Transcript 信号与线性系统--王宇

信号与线性系统
王宇
[email protected]
2011.03.22
1
信号与线性系统
•
•
•
•
•
•
•
•
第一章 信号与系统
第二章 连续系统的时域分析
第三章 离散系统的时域分析
第四章 连续系统的频域分析
第五章 连续系统的S域分析
第六章 离散系统的Z域分析
第七章 系统函数
第八章 系统的状态变量分析
2
系统分析
连续时间系统——微分方程描述
第2章

经典法：齐次解  特解
时域分析 

零输入响应  零状态响应

变换域分析 : 傅立叶变换法 / 拉氏变换法
离散时间系统——差分方程描述
差分方程的解法与微分方程类似
第3章

经典法：齐次解 特解
时域分析

零输入响应 零状态响应

变换域分析: z变换法
3
第二讲 时域分析
补充
• 连续系统的时域分析
•
•
•
•
2.1 LTI连续系统的响应
2.2 冲激响应与阶跃响应
2.3 卷积积分
2.4 卷积积分的性质
• 离散系统的时域分析
• 3.1 LTI离散系统的响应
• 3.2 单位序列和单位序列响应
• 3.3 卷积和
4
补充
引言
• 对于给定的激励（输入），直接求解系统
的微分方程。又因为是在时间变量领域内
进行，所以成为时域分析，是变换域分析
方法的基础。
• 注意离散系统与连续系统分析方法上的联
系、区别、对比，二者有并行的相似性(对
偶性)。
5
补充
LTI连续系统响应的两种解法
• 齐次解和特解
齐次解的函数形式只依赖于系统，与激励的 f (t )
函数形式无关。但其系数由激励决定。
特解形式由激励函数形式确定。
• 零输入响应和零状态响应
了解概念，区分0负0正
教材中的几个例题
6
第二讲 时域分析
• 连续系统的时域分析
•
•
•
•
2.1 LTI连续系统的响应
2.2 冲激响应与阶跃响应
2.3 卷积积分
2.4 卷积积分的性质
• 离散系统的时域分析
• 3.1 LTI离散系统的响应
• 3.2 单位序列和单位序列响应
• 3.3 卷积和
7
冲激响应
(t)
{¡Á(0)}£½{0 }
(t)
(1)
0
t
ÏßÐÔ·Çʱ
±äϵͳ
h(t)
h(t)
0
t
• 输入是单位冲激函数  (t )所引起的响应称为冲
激响应，用 h(t )表示。
• 解法与此前方法类似，只是冲激响应的函数形
式中一般都含有冲激。
8
补充
阶跃响应
• 输入是阶跃信号所引起的响应，叫阶跃响
应
• 阶跃响应是冲激响应的积分。
9
第二讲 时域分析
• 连续系统的时域分析
•
•
•
•
2.1 LTI连续系统的响应
2.2 冲激响应与阶跃响应
2.3 卷积积分
2.4 卷积积分的性质
• 离散系统的时域分析
• 3.1 LTI离散系统的响应
• 3.2 单位序列和单位序列响应
• 3.3 卷积和
10
一. 信号分解
• 将输入信号看成是由一系列强度不同，接
入时刻不同的窄脉冲组成。
• 根据系统的微分积分性质：可以将输出信
号表示成是由上述一系列窄脉冲的响应函
数叠加而成。
11
二.卷积的图示解法
• 卷积的图解能够直观地理解卷积积分的计
算过程。
• 卷积的图解归纳起来有下列五个步骤：
•
•
•
•
•
换元：将和中的变量t更换为变量τ；
折叠：作出相对于纵轴的镜象；
位移：把平移一个t值；
相乘：将位移后的函数乘以；
积分：和乘积曲线下的面积即为t时刻的卷积值。
12
第二讲 时域分析
• 连续系统的时域分析
•
•
•
•
2.1 LTI连续系统的响应
2.2 冲激响应与阶跃响应
2.3 卷积积分
2.4 卷积积分的性质
• 离散系统的时域分析
• 3.1 LTI离散系统的响应
• 3.2 单位序列和单位序列响应
• 3.3 卷积和
13
一.卷积的代数运算
• 交换律
f (t )  h (t )  h (t )  f (t )



