Transcript 第四章根轨迹法

第四章
根轨迹法
本章的主要内容：
1.根轨迹的基本概念；
2.绘制根轨迹的法则；
3.广义根轨迹的绘制以及应用根轨迹分析控制系统
的性能。
4.1 根轨迹法的基本概念
4.1.1总述
系统动态响应的基本特征是由闭环极点（即闭环
特征方程的根）在s平面上的位置决定的。
根轨迹法的基本思想是：在已知开环传递函数零、
极点分布基础上，通过图解法研究系统某一个或多个
参数变化时，对控制系统闭环极点分布的影响。
4.1.2 根轨迹的定义
设一系统如图所示
R(s)


闭环传递函数
特征方程
特征方程的根
C (s)
K1
s ( s  1)
K1
 (s)  2
s  s  K1
（首1型）
s 2  s  K1  0
s1, 2  0.5  0.5 1  4K1
若K1从零到无穷大变化时，特征方程根的变化情况如表：
0.25
0.5
……
-0.146
-0.5
-0.5+j0.5
……
-0.5+j∞
-0.854
-0.5
-0.5-j0.5
……
-0.5-j∞
K1
0
0.125
s1
0
s2
-1
所谓根轨迹图，即以系统增益
K1为参变量，当K1由0→∞时，
系统闭环极点在s平面上变化
的轨迹。根据此图可以分析参
数变化对系统特性的影响。
∞
Im
K1

K1  0.25
0.5
1
K1
K1  0
0
Re

根轨迹图是闭环系统特征方程的根（即闭环极点）随开环系统某
一参数由零变化到无穷大时在S平面上的变化轨迹。
（参数通常为根轨迹增益，根轨迹增益是指首1型开环传递函数
对应的系数）
4.1.3 根轨迹与系统性能
Im
稳定性 当增益K1由0→∞，根轨

K
迹不会越过虚轴进入s平面右半边，
K  0.25 K
因此系统对所有的值都是稳定的；如
0.5
0
1
果系统根轨迹越过虚轴进入右半s平

K
面，则在相应的K1下，系统不稳定；
根轨迹与虚轴交点处的K1，就是临界开环增益的值。
稳态特性 开环传递函数在坐标原点有一个极
点，所以属I型系统，根轨迹上的K值就是静态误差
系数Kv。如果已知ess，则在根轨迹图上可以确定闭
环极点取值的容许范围。
1
1
1
1
0
Re
动态特性
当0< K1 <0.25时，闭环极点位于实轴上，为过
阻尼状态，阶跃响应单调上升；
当K1=0.25时，两个闭环实极点重合（二重根），
为临界阻尼系统;
当K1 >0.25时，闭环系统是复极点，为欠阻尼状
态，单位阶跃响应为衰减振荡过程。
分析表明，根轨迹与系统性能之间有着较密切的联
系。然而，对于高阶系统，用解析的方法绘制系统根
轨迹图，显然是不适用的。我们希望能有简便的图解
方法，根据已知的开环传递函数迅速绘闭环系统的根
轨迹。为此，需要研究：
开环零、极点与闭环系统的根轨迹之间的关系
4.1.4 开环零、极点与闭环零、极点之间的关系
R(s)
C(s)
G(s)
－
首1型
H(s)
f
G( s)  K
 ( s  1)
i
i 1
1 g
 (T s  1)
f
 KG
i
i 1
l
H (s)  K 2
 (
j
j 1
h
j 1
 (s  z )
i
i 1
g
 (s  p )
首1型
i
i 1
l
s  1)
 (T s  1)
j

 K H
 (s  z
j
)
 (s  p
j
)
j 1
h
j 1
系统的开环传递函数为
f l
G( s) H ( s)  K
m
 ( s  1)
i
i 1
g h
K
 (T s  1)
j
j 1
K  K1  K 2

 (s  z )
i 1
n
i
 (s  p )
j
j 1
为系统的开环增益，（尾1型）


K

K
K  G H 为开环系统的根轨迹增益；（首1型）
m=f+l
为开环系统的零点数，
为开环系统的极点数。
ngh

闭环传递函数：
K
( s) 

