Transcript 第五章数字信号处理系统的实现
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第五章 数字信号处理系统的实现
引言
5.1 数字滤波器的结构
5.1.1 数字网络的信号流图
5.1.2 IIR滤波器的结构
5.1.2 FIR滤波器的结构
5.2 硬件结构简述
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引言
数字信号处理系统与模拟信号系统在功
能上有许多相同之处，但在处理技术和
方法上却有很大区别。
模拟信号处理系统是由R,L,C等元件或放
大器等构成，用来直接处理模拟信号。
数字信号则利用通用或专用计算机，以
数值计算的方法对信号进行加工。
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数字滤波器的理想幅频特性
H (e
jw
)
…….
H (e
jw
)
2
ω
…….
H (e
jw
)
2
3
LPDF
HPDF
ω
…….
H (e
jw
2
ω
)
BPDF
…….
2
ω
BSDF
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研究DF实现结构意义
1.滤波器的基本特性（如有限长冲激响应FIR与无
限长冲激响应IIR）决定了结构上有不同的特点。
2.不同结构所需的存储单元及乘法次数不同，前
者影响复杂性，后者影响运算速度。
3.有限精度（有限字长）实现情况下，不同运算
结构的误差及稳定性不同。
4.好的滤波器结构应该易于控制滤波器性能，适
合于模块化实现，便于时分复用。
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数字滤波器的实现方法：
1） 利用专用计算机；
2）直接利用计算机和通用软件编程实现。
一个数字滤波器的系统函数一般可表示为有理函
数形式：
aZ
N
i
i
H (z)
i0
N
为I I R滤波器形式，{ bi }都为0时就是一个FIR滤
波器。对于这样一个系统，也可用差分方程来表
示：
N
N
1
bi Z
i
i 1
y (n)
a
i0
i
x(n i)
b
i 1
i
y (n i)
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对于上面的算式，可以化成不同的计算形式，如
直接计算、分解为多个有理函数相加、分解为多个
有理函数相乘等等，不同的计算形式也就表现出不
同的计算结构，而不同的计算结构可能会带来不同
的效果，或者是实现简单，编程方便，或者是计算
精度较高等等。
另外，数字信号是通过采样和转换得到的，而
转换的位数是有限的（一般6、8、10、12、16位）
，所以存在量化误差，另外，计算机中的数的表示
也总是有限的，经此表示的滤波器的系数同样存在
量化误差，在计算过程中因有限字长也会造成误差
。
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量化误差主要有三种误差：
①A/D变换量化效应；
②系数的量化效应；
③数字运算的有限字长效应。
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5.1 数字滤波器的结构
有两 种表示方法：
方框图表示法：
单位延时
系数乘
加法
Z-1
a
信号流图表示法：
Z-1
a
把三个基
本单元互
联，可构
成不同数
字网络或
运算结构。
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2.例子：二阶数字滤波器：
y(n) a1 y(n 1) a2 y(n 2) b0 x(n)
其方框图及流图结构如下：
x(n)
b0
y(n)
a1
a2
Z-1
Z-1
x(n)
b0
y(n)
a1
Z-1
a2
Z-1
看出：可通过流图或方框图看出系统的运算步骤和运
算结构。以后我们用流图来分析数字滤波器结构。
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5.1.1 数字网络的信号流图表示
y ( n ) a 0 x ( n ) a1 x ( n 1) b1 y ( n 1)
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只有输出支路的节点称为输入节点或源点7；
只有输入支路的节点称为输出节点或阱点8；
既有输入支路又有输出支路的节点叫做混合节点。
通路是指从源点到阱点之间沿着箭头方向的连续的一
串支路，通路的增益是该通路上各支路增益的乘
积7-1-2-6-3-4-8。
回路是指从一个节点出发沿着支路箭头方向到达同一
个节点的闭合通路，它象征着系统中的反馈回路
3-4-5-6-3。组成回路的所有支路增益的乘积通常
叫做回路增益。
每个节点可以同时含有几条输入支路和几条输出支路，
任一节点的信号变量值等于所有输入支路信号之
和。
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2、梅逊(Mason)公式：
利用信号流图，可列出一线性方程组，求得系
统函数。利用信号流图中的梅逊公式，可以方
便地求得系统函数。梅逊公式如下
H z
Y z
1
T
X z
k
k
k
式中Tk为从输入节点（源点）到输出节点（阱
点）的第k条前向通路增益； Δ为流图的特征式
1 Li
i
LL
'
i
'
j
L iL jL k
i, j
Δk是不接触第k条前向通路的特征式余因子
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L 为所有不同回路增益之
i
和
i
'
'
L i L j 为每个互不接触回路增
益之和，
i, j
互不接触指两个回路之
"
"
间无公共的支路或结点
"
L i L j L k 为每三个互不接触的回
路增益之和；
i , j ,k
k 是第 k 条前向通路的特征式余
因子
k＝1 - L i＋ L i L j＋ .......