f ( )  h(t   )d  


f ( )  h(t   )d
• 两信号的卷积积分与次序无关。即系统输入信
号f(t)与系统的冲激响应h(t)可以互相调换，其零
状态响应不变.
14
(t)
h 1 (t)
h 2 (t)
h(t)£½
h 1 (t) * h2 (t)
(t)
h 2 (t)
h 1 (t)
h(t)£½
h 2 (t) * h1 (t)
系统级联满足交换律
15
• 分配律
(f1(t)+f2(t))*h(t)=f1(t)*h(t)+f2(t)*h(t)
•
如图所示，表明两个信号f1(t)与f2(t)叠加后通过某系
统h(t)将等于两个信号分别通过此系统h(t)后再叠加。
f1 (t)
¡Æ
h(t)
y(t)
f2 (t)
f1 (t)
h(t)
¡Æ
f2 (t)
y(t)
h(t)
卷积分配律示意图
16
• 结合律
(e(t)*h1(t))*h2(t) = e(t)*(h1(t)*h2(t))
•
应用：串联（级联）系统的冲激响应
h(t) = h1(t)*h2(t)
17
二.函数与冲激函数的卷积
• 卷积积分中最简单的就是卷积的两个函数之中有一个是
冲激函数.
• 延迟函数可以看成是冲激函数的延迟
与冲激函数的卷积
f(t)*kδ(t)=kf(t)
（ k倍理想放大特性）
f(t)*kδ(t±t0)=kf(t±t0) （延时特性）
• 周期函数的另外一种表示方法
h(t)
(1)
£ -T
0 T
(a)
f (t)
ff (t)£½
f (t) *h(t)
(1)
t
£ -T
0 T
(b)
t
£ -2T £ -T
0 T
(c)
2T
t
18
补充
三.卷积的微分与积分
• 1、微分特性
y(t)=f(t)*h(t)=h(t)*f(t)
y′(t)=f′(t)*h(t)=h′(t)*f(t)
• 2 、积分特性
y(t)=y(t)*h(t)=h(t)*f(t)
则：y(-1)(t)=f(-1)(t)*h(t)=h(-1)(t)*f(t)
3 、推论： y(i)(t)=f(j)(t)*h(i-j)(t)
y(t)=f(-1)(t)*h′(t)=f′(t)*h(-1)(t)
• 更多的是用于求卷积

19
第二讲 时域分析
• 连续系统的时域分析
•
•
•
•
2.1 LTI连续系统的响应
2.2 冲激响应与阶跃响应
2.3 卷积积分
2.4 卷积积分的性质
• 离散系统的时域分析
• 3.1 LTI离散系统的响应
• 3.2 单位序列和单位序列响应
• 3.3 卷积和
20
复习离散信号
•
离散时间信号:时间变量是离散的，函数只在某些规定的时刻有确定的值，
f tk 
在其他时间没有定义。
•
t  2 t 1 o
t1 t 2 t 3
离散信号可以由模拟信号抽样而得，也可以由实际系统生成。
采样
量化
f q t 
f t 
4.2
3.1
o
4
3
0.9
2T 3T
数字信号：离散信号在
各离散点的幅值被量化
的信号。
2
1.5
T
tk
1
t
o
T
2T
3T
t
• 离散时间系统:系统的输入、输出都是离散的时间信号。如数字计算机。
21
复习
一.离散时间信号——序列
•离散时间信号的运算
•常用离散时间信号
•离散信号的表示方法
22
序列的三种形式
x (n)
单边序列：n  0；