G
f
h
 ( s  z ) ( s  p
i
i 1
n
 (s  p
j 1
j
j 1
)K

j
)
m
 (s  z )
i 1
i
结
论
（1）闭环零点由前向通路传递函数G(s)的零点和反馈通路传
递函数H(s)的极点组成，对于单位反馈系统，闭环零点就
是开环零点。闭环零点不随K*变化。
（2）闭环系统根轨迹的增益等于开环系统前向通路根轨迹的
增益，对于单位反馈系统，闭环系统根轨迹增益就是开环
系统根轨迹增益。
（3）闭环极点与开环零点、开环极点以及根轨迹增益均有关。
闭环极点随K*变化而变化，所以研究需研究闭环极点随K*
的变化规律。
根轨迹法的任务：由已知的开环零、极点的分布及根轨迹
增益，通过图解法找出闭环极点，闭环极点确定后补上闭
环零点。系统的性能便可以确定。
4.1.5 根轨迹的幅相条件
闭环传递函数：
G (s)
(s) 
1  G (s) H (s)
R(s)

C (s)

G (s)
H (s)
1  G ( s) H ( s)  0
闭环特征方程：
G ( s ) H ( s )  1
或
由于 G(s) H (s)是复数，可以用向量表示，将其分成两
个方程。
(k  0,1,2, )
G ( s ) H ( s )  180 (2k  1)
幅角条件：
幅值条件： G(s) H (s)  1
m
设
K*
G( s) H ( s) 
 (s  z )
i
i 1
(n  m)
（根轨迹方程）
n

(s  p j )
j 1
幅角条件：
G( s ) H ( s ) 
m

i 1
 180 (2k  1)
幅值条件：
( s  zi)  
j 1
( s  pj )
(k  0,1,2,)
n
 s p
m
K
G(s) H ( s) 
n
*
 sz
i 1
n
 s p
j 1
j
i
1
或
K* 
j
j 1
m
 sz
i 1
i
凡满足幅值和幅角条件的s值，都是闭环的极点，即特征方
程的根这些s值构成系统的根轨迹；关键在于找出这些s点；
应当指出相角条件是确定s平面上根轨迹的充分必要条件；即
绘制根轨迹时，只需要相角条件，当需确定根轨迹上各点
增益值时，才使用幅值条件。 （实际中，通常在复平面中寻
找满足幅角条件的s值来绘制根轨迹曲线，用幅值条件确定根
轨迹曲线上各点所对应的K*值。）
工程上定义：
（1）当 0≤ K* <+∞时的根轨迹称之为主要根轨迹，简称根轨迹。
（2）当 —∞< K*<0 时的根轨迹称之为辅助根轨迹或补根轨迹。
（3）当 —∞< K*<+∞时的根轨迹称为完全根轨迹，简称全根轨迹。
4.1.6 绘制根轨迹的步骤：
（1）寻找满足幅角条件所有的s点，由这些点构成根轨迹；
（2）根据幅值条件确定对应点(即特征方程根)处的K*值。
K (s  z )
例4.1 设开环传递函数为 G(s) H (s)  s(s  1p )(s 1 p )
2
3
其零、极点分布如图所示，判断s平面上某点是否是根轨迹上的
j
点。p
解：在s平面上任取一点s1，做出所有开环零、
2
极点到点s1的向量，若在该点处相角条件
C
2
s1
E
m
B
1
z1
1
p1
D
0
n
      (  
i
i 1
i
1
2
 3 )  180 (2k  1)
j 1
成立，则s1为根轨迹上的一个点。该点对应
的根轨迹K1根据幅值条件计算如下：
n
3
p3
1
s p
1
K1 
j
j 1
m
 s z
1

BCD
E
i
i 1
由此可见，应用相角条件，可以重复上述过程找到s平面上所有
的闭环极点，但是很不实用。实际绘制根轨迹是应用方程为基础
建立起来的相应法则进行的。
4.2 绘制根轨迹图的基本规则
以开环根迹增益K*为参变量绘制根轨迹的一些基本规
则。
1. 根轨迹的起点和终点
起点（ K   0 ）： 起始于开环传递函数的极点；
终点（ K    ）： 终止于开环传递函数的零点。
包括m个有限远的零点（简称有限零点）和(n-m)个无
限远的零点(简称无限零点)。
当 K   0   变化时，整个根轨迹的趋向由起点移
向终点，即由开环的极点移向开环的零点。
n
起点：
因为
K 
 s pj
j 1
m
 s  zi
n
 s p
j 1
m
j
 K  s  zi ＝0
i 1
i 1
当
K  0
( j  1,2,n)
时， s  p j
说明根轨迹起始于开环传递函数的极
点，n阶系统共有n个开环极点，每个开环极
点都对应根轨迹的一个起点，所以共有n个
起点。
-
终点：
（1）有m条根轨迹终止于系统开环传递函数的m个有限零点。
1