'
i
'
'
i, j
'
所有 L i L i L j 均是第 k 条通路不接触的回路。
；
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例：利用梅逊公式计算
前图的系统函数
有两条前向通路
T1＝ a 0 , T 2 a 1 z
1 b1 z
1
1
1 1, 2 1
所以系统函数为
H (z)
T
k
k
k
a 0 a1 z
1 b1 z
1
1
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3、信号流图的转置定理：
对于单个输入、单个输出的系统，通过反
转网络中的全部支路的方向，并且将其输入
和输出互换，得出的流图具有与原始流图相
同的系统函数。
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y(n)
x(n)
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信号流图转置的作用：
①转变运算结构；
②验证计算流图的系统函数的正确与否。
运算结构对滤波器的实现很重要，尤其对于一
些定点运算的处理机，结构的不同将会影响系统的
精度、误差、稳定性、经济性以及运算速度等许多
重要的性能。对于无限长单位冲激响应（I I R）数
字滤波器与FIR数字滤波器，它们在结构上各有自己
不同的特点，因此我们在下面将对它们分别加以讨
论。
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5.1.2 IIR数字滤波器的结构
一、IIR DF特点
一个N阶IIR DF有理的系统函数可能表示为：
M
H（z )
ai Z
i
i 0
N
1 bi Z
i
Y ( z)
X ( z)
i 1
则这一系统差分方程为：
N
M
i 0
i 1
y (n) ai y (n i ) bi x(n i )
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根据前两式可见
1.单位冲激响应h(n)是无限长的n→∞
2.系统函数H(z)在有限长Z平面（0<|Z|<∞)
有极点存在。
3.系统的输出不仅与现在和以前的输入有
关，而且还与以前的输出有关。结构上存
在输出到输入的反馈，也即结构上是递归
型的。
4.同一系统函数，有各种不同的结构形式。
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(1) 直接型
直接由 IIR DF 的差分方程所得的网
络结构。
N
y (n)
N
a x(n i) b y (n i)
i
i0
i
i 1
方程看出：y(n)由两部分组成：
N
ai x ( n i )
第一部分
是一个对输入x(n)
i 0
的N节延时链结构。即每个延时后加权相加。
N
第二部分 bi y ( n i )是一个N节延时链结
i 1
构网络。不过它是对y(n)延时，因而是个反馈网络。
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H (z) H1(z)H 2 (z)
H 1 z
N
az
i
i0
i
W z
X z
H 2 z
1
N
1 bi z
i
Y z
W z
i 1
w n
N
a i x n i
y n w n
i0
N
b y n i
i
i 1
可 以 看 到 H 1(z) 实 现 了 系 统 的 零
点 ， H 2 ( z ) 实 现 了 系 统 的 极 点 。 H (z)
由这两部分级联构成。
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上述结构特点与缺点：
1)两个网络级联：第一个横向结构N节延时网
络实现零点，第二个有反馈的N节延时网络实现极
点。
2)需要2N个延迟器（z-1），太多。
3)系数ai、bi对滤波器性能的控制不直接，对
极、零点的控制难，一个ai、bi的改变会影响系统
的零点或极点分布。
4)对字长变化敏感（对ai、bi的准确度要求严
格），从而使系统频率响应对系统变化过于灵敏，
也就是对有限精度（有限字长）运算过于灵敏 。
5) 容易出现不稳定或产生较大误差。
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（2）直接Ⅱ型
上面直接型结构中的两部分可分别看作
是两个独立的网络(H1(z)和H2(z)),两部分串接
构成总的系统函数：
H (z) H1(z)H 2 (z)
由系统函数的不变性（系统是线性的），交
换两个级联网络的次序得
H ( z ) H 2 ( z ) H 1` ( z )
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两条延时链中对应的延时单元内容完全相同,可合并，得：
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直接II型优缺点：
优点：延迟线减少一半，为N个，可节
省寄存器或存储单元。
缺点：同直接型。
通常在实际中很少采用上述两种结构实
现高阶系统，而是把高阶变成一系列不同组
合的低阶系统（一、二阶）来实现。
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例
已知IIR DF系统函数，画出直接I型、直接II型的结构流图。
8 z 4 z 11z 2
3
H（z )
(z
2
1
4
)( z z
2
1
2
)
8 4z
1
5
4
z
1
1
11z
3
4
z
2
2
2z
1
3
z
3
8
解：为了得到直接I、II型结构，必须将H(z)化为Z-1的有理式；
x(n)
8
y(n)
x(n)
8
y(n)
Z-1
5/4
-4
注意
Z-1 -4
5/4 Z-1
反馈
Z-1
-3/4
11
部分
Z-1 11
-3/4 Z-1
系数
-1
Z
-2
1/8
Z-1 -2
符号
1/8 Z-1
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例
设滤波器的差分方程为
y ( n ) x ( n ) x ( n 1)
2
y ( n 1)
3
1
y ( n 2 ),
4
试用直接 1型的网络结构实现它
解：系统函数为
1 z
H (z)
1
2
3
X(n)
Z-1
z
1
1
1
z
2
4
2/3
1/4
直接1型：
Z-1
Z-1
Y(n)
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（3）级联型（串联）
一个 N 阶系统函数可用它的零、极点表示，即把
它的分子、分母都表达为因子形式
N
a
i
z
N
i
i0
H (z)
1
bi z
(1 c i z
(1 d i z
