Transcript 第一章离散时间信号与系统1

第一章
离散时间信号与系统
1.1 离散时间信号--序列
一、序列
1、信号及其分类
(1) 信号
信号是传递信息的函数，它可表示成 一 个
或几个独立变量的函数。如：f(x); f(t); f(x,y)等。
(2).连续时间信号与模拟信号
在连续时间范围内定义的信号，幅值为连续的
信号称为模拟信号，连续时间信号与模拟信号常
常通用。
(3) 离散时间信号与数字信号
时间为离散变量的信号称作离散时间信号；
而时间和幅值都离散化的信号称作数字信号。
x(n)
x(-2)
-2
x(0)
x(-1)
x(1)
x(2)
-1
0
1
2
n
2、序列
离散时间信号又称作序列。通常，离散时
间信号的间隔为T，且是均匀的，故用x(nT）表
示在nT的值，由于x(nT)存在存储器中，加之非
实时处理，可以用x(n)表示x(nT)，即第n个离散
时间点的值，这样x(n)就表示一序列数，构成
序列：｛x(n)｝。
为了方便，通常用x(n)表示序列｛x(n)｝。
二、序列的运算
1、移位
当m为正时，
x(n-m)表示依次右移m位；
x(n+m)表示依次左移m位。
2、翻褶(折迭)
如果有x(n)，则x(-n)是以n=0为对称轴
将x(n)加以翻褶的序列。
3、和/差
两序列的和/差是指同序号(n)的序列值
逐项对应相加/减得一新序列。
4、乘积
两序列同序号(n)的序列值逐项对应
相乘。
5、累加
设某一序列为x(n)，则x(n)的累加序列
y(n)定义为
y ( n) 
n
 x(k )
k  
即表示n以前的所有x(n)的和。
6、差分
前向差分（先左移后相减）：
x(n)  x(n  1)  x(n)
后向差分（先右移后相减） ：
x(n)  x(n)  x(n  1)
7、尺度变换
（1） 抽取： x(n)
x(mn), m为正整数。
例如， m=2， x(2n)，相当于两个点
取一点；依此类推。
x(2n) 3
3
x(n)
2
1
1/4
-2
1
1/2
-1 0
1/4
1
2
n
n
-1
0
1
（2）插值： x(n)
x(n/m), m为正整数。
例如， m=2， x(n/2)，相当于两个点
之间插一个点；依此 类推。通常，插值用
I倍表示，即插入（I-1）个值。
x(n)
x(n/2)
2
2
1
1
1/2
1/2
-1
0
1
n
。
-2 -1 0
。
1 2
n
8、卷积和
设序列x(n)，h(n)，它们的卷积和y(n)
定义为
y ( n) 


m  
m  
 x(m)h(n  m)   h(m) x(n  m)  x(n)  h(n)
卷积和计算分五步：
变量置换，翻褶，平移，相乘，相加。
三、几种常用的序列
1、单位抽样序列(单位冲激)  (n)
1,
 ( n)  
0,
n0
1
n0
-2 -1
1,
 ( n  m)  
0,
 n 
0
n
1 2
 n  m
nm
1
nm
-2 -1
n
0
1
m
2、单位阶跃序列 u(n)
1,
u ( n)  
0,
n0
n0
 (n)  u (n)  u (n)  u (n  1)

u(n)
...
-1 0 1
2
3
n
u (n)    (n  m)   (n)   (n  1)   (n  2)  
m 0
3、矩形序列 RN (n)
1,
R N ( n)  
0,
0  n  N 1
其他n
RN ( n )  u ( n )  u ( n  N )
N 1
RN (n)    (n  m)   (n)   (n  1)     n  ( N  1)
m 0
4、实指数序列 a
n
u (n)
a为实数，当
a  1时, 收敛
a  1时, 发散
5、复指数序列
x ( n)  e
(  j 0 ) n
 x ( n) e
e
n
n
e
j
j o n
 e (cos  0 n  j sin  0 n)
6、正弦型序列
x(n)  A cos( n 0   )
其中，ω0为数字频率。
四、序列的周期性
如果存在一个最小的正整数N，
满足x(n)=x(n+N)，则序列x(n)为周期
性序列，N为周期。
注意1：周期N必须取整数。例如：

