Transcript 第六章IIR滤波器的设计方法

第六章
IIR滤波器的设计方法
主要内容
1、IIR数字滤波器基本概念；
2、模拟滤波器设计简介；
3、 模拟滤波器到数字滤波器的转换；
4、频率变换理论。
6.1 引言
一、滤波器的基本概念
1、滤波器的功能
滤波器的功能是对输入信号进行滤波
以增强所需信号部分，抑制不要的部分。
2、四种基本的数字滤波器
H ( e j )
低通
 2π
π
 2π
π
H ( e j )
π
2π
ω
高通
H ( e j )
π
2π ω
带通
 2π
π
 2π
π
H ( e j )
π
2π ω
π
2π ω
带阻
二、滤波器设计的步骤
1）根据任务，确定性能指标。
2）用因果稳定的LTI系统的系统函数去逼近。
3）用有限精度算法实现这个系统函数。(包括选择
运算结构、选择合适的字长、有效数字处理方法)
4）用适当的软、硬件技术实现，包括：通用计算机
软件、数字滤波器硬件、或者二者结合。
三、性能指标
理想滤波器物理不可实现的。(由于从一个频带到
另一个频带之间的突变)
要物理可实现：应从一个带到另一个带之间设置
一个过渡带，且在通带和阻带内也不应该严格
为1或零，应给以较小容限。
1、低通滤波器的性能指标
δ1：通带的容限
|H(ejw)|或|H(f)
δ2：阻带容限
1
Ap
fp(wp)：通带截止频率，又
称为通带上限频率。
1-δ1
Ap：通带允许的最大衰减。
δ2
As
fp
wp
fs
ws
f
w
fs(ws)：阻带截止频率，又
称阻带下限截止频率。
As：阻带应达到的最小衰
减。
2、高通滤波器的性能指标
|H(ejw)|或|H(f)
Ap
fp(wp)：通带截止频率，又
称为通带下限频率。
1
Ap：通带衰减。
fs(ws)：阻带截止频率，又
称阻带上限截止频率。
As
fs
ws
fp
wp
f
w
As：阻带衰减。
3、带通滤波器的性能指标
|H(ejw)|或|H(f)
Ap
通带截止频率：上限截止
频率fp2(wp2)，下限截止频
率fp1(wp1)。
1
通带衰减：Ap
As
fs1 fp1
ws1 wp1
fp2 fs2
wp2 ws2
f
w
阻带截止频率：上限截止
频率fs2(ws2)，下限截止频
率fs1(ws1)。
阻带衰减：As
4、带阻滤波器的性能指标
|H(ejw)|或|H(f)
Ap
通带截止频率：上限截止
频率fp2(wp2)，下限截止频
率fp1(wp1)。
1
通带衰减：Ap
As
fp1 fs1
wp1 ws1
fs2 fp2
ws2 wp2
f
w
阻带截止频率：上限截止
频率fs2(ws2)，下限截止频
率fs1(ws1)。
阻带衰减：As
5、通常具体技术指标
通带允许最大衰减：
j0
Ap  20 lg
H (e )
H (e jwp )
 20 lg H (e
jwp
)
(dB)
)
(dB)
阻带应达到的最小衰减：
j0
As  20 lg
H (e )
H (e
jws
)
 20 lg H (e
jws
式中均假定：
H（e j 0） 1，即归一化
四、H(z)如何推导出
• 有时根据提出对滤波器的性能要求、频率特
性（低、高、带通、带阻）来设计系统H(z)。
• 有时根据时域波形提出要求来设计-->单位
冲激响应h(n)的形状。
• 有时也直接给出H(z)(但要求因果稳定)。
五、表征滤波器频率响应的特征参量
1、幅度平方响应
j
2
j
j
H (e )  H (e ) H (e )
j
*
 H (e ) H (e
 j
1
)  H ( z) H ( z )
z e j
1
H ( z ) H ( z ) 的极点既是共轭的，又是以单
位圆成镜像对称的
j Im[ z ]
1/ a*
a
H(z)的极点：单位圆内的极点
0
a
*
Re[ z ]
a 1
2、相位响应
j
j
H (e )  H (e ) e
j  ( e j )
j
j