当 K  时，
K

n
 s p
j 1
s  zi
m
j
  s  zi ＝0
i 1
( z  1,2,m)
把这m个零点称之为系统的有限零点。
（2）有（n-m）条根轨迹终止于开环传递函数的（n-m）个无限零
n
点。
 s pj
nm
当 s  时， K   lim j m1
 lim s

s 
 s  zi s  
i 1
上式表明：有n-m条根轨迹的终点在无穷远处。我们把无穷远处
的零点称之为无限零点。
综上所述：系统共有n个开环零点，其中m个为
有限零点，（n-m）个为无限零点。每个开环零点
都对应根轨迹的一个终点，所以共有n个终点。
2.根轨迹的分支数
根轨迹的分支数等于开环的极点数。我们把
一条完整的根轨迹称之为根轨迹的一个分支，由前
面的分析可知，n阶系统有n个根轨迹的起点和终点。
所有的根轨迹都是有头有尾 、有始有终。所以其
分支数必等于开环的极点数或系统的阶数。
3. 根轨迹的对称性
根轨迹对称于实轴。
特征方程的根或为实数或为共轭复数。必对称
于实轴（绘制根轨迹时画出s平面上半部和实轴上
的根轨迹，下半部根轨迹可对称画出）。
4. 根轨迹的渐近线（s=∞处的根轨迹特征）
渐近线共有(n-m)条，且相交于实轴上的同一
点。
 (2k  1)


渐近线与实轴的夹角： a
nm
(k=0,1,2……)
渐近线与实轴交点
n
m
j 1
i 1
 p j   zi
a 
nm
（1）根轨迹渐近线的倾角
m
n
s  zi   s  p j
根据幅角条件：

i 1
j 1
 180° ( 2k  1)
当 s   时，零点 zi 、极点 p j 与
似看成相等
得到
s  zi  s  p j  
所以渐近线的倾角：
a 
( k  0,1, 2,
s 矢量复角可近
m  n   (2k  1)
  (2k  1)
nm
因共有(n-m)条渐近线，所以只要取(n-m)个不同的倾
角即可。
（2）渐近线与实轴的交点(数值分析）
)
例4.2 设单位反馈系统的开环传递函数为
G(s) 
K  ( s  1)
s ( s  4)(s 2  2s  2)
根据已知法则，确定绘制根轨迹的有关数据。
解：1.根轨迹起始于开环传递函数的极点
p1  0, p2  4, p3  1  j, p4  1  j
终止于开环传递函数的有限零点 z1  1 及无穷远处；
2.根轨迹的渐近线有n－m＝3条，且根轨迹对称与实轴，
其交点和实轴正半轴夹角为
n
a 
m
 p z
j 1
j
i 1
i
 1.67
nm
(2k  1)

a  
   ,
4 1
3
(k  0,1,2)
画出图形为
jw

3 3

K 0
1

K 

K 0
a
-1
0
-1

K 0
-3


3
5.根轨迹在实轴上的分布
实轴上凡有根轨迹的线段，其右侧的开环零点、
极点之和必为奇数。(若实轴上某线段右侧的开环零、
极点的个数之和为奇数,则该线段是实轴上的根轨
Im
迹。)
m

i 1
s  zi 
n

j 1
s  pj  
 ( 2k  1)
 p1
[s]
 p1
s1
在s=0与s=-z1之间的实轴上
任取一个试验点s1加以説明。
 z1
0
 p2
 p2
Re
例4.3： 已知：
K1
G (s) H ( s) 
s( s  1)(s  2) 试画出根轨迹的大致图形。
解：按根轨迹绘制的规则：
（1）起点：0，-1，-2；
终点：∞，∞，∞。
（2）分支数： n=3
（3）根轨迹对称于实轴。
（4）渐近线：因为本系统中，n  3, m  0 ，所以渐近
线共有3条。渐近线的倾角：
   (2k  1)

30
1   / 3
取k＝0，1，2，得到：
2  
3   / 3
Im
渐近线与实轴的交点：
(0  1  2)  0
a  
 1
30
[s]
j1.414
180
2
（5）根轨迹在实轴上的分布：
0~-1，-2~-∞之间。
60
1
 60
0
Re
 j1.414
6、根轨迹在实轴上的分离点与会合点
K  0
K  
K  
K  
K  0
K  0
K  
会合点
K  0
分离点
分离点或会合点的必要条件： d [G1 ( s) H1 ( s)]  0
ds
m
式中
G( s) H ( s)  K 

i  1
n

j  1
m
( s  zi )
(s  p j )
 K G1 ( s) H1 ( s)
 ( s  zi )
G1 ( s ) H1 ( s )  i  1
n
 (s  p j )
j  1
根轨迹在s平面上相遇，表明系统有相同的根。
即根轨迹上的分离点(或会合点) 与特征方程式的重根
相对应。若为二重根，必同时满足 f (s1 )  0 和 f ( s1 )  0 。
因此求得：
 K  P( s )  Q( s )  0
 