x (n )  sin( n )
4
•
上式中，数字频率是π/4，由于n取整数，

可以写成下式：
x(n)  sin( (n  8))
4
下面讨论一般正弦序列的周期性：
设
x(n)=Asin(ω0n+φ)
那么
x(n+N)=Asin(ω0(n+N)+φ)=Asin(ω0n+ω0N+φ)
x(n+N)=x(n)
则要求：N=(2π/ω0)k，式中k与N均取整数，且k的
取值要保证N是最小的正整数，满足这些条件，正
弦序列才是以N为周期的周期序列。
具体正弦序列有以下三种情况：
(1) 当2π/ω0为整数时，正弦序列是以2π/ω0为周期
的周期序列。
(2) 2π/ω0 不是整数，是一个有理数时，设2π/ω0
=P/Q，式中P 、 Q是互为素数的整数，取k=Q，那么
N=P，则正弦序列是以P为周期的周期序列。
(3) 2π/ω0是无理数，任何整数k都不能使N为正整
数，因此，此时的正弦序列不是周期序列。
对于复指数序列ejωn的周期性也有同样的分析结果。
注意2：
x(t )  e
j 0 t
， 0  则信号振荡频率增高
且不发生逆转。而对e
 0  2k，由于e
j 2 kn
表明：并非所有的e
j 0 n
，0  k，当k
 1，有e
j0 n
j k n
e
j0 n
。
都互相独立。离散
时间信号有效频率范围只有2区间。其中
  0,   2k处对应最低频率，而  或
  (2k  1)处对应最高频率。
五、用单位抽样序列表示任意序列
任意序列可表示成位移加权的单位抽样序列之和。
x ( n) 

 x(m) (n  m)
m  
 x(n),
x(m) (n  m)  
0,
mn
其他m
六、序列的能量
x(n)的能量定义为
E

 x ( n)
n  
2
1.2
线性移不变系统
一、线性系统
系统实际上表示对输入信号的一种运
算，所以离散时间系统就表示对输入序列
的运算，即 y(n)=T[x(n)]
x(n)
离散时间系统
T[x(n)]
y(n)
设系统具有：
y1 (n)  T x1 (n), y2 (n)  T x2 (n),
T a1 x1 (n)  a2 x2 (n)  a1T x1 (n)  a2T x2 (n),
那么该系统就是线性系统，即线性系统具有
均匀性和迭加性。
*加权信号和的响应=响应的加权和。
*先运算后系统操作=先系统操作后运算。
二、移不变系统
如T[x(n)]=y(n),则T[x(n-m)]=y(n-m),
满足这样性质的系统称作移不变系统。
即系统参数不随时间变化的系统，亦即
输出波形不随输入加入的时间而变化的
系统。
*移（时）不变
三、单位抽样响应与卷积和
1、线性移不变系统
具有移不变特性的线性系统。
2、单位抽样响应h(n)
当线性移不变系统的输入为 n  ，
其输出h(n)称为单位抽样响应，即
h(n)  T [ (n)] 

 h(m) (n  m)
m  
 (n)
T [ (n)]
h(n)
3、卷积和
x(n)
线性移不变系统
h(n)
y(n)
y ( n)  x ( n) * h( n)
y ( n)  T x ( n)


 T   x ( m) ( n  m) 
 m  




 x(m)T [ (n  m)]
m  


 x ( m)  h( n  m)
m  
 x ( n)  h( n)  h( n)  x ( n)
四、线性移不变系统的性质
1、交换律
y ( n)  x ( n)  h( n )  h ( n)  x ( n)
2、结合律
x(n)  h1 (n)  h2 (n)  x(n)  h1 (n) h2 (n)
 x(n)  h2 (n) h1 (n)
 x(n)  h1 (n)  h2 (n)
3、对加法的分配律
x(n)  h1 (n)  h2 (n)
 x(n)  h1 (n)  x(n)  h2 (n)
x(n)
h (n)+h (n)
1
2
y(n)
x(n)
h (n)
1
h (n)
2
⊕
y(n)
五、因果系统
某时刻的输出只取决于此刻以及以前时刻
的输入的系统称作因果系统。
– 实际系统一般是因果系统；
– 对图象、已记录数据处理以及平均处理的
系统不是因果系统；
– 线性移不变因果系统的充要条件为：
h(n)=0，n< 0
六、稳定系统
有界输入产生有界输出的系统。
线性移不变稳定系统的充要条件：