 Re  H (e )   j Im  H (e ) 
j

Im[
H
(
e
)] 
j
相位响应： (e )  arctan 
j 
 Re[ H (e )] 
j
j
H (e )  H (e ) e
*
 j ( e
j
)
H (e j )
2 j  ( e j )
e
*
j
H (e )
j

1  H ( z) 
1
H (e ) 
j
 (e )  ln  * j   ln 
1 
2 j  H (e )  2 j  H ( z )  z e j
3、群延迟响应
相位对角频率的导数的负值
j
d  (e )
 (e )  
d
j
 dH ( z ) 1 
  Re  z

dz
H
(
z
)

 z e j
j
若滤波器通带内  (e ) = 常数，
则为线性相位滤波器
六、IIR数字滤波器的设计方法
用一因果稳定的离散LTI系统逼近给定的性能要求：
M
H ( z) 
k
b
z
k
k 0
N
1   ak z  k
即为求滤波器的各系数
ak , bk
k 1
s平面逼近：模拟滤波器
z平面逼近：数字滤波器
先设计模拟滤波器，再转换为数字滤波器
计算机辅助设计法
6.2 最小与最大相位延时系统、
最小与最大相位超前系统
LTI系统的系统函数：
M
H ( z)  K
1
(1

c
z
 m )
m 1
N
1
(1

d
z
 k )
M
 Kz ( N M )
k 1
频率响应：
j
H (e )  Ke
(z  c
m 1
N
m
)
(z  d )
k 1
k
M
j
(
e
  cm )
j ( N  M ) m 1
N
j
(
e
  dk )
k 1
j
 H (e ) e
j arg[ H ( e j )]
模：
M
H (e j )

K
j
e
  cm
m 1
N
e
k 1
j
 dk
各零矢量模的连乘积

各极矢量模的连乘积
相角：
N
 H (e j )  M
j
j
arg 

arg[
e

c
]

arg[
e
 dk ] ( N  M )


m

k 1
 K  m1
N
 H (e j )  M
j
j
arg 
  arg[e  cm ]   arg[e  d k ] ( N  M )

k 1
 K  m1
当   0  2 ,   2
j Im[ z ]
0
位于单位圆内的零/极矢量角度变化为2
位于单位圆外的零/极矢量角度变化为 0
Re[ z ]
N
 H (e j )  M
j
j
arg 
  arg[e  cm ]   arg[e  d k ] ( N  M )

k 1
 K  m1
令： 单位圆内零点数为mi
单位圆外的零点数为mo
单位圆内的极点数为pi
单位圆外的极点数为po
则：
mi  mo  M
pi  po  N
 H (e j ) 
 arg 
 2 ( N  M )  2 mi  2 pi

 K   2

因果稳定系统 z  r , r  1 ，n < 0时，h(n) = 0
全部极点在单位圆内：po = 0，pi = N
j
 H (e ) 
 arg 
 2 mi  2 pi  2 ( N  M )

 K   2
 2 mi  2 M  2 mo  0
辐角变化为负，相位延时系统
1）全部零点在单位圆内： mi  M , mo  0
 arg[]  0 为最小相位延时系统
2）全部零点在单位圆外： mi  0, mo  M
 arg[]  2 M 为最大相位延时系统

逆因果稳定系统 z  r , r  1 ，n > 0时，h(n) = 0
全部极点在单位圆外：po = N，pi = 0
 H (e j ) 
 arg 
 2 mi  2 pi  2 ( N  M )

