Transcript 人教版高一数学上册第三章函数的应用课件

一元二次函数、方程、不等式的关系
Δ>0
Δ=0
Δ<0
函数
y=ax2+bx+c
(a>0)图象
{x|x=x1=x2
ax2+bx+c=0 {x|x=x1
=  2ba }
或x=x2 }
b
ax2+bx+c>0 {x|x<x1
{x|x≠  }
2a
(a>0)
或x>x2}
ax2+bx+c<0{x | x <x<x }
1
2
Φ
(a>0)
Φ
R
Φ
例1.求证：一元二次方程2x2+3x-7=0有两个不
相等的实数根。
证法1：因为△=32-4×2×(-7)=65>0
所以方程2x2+3x-7=0有两个不相等的实数根。
证法2.设f(x)= 2x2+3x-7
如图因为函数的图象是一条开口向
上的抛物线，且
f(0)=2 × 02+3 × 0-7=-7<0
所以函数f(x)的图象与x轴有两个
不同的交点,即方程2x2+3x-7=0有
两个不相等的实数根。
例2
思考：若x0是二次y=f(x)的零点，且m<x0<n,那
么，f(m)f(n)<0一定成立吗？
二次函数在闭区间上的最值
一课三练P45
一元二次方程根的分布

一元二次方程：ax2+bx+c=0
1.有两不相等的实根
△>0;
有两相等实根
△=0；
没有实根
△<0
b
c
2.韦达定理:x1  x2   ; x1  x2 
a
a
两根同号  x1 x2  0 ; 两根异号 
x1  x2  0

有两正根  
;有两负根 
 x1  x2  0
x1 x2  0
 x1  x2  0

 x1  x2  0
3.使方程ax2+bx+c=0 （a>0）在相应区间内有
根的条件 (x1<x2，m<n<a<b)
根的
分布
有2个根
只有1个根
x1∈(-∞，m)
x2∈(m，+∞)
ìï D > 0
ïï
ïï m < - b < n
2a
í
ïï f (m ) > 0
ïï
ïî f (n ) > 0
f(m)f(n)<0
f(m)<0
在(m，n)上
f(x)=ax2
+bx+c图
象位置
条件
3.使方程ax2+bx+c=0 （a>0）在相应区间内有
根的条件 (x1<x2，m<n<a<b)
根的
分布
在[m， +∞)上
有2个根
只有1个根
x1∈(m，n)
x2∈(a，b)
f(x)=ax2
+bx+c图
象位置
条件
  0

b

m  
2a

 f ( m )  0
f(m)≤0
 f (m) f (n)  0

 f ( a ) f ( b)  0
例题
例1、已知f(x)=mx2+(m-3)x+1的图象与
x轴的交点至少有一个在原点的右侧，求
实数m的取值范围。
y
y
y
o
o
x
o
y
x
o
m=0
m<0
x
m>0
x
例1、已知f(x)=mx2+(m-3)x+1的图象与x轴的交点至
少有一个在原点的右侧，求实数m的取值范围。
解：当 m=0 时，f(x) = -3x+1与x轴交点为
(
, 0) 满足条件
当m<0时，开口向下，
x轴的交点一定分布在原点两侧
当m>0时
所以m的取值范围是(-∞，1]
则与
例题
例2、关于x的方程lg(kx)=2lg(x+1)有
且仅有一个实数解，求实数k的取值范
围。
例2、关于x的方程lg(kx)=2lg(x+1)有且仅有一个
实数解，求实数k的取值范围 。
解：原方程可化为：lg(kx)=lg(x+1)2,它等价于
有且仅有一个实数解
⑴方程有两个相等的实根，此根大于－１，且不为０，
令f(x)=x2+(2-k)x+1，则
求得k=4
⑵方程有二根，一个大于－１，一个小于－１，则
f(-1)<0，解得k<0
所以k得取值范围是k<0或k=4
例题
例3、对于任意的实数x，
sin2x+2kcosx-2k-2<0恒成立，求实数k的
取值范围
例3、对于任意的实数x，sin2x+2kcosx-2k2<0恒成立，求实数k的取值范围
解：原不等式化为cos２x-2kcosx+2k+1>0, 令t =
cosx 则 | t |≤１，令f(t)=t2-2kt+2k+1, 即f(t)的
图象在 [-1,1]内与横轴没有交点，对称轴为 t
= k.
(1)若k<-1时，只需f(-1)>0, 即 k>
在满足条件的k.
，故不存
(2)若-1 ≤ k≤1,只需△＝4k2-4(2k+1)<0, 求得
<k ≤1
(3)若k>1时，只需f(1)>０，求得k>1
综上所述，k的取值范围是k>1-
1-
例４：求
的值域。
解：
又因为原函数为奇函数，所以当sinx<0时，y≤-2
所以原函数的值域为（－∞，－２］∪［２，＋∞）
练习作业
1、已知曲线
(a>0)与连接
A（-1，1），B(2，3)的线段AB没有交点，
求实数a的取值范围。
2、若关于x的方程22x+2xa+a+1=0有实数根，
求实数a的取值范围。
3、关于x的方程x2+ax+2=0至少有一个小
于-1的根，求实数a的取值范围。