Transcript 第二章z变换

第二章
Z
变
换
2.1 引言
信号与系统的分析方法有时域、变换域两种。
一.时域分析法
1.连续时间信号与系统：
信号的时域运算，时域分解，经典时域
分析法，近代时域分析法，卷积积分。
2.离散时间信号与系统：
序列的变换与运算，卷积和，差分方程
的求解。
二.变换域分析法
1.连续时间信号与系统：
信号与系统的频域分析、复频域分析。
2.离散时间信号与系统：
Z变换，DFT(FFT)。Z变换可将差分方
程转化为代数方程。
2.2 Z变换的定义及收敛域
一.Z变换定义
序列的Z变换定义如下：
X ( z )  Z [ x(n)] 

 x ( n) z
n  
n
二.收敛域
1.定义:
使序列x(n)的z变换X(z)收敛的所有z值的
集合称作X(z)的收敛域。
2.收敛条件：
X(z)收敛的充要条件是绝对可和条件。

即： x(n) z
n  
n
M 
3. 一些序列的收敛域
(1).有限长序列
x (n)
.
 x(n), n1  n  n2
x ( n)  
其他n
0,
n2
Q X ( z )   x(n) z , 若 x(n) z
n  n1
n
.
.
n1
n
0
n2
 ，n1  n  n2 ;
考虑到x(n)是有界的，必有 z  n  ，n1  n  n2 ;
n
因此，当n  0时，
z  n  1 / z n , 只要z  0，则 z  n  
n
同样，当n  0时，
z
 z , 只要z  ，则 z  n  
n
所以收敛域0  z  也就是除z  0, z  外的开域(0, )，
即所谓“有限z平面”。
j Im[ z ]

Re[ z ]
(2) 右边序列
x(n)
 x(n), n  n1
x ( n)  
n  n1
0,

1
..
...
n
n1 0 1

X ( z )   x ( n) z   x ( n) z   x ( n ) z
n  n1
n
n  n1
n
n
n 0
*第一项为有限长序列，第二项为z的负幂级数,
第一项为有限长序列,其收敛域为|z|<∞;
第二项为z的负幂次级数，由阿贝尔定理可知,
其收敛域为 Rx-<|z|≤∞;
两者都收敛的域亦为Rx-<|z|<∞;
Rx-为最小收敛半径。
j Im[ z ]
Re[ z ]
收敛域
Rx
(3) 因果序列
 x(n), n  0
x ( n)  
n0
0,
它是一种最重要的右边序列,由阿贝尔定
理可知收敛域为：
Rx   z  
(4) 左边序列
x(n)
 x(n), n  n2
x ( n)  
n  n2
0,
X ( z) 
n2
L
 x ( n) z
n
n  

0
n2
n  
n 1
n
n
x
(
n
)
z

x
(
n
)
z


0
n2 n
第二项为有限长序列,其收敛域 z  0;
第一项为z的正幂次级数，根据阿贝尔定理,
其收敛域为0  z  Rx  ;
R x  为最大收敛半径。
故收敛域为0  z  Rx
j Im[ z ]

Re[ z ]
z  Rx 
(5) 双边序列
x
L
L
0
n
双边序列指n为任意值时,x(n)皆有值
的序列，即左边序列和右边序列之和。

X ( z) 

 x ( n) z   x ( n) z
n  
n
n 0
n
1

 x ( n) z
n  
n
第一项为右边序列(因果)其收敛域为： z
第二项为左边序列，其收敛域为：
当Rx-<Rx+时，其收敛域为
 Rx 
z  Rx 
Rx  z  Rx 
j Im[ z ]
Re[ z ]
Rx
Rx
2.3
Z反变换
一.定义：
已知X(z)及其收敛域,反过来求序列x(n)的
变换称作Z反变换。
1
记作：x(n)  Z [ X ( z )]
z变换公式：
正：X ( z ) 

n
x
(
n
)
z
,

n  
Rx   z  Rx 
1
n 1
反：x(n) 
X
(
z
)
z
dz, c  ( Rx  , Rx  )