 K P( s )  Q( s )  0
P( s )Q( s )  P( s )Q( s )  0
K  去，可得到：
消
上式又可写成：d[G1 (s)H1 (s)]  0 或
ds
d [G ( s ) H ( s)]
0
ds
以上分析没有考虑 K *  0 (且为实数)的约束条件，所
以只有满足 K *  0 的这些解，才是真正的分离点（或
会合点）。
例4.4
设系统如图所示
R(s)


K1 ( s  2)
C (s)
s 2  2s  2
试求该系统根轨迹在实轴上的会合点。
解：系统的开环传递函数：G(s) H (s)  K1( s  2)  K * (s  2)
2
2
s  2s  2
s  2s  2
d
d  s2 
s 2  4s  2
[G1 ( s) H 1 ( s)] 
 2
0


2
2
ds
ds  s  2s  2  ( s  2s  2)
s  0.586
s  3.414
(舍去) 2
求得： 1
代入特征方程1+G(s)H(s)=0检验：s1代入，求得：K*＜0，故
舍去； s2代入，求得K*＞0 。所以s2会合点。
检验K*只要得到的符号即可,不必出具体的数值。
Im
[s]
j
2
K  
 3.414
1
K 0
*
K*  
Re
0
j
K*  0
一般来说:如果根轨迹位于实轴上两相邻的开环极点
(零点)之间；则有分离点(会合点) 。如果根轨迹位
于实轴上一个开环极点与一个开环零点之间，具体
分析。
仍以上例说明:
因为
R(s)


K1 ( s  2)
s 2  2s  2
1  G(s) H (s)  K1 (s  2)  (s 2  2s  2)  0
s 2  2s  2
K  K1  
s2
*
令
dK*
0
ds
求得
C (s)
s 2  4s  2  0
s1  0.586 (舍去)
s2  3.414
m
(2) 
i 1
因为
1

s  zi
即
其中
即
所以
n

j 1
1
s  pj
P( s )Q( s )  P( s )Q( s )  0
P ( s ) Q ( s )

P( s ) Q( s )
d
d
[ln P(s)]  [ln Q(s)]
ds
ds
P(s)  (s  z1 )( s  z2 )(s  zm )
Q
(s)  (s  p1 )( s  p2 )(s  pn )
d
1
1
1
[ln P ( s )] 

  
ds
s  z1 s  z2
s  zm
d
1
1
1
[ln Q( s )] 

  
ds
s  p1 s  p2
s  pn
m

i 1
1

s  zi
n

j 1
1
s  pi
仍以上例说明:
R(s)
因为


1
1
1


s  2 s 1 j s 1 j
K1 ( s  2)
C (s)
s 2  2s  2
s 2  4s  2  0
消去分母解上式得到 s1  0.586 （舍去） s 2  3.414
经检验，s2是根轨迹在实轴上的分离点。对于采用上
述三种方法，所得结果完全一致。由于后面两种方法
都是从第一种方法派生出来的，所以求得的结果一定
要检验，舍去K*＜0所对应的值。
Im
复杂情况用试探法。
在-2-3之间存在一个分离点。
1
1
1
1
 

s 1 s s  2 s  3
s  2.4
s  2.5
s  2.47
3
?
1
1
1
1



 2 .4  1  2 .4  2 .4  2  2 .4  3
2
0
0.715 1.247
?
1
1
1
1



,
 2.5  1  2.5  2.5  2  2.5  3
1
1
1
1



 2.47  1  2.47  2.47  2  2.47  3
所以分离点的位置为 s  2.47
1
 0.7  0.4
0.68  0.635
Re
7.根轨迹的起始角（出射角）与终止角（入射角）
p

若根轨迹的一个分支离开复极点 a 的起始角为 a，则
a  180 (2k 1)  （各零点到 p a 的向量幅角  i 之和）
（其它各极点到 p a 的向量幅角  j 之和）
m
n
i 1
j 1
ja
 180 (2k  1)    i    j

若根轨迹的一个分支终止于复零点 z b
的终止角为  b ，则

 b  180 (2k  1)  (各极点到 z b 的向量幅角 j 之和)(其它各
零点到 z b 的向量幅角  i之和)
n
m
j 1
i 1
i b
 180 (2k  1)    j    i

