Transcript 第三章离散傅里叶变换

第三章
离散傅里叶变换
（DFT）
主要内容
1、DFT的定义及性质
2、频域抽样定理
3、序列的抽取与插值
4、离散傅里叶变换的应用(卷积和频谱计算)
3.1 离散傅里叶变换的定义与性质
一、四种不同傅里叶表示
傅里叶级数(FS)
 傅里叶变换(FT)
 周期序列傅里叶级数(DFS)
 序列的傅里叶变换(DTFT)

1、傅里叶级数(FS)
FS
周期连续时间信号 
非周期离散频谱函数。
 周期为T0的连续时间函数x(t)可展成傅里叶级数
X(jkΩ0)，是离散非周期性频谱，表示为：

通过以下变换对可以看出时域的连续函数造
成频域是非周期的频谱函数,而频域的离散频谱
就与时域的周期时间函数对应。(频域采样，时
域周期延拓)
2、傅里叶变换(FT)

非周期连续时间信号通过连续傅里叶变换(FT)
得到非周期连续频谱密度函数。
以下变换对可以看出时域连续函数造成频
域是非周期的谱，而时域的非周期造成频域是
连续的谱。
3、周期序列的傅里叶级数(DFS)
以下变换对可以看出时域离散函数造成频
域是周期的谱，而时域的周期性造成频域是离
散的谱。
…
1
...
N
N1
N
n
4、序列的傅里叶变换(DTFT)

非周期离散的时间信号(单位圆上的Z变换
(DTFT))得到周期性连续的频率函数。
时域的离散造成频域的周期延拓，而时域
的非周期对应于频域的连续。
二、DFT引入
 对于有限长序列，引入DFT。
 DFT是反映了“有限长”这一特点的一种有
用工具。
 DFT变换除了作为有限长序列的一种傅里叶
表示，在理论上重要之外，而且由于存在着
计算机DFT的有效快速算法—FFT，因而使
DFT得以实现，它使DFT在各种数字信号处
理的算法中起着核心的作用。
1、由DFS引出DFT的定义

周期序列实际上只有有限个序列值才有意义，因而它
的离散傅里叶级数表示式也适用于有限长序列。

具体而言：
• 时域周期序列看作是有限长序列x(n)的周期延拓;
• 把频域周期序列看作是有限长序列X(k)的周期延拓;
• 这样我们只要把DFS的定义式两边（时域、频域）
各取主值区间，就得到关于有限长序列的时频域的
对应变换对。

这就是数字信号处理课程里最重要的变换 ---- 离散傅
里叶变换(DFT)。
2、由DTFT引出DFT的定义
 有限长序列的傅里叶变换在频域是周期连续
函数，通过频域抽样可得DFT。

具体而言：
• 把有限长序列X(k)看做频域函数的N点抽样；
• 这样我们只要把DTFT的定义式两边（时域、
频域）的数字角频率离散，就得到关于有
限长序列的时频域的对应变换对。
3、DFT定义

正变换

反变换

X(k)、x(n)为有限长序列的离散傅里叶变换对，
已知其中一个序列就能确定另一个序列。
4、DFT涉及的基本概念
1）主值(主值区间、主值序列)
2）移位(线性移位、圆周移位)
3）卷积(线性卷积、圆周卷积)
4）对称(序列的对称性、序列的对称分量)
1）主值(主值区间、主值序列)
2）移位

线性移位：序列沿坐标轴的平移。

圆周移位：将有限长序列x(n)以N为周期，
延拓为周期序列，并加以线性移位后，再取
它的主值区间上的序列值。

m点圆周移位记作:
其中((...))N表示N点周期延拓。
例：
x(n)
3
2 1
(1)周期延拓：N=5时
1 0.5
x(n)
3
3
2
n
1
2
1 0.5 1
3
2
1 0.5 1
1 0.5
n
(2)周期延拓：N=6 时，补零加长
3
2
1
x(n)
3
2
1 0.5 1
3
2
1 0.5
1
1
n
x(n)
3
2 1
(3)M=1时，左移(取主值)
x(n)
3
1 0.5
1
n
2
10.5
n
(4)M=-2时，右移(取主值)
x(n)
3
2
1
0.5
1
n
3）卷积