2j c
j Im[ z ]
C为环形解析域内环
绕原点的一条逆时针
闭合单围线.
Rx
0
Re[ z ]
Rx
c
二.求Z反变换的方法
1.留数法
由留数定理可知：
 1
 2j


 1

 2j
 X ( z) z
c
n 1
dz   Re s[ X ( z ) z
n 1
]z  zk
k
n 1
n 1
X
(
z
)
z
dz


Re
s
[
X
(
z
)
z
]z  zm


c
m
z k 为c内的第k个极点，z m 为c外的第m
个极点，Res[ ]表示极点处的留数。
2.部分分式法
将有理真分式X(z)分解成几个分式的和:
B( z )
X ( z) 
 X 1 ( z )  X 2 ( z )  ...  X k ( z )
A( z )
a
使各分式具有 ( z  A) r 的形式，其中r是正整数。这
时称各分式为原分式的“部分分式”。
z2
例：已知 X ( z ) 
 z  1 z  0.5 
解：
当 |z|>1时，求x(n)。
X ( z)
A1
A2


z
z  0.5 z  1
A1  ( z  0.5)
A2  ( z  1)
X ( z) 
X ( z)
z
X ( z)
z
z 1 
z 0.5 
z
 1
z  1 z 0.5
z
2
z  0.5 z 1
2z
z

z  1 z  0.5
当 |z|>1，x(n)是因果序列，可得：
x(n)  (2  0.5n )u(n)
3. 幂级数展开法(长除法)
因为 x(n) 的Z变换为Z-1 的幂级数，即
X ( z) 

 x ( n) z
n
 L  x(2) z  x(1) z 
2
n 
1
2
x(0) z  x(1) z  x(2) z  L
0
所以在给定的收敛域内，把X(z)展为幂级数，
其系数就是序列x(n)。如收敛域为|z|> Rx+，
x(n)为因果序列，则X(z)展成Z的负幂级数。
若收敛域|Z|<Rx-, x(n)必为左边序列，主要
展成Z的正幂级数。
2.4 Z变换的基本性质和定理
1.线性
如果
Z [ x(n)]  X ( z ) , R x   z  R x 
Z [ y (n)]  Y ( z ) , R y   z  R y 
则有：
Z [ax(n)  by (n)]  aX ( z )  bY ( z ),
max( Rx  , Ry  )  z  min( Rx  , Ry  )
*即满足均匀性与叠加性；
*收敛域为两者重叠部分。
2. 序列的移位
如果 Z[ x(n)]  X ( z) , Rx  z  Rx 则有：
Z[ x(n  m)]  z  m X ( z) ; Rx  z  Rx
3. Z域尺度变换(乘以指数序列)
如果 Z[ x(n)]  X ( z) , Rx  z  Rx ，则
z
Z [a x(n)]  X ( ) ; a R x   z  a R x 
a
n
4. 序列的线性加权(Z域求导数)
如果 Z[ x(n)]  X ( z) , Rx  z  Rx ，则
d
Z [nx(n)]   z X ( z ), R x   z  R x 
dz
5. 共轭序列
如果 Z[ x(n)]  X ( z) , Rx  z  Rx ，则
Z [ x (n)]  X ( z ) ，Rx   z  Rx  ;
*
*
*
其中，x (n)为x(n)的共轭序列。
*
6. 翻褶序列
如果 Z[ x(n)]  X ( z) , Rx  z  Rx ，则
1
Z [ x(n)]  X ( ) ;
z
1
1
 z 
Rx
Rx
7. 初值定理
对于因果序列x(n)，则x(0)  lim X ( z )。
z 
证明：X ( z ) 