起始角(或终止角)是指根轨迹离
开复极点 (或终止复零点)处切线
的倾角。
在根轨迹曲线上取试验点s1，与
复极点pa的距离为  。当   0
时，可近似地认为s1在切线上，
切线的倾角就等于复极点的起始角。
Im
A
s1
所以  a 的起始角:
1  ( a  1   2  3)  180 (2k  1)
 a  180 (2k  1)  1  (1   2   3 )
pa
1
1
3
p3
a
0
z1
2
p2
p1
Re
8. 根轨迹与虚轴交点
根轨迹与虚轴交点的纵坐标为满足特征方程 1  G ( jw ) H ( jw )
的 jw 值。工作在此点时，系统处于临界稳定状态。
介绍常用的三种方法
(1) 利用特征方程求取。用 jw 替代s，令虚部、实部分别等
于零，求得 w 和对应的K*。
(2) 利用劳斯阵列求取。将劳斯阵列中s2行系数构造的辅助
方程求得。若根轨迹与虚轴的交点多于两个，则应取劳斯阵
列中大于2的偶次方行的系数构造的辅助方程求得。
(3) 利用试探法求取。先给出根轨迹的大致图形，根据经验
选择满足幅角条件的试探点求出 jw ，再利用幅值条件确定
交点处的K*值。
例4.6
系统的开环传递函数为
K1
G( s )H ( s ) 
s( s  3 )( s 2  2 s  2 )
试绘制根轨迹图
解：开环极点：0、-3、-1+j、-1-j
开环零点：4个无限零点
(1)渐近线：应有n-m=4-0=4条渐近线。
渐近线的倾角：    180 (2k  1)   180 (2k  1)  45 ,135
a
nm
4
渐近线与实轴的交点：
a 
(2)
( p1  p2  p3  p4 )  0 0  3  (1  j )  (1  j )

 1.25
nm
4
实轴上的根轨迹：0  -3
(3)分离点：
1
1
1
1



0
s s  3 s 1 j s 1 j
利用试探法求得 s  2.3
(4) 极点p3的起始角  3 ：不难求得极点p1、 p2、 p4到p3的
幅角分别 135  、18 .4 、90  .
所以  3  180(2k  1)  (135  18.4  90)  71.6
同理不难求得极点p4处的起始角： 4  71.6
(5)根轨迹与虚轴的交点：
方法一：由特征方程求：
特征方程 ：s 4  5s 3  8s 2  6s  K  0
1
s  jw
( w 4  8w 2  K 1 )  j( -5w 3  6w )  0
实部方程： w  8w  K 1  0
4
2
3

5
w
 6w  0
虚部方程：
w1  0 (舍去) w2  1.1
方法二：由劳斯表求：
列出劳斯表
令s1行首项为零，即
204 25K1
0
34
K 1  8.16
解得：
w3  1.1
s4
s3
s2
s1
s0
1
5
8
6
34 / 5
K1
(204 25K 1 ) / 34
K1
求K1 =8.16得，再根据行s2系数得到辅助方程
34 2
s  K1  0
5
w  1.1
K1
例题4.7
9.
根轨迹的走向(根之和）
当n-m≥2满足时，随着K＊增加，一些根轨迹分支向左方
移动，则另一些根轨迹分支将向右方移动（系统闭环极点之
和等于系统开环极点之和）。
开环传递函数：
K ( s  z1 ) ( s  zm )
G( s) H ( s) 
( s  p1 ) ( s  pn )
m
*
K ( s   zi s
*

m
m 1
i 1
n
s   pjs
n
j 1
n 1
m
    zm )
i 1
n
    p j
j 1
特征方程：
n
1  G( s) H ( s)  s   p j s
n
j 1
n 1
n
    p j  K *s m  K *
j 1
m
m

i 1
zi s m 1    K *
z
i 1
当满足n-m≥2 时，上式sn-1项将没有同次项可以合并，通
常把称之为极点的“重心”。
m
当K*变化时，极点的
重心保持不变。所以为了平
衡“重心”的位置，当一部
分根轨迹随着的增加向左方
移动时，另一部分根轨迹将
向右方移动。
例:
K*
G( s ) H ( s ) 
s(s  P2 )( s  P3 )( s  P4 )
Im
 p4
 p2
 p3
0
 p1
Re
10. 根轨迹上K*值的计算
根轨迹上任一点S1处的K*可由幅值条件来确定。即
s1  p1  s1  pn
1
K 