 K   2
 2 mi  2 ( N  M )  0
辐角变化为正，相位超前系统
1）全部零点在单位圆内： mi  M , mo  0
 arg[]  2 N
为最大相位超前系统
2）全部零点在单位圆外： mi  0, mo  M
 arg[]  2 ( N  M ) 为最小相位超前系统
最小相位延时系统的性质：
1）在 H (e j ) 相同的系统中，具有最小的相位滞后
2）最小相位延时系统的能量集中在n=0附近，而总能量
相同
m
 h( n)
n 0
2
m
  hmin (n)
n 0
3）最小相位序列的
4）在
2
m  N 1
N 1
 h( n)
n 0
2
N 1
  hmin (n)
2
n 0
hmin (0) 最大：hmin (0)  h(0)
H (e j ) 相同的系统中，hmin (n) 唯一
5）级联一个全通系统，可以将一最小相位系统转变成一
相同幅度响应的非最小相位延时系统
6.3 全通系统
对所有，满足： H ap (e j )  1
称该系统为全通系统。

一阶全通系统：
z 1  a
H ap ( z ) 
1  az 1
a为实数
0  a 1
极点：z
a
零点：z  1/ a
1
z a
H ap ( z ) 
1
1  az
*
a为复数
0  a 1
*
极点：z  a 零点：z  1 / a
零极点以单位圆为镜像对称

实系数二阶全通系统
1
1
z a
z a
H ap ( z ) 

1
1
1  az 1  a * z
*
极点： z  a，a*
*
z

1/
a
，1/ a
零点：
两个零点（极点）共轭对称
零点与极点以单位圆为镜像对称
a 1

N 阶数字全通滤波器
z 1  ak *
H ( z )  
1
k 1 1  ak z
N
1
 ( N 1)
N
d N  d N 1 z  ...  d1 z
z

1
 ( N 1)
N
1  d1 z  ...  d N 1 z
 dN z
N
1
z D( z )

D( z )
 j
r 1
极点：D ( z ) 的根 z p  re
1  j
1
r 1
零点：D( z ) 的根 zo  e
r

全通系统的应用
1）任一因果稳定系统H(z)都可以表示成全通系统
Hap(z)和最小相位系统Hmin(z)的级联
H ( z )  H min ( z )  H ap ( z )
设有一个因果稳定的非最小相位延时系统，它的某一
对共轭零点位于单位圆外，其余零点位于单位圆内。
1
1
令：H ( z)  H1 ( z)( z  z0 )( z  z )
*
0
*
1
/
z
，1/
z
其中：H1(z)为最小相位延时的，
0
0， z0  1
为单位圆外的一对共轭零点
* 1
1
1

z
z
1

z
z
0
0
H ( z )  H1 ( z )  z 1  z0  z 1  z0* 

* 1
1
1  z0 z 1  z 0 z
1
1
z  z0 z  z
 H1 ( z ) 1  z z 1  z0 z 

* 1
1  z0 z 1  z 0 z
* 1
0
1
*
0
1
 H min ( z)  H ap ( z)
*
z

1/
z
,
1/
z
z0  1
把H(z)单位圆外的零点：
0
0,
映射到单位圆内的镜像位置：z  z0 , z
*
0
构成Hmin(z)的零点。
而幅度响应不变：
H (e j )  H min (e j )  H ap (e j )  H min (e j )
2）级联一个全通系统可以使非稳定滤波器变成一个
稳定滤波器
原滤波器有一对位于单位圆外的极点：
1  j
z  e ，r 1
r
级联一个全通滤波器：
1
j
1
 j
z  re
z  re
H ap ( z ) 

