3系统误差的发现和消除
二、系统误差的发现和消除
系统误差的消除和修正，主要靠对测量技术等
的研究，以及对测量方法、测量装置的原理与调
整等的 仔细分析。
（一）定值系统误差的发现和消除
定值系统误差在测量中是固定不变的，设
其为，则测量值可表示为
xi Ts 0 i
Ⅱ-3系统误差的发现和消除
（一）定值系统误差的发现和消除
定值系统误差在测量中是固定不变的，设
其为，则测量值可表示为
xi Ts 0 i
其中： Ts 为被测真值
0
为定值系统误差
i 为第次测量的随机误差
xi 为第次测量值。
Ⅱ-3系统误差的发现和消除
所以一组测量值的平均值为
n
x
x
i 1
n
i
1 n
Ts 0 i
n i 1
n
趋近于零，则上式变为
在 n 适当大时，
i 1
i
x Ts
0
Ts x
0
所以真值
Ⅱ-3系统误差的发现和消除
另一方面：
1 n
i xi x (Ts 0 i ) (T0 0 i ) i
n i 1
可见定值系统误差对剩余误差无影响，因此
对标准差 也无影响，也就是说在分布曲线上，
定值系统误差不改变误差分布曲线的形状，只是
使随机误差分布曲线的位置作一下平移。
定值系统误差的消除一般采用以下方法：
1、预检法：对测试器具作预先检定。
2、抵消法：设法使其在测量中一次为正，另一
次为负，这样在均值中就可以被消除。
Ⅱ-3系统误差的发现和消除
（二）变值系统误差的发现和消除
变值系统误差对每一个测量值的影响都不一样，
因此，在均值中含有系统误差，且在剩余误差中
也含有系统误差。因此它不仅影响被测量的算术
平均值，而且也影响随机误差的分布规律，因此
必须发现并加以消除。常用方法有：
Ⅱ-3系统误差的发现和消除
１、剩余误差观察法：将一组测量数据的剩余误
差依次排列起来，观察其有无规律，从而消除，
这种方法一般重复测量次数多于20次。
２、剩余误差符号检测法：观察剩余误差正负的
个数，当满足| n n | 0 ，
则可以认为没有显著的变值系统误差，这种方
法在 n 较小时不太可靠。
Ⅱ-4 粗大误差的发现及剔除
一般剔除粗大误差有许多准则，以下简介几种：
一、莱依达法则（ 3 准则）
把误差超过 3 的测量值视为含有粗大误差，
予以剔除，对优先次测量来说，即有：
| i || xi x | 3
时，
该依据应剔除，剔除后再重新算 x, , i 。
当 n 较小时，此准则的可靠性较差。
当 n 10 时，此准则就不适用了。
Ⅱ-4 粗大误差的发现及剔除
二、格拉布斯准则
对一组数据 xi (i 1
, n) ，若
| i || xi x | G
时，
应予剔除，其中值根据测量次数 n 和置信概率 p
查表而得（见p163）
注意：在剔除含有粗大误差的数据时，按照准则，
每次是应剔除数据中 | i |最大的一个。
Ⅱ-5误差合成
一、系统误差的合成
（一）定值系统误差的合成
测量中，若有个单项定值系统误差 1 ,
则总的定值系统误差为
1 2
2
r
r
i
i1
它可以按上式从测量结果中加以修正。
, r，
Ⅱ-5误差合成
（二）未定系统误差的合成。
未定系统误差是指系统误差虽然没有被确切
掌握，但可估计出不致超过某一极限危险范围 ei
的误差。
即若有 S 次未定系统误差 e1 , e2 , es ，且他们
互不相关，则总的未定系统误差的极限误差为
e e12 e22
es2
s
2
e
i
i 1
Ⅱ-5误差合成
二、随机误差的合成
设多项随机误差的标准差分别为 1 , 2 q，
且互不相关，则各随机误差综合作用的结果的标准
差为
q
2
1
2
2
2
q
i 1
2
i
或已知 q个独立的极限误差 lim1 , lim2 , lim q，
且各项误差均服从正态分布，则总的极限随机误
差为
q
lim
2
lim1
2
lim2
2
lim q
i 1
2
lim i
Ⅱ-5误差合成
三、系统误差与随机误差的合成
设测量过程中同时存在 r个单项已定系统误差，
q
s
个单项未定系统误差，个单项随机误差，它们的
,
,
1
2
r
极限误差分别是：
e1 , e2 , es
lim1, lim2 , lim q
先修正掉正定系统误差，而后，测量结果总
的极限误差就是总的极限误差与总的极限随机误