 x(n)u(n) z   x(n) z
n
n  
n 0
1
2
 x(0)  x(1) z  x(2) z  
显然, lim X ( z )  x(0)
z 
n
8. 终值定理
对于因果序列x(n)，且X ( z )  Z [ x(n)]的极点
在单位圆内，且只允许单位圆上z  1处有一
阶极点，则有
lim x(n)  lim [( z  1) X ( z )]  Re s[ X ( z )] z 1
n 
z 1
9. 有限项累加特性
对于因果序列x(n)，且X ( z )  Z [ x(n)], z  Rx  ,
n
z
则Z [  x(m)] 
X ( z ), z  max[ Rx  ,1]
z 1
m 0
10. 序列的卷积和(时域卷积定理)
如果y (n)  x(n)  h(n) 

 x(m)h(n  m)
m  
而且X ( z )  Z [ x(n)] , Rx   z  Rx  ，
H ( z )  Z [h(n)] , Rn   z  Rn ，
则有：Y ( z )  Z [ y (n)]  X ( z ) H ( z )
max[ Rx  , Rh  ]  z  min[ Rx  , Rh  ]
11.序列相乘(Z域卷积定理)
如果y (n)  x(n)  h(n), 且X ( z )  Z [ x(n)],
Rx   z  Rx  ; H ( z )  Z [h(n)], Rn   z  Rn ，
1
z
1
则有：Y ( z )  Z [ y (n)] 
X
(
)
H
(
v
)
v
dv

2j c v
1
z 1
X (v) H ( )v dv; Rx  Rn   z  Rx  Rn 

2j c
v
其中，C是在变量V平面上，X(z/v),H(v)公共收
敛域内环原点的一条逆时针单封闭围线。
（证明从略）
12.帕塞瓦定理(parseval)
如果 X ( z )  Z [ x(n)] , Rx   z  Rx  ;
H ( z )  Z [h(n)] , Rh   z  Rh  ;
且Rx  Rn   1  Rx  Rn  .

1
* 1
1
x( ) H (  ) d
则有:  x(n)h (n) 

c
2

j

n  

其中“*”表示复共轭，闭合积分围线C在公共
收敛域内。
2.5 Z变换与拉氏变换、傅氏变换的关系
一.Z变换与拉氏变换的关系
1.理想抽样信号的拉氏变换
设 xa (t ) 为连续信号，xˆa (t ) 为其理想抽样信
号，则 Xˆ a ( s)  L[ xˆa (t )]   xˆa (t )e  st dt



 st
  [  x（
nT
)

(
t

nT
)]
e
dt
a




n  

n  


n  


xa ( nT )e  (t  nT ) dt
 st
xa ( nT )e  nTs 

sT  n
x
(
nT
)(
e
)
 a
n  
因此，Xˆ a ( s)  L[ xˆa (t )] 

 x (nT )(e
n  
序列x(n)的z变换为 X ( z ) 
到 x(n)  xa (nT ) ,显然，当
a

 x(n)z
n
sT  n
)
，考虑
sT n  
z  e 时，序列x(n) 的
z 变换就等于理想抽样信号的拉氏变换。
即X ( z ) z esT  X (e )  Xˆ a (s)
sT
2.Z变换与拉氏变换的关系( S、Z平面映射关系）
S平面用直角坐标表示为： s    j
j
Z平面用极坐标表示为：z  re
sT
又由于
ze
所以有： z  re j  e T  e jT
T
因此，r  e ,   T
这就是说，Z的模只与S的实部相对应,
Z的相角只与S虚部Ω相对应。
T
(1)r与σ的关系 (r  e )
σ=0,即S平面的虚轴 → r=1,即Z平面单位圆；
σ<0,即S的左半平面 → r<1,即Z的单位圆内；
σ>0, 即S的右半平面 → r>1,即Z的单位圆外 。
j
0
0
→
(2)ω与Ω的关系（ω=ΩT）
Ω= 0，S平面的实轴，ω= 0，Z平面正实轴；
Ω=Ω0(常数)，S:平行实轴的直线,ω= Ω0T,Z:始于原点
的射线；
 