1
i 1
N
A
N
1
i
i 1
)
)
i 1
由于系数 a i 、 bi 都是实数，极、零点为实根或共
轭复根，所以有
N=M1+2×M2
M1
H (z) A
M
(1 g i z
1
i 1
i 1
) (1 h i z
1
)( 1 h i z
1
1
)( 1 q i z
1
*
)
i 1
N1
2
(1 p i z
1
N2
) (1 q i z
i 1
*
N=N1+2*N2
)
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g i , p i 实根； h i , q i 复根
若将每一对共轭因子合
并起来构成一个实系数
的二阶
因子的特例
M1
H (z) A
M2
1
2
(
1
g
z
)
(
1
a
z
a
z
)
i
1i
2i
1
i 1
N1
i 1
N2
i 1
i 1
1
1
2
(
1
p
z
)
(
1
b
z
b
z
)
i
1i
2i
如果将单实根因子看成
M
H ( z ) A
i 1
M
A H i ( z )
i 1
二阶因子的特例
1 a1i z
1
a 2i z
2
1 b1 i z
1
b2 i z
2
a 2 i， b 2 i＝ 0
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用若干二阶网络级联构成滤波器，二阶子
网络称为二阶节，可用正准型结构实现。
一般形式为
H i (z)
1 a1i z
1
1 b1i z
1
a2i z
2
b2 i z
2
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-1
Z
β1
α0
x(n)
α0
x(n)
α1
一阶网络结构
Z-1
β1
β2
Z-1
y(n)
α1
α2
二阶网络结构
H 1(z)
H M (z)
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级联型结构的优缺点：
优点：
①简化实现，用一个二阶节，通过变换系数就
可实现整个系统；
②极、零点可单独控制、调整，调整 a 1 i 、a 2 i可
单独调整第 i 对零点，调整 b1i 、b 2 i 可单独调整第 i
对极点；
③级联的次序可以互换，各二阶节零、极点的
搭配可互换位置，所以系统函数的级联结构不唯一，
优化组合以减小运算误差；
缺点：
二阶节电平难控制，电平大易导致溢出，电平小
则使信噪比减小。
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例
设系统函数 H ( z )
8 4z
1 1 . 25 z
试画出其级联型网络结
1
1
11 z
2
2z
0 . 75 z
2
0 . 125 z
1
( 2 0 . 379 z )( 4 1 . 24 z
1
(1 0 . 25 z )( 1 z
2 0 . 379 z
1 0 . 25 z
1
4 1 . 24 z
1
1 z
a 其结构图可以用一个一
x(n)
1
1
1
1
，得到：
5 . 264 z
0 .5 z
5 . 264 z
0 .5 z
0.25
2
2
)
)
2
2
阶网络和一个二阶网络
2
Z-1
3
构
解：将 H ( z )的分子、分母进行分解
H (z)
3
4
Z-1
-0.379
-1.24
Z-1
-0.5
5.264
y(n)
构成如图
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（4）并联型
将系统函数展开成部分分式之和，可用并联方式
构成滤波器：
N
H (z)
ai z
i
N
i 1
A0
N
1
bi z
i
i 1
Ai
(1 d i z
1
)
i 1
将上式中的共轭复根成对地合并为二阶实系数的部
分分式，
L
H ( z ) A0
i 1
M
Ai
(1 p i z
1
)
i 1
a 0 i a1i z
1 b1i z
1
1
b2 i z
上式表明，可用L个一阶网络、M个二阶网络以及
一个常数 A 0 并联组成滤波器 H（z），结构如下图：
2
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Slide 38
特点：
①系统实现简单，只需一个二阶节，系统通过
改变输入系数即可完成；
②极点位置可单独调整；
③运算速度快（可并行进行）；
④各二阶网络的误差互不影响，总的误差小，
对字长要求低。
缺点：
不能直接调整零点，因多个二阶节的零点
并不是整个系统函数的零点，当需要准确的传
输零点时，级联型最合适。
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Slide 40
Slide 41
Slide 42
5.1.3、FIR DF网络结构形式
它的系统函数和差分方程一般有如下形式：
N 1
H (z)
h(n) z
n
n0
y (n)
N 1
N 1
i0
i0
h (i ) x ( n i ) h ( n i ) x (i )
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一、FIR DF的特点
(1)系统的单位冲激响应h(n)在有限个n值处
不为零。即h(n)是个有限长序列。
(2)系统函数|H(z)|在|z|>0处收敛，极点全
部在z=0处(即FIR一定为稳定系统)
(3)结构上主要是非递归结构，没有输出到
输入反馈。但有些结构中（例如频率抽样
结构）也包含有反馈的递归部分。
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二、基本的结构形式有下几种：
（1）直接型（卷积型、横截型）
卷积型：差分方程是信号的卷积形式；
横截型：差分方程是一条输入x(n)延时链的横
向结构。
（2）级联型（串联型）
（ 3 ）频率采样
（ 4 ）线性相位型
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直接由差分方程可画出对应的网络结构
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直接型的转置：
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例、用横截型结构实现以下系统函数：
1 1
1 1
1
1
1
H z = 1 z 1 6 z 1 2 z 1 z 1 z
2
6
解：
1 1
1 1
1
1
1
H z = 1 z 1 6 z 1 2 z 1 z 1 z
2
6
1 1
1 1
1
2
1
2
1
= 1 z 2 z z 1 z 6 z z 1 z
2
6
5 1
37 1
2
2
1
= 1 z z 1
z z 1 z
2
6
1
8
3
z
1
205
12
z
2