差的方和根，即
总
q
s
e
i 1
2
i
i 1
2
lim i
Ⅱ-5误差合成
四、间接测量的误差合成
设间接测量 y 与 n个直接测量量 x1 , x2 ,
的关系是：
xn
y f ( x1 , x2 , , xn )
x1 , x2 , xn的正定系统误差为 x1 , x2 ,
xn ，
及未定系统误差和随机误差的极限值为 e1 , e2 , en
和 1 , 2 , n ，且当误差均服从正态分布时，则
有：
y 的正定系统误差 y 为：
f
f
y
x1
x2
x1
x2
f
xn
xn
Ⅱ-5误差合成
y 的极限未定系统误差为：
ey
y 的极限随机误差为：
f 2 2
( ) ei
i 1 xi
n
f 2 2
y ( ) i
i 1 xi
n
y 的正定系统误差修正后的总的合成误差为：
y ey
2
2
y
Ⅱ-６测量数据处理及测量结果的表示
一、单次测量
测量结果可表示为： xi
总
其中 xi为单次的测量值， 总为按21式的经验估算值。
Ⅱ-６测量数据处理及测量结果的表示
二、多次测量
设对某量进行等精度的多次测量后得到数
据 x1 , x2 , xn，则：
1、判断定值系统误差，并加以修正；
2、求算术平均值 x ；
3、求剩余误差 ( i ) ；
4、由 ( i ) 判断是否有变值系统误差，设法消除；
5、求单次测量的标准差；
Ⅱ-６测量数据处理及测量结果的表示
6、判断有无粗大误差，若有，则剔除并重复前
2，3，5步骤，直至无粗大误差为止；
7、求算术平均值的标准差及极限误差；
8、求测量结果的总极限误差；（由21式给出）
9、写出结果
x x
总
Ⅱ-６测量数据处理及测量结果的表示
三、间接测量
若间接被测量为 y ，且有 y f ( x1 , x2 ,
xn )
其中 x1 , x2 , xn为直接测量量，则应：
1、先按前述方法处理各直接测量量的数据，给出
各量的最佳值 ( xi或xi ) ，以及总极限误差 总i ，
2、计算间接测量量；
单次时： y f ( x1 , x2 ,
xn )
多次时： y f ( x1, x2 ,
xn )
Ⅱ-６测量数据处理及测量结果的表示
3、给出间接测量量的总极限误差
按25式得：
y e
2
y
4、给出结果：
y y
2
y
Ⅱ-7一元线性回归
用数学处理的方法得出两变量之间的关系，就
是工程上所说的拟合问题。若两变量间的关系是
线形关系，就称这种拟合为线性拟合或一元线性
回归。
设两变量 x, y 之间有线性关系
y a0 a1 x
Ⅱ-7一元线性回归
所谓线形拟合实际上就是通过一组数据
x1 , x2 , xn
y1, y2 , yn
去确定25式中的 a0 和 a1 。其方法有以下几种：
（一）端值法：
一、回归方程的求法
用数据中的两个端点值 ( x, y ) ( xn , yn ) 代入28
式中求出 a0 , a1 即可。
Ⅱ-7一元线性回归
（二）平均值法：将全部数据代入 y a0 a1 x 中得：
y1 a0 a1 x1
yn a0 a1 xn
Ⅱ-7一元线性回归
将上面 n个方程分成两组，两组分别组内相加得
到两个方程：
yk1 a0 a1 xk1
yk 2 a0 a1 xk 2
k
其中：
yk 1
k
y
i 1
n
i
k
xk 1
y
yk 2
k
从而求出 a0 , a1
i k 1
x
i
i 1
k
n
i
xk 2
x
i k 1
k
i
Ⅱ-7一元线性回归
（三）最小二乘法
a0
a1
2
y
x
i i xi xi yi
n x ( xi )
2
i
2
n xi yi xi yi
n xi2 ( xi )2
Ⅱ-7一元线性回归
二、相关系数及其显著性检验
描述两个变量之间线性关系密切程度的指标
是相关系数 。
( x x)( y y)
( x x) ( y y )
i
i
2
i
2
i
| | 愈接近于1，则 x, y 的线性关系愈密切。
Ⅱ-7一元线性回归
三、经验公式的回归精度
测量数据的标准差用 表示
2
(
y
y
)
i
n2
2
i
n2
其中： i yi y 称距回归直线的剩余误差。
n 为测量次数
是衡量 y
随机波动大小的一个估算量，
它反映了 y i 以回归直线为中心散布的情况。