2
Ω ( , ), S:宽 的水平条带， ω  ( ,  ) 整个z平面.
T T
T
jIm[Z]
j
3
T

T

ω

T
3

T

0
Re[Z]
二.Z变换和傅氏变换的关系
连续信号经理想抽样后,其频谱产生周期延拓，
即

1
2
ˆ
X a ( j)   X a ( j  jk )
T k 
T
我们知道,傅氏变换是拉氏变换在虚轴S=jΩ的特例,
因而映射到Z平面上为单位圆。因此,
X ( z ) z e jT  X (e
jT
)  Xˆ a ( j)
这就是说,（抽样）序列在单位圆上的Z变换,就等于
理想抽样信号傅氏变换。
j
用数字频率ω作为Z平面的单位圆的参数，z  e
ω表示Z平面的辐角，且   T 。
考虑到  T，则
X ( z ) z e j  X (e )  Xˆ a ( j)
j

1
2
ˆ
又 Q X a ( j)   X a ( j  jk )
T k 
T
 X ( z ) z  e j

1
  2k
j
 X (e )   X a ( j
)
T k  
T
所以，序列在单位圆上的Z变换为序列的傅氏变
换。
三.序列的傅氏变换
1.正变换:
j
F [ x(n)]  x(e )  X ( z ) z e j 

 x ( n )e
 jn
n  

收敛条件为： x(n)  
n  
2.反变换:
1
n 1
F [ X (e )]  x(n) 
X ( z ) z dz

2j z 1
1 
j
jn

x(e )e d

2 
1
j
,
2.6 傅氏变换的一些对称性质
一、共轭对称序列与共轭反对称序列
1.共轭对称序列
对复序列，若xe(n)=xe*(-n)，则称共轭对称序列。
设序列 xe (n)  xer (n)  jxei (n) 则 xe* (n)  xer (n)  jxei (n)
再将-n代入，则 x (n)  xer (n)  jxei (n)
*
e
根据定义，有： x (n)  x (n); x (n)   x (n)
er
er
ei
ei
共轭对称序列的实部是偶对称序列, 虚部是奇对称序列。
*特殊地，如是实序列，共轭对称序列就是偶对称序列。
2.共轭反对称序列
对复序列，若满足xo(n)=-xo*(-n)，则称共轭反对称序列。
xo (n)  xor (n)  jxoi (n)
xo* (n)  xor (n)  jxoi (n)
xo* (n)  xor (n)  jxoi ( n)
 xo* (n)   xor ( n)  jxoi ( n)
根据定义，则 xor (n)   xor (n); xoi (n)  xoi (n)
共轭反对称序列的实部是奇对称序列，虚部是偶对称序
列。*特殊地，对实序列，共轭反对称序列就是奇对称
序列。
二、任一序列可表为共轭对称序列与共轭反
对称序列之和
即x(n)  xe (n)  xo (n)
这是因为
xe (n)  xo (n)  [ xer (n)  xor (n)]  j[ xei (n)  xoi (n)]
其中，xer (n)为实偶函数，xor (n)为实奇函数，
它们之和可构成任何序列的实部；xei (n)为
实函数奇，xoi (n)为实偶函数，它们之和可
构成任何序列的虚部。故有所证。
对序列x(n)  xe (n)  xo (n)进行运算，则
x (n)  xe (n)  xo (n)  xe (n)  xo (n)
*
*
*
相加，则
1
*
xe (n)  [ x(n)  x (n)]
2
相减，则
1
*
xo (n)  [ x(n)  x (n)]
2
三、序列的傅氏变换可表示为共轭对称分量与
共轭反对称分量之和
j
j
j
X (e )  X e ( e )  X o (e )
1
j
*
 j
其中， X e (e )  [ X (e )  X (e )]
2
1
j
j
*
 j
X o (e )  [ X (e )  X (e )]
2
j
四、几个基本性质
j
1.如果X (e )  F[ x(n)]，则有
*
X (e
 j
证明：F [ x* ( n)] 
)  F[ x (n)]
*