 h( n)  p  
n  
1.3 线性常系数差分方程
离 散 变 量 n 的 函 数 y(n) 及 其 位 移 函 数
y(n-m)线性叠加而构成的方程。
一、表示法与解法
1、表示法
N
a
k 0
x(n)
M
k
y (n  k )   bm x(n  m)
m 0
离散时间线性
移不变系统
y (n)
N
a
k 0
M
k
y (n  k )   bm x(n  m)
m 0
* 常系数：a0，a1，…,aN ; b0，b1，…,bM均是
常数（不含n）。
*阶数：y(n)变量n的最大序号与最小序号之
差 ，如 N=N-0。
*线性：y(n-k)，x(n-m)各项只有一次幂，不含
它们的乘积项。
2、解法
时 域：迭代法，经典解法，卷积和法；
变换域：Z变换法。
二、解法
1、卷积法求零状态响应
起始状态为零的系统，这种系统
用的较多，其输出就 y(n)  x(n)  h(n) 。
因此，已知h(n)就可求出y(n)。
2、迭代法（以求h(n)为例）
例: 已知常系数线性差分方程为
y(n)-ay(n-1)=x(n)，试求单位抽样
响应h(n)。
解：因果系统有h(n)=0,n<0 ; 方程可写作:
y(n)=ay(n-1)+x(n)
y (n)  ay (n  1)  x(n),
当x(n)   (n), y (n)  h(n), 故
h(n)  ah(n  1)   (n), 因此
h(0)  ah(1)   (0)  0  1  1
h(1)  ah(0)   (1)  a 1  0  a
h(2)  ah(1)   (2)  a  0  a
2
2

h(n)  ah(n  1)   (n)  a  0  a
n
n
a ,
h( n)  
0,
n
n0
n0
a  1是稳定系统
注意：

一个常系数线性差分方程并不一定代表因
果系统，也不一定表示线性移不变系统。
这些都由边界条件（初始）所决定。

我们讨论的系统都假定：常系数线性差分
方程就代表线性移不变系统，且多数代表
因果系统。
三、系统结构
1、指系统的输入与输出的运算关系的表述方
法。
2、差分方程可直接得到系统结构。
例：y(n)=b0x(n)-a1y(n-1)
用⊕表示相加器；
用  表示乘法器；
用 Z 1 表示一位延时单元。
例：差分方程y(n)= b0 x(n)-a1y(n-1)表示的系统
结构为：
x(n)

⊕
b0 x(n)
b0
-a1y(n-1)
b0 x(n)-a1y(n-1)

-a1
1
Z
y(n-1)
y(n)
1.4
连续时间信号的抽样
一、抽样器与抽样
1、抽样器
xˆa (t )
xa (t )
1
fs 
T
P(t)

T
xa (t )
xa (t )连续时间信号
xˆa (t )
脉冲调幅 : xˆa (t )  xa (t )  p(t )
xˆa (t )抽样信号
2、实际抽样与理想抽样
xa (t )
0
t
p(t)
实际抽样：
p(t)为脉冲序列

0
…
t
T
xˆa (t )
1
fs 
T
t
理想抽样：
p(t )   T (t )（冲激序列）
…
xˆa (t )
t
1
fs 
T
t
二、抽样定理
1、预备知识
（1）冲激信号及其抽样特性
 (t )
(1)
0

 (t )  0, t  0

定义：  (t )  , t  0
 
 (t )dt  1
t


 
(2) 频域卷积定理
若 X a ( j)  F xa (t ),  ( j)  F  (t ),
T
T
Xˆ a  j   F xˆ a t  , xˆa t   xa (t )   T (t ),
则有Xˆ a ( j)  F xa (t )   T (t )
1
 X a ( j )   T ( j ) 