 j 1
j 1
1  re z 1  re z
把非稳定系统的单位圆外的极点映射到单位圆内
3）作为相位均衡器，校正系统的非线性相位，而
不改变系统的幅度特性
H ( z )  H d ( z )  H ap ( z )
j
j
j
H (e )  H d (e )  H ap (e )
j
j
 H d (e )  H ap (e )  e
j d ( ) ap ( ) 
d ( )
 ( )  
  d ( )   ap ( )   0
d
2
2
2
e   ( )   0    ap ( )   d ( )   0 
利用均方误差最小准则求均衡器Hap(z)的有关参数
6.4 IIR DF的设计方法
设计IIR数字滤波器系统函数的方法有：
1、简单滤波器的零、极点累试法
2、间接方法
3、直接方法
一、零、极点累试法
在z平面上直接设计IIR数字滤波器,以滤波器响应作为依
据，直接在z平面上通过多次选定极点和零点位置逼近该响
 jw
应。即在单位圆内设置一对共轭极点   re 0 ，频响在w0
处就有一峰值。r越近于1，极点位置越接近单位圆，则峰值
 jw1
c

re
就越尖锐。同理，若在单位圆内设置一对零点
，频
响就会在w1处出现零值，即可实现陷波。如特性还达不到要
求,可再移动零、极点，这样作二、三次调整后，就可以获
得一些简单的DF。这种方法可以设计一些简单，阶数很低
Im[z]
jw1
（1~2阶)的DF。
re
H (e jw )
*
w0
w1

w
re
 jw1
Re[z]
*
二、间接方法
由于模拟滤波器设计技术是非常成熟的，归一化各
种模拟低通滤波器的系统函数已有表可查，利用成熟的
设计技术，可得到一个间接设计IIR DF的方法。
这种方法通常要先设计一中间滤波器，然后通过映
射或频率变换完成最终IIR数字滤波器的设计。这种间
接设计方法中包括：
1） 由模拟滤波器设计数字滤波器；
2） 频率变换法(分为模拟频率变换法和数字频率变
换法)来设计数字滤波器。
三、直接方法
即为计算机辅助设计法。
1）在频域利用幅度平方误差最小法直接设计IIR数
字滤波器。
2）在时域直接设计IIR数字滤波器
此法根据性能指标和一定的逼近准则，直接利用计
算机完成设计。
6.5 用模拟滤波器设计IIR数字滤波器
设计步骤：
1、数字滤波器的技术指标转换成模拟低通滤波器
的技术指标
2、模拟低通滤波器的设计
3、映射实现：从模拟低通滤波器再转换成数字滤
波器
s 平面
设计思想：
 z 平面
模拟系统 H a ( s)  H ( z ) 数字系统
由模拟变换到数字的映射必须满足两条基本要求：
1）H(z)的频率响应要能模仿Ha(s)的频率响应。S平面的
虚轴jΩ必须映射到Z平面的单位圆上，即
[S=jΩ,∞＜Ω＜∞]→[Z=ejω,－π＜ω＜π]
z
S
0
Ω
-π
π
ω
2）因果稳定的Ha(s)应能映射成因果稳定的H(z)。为保
持滤波器稳定性，S平面的左半平面必须映射到Z平面的
单位圆内，即Re[s]<0 → |z|<1
z
S
0
Ω
映射方法：
- 冲激响应不变法
- 阶跃响应不变法
- 双线性变换法
-π
π
ω
一、冲激响应不变法
1、变换原理
数字滤波器的单位冲激响应h(n)
模仿模拟滤波器的单位冲激响应ha(t)
h(n)  ha (nT )
xa (t )
T—抽样周期
ya (t )
ha (t )
x ( n )  x a ( nT )
h(n)  ha (nT )
y(n)  ya (nT )
设
则：
ha (t )  H a (s)
h(n)  H ( z )
1 
2
H ( z ) |z esT   H a ( s  jk
)
T k 
T
由于时域抽样，导致频域内数字滤波器频率响应
H(ejw)为模拟滤波器频率响应的周期延拓。


1
2

1
  2k
j
H (e )   H a ( j  j
k)   Ha ( j
)
T k 
T
T k 
T
因此存在多对一的映射关系。
2
T
S平面上每一条宽为2π/T的横带部分，将重叠映射到整个z平
面上。