 x (n)e
*
 jn

n  


 [ x(n)e
]
n  
 (  [ x(n)e ])  X (e
n  
j n *
j n
*
*
 j
)
j
2.如果X (e )  F[ x(n)]，则有
j
X (e )  F[ x (n)]
*
证明： F [ x * (  n)] 
*

 x (n)e
*
 j n
n  


 [ x(n)e
n  


 x (n)e
*
n  
 j n *
j
]  X (e )
*
j n
3.序列实部的傅氏变换等于其傅氏变换的共轭对
称分量
j
即，F[Re{ x(n)}]  X e (e )
1
证明：Q Re[ x(n)]  [ x(n)  x* (n)]
2
1
j
*
 j
 F{Re[ x(n)]}  [ X (e )  X (e )]
2
j
 X e (e )
4.序列虚部j倍的傅氏变换等于其傅氏变换的共轭
反对称分量
j
即，F [ j Im{ x(n)}]  X o (e )
1
证明： Q j Im[ x(n)]  [ x(n)  x* (n)]
2
1
j
*  j
 F{ j Im[ x(n)]}  [ X (e )  X (e )]
2
j
 X o (e )
5.序列的共轭对称分量的傅氏变换等于序列傅氏
变换的实部
j
即，F [ xe (n)]  X R (e )
证明：
1
*
Q xe (n)  [ x(n)  x (n)]
2
1
j
*
j
 F [ xe (n)]  [ X (e )  X (e )]
2
j
 X R (e )
6.序列的共轭反对称分量的傅氏变换等于序列傅
氏变换的虚部再乘以j。
j
即，F[ xo (n)]  jX I (e )
1
*
证明：Q xo (n)  [ x(n)  x ( n)]
2
1
 F [ xo (n)]  [ X (e j )  X * (e j )]
2
1
 [ X R (e j )  jX I (e j )  X R (e j )  jX I (e j )]
2
j
 jX I (e )
7.序列反褶后的傅氏变换等于其傅氏变换的反褶。
即, F [ x(n)]  X (e
证明：
F [ x(n)] 


 x(n)e
n  

 x(n)e
n  
 j
 jn

 j (  ) n
)

 x(n)e
jn
n  
 X (e
 j
)
8.序列为实序列的情况
1) x(n)  xe (n)  xo (n)
xe (n)为偶序列、偶对称序列、偶函数；
xo (n)为奇序列、奇对称序列、奇函数。
1
2) xe (n)  [ x(n)  x(n)]
2
1
3) xo (n)  [ x(n)  x(n)]
2
*
j
*
 j
4) Q x(n)  x (n), 则X (e )  X (e )
j
 Re[ X (e )]  Re[ X (e
j
Im[ X (e )]   Im[ X (e
 j
 j
)],
)]
j
5) Q X (e )  X (e
 X (e
j
*
 j
)  X (e
*
)
 j
)  X (e
 j
)
arg[ X (e j )]  arg[ X * (e  j )]
 arg{Im[ X (e
*
 j
*
)] / Re[ X (e
 j
)]}
 arg{ Im[ X (e  j )] / Re[ X (e  j )]}
  arg[ X (e  j )]
6）实序列也有如下性质：
j
j
F[ xe (n)]  X R (e )  Re[ X (e )]
j
j
F[ xo (n)]  X I (e )  j Im[ X (e )]
2.7 离散系统的系统函数及频率响应
一.系统函数
x(n)
h(n)
y (n)
线性移不变系统
h(n)为单位抽样响应
Y ( z)
Y ( z )  X ( z )  H ( z ), H ( z ) 
X ( z)
H(z)称作线性移不变系统的系统函数，而
且在单位圆
频率响应。
ze
j上的系统函数就是系统的
二.因果稳定系统
我们知道：一线性移不变系统稳定的充要条件
是h(n)必须满足绝对可和：∑|h(n)|<∞。
系统H(z)如单位圆上收敛，则有∑|h(n)|<∞ ，即
系统稳定；也就是说，收敛域包括单位圆的系统是
稳定的。
因果系统的单位抽样响应为因果序列，其收敛
域为R+<|z|≤∞；而因果稳定系统的系统函数收敛域
为 R+<|z|≤∞， R+<1，也就是说其全部极点必须在
单位圆内。
三.系统函数和差分方程的关系
线性移不变系统常用差分方程表示：
M
a
k 0
取z变换得：
M
k
y (n  k ) 
 ak z
M
b
m 0
k
k 0
m
x ( n  m)
M
Y ( z )   bm z  m X ( z )
m 0
M
Y ( z)