G1 (s1 ) H (s1 )
s1  z1  s1  zm
*
=
G1 ( s1 )H ( s1 )极点至s1 所引向量长度的乘积
G1 ( s1 )H ( s1 )零点至s1 所引向量长度的乘积
绘制根轨迹图的十条规则
序 内容
规
则
1 起点终 起始于开环的极点，终止于开环传的零点（包括
点
无限零点）
2 分支数 等于开环传递函数的极点数（nm）
3 对称性 对称于实轴
渐近线 相交于实轴上的同一点：
n
m
4
坐标为：  pi   z j
倾角为：  180 (2k  1)
j 1
a 
  i 1
a
nm
nm
实轴上 实轴上的根轨迹在实轴的某一区间内存在根轨迹，
则其右边开环传递函数的零点、极点数之和必为
5 分布
奇数
绘制根轨迹图的十条规则
序 内容
规
则
6 分离（回 实轴上的分离（会合）点 d [G1 ( s) H1 ( s)]  0或 dK *  0
合）点
7 起始角
终止角
——（必要条件）
ds
复极点处的起始角：
ds
复零点处的终止角：
m
n
i 1
j 1
j a
 a  180 (2k  1)   i   j  b  180 (2k  1)    j    i
8 虚轴交点 （1）满足特征方程
n
m
j 1
i 1
i b
1  G( jw ) H ( jw )  0 的 jw 值；
（2）由劳斯阵列求得（及K*响应的值）；

9 走向（根 当n  m  2, K  时 ， 一些轨迹向右，则另一些将向左。
之和）
根轨迹上任一点处的K1：
10 K*计算
K* 
1
开环极点至向量s长度的乘积
＝
G1 ( s1 ) H1 ( s1 )
开环零点至向量s长度的乘积
例4.8 某单位负反馈的传递函数为
k 0
G(S ) 
K ( S  2)
S ( S  1)
证明复平面内根轨迹是圆弧
2
1
证明：
K ( s  2)
G(s) 
 D( S )  S ( S  1)  2 K ( S  2)  0
s( s  1)
16 K  (1  2 K )
(1  2 K )
解得S1,2 
j
   jw
2
2
(1  2 K )
2  1

K
w 2   2  4  6
2
2
 2  4  4  w 2  2  (  2) 2  w 2  ( 2) 2
2
  4 K 2  12 K  1  0
 K d1  -0.0858
 K d2  -2.9142
-4
-3
d2
-2
-1
0
d1
-1
-2
4.3 广义根轨迹
4.3.1 参数根轨迹
前面介绍的普通根轨迹或一般根轨迹的绘制规则是
以开环根轨迹增益为可变参数的，大多数系统都属于这
K*
种情况。但有时候，为了分析系统方便起见，或着重研
究某个系统参数(如时间常数、反馈系数等)对系统性能
的影响，也常常以这些参数作为可变参数绘制根轨迹，
我们把以非开环根轨迹增益作为可变参数绘制的根轨迹
叫做参数根轨迹(或广义根轨迹)。
绘制参数根轨迹的法则与绘制常规根轨迹的法则完全相同。只
需要在绘制参数根轨迹之前，引入“等效开环传递函数”，将绘
*
K
制参数根轨迹的问题转化为绘制
变化时根轨迹的形式来处
理。
1
(s  a)
例4.7 单位反馈系统开环传递函数为 G ( s )  42
s ( s  1)
试绘制a＝0→∞时的根轨迹。
解：系统的闭环特征方程为
1
1
D( s )  s 3  s 2  s  a  0
4
4
构造等效开环传递函数，把含有可变参数的项放在分子上，即
G* (s) 
1
a
4
1
s( s 2  s  )
4

1
a
4
1
s(s  )2
2
由于等效开环传递函数对应的闭环特征方程与原系统闭环特征
方程相同，所以称 G* s 为等效开环传递函数，而借助 G* s 
的形式，可以利用常规根轨迹的绘制方法绘制系统的根轨迹。
但必须明确，等效开环传递函数 G* s对应的闭环零点与原系
统的闭环零点并不一致。在确定系统闭环零点，估算动态性能
时，必须回到原系统开环传递函数进行分析。
等效开环传递函数有3个开环极点： p1  0, p2  p3  1/ 2;
系统有3条根轨迹，均趋于无穷远处。
（1）实轴上根轨迹：〔－1/2，0〕，（－∞，－1/2〕
（2）渐近线：
1 1
 