线性卷积

圆周卷积

圆周卷积与线性卷积的性质对比
(1) 线性卷积
线性卷积定义：有限长序列 x1(n),0≤n≤N1-1;
x2(n),0≤n≤N2-1，则线性卷积为
注意：线性卷积结果长度变为N1+N2-1 。
(2) 圆周卷积
令
则圆周卷积结果长度不变,为N。
圆周卷积的实现步骤
用图表求解圆周卷积
例：x(n)={5,4,3,2,1}，h(n)={1,2,3}，同上求N=7
点的圆周卷积。
解：
（1）将x(n)补零加长为x(k)={5,4,3,2,1,0,0},
（2）将h(n)补零加长至N=7，并周期延拓，
（3）反折得到:h(-k)={1,0,0,0,0,3,2}
（4）作图表
5
4
3
2
1
0
0
1
0
0
0
0
3
2
2
1
0
0
0
0
3
3
2
1
0
0
0
0
0
3
2
1
0
0
0
0
0
3
2
1
0
0
0
0
0
3
2
1
0
0
0
0
0
3
2
1
(3) 圆周卷积与线性卷积的性质对比
圆周卷积
是针对DFT引出的
一种表示方法
线性卷积
信号通过线性系统时，
信号输出等于输入与系
统单位冲激响应的卷积
两序列长度必须相等， 两序列长度可以不等。
不等时按要求补足零值 如x1(n)为 N1点，
点。
x2(n)为 N2点
卷积结果长度与两信号 卷积结果长度为
长度相等，皆为N
N=N1+N2-1
4）对称

序列的对称性: x(n)

序列的对称分量: xo(n), xe(n),
(1) 序列的对称性
(a) 奇对称(序列)和偶对称(序列)
(b) 圆周奇对称(序列)和圆周偶对称(序列)
(c) 共轭对称(序列)和共轭反对称(序列)
(d) 圆周共轭对称(序列)和圆周共轭反对称(序列)
(a) 奇对称(序列)和偶对称(序列)

x(n)与-x(-n)互为奇对称。

满足xo(n)=-xo(-n)的序列xo(n)称为
奇对称序列。

x(n)与x(-n)互为偶对称;

满足xe(n)=xe(-n) 的序列xe(n)称为偶
对称序列。
(b) 圆周奇对称(序列)和圆周偶对称(序列)

长度为N的有限长序列x(n)与
y(n)=-x((-n))NRN(n) 互为圆周奇对称。

长度为N的有限长序列x(n)
与y(n)=x((-n))NRN(n) 互为圆周偶对称。
圆周奇对称
x(n)
y(n)=-x((-n)NRN(n)
x(n)与y(n)互为圆周奇对称.
圆周偶对称
周期延拓
判断序列的圆周奇偶对称性的简便方法
在n=N处补上与n=0处相同的序列值：
（1）如果此新的序列对n=N/2是偶对称，则
原序列一定为圆周偶对称序列。
（2）如果此新的序列对n=N/2是奇对称，则
原序列一定为圆周奇对称序列。
(c) 共轭对称(序列)和共轭反对称(序列)
共
轭 对 称 序 列 ： 一 个 序 列 xe(n) ， 其 满 足
xe(n)=x*e(-n)，即称此序列为共轭对称序列。 对于
实序列来说，这一条件变成xe(n)=xe(-n)，即为偶
对称序列。
共轭反对称序列：若一序列xo(n),其满足xo(n)=-
x*o(-n)，称此序列为共轭反对称序列，对于实序
列来说，即为xo(n)=-xo(-n)奇对称序列。

任一序列x(n)总能表示成: x(n)=xe(n)+xo(n)。
(d) 圆周共轭对称(序列)和圆周共轭反对称(序列)

N点有限长序列x(n)与x*((-n))NRN(n)互为圆周共轭
对称。

圆周共轭对称序列满足：xep(n) =xep*((-n)NRN(n)
即xep(n)的模是圆周偶对称，辐角圆周奇对称(或说
实部圆周偶对称，虚部圆周奇对称)。即把xep(n)看
成分布在 N等分的圆上，在n=0的左半圆与右半圆
上，序列是共轭对称的。
圆周共轭对称(序列)的例子
实部
虚部
实部圆周偶对称, 虚部圆周奇对称