S平面的虚轴(j)轴映射到z平面单位圆上，虚轴上每一段长
为2π/T 的线段都映射到z平面单位圆上一周。

数字滤波器的频响并不是简单地重现模拟滤波器的频响，而
是模拟滤波器频响的周期延拓。

从频率响应来看：
数字滤波器的冲激响应为对应模拟滤波器冲激响应的
抽样，由抽样定理可知其频谱为模拟滤波器频谱的周期
延拓，周期为2/T。
只有当模拟滤波器的频率响应是带限的，且带限于折
叠频率以内时，即
 s
H a ( j)  0,
才不会产生混迭失真

T

2
1
j
H (e )  H a ( j),
T
(   )
实际系统不可能严格限带，不可避免的会产生混迭失
真，在|ω|> ωs/2处衰减越快，失真越小。
2、模拟滤波器的数字化
H a ( s)  ha (t )  ha (nT )  h(n)  H ( z )
N
Ak
H a (s)  
k 1 s  sk
N
ha (t )  L [ H a ( s)]   Ak e u (t )
1
sk t
k 1
N
h(n)  ha (nT )   Ak e
H ( z) 
k 1

 h( n) z
n 
N


n
k 1
n 0

u (nT )
N
 
  Ak e
  Ak  e z
sk T
sk nT
n 0 k 1
1

n
N
sk T n
z n
Ak

sk T 1
1

e
z
k 1
N
Ak
H a (s)  
k 1 s  sk
极点：s 平面
系数相同：
N
Ak
 H ( z)  
sk T 1
z
k 1 1  e
s  sk  z 平面 z  e
Ak
稳定性不变：
s 平面
Re[sk ]  0 
z 平面 e skT  1
sk T

1
  2 k
j
H (e )   H a ( j
)
T k 
T
当T 很小时，数字滤波器增益很大，易溢出，需修正
令： h(n)  Tha (nT )
N
TAk
H ( z)  
sk T 1
z
k 1 1  e
则：H (e j ) 
   2 k 
Ha  j


T


k 

 
 Ha  j 
 T
 
例：设模拟滤波器的系统函数为
2
1
1
H a ( s)  2


s  4s  3 s  1 s  3
试用冲激响应不变法，设计IIR数字滤波器。
解：据题意，得数字滤波器的系统函数：
N
Ak
H a (s)  
k 1 s  sk
T
T
H ( z) 

T 1
3T 1
1 e z
1 e z

T  e T  e 3T  z 1
N
TAk
H ( z)  
1 e  e  z  e z
sk T 1
1

e
z
k 1
0.318 z 1
设T = 1s，则 H ( z ) 
1  0.4177 z 1  0.01831z 2
T
3T
1
4T
2
0.318 z 1
H ( z) 
1  0.4177 z 1  0.01831z 2
模拟滤波器的频率响应：
2
H a ( j) 
2
(3   )  j 4
数字滤波器的频率响应：
 j
0.318
e
j
H (e ) 
 j
 j 2
1  0.4177e  0.01831e
3、冲激响应不变法的优缺点
优点：


数字滤波器的h(n)完全模仿模拟滤波器的ha(t) ，时
域逼近良好
模拟频率Ω和数字频率之间呈线性关系：
=T
线性相位模拟滤波器转变为线性相位数字滤波器
缺点：