1
a  2 2  
3
3
  (2k  1) 
a 
 ,
3
3
（3）分离点：
1
1
1


0
1
1
d d
d
2
2
d  1 / 6
由幅值条件得分离点处的a值为
（4）与虚轴的交点：将
ad
1
2
 d d 1/ 2 
4
54
2
ad 
27
s  jw 带入闭环特征方程中得
1
a
D ( jw )  ( jw ) 3  ( jw ) 2  ( jw ) 
4
4
a
1
 (w 2  )  j (w 3  w )  0
4
4
于是有
a

2
Re[D( jw )]  w  4  0

Im[D( jw )]  w 3  a w  0

4
解得
j
0.8
1

w  
2

a  1
0.4
-0.8
-0.4
0
分析a变化对系统性能的影响
-0.4
-0.8
4.3.2 正反馈系统的根轨迹（零度根轨迹）
正反馈系统的特征方程是 1  G (s)H(s)  0
即
G (s)H(s)  1
由此可得到绘制正反馈系统根轨迹的幅值条件和
相角条件分别为
G (s)H(s)  1
G (s)H(s)  0  k  360(k  0,1,2,)
与负反馈系统根轨迹的幅值条件和相角条件相比知，
正反馈系统和负反馈系统的幅值条件相同。
负反馈系统的根轨迹遵循180°相角条件，而正反
馈系统的根轨迹遵循0°相角条件。故正反馈系统根轨
迹又称为零度根轨迹。由于相角条件不同，在绘制正反
馈系统根轨迹时，须对前面介绍的绘制负反馈系统普通
根轨迹的基本规则中与相角条件有关的三条规则作相应
修改，这些规则是：
⑴正反馈系统根轨迹的渐近线与实轴正方向的夹角应
为
2k
a 
(k  0,1,2,, n  m  1)
nm
⑵ 正反馈系统在实轴上的根轨迹是那些在其右侧的开
环实零点和开环实极点的总数为偶数或零的线段。
⑶ 正反馈系统的起始角和终止角应为
m
n
j 1
i 1
i l
 p  0   ( pl  z j )   ( pl  pi )
l
n
m
j 1
j 1
j l
 z  0   ( z l  p j )   ( z l  z j )
l
为了说明正反馈系统根轨迹的绘制，现举例如下
例4.9 设反馈系统如图所示，试绘制根轨迹。
解 由图可知，系统开环传递函数
系统闭环传递函数
闭环特征方程为
( s) 
G(s)
1  G(s)
1  G( s)  0
G( s) 
K * ( s  2)
( s  3)(s 2  2s  2)
可见，其闭环特征方程是符合零度根轨迹的。根据零度根轨迹
的绘制法则作零度根轨迹；
(1)开环极点（ n  3 ），有三个： p1  3, p2  1  j, p3  1  j
有限零点（ m  1）有一个： z1  2
（2）实轴上的根轨迹区段为[
（3） 渐近线
得
a 
2 k
2 k

 0,180
nm
2
即为正实轴和负实轴，不必再求
（4）起始角
 2 ~  ]和（   ~ 3 ]
 p 2  72
 p 3  72
a
（5）分离点坐标
1
1
1
1



d  3 d 1 j d 1 j d  2
式上解得：
d1  0.8, d2,3  2.35  j0.77(舍去)
4.4 利用根轨迹分析系统性能
根轨迹法是在已知系统的开环传递函数零、极点
分布的基础上，研究某一个和某些参数的变化对系统闭
环极点分布的影响的一种图解方法。由于根轨迹图直观、
完整地反映系统特征方程的根在S平面上分布的大致情
况，通过一些简单的作图和计算，就可以看到系统参数
的变化对系统闭环极点的影响趋势。这对分析研究控制
系统的性能和提出改善系统性能的合理途径都具有重要
意义。
4.4.1性能分析
K*
例4.10 一单位反馈系统的开环传递函数为 G(s)  2
s ( s  10)
试画出闭环系统的根轨迹。
解 此系统有三个开环极点：p1  0 p2  0 p3  10
由常规根轨迹法则作出根轨迹如图
z
由图可见，有两条根轨迹线始终位于
[s ]
平面的右半平面，即闭环系统始终有两
个右极点，这表明 K * 无论取何值，
此系统总是不稳定的，这样的系统，称
为结构不稳定系统。
如果在系统中附加一个开环零点 z1 ,
z1为负的实数零点，用来改善系统动态性能，
*
K
则系统开环传递函数变为 G (s)  (s  z1 )
0
s 2 ( s  10)
1
，
z
将 1 设置在 0～－10 之间，则附加零点后的系统根轨迹，如图
很明显，当 K * 由 0～ 变化时，这三条根轨迹线均处在 [ s ]
平面的左半平面，即无论 K * 取何值，系统
总是稳定的。而且闭环系统总有一对靠近
虚轴的共轭复数极点，即系统的主导极点。
所以，无论 K *取何值，系统的阶跃响应
*
都是衰减振荡的，且振荡频率随 K 增大
而增大。只要适当选取 K * 值，就可以得到
满意的系统动态性能。
若附加零点
z1  10，取 z1  20，则系统根轨迹如图所示，
由图可见，系统仍有两条根轨迹分支始终位于[ s ]平面的右
半平面，系统仍无法稳定。因此，引入的附加零点要适当，才
能对系统的性能有所改善。
K*
例4.11 系统的开环传递函数 G ( s) H ( s) 
s( s  4)(s  6)
试画根轨迹，并确定   0.5 时K*的值。
解：只对根轨迹曲线的特征点进行分析。
(1) 渐近线：3条。
 180 (2k  1)