N点有限长序列x(n)与-x*((-n))NRN(n)互为圆周
共轭反对称。

圆周共轭反对称序列满足 ：
xop(n) = -xop*((-n)NRN(n)
即xop(n)的模是圆周奇对称，辐角是圆周偶对称
(或说实部圆周奇对称，虚部圆周偶对称)。把
xop(n)看成分布在N等分的圆上，在n=0的左半
圆与右半圆上，序列是共轭反对称的。
圆周共轭反对称(序列)例子
实
部
虚
部
实部圆周奇对称, 虚部圆周偶对称
(2) 序列的对称分量
(a) 奇对称分量和偶对称分量
(b) 圆周奇对称分量和圆周偶对称分量
(c) 共轭对称分量和共轭反对称分量
(d) 圆周共轭对称分量和圆周共轭反对称分量
(a) 奇对称分量和偶对称分量
(b) 圆周奇对称分量和圆周偶对称分量
x(n)是长度N的有限长序列，可表示成一个圆
周奇对称序列xop(n)和一个圆周偶对称序列xep(n)之和，
即：x(n)=xep(n)+xop(n)。
其中xop(n)称为 x(n)的圆周奇对称分量;
xep(n)称为 x(n)的圆周偶对称分量.
(c) 共轭对称分量和共轭反对称分量
x(n) 可表示为一个共轭对称序列xo(n)和一个
共轭反对称序列xe(n)之和，即：x(n)=xo(n)+xe(n)
其中，xo(n)又称为x(n)的共轭反对称分量；
xe(n)又称为x(n)的共轭对称分量。
(d) 圆周共轭对称分量和圆周共轭反对称分量
x(n)是长度为N的有限长序列，可表示成一圆周共
轭反对称序列xop(n)加一圆周共轭对称序列xep(n)。
即 ：x(n)=xep(n)+xop(n)
x(n)是长度为N的有限长序列，可表示：
其 中 ： xop(n)又 称 为 x(n) 的 圆 周 共 轭 反 对 称 分 量 ;
xep(n)又称为x(n)的圆周共轭对称分量。
5、相关
(1)
线性相关
(2)
圆周相关
(1) 线性相关
信号x(n)与y(n)的相关函数rxy(n)称为互相关函数
信号x(n)与自身的相关函数rxx(n)称为自相关函数
注：第一，相关和卷积的计算相似，但没有反褶这步。
第二，相关函数不满足交换律。
互相关函数的频谱：
自相关函数的频谱：
维纳——辛钦定理：
自相关函数与信号功率谱互为傅里叶变换对。
(2)
圆周相关
注：圆周相关结果长度不变为N。
5、DFT的性质和定理
1）线性
2）时间移位
3）频率移位
4）圆周卷积定理
5）圆周相关定理
6）对称性质
7）DFT形式的帕赛瓦尔定理能量计算公式
8）DFT的奇,偶,虚,实关系
1）线性
x1(n)，x2(n)的线性组合有：
其中a，b为任一常数，本性质可由定义直接证明。
证：
线性特性说明：

如果x1(n)和x2(n)长度皆为N, 即0≤n≤N-1范围有值,
则aX1(k)+bX2(k)的长 度也是N;

若x1(n)和x2(n)长度不等, 设x1(n)长度为N1, x2(n)
长 度 为 N2, 则 ax1(n)+bx2(n) 的 长 度 应 为
N=max[N1,N2], 故 DFT 必 须 按 长 度 N 计 算 。 若
N1<N2，则N=N2, 那么需将x1(n)补上N2-N1个零值
点后变成长度为N序列, 然后都 作N点的 DFT。
2）时移

设N点有限长序列x(n)，DFT[x(n)]=X(k)
则DFT[x((n+m))NRN(n)]=WN-mkX(k)

说明：
(1)本性质描述了有限长序列时域移位后频域
的变化规律；
(2)只有采用圆周移位这一能体现 DFT的隐
含周期性的移位方式，才能得到本性质所描
述的结果。
复习（平移）
3）频移
设频域N点有限长序列X(k)
则
4）圆周卷积定理