有频率响应混迭效应，只适用于限带的低通、带
通滤波器
4、冲激不变法应用的局限性



由于具有频率的混叠效应，所以高通和带阻滤波器
不宜采用冲激不变法。因为它们高频部分不衰减，
将完全混淆在低频中，从而使整个频响面目全非。
若要对高通和带阻实行冲激不变法，则必须先对高
通和带阻滤波器加一保护滤波器，滤掉高于折叠频
率以上的频带。它会增加设计的复杂性和滤波器的
阶数，因而只有在一定要追求频率线性关系或保持
网络瞬态响应不变时才使用。
对于带通和低通滤波器，需充分限带，若阻带衰减
越大，则混叠效应越小。
※二、阶跃响应不变法
1、变换原理
数字滤波器的阶跃响应g(n)模仿模拟滤波器的
阶跃响应ga(t)
g (n)  g a (t )
t nT
 g a (nT )
T — 抽样周期
u (n)
z
z 1
h( n)
H ( z)
g ( n)  u ( n) * h( n)
z
G( z) 
H ( z)
z 1
u (t )
ha (t )
g a (t )  u (t ) * ha (t )
1
s
H a (s)
1
Ga ( s )  H a ( s )
s
1
1
H a ( s )  Ga ( s )  H a ( s )  g a (t )  L Ga ( s ) 
s
z 1
G( z)
 g (n)  g a (nT )  G( z )  ZT  g (n)  H ( z ) 
z
g (n)  g a (t )
t nT
 g a (nT )

1
2 

ˆ
G( z ) z esT  Ga (s)   Ga  s  jk 
T k  
T 
z
G( z) 
H ( z)
z 1
z
1 
2 

H ( z ) z esT   Ga  s  jk

z 1
T k  
T 
1
2


 Ga ( s )  H a ( s )
H a  s  jk


s
1
T


 
T k  s  jk 2
T
2、特点
 阶跃响应不变法同样有频率响应的混叠失真现象。
 由于变换公式中存在因子1/s，因此在高频段将增
加6dB/每倍频程的衰减。即对于同一模拟滤波器系统
函数，阶跃响应不变法所引入的混叠误差将比冲激响
应不变法所产生的误差小。
例：二阶Butterworth 归一化模拟滤波器（LPF）为：
H a' ( s)

1
s  2s  1
2
设计对应3dB截止模拟频率为50Hz的二阶Butterworth
数字滤波器。设数字系统采样频率为500Hz，并采用
阶跃响应不变法来设计。
解：求模拟系统函数：
H a ( s) 
H a' (
s
)
2  50
9.8696104
 2
s  444.288 s  9.86960104
1
1
9.8696104
Ga ( s)  H a ( s)  2
s
s s  444.288s  9.8696104
1
(s  222.14415)  222.14415
 
s (s  222.14415) 2  (222.14415) 2
222 .14415 t
g a (t )  {1  e
[sin( 222 .14415 t )
 cos( 222 .14415 t )]}u (t )
g (n)  g a (nT )  {1  e 222.14415 nT [sin( 222 .14415 nT )
 cos( 222 .14415 nT )]}u (n)
代入T=1/500，计算Z变换得
G( z ) 
0.14534481z 2  0.10784999z
( z  1)(z 2  1.1580459z  0.41124070)
最后得 （用在z-1表示）
z 1
H ( z) 
G( z )
z

0.14534481z 1  0.10784999z 2
1  1.1580459z 1  0.41124070z 2 )
三、双线性变换法
冲激响应不变法、阶跃响应不变法：使数
字滤波器在时域上模仿逼近模拟滤波器，缺点
是脉冲响应不变法的映射是多值映射，导致
产生频率响应的混叠失真。
为了克服这一缺点，采用双线性变换法。
使数字滤波器的频率响应与模拟滤波器的频率
响应相似。
1、变换原理及特点
改进思路：先将s域平面压缩到一个中介平面s1，
然后再将s1映射到Z平面。
S
平
面
S1
平
面
j

Z
平
面
j1
j Im[ z ]

Re[z ]
第一次变换
频率压缩
第二次变换
数字化
  tan(
第一次变换：
 :[ ,  ]
1T
  tan
2
1T
)
2
  
1 :   , 
 T T
1
第二次变换：
z  e s1T  1T  
j
1T
2
j
1T
2
j1T
1T
e
e
1 e
j  j tan(
)  1T

1T
j1T
j

j
2
1 e
2
2
e
e
则可得到S平面-->z平面的单值映射关系：
1 e
s
s1T
1 e
ze
1 z
s
1
1 z
1 s
z
1 s
s1T
1
s1T
为使模拟滤波器某一频率与数字滤波器的任一频率有
对应关系，引入系数 c
1T
  c  tan
2
1  z 1
sc
1
1 z
cs
z
cs
2、变换常数c的选择
1）低频处有较确切的对应关系：   1
 1T   c  1T
1    c  tg 