205
12
z
3
8
3
z
4
z
5
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Slide 49
（2）级联型（串联型）
当需要控制滤波器的传输零点时，可将系统函
数分解
为二阶实系数因子的形式：
N 1
H (z)
n0
h(n) z
n
M
( a 0 i a1i z
1
a 2i z
2
)
i 1
于是可用二阶节级联构成， 每一个二阶节控制一
对零点。
缺点：
①所需要的系数a比直接型的h(n)多；
②乘法运算多于直接型。
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Slide 51
例设 FIR 网络结构系统函数
H(z) 0 . 96 2 . 0 z
1
2 .8 z
1
( 0 . 6 0 . 5 z )( 1 . 6 2 z
x(n)
0.6
Z-1
1.6
Z-1
0.5
H ( z ) 如下式：
2
Z-1
3
1
2
1 .5 z
3z
y(n)
2
)
3
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（3）线性相位型
FIR的重要特点是可设计成具有严格线性相位的滤
波器，此时 h ( n ) 满足偶对称或奇对称条件。
h ( n ) 偶对称时，
N
N为偶数， H ( z )
1
2
h ( n )[ Z
n
Z
( N 1 n )
]
n0
N为奇数，
N 1
H (z)
1
2
n0
h ( n )[ z z
n
( N 1 n )
N 1
] h
z
2
N 1
2
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由上两式，可得到线性相位FIR滤波器的结构,如图。
优点：
线相相位型结构的乘法次数减为
N
2
N 1
2
(横截型结构乘法次数:N次)
（N偶数）
（N奇数）
Slide 54
Slide 55
Slide 56
例：设某FIR数字滤波器的系统函数为
H z
1
5
1 3z
1
5z
2
3z
3
z
4
试画出此滤波器的线性相位结构。
h (0)
1
, h (1)
5
3
, h ( 2 ) 1, h ( 3 )
5
h ( n ) 是偶对称，对称中心在
3
, h(4)
5
n
5
N 1
2
N 为奇数。
1
2 处，
Slide 57
（4）频率采样型
第二章讨论了有限长序列可以进行频域采样。
现 h (n )是长为 N 的序列，因此也可对系统函数H(z)
在单位圆上作N 等分采样，这个采样值也就是 h (n ) 的离
散付里叶变换值H(k)。
H (k ) H ( z )
z
k
wN
DFT [ h ( n )]
根据上一章的讨论，用频率采样表达z函数的内插
公式为：
H ( z ) (1 z
N
)
1
N 1
H (k )
N
1W
k 0
k
N
z
N 1
H c ( z ) H k ( z )
N
k 0
1
1
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H(z)由两部分级联而成，
第一部分（ FIR 部分）
N
H C (z) 1 z
这是一个由 N 节延时器组成的梳状滤波器，它在单位圆上
有 N 个等分的零点：
1 z
N
zi e
j
0
2
N
i
, i 0, N 1
其频响为
H C (e
H C (e
j
j
) 1 e
) 2 sin(
jN
N
2
)
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Slide 60
第二部分（IIR部分）是一组并联的一阶网络：
H k (z)
H (k )
1W
k
N
z
1
此一阶网络在单位圆上有一个极点：
zK W
2
k
N
e
j
2
N
k
k 处的频响为 ，是一个谐振频率
该网络在
N
2
为
k 的谐振器。这些并联谐振器的极点正好各自抵
N
消一个梳状滤波器的零点（i=k)，从而使这个频率点
的响应等于 H (k ) 。
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H c ( z ) (1 z
H k ( z)
N
)
H (k )
k
1 WN z
1
H c ( z) H k ( z) ( z k e
j
2k
N
)
H (k )
(zk e
j
H (k )
2k
N
)
两部分级联后，就得到频率采样型的总结构，
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Slide 63
这一结构的最大特点是它的系数H(k)直接就是滤波
器在
接。
2
k 处的响应，因此，控制滤波器的响应很直
N
两个主要的缺点：
①所有的系数 W N k 和 H (k ) 都是复数，计算复杂。
②所有谐振器的极点都在单位圆上，考虑到系数量
化的影响，有些极点实际上不能与梳状滤波器的零点
相抵消，使系统的稳定性变差。
Slide 64
为了克服这两个缺点，作两点修正：
将所有零点和极点移到半径为 r 的圆上，r 略小于
1，同时频率采样点也移到该圆上，以解决系统的稳
定性。这时
H ( z ) (1 r z
N
N
)
1
N
N 1
H (k )
1 rW
k 0
k
N
z
1
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5.2 量化与量化误差
有限字长的二进制数表示数字系统的误差
（a)A/D变换器的量化误差
即A/D变换器将模拟输入信号变为一组离散电平
时产生的量化误差。
（b)系数的量化误差
即把系统系数用有限二进制数表示时产生的量化误
差。
（c)算术运算的运算误差
数字运算运程中，为限制位数而进行尾数处理，
以及为防止溢出而压缩信号电平的有效字长效应。
Slide 66
比较三种结构的误差大小，可知
直接型 > 级联型 > 并联型
原因：
l直接型结构的所有舍入误差都经过全部网络的反馈
环节，反馈过程中误差积累，输出误差很大。
l级联型结构，每个舍入误差只通过其后面的反馈环
节，而不通过它前面的反馈环节，误差小于直接型。
l并联型 ：每个并联网络的舍入误差只通过本身的
反馈环节，与其它并联网络无关，积累作用最小，误
差最小。
第五章 数字信号处理系统的实现
引言
5.1 数字滤波器的结构
5.1.1 数字网络的信号流图
5.1.2 IIR滤波器的结构
5.1.2 FIR滤波器的结构
5.2 硬件结构简述
Slide 2
引言
数字信号处理系统与模拟信号系统在功
能上有许多相同之处，但在处理技术和
方法上却有很大区别。
模拟信号处理系统是由R,L,C等元件或放
大器等构成，用来直接处理模拟信号。
数字信号则利用通用或专用计算机，以
数值计算的方法对信号进行加工。
Slide 3
数字滤波器的理想幅频特性
H (e
jw
)
…….
