Transcript 第十二章

第九章 弹性薄板弯曲问题
薄板是一种常见的工程构件形式
机械、航空和土建工程应用广泛
特殊形式——小挠度薄板
目录
§9.1
薄板的基本概念和基本假设
§9.2
小挠度弯曲问题基本方程
§9.3
薄板边界条件
§9.4
矩形薄板的经典解法
§9.1
薄板基本概念和基本假设
工程构件中板的形式多样
根据几何形状和变形分类
板——中面为平面
壳——
曲面
板壳理论
小挠度的弯曲薄板
薄板——宽度与厚度比值在15以上
§ 9.1 基本概念2
小挠度薄板
几何特征
1/80≤d/b≤0.5
载荷形式
垂直于薄板中面的横向载荷
变形特点
挠度小于厚度的五分之一
基尔霍夫假设
uz=0=0，vz=0=0，w=w(x, y)
挠度函数w(x, y)
§ 9.1 基本概念3
基尔霍夫
§ 9.1 基本概念4
钱伟长
§ 9.1 基本概念5
钱学森
§9.2 薄板小挠度弯曲问题的
基本方程
小挠度薄板位移解法
位移与应变
u
2w
x 
 2 z
x
x
v
2w
y 
 2 z
y
y
 xy
u v
2w


 2
z
y x
xy
w
u
z,
x
w
v
z
y
§ 9.2 基本方程2
薄板应力
 Ez  2 w
2w
x 
( 2  2 )
2
1   x
y
 Ez  2 w
2w
y 
( 2  2 )
2
1   y
x
 xy
 Ez  2 w

1   2 xy
§ 9.2 基本方程2
薄板弯曲内力
 Ed 3
D
12(1  2 )
薄板弯曲刚度
 w
 w
M x   D( 2   2 )
x
y
2
2
2w
2w
M y   D( 2   2 )
y
x
M xy
2w
 (1  ) D
xy
广
义
力
2w
x   2
x
2w
y   2
y
广
义
应
2w
变  xy  
xy
曲率
扭率
§ 9.2 基本方程3
薄板平衡方程
4w
4w
4w q
2 2 2  4 
4
D
x
x y
y
D
2
 wq
2
§9.3 薄板边界条件
满足基本方程和给定的边界条件
基本方程 D 22 w  q 为四阶偏微分方程
矩形薄板，每个边界必须给出两个边界条
件。
§ 9.3 边界条件2
薄板弯曲问题的典型边界条件
1． 几何边界条件
在边界上给定边界挠度w和边界切线
w
方向转角 t 。
固定边界
2．混合边界条件
边界同时给出广义
力和广义位移
简支边界
§ 9.3 边界条件2
3． 面力边界条件
在边界给定横向剪力
和弯矩
自由边界
§9.4 矩形薄板经典解法
薄板小挠度弯曲问题基本方程
D 22 w
q
边界条件——级数解
经典解法——
矩形、圆形，规则约束条件和载荷作用