60
,
180
渐近线的夹角： a
3
渐近线与实轴的交点：
（2）分离点：  a  
即
(0  4  6)  0
 3.33
3
1
1
1


0
s s4 s6
s1  1.57
（舍去） s 2  5.1
3s  20s  24  0
2
（3）与虚轴的交点
系统的特征方程：s(s+4)(s+6)+K*=0
令 s  jw 代入，求得
实部方程:10w  K *  0
虚部方程：
w 3  24w  0
解得：
 w  4.9

 K *  240
w 0

K *  0
(舍去)
（4）确定 
 0.5 时的K*
值： 过原点作OA射线交根轨迹于A，
1

使得 AOC  cos 0.5  60 ，得
OA  2.4, AB  5.3, AC  3.5
2.4  3.5  5.3
K* 
 44.5
1
Im
K*  240
K*  44.5
K*
 44.5
 7 .6
 6
2 .1
2.4
5 .3
B
A
4 .3
C
 4
3.5
60
 1 .5 7  1 .2
0
Re
A点对应的坐标，即闭环的一个极点位置: s1  1.2  j 2.1
s 3  7 . 6
K*=44.5时另外两个极点 s 2  1.2  j 2.1
同理可求得根轨迹在实轴上的分离点-1.57处对应的K*=17。
Im
K*  240
K*  44.5
K*
 44.5
 7 .6
 6
2 .1
2.4
5 .3
B
A
4 .3
C
 4
3.5
60
 1 .5 7  1 .2
0
Re
4.4.2 增加开环零、极点对系统性能的影响
系统根轨迹的整体格局是由开环传递函数的零点、极点所共
同决定的。开环零、极点位置不同，根轨迹的走向差异很大。
1．增加极点
一般可以认为，当函数G(s)H(s)在s左半平面增加极点，会
促使原根轨迹向右半部移动，稳定性下降。
设系统的开环传递函数：
增加极点
Gs Hs  
K1
ss  a 
a  0
K1
GsHs 
ss  a s  b
b  a 
Im
K1
Im

K1

K1

b
K1  0
K1  0
a
K1

a
0

K1 K 1  0
Re
b
2

K1  0
K1  0
a
K1
0
Re

K1
(a) GsHs 
K1
ss  a 
a  0
(b)
GsHs 
K1
ss  a s  b

b  a 
增加极点轨迹向右弯曲，渐近线角度由±900变为±600。分离
点向右移。 (a) 稳定， (b) 在K1小时稳定， K1大可能不稳定。
2．增加零点
对G(s)H(s)函数增加零点，会使根轨迹向s平面左半部移动，
Im
系统的稳定性增加。
K

1
Im
b
K1

K1  0
K1  0
a
K1

a
0
Re

K1

K1
b
2-
K1  0
K1  0
a


K1 s  b
GsHs 
ss  a 
b  a 
K1
a
2

增加一个零点，根轨迹将向左弯曲形成一个圆
0
Re
K1
Im
K1
K1

K1  0
b
K1  0
a
K1

Im


a
0
K1  0
Re
K1  0
a
2


K1

K1

增加一对轭复数零点后的根轨迹
a
2
0
Re
3.
闭环零、极点对系统动态性能的影响
(1) 闭环极点的分布决定了动态响应的类型。
(2)
闭环零点的分布决定了瞬态响应曲线的形态和指标。
闭环实数零点会减小系统的阻尼比，使系统运动速度
加快，超调量增大，峰值时间提前。
(3)
系统的动态特性主要取决于系统的闭环极点。
(4)
远离虚轴的极点(或零点)和偶极子。
(5) 主导极点。