H (e
jw
)
2
ω
…….
H (e
jw
)
2
3
LPDF
HPDF
ω
…….
H (e
jw
2
ω
)
BPDF
…….
2
ω
BSDF
Slide 4
研究DF实现结构意义
1.滤波器的基本特性（如有限长冲激响应FIR与无
限长冲激响应IIR）决定了结构上有不同的特点。
2.不同结构所需的存储单元及乘法次数不同，前
者影响复杂性，后者影响运算速度。
3.有限精度（有限字长）实现情况下，不同运算
结构的误差及稳定性不同。
4.好的滤波器结构应该易于控制滤波器性能，适
合于模块化实现，便于时分复用。
Slide 5
数字滤波器的实现方法：
1） 利用专用计算机；
2）直接利用计算机和通用软件编程实现。
一个数字滤波器的系统函数一般可表示为有理函
数形式：
aZ
N
i
i
H (z)
i0
N
为I I R滤波器形式，{ bi }都为0时就是一个FIR滤
波器。对于这样一个系统，也可用差分方程来表
示：
N
N
1
bi Z
i
i 1
y (n)
a
i0
i
x(n i)
b
i 1
i
y (n i)
Slide 6
对于上面的算式，可以化成不同的计算形式，如
直接计算、分解为多个有理函数相加、分解为多个
有理函数相乘等等，不同的计算形式也就表现出不
同的计算结构，而不同的计算结构可能会带来不同
的效果，或者是实现简单，编程方便，或者是计算
精度较高等等。
另外，数字信号是通过采样和转换得到的，而
转换的位数是有限的（一般6、8、10、12、16位）
，所以存在量化误差，另外，计算机中的数的表示
也总是有限的，经此表示的滤波器的系数同样存在
量化误差，在计算过程中因有限字长也会造成误差
。
Slide 7
量化误差主要有三种误差：
①A/D变换量化效应；
②系数的量化效应；
③数字运算的有限字长效应。
Slide 8
5.1 数字滤波器的结构
有两 种表示方法：
方框图表示法：
单位延时
系数乘
加法
Z-1
a
信号流图表示法：
Z-1
a
把三个基
本单元互
联，可构
成不同数
字网络或
运算结构。
Slide 9
2.例子：二阶数字滤波器：
y(n) a1 y(n 1) a2 y(n 2) b0 x(n)
其方框图及流图结构如下：
x(n)
b0
y(n)
a1
a2
Z-1
Z-1
x(n)
b0
y(n)
a1
Z-1
a2
Z-1
看出：可通过流图或方框图看出系统的运算步骤和运
算结构。以后我们用流图来分析数字滤波器结构。
Slide 10
5.1.1 数字网络的信号流图表示
y ( n ) a 0 x ( n ) a1 x ( n 1) b1 y ( n 1)
Slide 11
只有输出支路的节点称为输入节点或源点7；
只有输入支路的节点称为输出节点或阱点8；
既有输入支路又有输出支路的节点叫做混合节点。
通路是指从源点到阱点之间沿着箭头方向的连续的一
串支路，通路的增益是该通路上各支路增益的乘
积7-1-2-6-3-4-8。
回路是指从一个节点出发沿着支路箭头方向到达同一
个节点的闭合通路，它象征着系统中的反馈回路
3-4-5-6-3。组成回路的所有支路增益的乘积通常
叫做回路增益。
每个节点可以同时含有几条输入支路和几条输出支路，
任一节点的信号变量值等于所有输入支路信号之
和。
Slide 12
2、梅逊(Mason)公式：
利用信号流图，可列出一线性方程组，求得系
统函数。利用信号流图中的梅逊公式，可以方
便地求得系统函数。梅逊公式如下
H z
Y z
1
T
X z
k
k
k
式中Tk为从输入节点（源点）到输出节点（阱
点）的第k条前向通路增益； Δ为流图的特征式
1 Li
i
LL
'
i
'
j
L iL jL k
i, j
Δk是不接触第k条前向通路的特征式余因子
Slide 13
L 为所有不同回路增益之
i
和
i
'
'
L i L j 为每个互不接触回路增
益之和，
i, j
互不接触指两个回路之
"
"
间无公共的支路或结点
"
L i L j L k 为每三个互不接触的回
路增益之和；
i , j ,k
k 是第 k 条前向通路的特征式余
因子
k＝1 - L i＋ L i L j＋ .......