时域卷积--->频域相乘

频域卷积--->时域相乘
说明

时域卷积对应于频域相乘，而时域相乘对应于
频域卷积。

这与我们曾学过的其他变换（FT/L/Z)的卷积
定理是相似的。但注意，由于DFT隐含的周期
性，卷积必须是圆周卷积才有此性质。

注意第二个关系中的系数，不要忽略。
5）圆周相关定理
有限长序列的相关运算可分为圆相关（循环相关)
与线相关两种形式，通常可借助于圆相关求线相关。
3.2 抽样Z变换——频率抽样理论
复习：时域抽样定理
奈奎斯特抽样定理：要想抽样后能够不
失真的还原出原信号，则抽样频率必须大于
信号最高频率的两倍。
或
抽样内插公式
由抽样值xa(mT)经此公式而得到连续信号xa(t)。
一、Z、DTFT变换与DFT关系
1、引入

DFT看作是DTFT在频域抽样后的变换对。

而DTFT是单位圆上的Z变换。

所以对DTFT进行频域抽样时，自然可以看作
是对单位圆上的 Z变换进行抽样。
2、推导
Z变换的定义式(正变换) :
取z=ejω代入,得到单位圆上Z变换为
ω是单位圆上各点的数字角频率。
再抽样—在单位圆上N等分，抽样间隔为2π/N，
则N点ω值为2kπ/N, 0≤k≤N-1。考虑x(n)是N点有
限长序列，n只需0~N-1即可。将ω=2kπ/N代入
并改变上下限， 得:
则这正是离散傅里叶变换 (DFT)正变换定义式。
3、结论
有限长序列x(n)的DFT的X(k)序列的各点值等
于x(n)的Z变换在单位圆上N等分抽样的各点处
所得的Z变换值，即

这就是Z变换与DFT的关系。

有限长序列补零加长（N增加），求其DFT。
发现频谱包络不变，只是抽样点更密。原因:
即N补零加长并不改变有限长序列本身，因而
其 Z变换不变，而只是增加了N值。

根据
每个X(k)仍等于X(ejw) 这一包络。由于0≤k≤N1，X(k)值的个数增加了，谱线变密。
二、频率抽样理论
（频域抽样不失真条件）
1、引入

是否任何一序列(或说任何一个频率特性)
都能用频域抽样的办法去逼近呢?

其限制条件是什么?
2、分析
频域按每周期N点抽样，时域便按N点周期延拓。
3、结论
长度为M的有限长序列，频域抽样不失真
的条件: 频域抽样点数N要大于或等于序列长
度M，即满足N≥M。此时可得到
表明长度为N(或小于N)的有限长序列可用它的
z变换在单位圆上的N个均分点上的抽样值精确
地表示。
4、抽样后序列能否无失真恢复原时域信号
有限长序列
非有限长序列
1.长度为M
2.当频域抽样不够密，即
N<M 时，x(n)以N为周期
延拓会造成混叠，因此从
x(n)中不能无失真地恢复
原信号x(n)。
3.当N>M或=M时，可利
用其z变换在单位圆上的
N个均分点上的抽样值精
确地表示。
1.时域周期延拓后必然造成混
叠现象，因而一定会产生误
差。
2.当n增加时信号衰减得越快，
或抽样越密（即抽样点数N越
多）则误差越小。
5、例子
频域抽样：看一个矩形序列，频域抽样是指
对时域已是离散，频域仍是连续信号。现在频
域上进行抽样处理，使其频域也离散化。
解：频域抽样，按N=5点频域抽样，时域延拓相
加……，时域延拓的周期个数等于频域的抽样
点数N=5，由于N=M，所以时域延拓恰好无混
叠现象。
按N=4时进行抽样，由于N=4，而序列长度为
M=5，N<M，时域延拓后产生混叠现象。(原
信号为红色，延拓取主值区间后的恢复信号为
兰色)。
三、频域内插公式

从频域抽样不失真条件可以知道：
N个频域抽样X(k)能不失真的还原出长度为N
的有限长序列x(n)。

那么用N个X(k)也一定能完整地表示出X(z)
以及频率响应[即单位圆上的X(z)]。

过程很简单，先把N个X(k)作IDFT得到x(n),
再把x(n)作Z变换便得到X(z)。
1、系统函数的内插公式
1)内插公式
2)内插函数
3)内插公式和内插函数的推导
2、频域响应的内插公式
1)内插公式
2）内插函数
从公式中看出:

在每个抽样点上X(ejω)就精确地等于X(k)(因为其
他的内插函数在这一点上的值为零,无影响), 即

各抽样点之间的X(ejω)值由各抽样点的加权内插
函数在所求点上的值的叠加而得到。

频率响应的内插函数Φ(ω)具有线性相位。