X ( z)
对上式因式分解，令 b0 / a0  K ,
H ( z) 
得： H ( z )  Y ( z )  K
X ( z)
m
b
z
 m
m 0
N
k
a
z
 k
k 0
M
 (1  c
m 1
M
1
m
z )
1
(
1

d
z
 k )
k 1
四.系统的频率响应的意义
系统的单位抽样响应h(n)的傅氏变换也即单位上的
变换 H (e j ) 称作系统频率响应。
j
H (e ) 

 h(n)e
 jn
n  
对于线性移不变系统：
y ( n)  x ( n)  h( n)
Y ( z)  X ( z)H ( z)
j
j
j
Y (e )  X (e ) H (e )
也就是说，其输出序列的傅氏变换等于输入序列的
傅氏变换与频率响应的乘积。
五.频率响应的几何确定
1.频响的零极点表达式
M
H ( z)  K
1
(
1

c
z
 m )
m 1
N
1
(
1

d
z
 k )
M
 Kz N  M
k 1
 (z  c
m
)
m 1
N
 (z  d )
k
k 1
M
j
H (e )  Ke
j
(
e
  cm )
j ( N  M ) m 1
N
j
(
e
  dk )
k 1
j
 H (e ) e
j arg[ H ( e j )]
M
模：
H (e j )  K
相角：
j
e
  cm
m 1
N
j
e
  dk
k 1
M
arg[ H (e )]  arg[ K ]   arg[e j  cm ]
j
m 1
N
 arg[e j  d k ]  ( N  M )
k 1
r
r
e  cm   m   m e j m
r r
j
e  d k  k  k e jk
j
arg[ H (e j )]  arg[ K ] 
M
因此，H (e j )  K

m
m 1
N

k 1
;
m
r
r
cm零点向量， m零点指向向量；
r
r
d k 极点向量，k 极点指向向量。
M
N
   
m 1
m
k 1
k
 ( N  M )
2.几点说明
(1) z N  M 表示原点处零极点，它到单位圆的距
离恒为1，故对幅度响应不起作用只是给出线性相
移分量ω(N-M)。
(2)单位圆附近的零点对幅度响应的谷点的位置与
深度有明显影响，当零点位于单位圆上时，谷点
为零。零点可在单位圆外。
(3)单位圆附近的极点对幅度响应的峰点位置和高
度有明显影响。极点在圆外，系统不稳定。
H ( e j )
。
。
0


2
零点在单位圆上0,  处；极点在

3
2
2 ω
3
, 处 。
2
2
六.IIR系统和FIR系统
1.无限长单位冲激响应(IIR)系统
如果一个离散时间系统的单位抽样响应
h(n)延伸到无穷长,即n→∞时,h(n)仍有值,
这样的系统称作IIR系统。
M
H ( z) 
m
b
z
 m
m 0
M
a
k 0
k
z
k
M

m
b
z
 m
m 0
M
1   ak z
k
k 1
只要有一个ak  0，序列就是无限长的。
M
M
m 0
k 1
y (n)   bm x(n  m)   ak y (n  k )
2.有限长单位冲激响应(FIR)系统
h(n)为有限长序列的系统。
M
H ( z )   bm z ; ak  0(k  1,2, , N )
m
m 0
M
y (n)   bm x(n  m)
m 0