'
i
'
'
i, j
'
所有 L i L i L j 均是第 k 条通路不接触的回路。
；
Slide 14
例：利用梅逊公式计算
前图的系统函数
有两条前向通路
T1＝ a 0 , T 2 a 1 z
1 b1 z
1
1
1 1, 2 1
所以系统函数为
H (z)
T
k
k
k
a 0 a1 z
1 b1 z
1
1
Slide 15
3、信号流图的转置定理：
对于单个输入、单个输出的系统，通过反
转网络中的全部支路的方向，并且将其输入
和输出互换，得出的流图具有与原始流图相
同的系统函数。
Slide 16
y(n)
x(n)
Slide 17
信号流图转置的作用：
①转变运算结构；
②验证计算流图的系统函数的正确与否。
运算结构对滤波器的实现很重要，尤其对于一
些定点运算的处理机，结构的不同将会影响系统的
精度、误差、稳定性、经济性以及运算速度等许多
重要的性能。对于无限长单位冲激响应（I I R）数
字滤波器与FIR数字滤波器，它们在结构上各有自己
不同的特点，因此我们在下面将对它们分别加以讨
论。
Slide 18
5.1.2 IIR数字滤波器的结构
一、IIR DF特点
一个N阶IIR DF有理的系统函数可能表示为：
M
H（z )
ai Z
i
i 0
N
1 bi Z
i
Y ( z)
X ( z)
i 1
则这一系统差分方程为：
N
M
i 0
i 1
y (n) ai y (n i ) bi x(n i )
Slide 19
根据前两式可见
1.单位冲激响应h(n)是无限长的n→∞
2.系统函数H(z)在有限长Z平面（0<|Z|<∞)
有极点存在。
3.系统的输出不仅与现在和以前的输入有
关，而且还与以前的输出有关。结构上存
在输出到输入的反馈，也即结构上是递归
型的。
4.同一系统函数，有各种不同的结构形式。
Slide 20
(1) 直接型
直接由 IIR DF 的差分方程所得的网
络结构。
N
y (n)
N
a x(n i) b y (n i)
i
i0
i
i 1
方程看出：y(n)由两部分组成：
N
ai x ( n i )
第一部分
是一个对输入x(n)
i 0
的N节延时链结构。即每个延时后加权相加。
N
第二部分 bi y ( n i )是一个N节延时链结
i 1
构网络。不过它是对y(n)延时，因而是个反馈网络。
Slide 21
H (z) H1(z)H 2 (z)
H 1 z
N
az
i
i0
i
W z
X z
H 2 z
1
N
1 bi z
i
Y z
W z
i 1
w n
N
a i x n i
y n w n
i0
N
b y n i
i
i 1
可 以 看 到 H 1(z) 实 现 了 系 统 的 零
点 ， H 2 ( z ) 实 现 了 系 统 的 极 点 。 H (z)
由这两部分级联构成。
Slide 22
Slide 23
上述结构特点与缺点：
1)两个网络级联：第一个横向结构N节延时网
络实现零点，第二个有反馈的N节延时网络实现极
点。
2)需要2N个延迟器（z-1），太多。
3)系数ai、bi对滤波器性能的控制不直接，对
极、零点的控制难，一个ai、bi的改变会影响系统
的零点或极点分布。
4)对字长变化敏感（对ai、bi的准确度要求严
格），从而使系统频率响应对系统变化过于灵敏，
也就是对有限精度（有限字长）运算过于灵敏 。
5) 容易出现不稳定或产生较大误差。
Slide 24
（2）直接Ⅱ型
上面直接型结构中的两部分可分别看作
是两个独立的网络(H1(z)和H2(z)),两部分串接
构成总的系统函数：
H (z) H1(z)H 2 (z)
由系统函数的不变性（系统是线性的），交
换两个级联网络的次序得
H ( z ) H 2 ( z ) H 1` ( z )
Slide 25
Slide 26
两条延时链中对应的延时单元内容完全相同,可合并，得：
Slide 27
直接II型优缺点：
优点：延迟线减少一半，为N个，可节
省寄存器或存储单元。
缺点：同直接型。
通常在实际中很少采用上述两种结构实
现高阶系统，而是把高阶变成一系列不同组
合的低阶系统（一、二阶）来实现。
Slide 28
例
已知IIR DF系统函数，画出直接I型、直接II型的结构流图。
8 z 4 z 11z 2
3
H（z )
(z
2
1
4
)( z z
2
1
2
)
8 4z
1
5
4
z
1
1
11z
3
4
z
2
2
2z
1
3
z
3
8
解：为了得到直接I、II型结构，必须将H(z)化为Z-1的有理式；
x(n)
8
y(n)
x(n)
8
y(n)
Z-1
5/4
-4
注意
Z-1 -4
5/4 Z-1
反馈
Z-1
-3/4
11
部分
Z-1 11
-3/4 Z-1
系数
-1
Z
-2
1/8
Z-1 -2
符号
1/8 Z-1
Slide 29
例
设滤波器的差分方程为
y ( n ) x ( n ) x ( n 1)
2
y ( n 1)
3
1
y ( n 2 ),
4
试用直接 1型的网络结构实现它
解：系统函数为
1 z
H (z)
1
2
3
X(n)
Z-1
z
1
1
1
z
2
4
2/3
1/4
直接1型：
Z-1
Z-1
Y(n)
Slide 30
（3）级联型（串联）
一个 N 阶系统函数可用它的零、极点表示，即把
它的分子、分母都表达为因子形式
N
a
i
z
N
i
i0
H (z)
1
bi z
(1 c i z
(1 d i z
1
i 1
N
A
N
1
i
i 1
)
)
i 1
由于系数 a i 、 bi 都是实数，极、零点为实根或共
轭复根，所以有