2
 2 
2）某一特定频率严格相对应： c
1cT
c
c  c  tg
 c  tg
2
2
2
c
T
 c
c   c ctg
c
2
特定频率处频率响应严格相等，可以较准确地控制
截止频率位置
3、逼近情况
1
 j
1

z
1

e

1）s  c
c
 jc  tan  j
1
 j
1 z
1 e
2
z平面单位圆
s平面虚轴
c  s c    j

2）z 
c  s c    j
s平面
z 
(c   )  
2
(c   )  
2
2
2
z平面
 0
z 1
左半平面
单位圆内
 0
z 1
右半平面
单位圆外
 0
z 1
虚轴
单位圆上
4、性能分析
1）避免了频率响应的混迭现象
s 平面与 z 平面为单值变换
0 0
0 0
  
2 1  z 1
1
2）它是一种简单的代数关系。 s 
T 1 z
只须将上述关系代入AF的Ha (s)中(对直接、级联、
并联结构都适用)即可求出DF的H(z)，设计十分方便。
3）除了零频率附近，与之间严重非线性
线性相位模拟滤波器
非线性相位数字滤波器
要求模拟滤波器的幅频响应为分段常数型，不然
会产生畸变
分段常数型模拟滤波器
经变换后仍为分段常数
型数字滤波器，但临界
频率点产生畸变
 1 
1  2  tan    1T
 c 
1
4）双线性变换法的适用场合：
（1）不能设计线性相位的DF
（2）它要求AF的幅频响应是分段常数型。(即幅度变
换是线性的)。(一般低通，高通，带通，带阻型滤波
器的频率响应特性都是分段常数)
5）频率畸变的处理：
通过频率预畸变加以校正。
5、预畸变
将临界频率事先加以畸变，然后经变换后正好映射
到所需要的频率。
给定数字滤波器
的截止频率 1，
则
1  c  tan
1
2
按1 设计模拟滤
波器，经双线性
变换后，即可得
到 1 为截止频率
的数字滤波器
6、模拟滤波器数字化方法
H ( z )  H a ( s)
1 z 1
s c
1 z 1
 1  z 1 
 Ha  c
1 
 1 z 
 可分解成级联的低阶子系统
H a ( s)  H a1 ( s) H a2 ( s)
H ( z )  H1 ( z ) H 2 ( z )
其中：H i ( z )  H ai ( s )
H am ( s)
H m ( z)
1 z 1
s c
1 z 1
i  1,2,..., m
 可分解成并联的低阶子系统
H a ( s )  H a1 ( s )  H a2 ( s ) 
 H am ( s )
H ( z )  H1 ( z )  H 2 ( z ) 
 H m ( z)
其中：H i ( z )  H ai ( s )
1 z 1
s c
1 z 1
i  1,2,..., m
7、设计流程
1）根据要求，设定所要设计的数字滤波器指标。
2）将各分段频率临界点预畸变。将数字滤波器的
性能指标转换为模拟滤波器的性能指标。
3）根据模拟滤波器的性能指标，设计出模拟滤波
器的系统函数Ha(s) 。
4）选定双线性变换常数C。
5） Ha(s) →H(z)
代入Ha(s)中，得到DF 的H(z)。
例：试用双线性变换法设计Butterworth低通DF。
已知低通DF的3dB带宽频率
率
，在
处的阻带衰减
，阻带起始频
解：（1）将DF的设计指标转换为模拟滤波器的设计指
标。
对双线性变换法
例：考虑
描述的Bessel滤波器，若采样速率f s =12kHz，
设计一个数字滤波器，使它在f0=3kHz的幅度等
于H(s)在=4rad/s处的幅度。
解：
已知数字滤波器的频率为
1)确定C
2)将
代入H(S)得：