2
1 

X a  j  T ( j   ) d

2 
(3) 冲激函数序列的傅氏变换
 T (t )
...
...
0
T
t
 T (t ) 

  (t  mT )
m  
1
 T (t ) 
T

e
jk s t
k  
1
 T ( j)  F  T (t )  F 
T
2

T

    k 
k  
s

e
k  
jk s t



T ( j)
s 
s
…
2 s
 s
0
2
T
…
s
2 s

冲激序列的傅氏变换仍为冲激序列。
2、抽样信号的频谱
xˆ a (t )  xa (t )   T (t )
 xa (t ) 


x
m  
a

  (t  mT )
m  
( mT ) (t  mT )
对上式两边取傅氏变换
1
ˆ
X a ( j ) 
X a ( j )   T ( j )
2
 2 

1

X a ( j )  
   k s 

2
 T k  

1 

X a ( j)     k s 

T k  
1

T

2
 X a ( j  jk T )
k  
1
Xˆ a ( j) 
T
2
X a ( j  jk
)

T
k  

*可见，该频谱为周期性信号，其周期为
2 / T   s ,
X a  j 
k  0时, 为
, 所以Xˆ a ( j)的频谱
T
是X a ( j)频谱以 s为间隔而重复, 这
种情况称作周期延拓.
X a ( j)
Ωh为最高频率分量
h

Xˆ a ( j)
 s
0
s
2 s

3、采样定理
s
由上图可知，用一截止频率为
的
2
低通滤波器对Xˆ a ( j)滤波可以得X a ( j).
因此，要想采样后能不失真的还原出
原信号，采样频率必须大于等于两倍原信
号最高频率分量，即  s  2h 。
s
常称作折叠频率.
2
混叠现象 :  S  2h
X a ( j)
0
s
2 s

三、采样的恢复
ˆ a t  或 Xˆ a  j通过一
如果采样信号 x
s
理想低通滤波器 (  ) 就可恢复信号
2
xa t  或 X a  j 。下面证明：
1、低通滤波器的冲激响应h(t)
xˆa t 
h(t )
H ( j )
ˆ
X a  j
y a t 
Ya  j 
H ( j )
T
s 0

2
H  j 
s
2
T ,
0 ,

s

2
s

2
因此, h(t )可由H ( j)通过傅氏反变换求得
即
1
h(t )  F H  j  
2
1


H ( j)e jt d
s

sin(
t ) sin( t )
1 s / 2
jt
2
T

T

e
d




s

2  s / 2
t
t
T
2

2
 S a ( t )(其中， s 
)
T
T
2、低通滤波器(filter)的输出
y a (t ) 

 xˆ a  ht   d
 

    xa     mT  ht   d

 m  







  xa  ht      
 mT d
m  

 xa mT   ht  mT 
m  


m  
xa mT S a

T
t  mT 
*输出=原信号抽样点的值与内插函数乘积和。

3、内插函数 S a (t  mT )
T
的特性：
在抽样点mT上，其值为1；其余抽
样点上，其值为0。
Sa

1 T
(t  mT )
(m-1)T (m+1)T
(m+2)T
(m-2)T
mT
4、xa  t  


 x  mT  S T  t  mT 的说明 :
m 
a
a
（1）在抽样点上，信号值不变；
（2）抽样点之间的信号则由各抽样函数波
形的延伸叠加而成。
ya (t )


xa (2T ) S a  (t  2T )
T



xa (T ) S a  (t  T )


T

xa (3T ) S a  (t  3T )
T

T
2T
3T
四、实际抽样
p( j)  2

 Pk  ( j  jk s )
k  
1
ˆ
X a ( j) 
X a ( j) * p( j)
2
E
ˆ
X a ( j ) 
Ts

 k s 
 Sa 2 X a ( j  jk s )


k  
因此：
（1）抽样定理仍有效；
（2）抽样信号频谱分量的幅度有变化。