N=M1+2×M2
M1
H (z) A
M
(1 g i z
1
i 1
i 1
) (1 h i z
1
)( 1 h i z
1
1
)( 1 q i z
1
*
)
i 1
N1
2
(1 p i z
1
N2
) (1 q i z
i 1
*
N=N1+2*N2
)
Slide 31
g i , p i 实根； h i , q i 复根
若将每一对共轭因子合
并起来构成一个实系数
的二阶
因子的特例
M1
H (z) A
M2
1
2
(
1
g
z
)
(
1
a
z
a
z
)
i
1i
2i
1
i 1
N1
i 1
N2
i 1
i 1
1
1
2
(
1
p
z
)
(
1
b
z
b
z
)
i
1i
2i
如果将单实根因子看成
M
H ( z ) A
i 1
M
A H i ( z )
i 1
二阶因子的特例
1 a1i z
1
a 2i z
2
1 b1 i z
1
b2 i z
2
a 2 i， b 2 i＝ 0
Slide 32
用若干二阶网络级联构成滤波器，二阶子
网络称为二阶节，可用正准型结构实现。
一般形式为
H i (z)
1 a1i z
1
1 b1i z
1
a2i z
2
b2 i z
2
Slide 33
-1
Z
β1
α0
x(n)
α0
x(n)
α1
一阶网络结构
Z-1
β1
β2
Z-1
y(n)
α1
α2
二阶网络结构
H 1(z)
H M (z)
Slide 34
级联型结构的优缺点：
优点：
①简化实现，用一个二阶节，通过变换系数就
可实现整个系统；
②极、零点可单独控制、调整，调整 a 1 i 、a 2 i可
单独调整第 i 对零点，调整 b1i 、b 2 i 可单独调整第 i
对极点；
③级联的次序可以互换，各二阶节零、极点的
搭配可互换位置，所以系统函数的级联结构不唯一，
优化组合以减小运算误差；
缺点：
二阶节电平难控制，电平大易导致溢出，电平小
则使信噪比减小。
Slide 35
例
设系统函数 H ( z )
8 4z
1 1 . 25 z
试画出其级联型网络结
1
1
11 z
2
2z
0 . 75 z
2
0 . 125 z
1
( 2 0 . 379 z )( 4 1 . 24 z
1
(1 0 . 25 z )( 1 z
2 0 . 379 z
1 0 . 25 z
1
4 1 . 24 z
1
1 z
a 其结构图可以用一个一
x(n)
1
1
1
1
，得到：
5 . 264 z
0 .5 z
5 . 264 z
0 .5 z
0.25
2
2
)
)
2
2
阶网络和一个二阶网络
2
Z-1
3
构
解：将 H ( z )的分子、分母进行分解
H (z)
3
4
Z-1
-0.379
-1.24
Z-1
-0.5
5.264
y(n)
构成如图
Slide 36
（4）并联型
将系统函数展开成部分分式之和，可用并联方式
构成滤波器：
N
H (z)
ai z
i
N
i 1
A0
N
1
bi z
i
i 1
Ai
(1 d i z
1
)
i 1
将上式中的共轭复根成对地合并为二阶实系数的部
分分式，
L
H ( z ) A0
i 1
M
Ai
(1 p i z
1
)
i 1
a 0 i a1i z
1 b1i z
1
1
b2 i z
上式表明，可用L个一阶网络、M个二阶网络以及
一个常数 A 0 并联组成滤波器 H（z），结构如下图：
2
Slide 37
Slide 38
特点：
①系统实现简单，只需一个二阶节，系统通过
改变输入系数即可完成；
②极点位置可单独调整；
③运算速度快（可并行进行）；
④各二阶网络的误差互不影响，总的误差小，
对字长要求低。
缺点：
不能直接调整零点，因多个二阶节的零点
并不是整个系统函数的零点，当需要准确的传
输零点时，级联型最合适。
Slide 39
Slide 40
Slide 41
Slide 42
5.1.3、FIR DF网络结构形式
它的系统函数和差分方程一般有如下形式：
N 1
H (z)
h(n) z
n
n0
y (n)
N 1
N 1
i0
i0
h (i ) x ( n i ) h ( n i ) x (i )
Slide 43
一、FIR DF的特点
(1)系统的单位冲激响应h(n)在有限个n值处
不为零。即h(n)是个有限长序列。
(2)系统函数|H(z)|在|z|>0处收敛，极点全
部在z=0处(即FIR一定为稳定系统)
(3)结构上主要是非递归结构，没有输出到
输入反馈。但有些结构中（例如频率抽样
结构）也包含有反馈的递归部分。
Slide 44
二、基本的结构形式有下几种：
（1）直接型（卷积型、横截型）
卷积型：差分方程是信号的卷积形式；
横截型：差分方程是一条输入x(n)延时链的横
向结构。
（2）级联型（串联型）
（ 3 ）频率采样
（ 4 ）线性相位型
Slide 45
直接由差分方程可画出对应的网络结构
Slide 46
直接型的转置：
Slide 47
例、用横截型结构实现以下系统函数：
1 1
1 1
1
1
1
H z = 1 z 1 6 z 1 2 z 1 z 1 z
2
6
解：
1 1
1 1
1
1
1
H z = 1 z 1 6 z 1 2 z 1 z 1 z
2
6
1 1
1 1
1
2
1
2
1
= 1 z 2 z z 1 z 6 z z 1 z
2
6
5 1
37 1
2
2
1
= 1 z z 1
z z 1 z
2
6
1
8
3
z
1
205
12
z
2
205
12
z
3
8
3
z
4
z
5
Slide 48
Slide 49
（2）级联型（串联型）
当需要控制滤波器的传输零点时，可将系统函
数分解
为二阶实系数因子的形式：
N 1
H (z)
n0
h(n) z
n
M
( a 0 i a1i z
1
a 2i z
2
)
i 1
于是可用二阶节级联构成， 每一个二阶节控制一
对零点。
缺点：
①所需要的系数a比直接型的h(n)多；
②乘法运算多于直接型。
Slide 50
Slide 51
例设 FIR 网络结构系统函数
H(z) 0 . 96 2 . 0 z
1
2 .8 z
1
( 0 . 6 0 . 5 z )( 1 . 6 2 z
x(n)
0.6
Z-1
1.6
Z-1
0.5
H ( z ) 如下式：
2
Z-1
3
1
2
1 .5 z
3z
y(n)
2
)
3
Slide 52
（3）线性相位型
FIR的重要特点是可设计成具有严格线性相位的滤
波器，此时 h ( n ) 满足偶对称或奇对称条件。
h ( n ) 偶对称时，
N
N为偶数， H ( z )
1
2
h ( n )[ Z
n
Z
( N 1 n )
]
n0
N为奇数，
N 1
H (z)
1
2
n0
h ( n )[ z z
n
( N 1 n )
N 1
] h
z
2
N 1
2
Slide 53
由上两式，可得到线性相位FIR滤波器的结构,如图。
优点：
线相相位型结构的乘法次数减为
N
2
N 1
2
(横截型结构乘法次数:N次)
（N偶数）
（N奇数）
Slide 54
Slide 55
Slide 56
例：设某FIR数字滤波器的系统函数为
H z
1
5
1 3z
1
5z
2
3z
3
z
4
试画出此滤波器的线性相位结构。
h (0)
1
, h (1)
5
3
, h ( 2 ) 1, h ( 3 )
5
h ( n ) 是偶对称，对称中心在
3
, h(4)
5
n
5
N 1
2
N 为奇数。
1
2 处，
Slide 57
（4）频率采样型
第二章讨论了有限长序列可以进行频域采样。
现 h (n )是长为 N 的序列，因此也可对系统函数H(z)
在单位圆上作N 等分采样，这个采样值也就是 h (n ) 的离
散付里叶变换值H(k)。
H (k ) H ( z )
z
k
wN
DFT [ h ( n )]
根据上一章的讨论，用频率采样表达z函数的内插
公式为：
H ( z ) (1 z
N
)
1
N 1
H (k )
N
1W
k 0
k
N
z
N 1
H c ( z ) H k ( z )
N
k 0
1
1
Slide 58
H(z)由两部分级联而成，
第一部分（ FIR 部分）
N
H C (z) 1 z
这是一个由 N 节延时器组成的梳状滤波器，它在单位圆上
有 N 个等分的零点：
1 z
N
zi e
j
0
2
N
i
, i 0, N 1
其频响为
H C (e
H C (e
j
j
) 1 e
) 2 sin(
jN
N
2
)
Slide 59
Slide 60
第二部分（IIR部分）是一组并联的一阶网络：
H k (z)
H (k )
1W
k
N
z
1
此一阶网络在单位圆上有一个极点：
zK W
2
k
N
e
j
2
N
k
k 处的频响为 ，是一个谐振频率
该网络在
N
2
为
k 的谐振器。这些并联谐振器的极点正好各自抵
N
消一个梳状滤波器的零点（i=k)，从而使这个频率点
的响应等于 H (k ) 。
Slide 61
H c ( z ) (1 z
H k ( z)
N
)
H (k )
k
1 WN z
1
H c ( z) H k ( z) ( z k e
j
2k
N
)
H (k )
(zk e
j
H (k )
2k
N
)
两部分级联后，就得到频率采样型的总结构，
Slide 62
Slide 63
这一结构的最大特点是它的系数H(k)直接就是滤波
器在
接。
2
k 处的响应，因此，控制滤波器的响应很直
N
两个主要的缺点：
①所有的系数 W N k 和 H (k ) 都是复数，计算复杂。
②所有谐振器的极点都在单位圆上，考虑到系数量
化的影响，有些极点实际上不能与梳状滤波器的零点
相抵消，使系统的稳定性变差。
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为了克服这两个缺点，作两点修正：
将所有零点和极点移到半径为 r 的圆上，r 略小于
1，同时频率采样点也移到该圆上，以解决系统的稳
定性。这时
H ( z ) (1 r z
N
N
)
1
N
N 1
H (k )
1 rW
k 0
k
N
z
1
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5.2 量化与量化误差
有限字长的二进制数表示数字系统的误差
（a)A/D变换器的量化误差
即A/D变换器将模拟输入信号变为一组离散电平
时产生的量化误差。
（b)系数的量化误差
即把系统系数用有限二进制数表示时产生的量化误
差。
（c)算术运算的运算误差
数字运算运程中，为限制位数而进行尾数处理，
以及为防止溢出而压缩信号电平的有效字长效应。
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比较三种结构的误差大小，可知
直接型 > 级联型 > 并联型
原因：
l直接型结构的所有舍入误差都经过全部网络的反馈
环节，反馈过程中误差积累，输出误差很大。
l级联型结构，每个舍入误差只通过其后面的反馈环
节，而不通过它前面的反馈环节，误差小于直接型。
l并联型 ：每个并联网络的舍入误差只通过本身的
反馈环节，与其它并联网络无关，积累作用最小，误
差最小。