双边序列：
   n  ；
n
O
x (n)


n
O
有限长序列：n1  n  n2；
x (n)
O
n1
n2
23
n
二．离散信号的运算
1．相加： z(n)  x(n)  y(n)
2．相乘： z(n)  x(n)  y(n)
3．乘系数：z(n)  ax(n)
4．移位： z( n)  x( n  m )
z ( n)  x ( n  m )
x n 
x  1
左移位
x n  1
x 0
x 0
x 1
右移位
x  1
x 3 
x 1
2
1 o 1
3
3
x 2
n
1 o
1 2
x 3
4
x 2
n
24
5．反转： z(n)  x( n)
前向差分：x( n)  x( n  1)  x( n)
6．差分：
后向差分：
 x ( n)  x ( n)  x ( n  1)
z ( n)   x ( k )
7．累加：
k  
X(n)=
x(n-1)
8．重排（压缩、扩展）：
 n
x n  x an , 或 x n  x 
a
注意：有时需去除某些点或补足相应的零值。
9．序列的能量 E 
n
 x ( n)
n  
2
25
三．常用离散信号
•单位样值信号
•单位阶跃序列
•矩形序列
•斜变序列
•单边指数序列
•正弦序列
•复指数序列
26
1．单位冲激信号
0, n  0
 ( n)  
1, n  0
0, n  j
时移性  ( n  j )  
1, n  j
比例性 c ( n), c ( n  j )
抽样性 f ( n) ( n)  f (0) ( n)
 (n)
1
O
1
n
 ( n  1)
1
O
1
n
注意： ( t )用面积 强度表示，
t  0，幅度为 ;
(n )在n  0取有限值为1不是面积。
27
2．单位阶跃序列
n0
1
u( n)  
0
n0
u(n)
1
1 O

1 23
n
u(n)可以看作是无数个单位样值之和:
u( n)   ( n)   ( n  1)   ( n  2)   ( n  3)  

   (n  k )
k 0
 ( n)  u(n)  u( n  1)
 n与un是差和关系，不再是微 商关系。
28
3．矩形序列
1
RN ( n )  
0
0  n  N 1
n  0, n  N
RN (n)
1
1 o

1 2 3
N 1 n
与un的关系：RN (n)  u(n)  u(n  N )
29
4．斜变序列
x( n)  nu( n)
x(n)
1
1 O 1 2 3 4
n
30
5．单边指数序列
xn  a n un
a n un 
a n un 
a 1
0a1
1
1
1
O
1
2
3
4
n
1 O
a n un 
1
2
4
n
a n un 
a  1
1 a  0
1
1 O
3
1
1
2
3
4
n
1 O
1
2
3
4
n
31
6．正弦序列
xn  sinnω0  余弦序列：xn  cosn 0 
sinnω0 
sin 0 t 
1
O
1
5
10 n
1
 0 : 正弦序列的频率, 序列值依次周期性重复的速率。
2π
当 0＝ , 则序列每10个重复一次正弦包络的数值。
10
离散正弦序列 xn  sin 0 n 是周期序列应满足
xn  N   xn
N称为序列的周期，为任意正整数。
32
正弦序列周期性的判别
①
2π
 N，N是正整数
0
 
2π 
sin 0 n  N   sin  0  n     sin 0 n  2π  sin 0 n
 0 
 
正弦序列是周期的
2π
N N
 ， 为有理数
②
0 m m
 
2π 
sin 0 n  N   sin  0  n  m   sin 0 n  m  2π  sin 0 n
 0 
 
2π
sin 0 n仍为周期的 周期：N  m
0
2π
③
为无理数
0
找不到满足 xn  N   xn的N值，为非周期的
33
7．复指数序列
xn  e j0n  cos  0 n  j sin 0 n
复序列用极坐标表示：
x n  x n e
jarg  x  n 
复指数序列：
x n  1
arg xn   0 n
34
第二讲 时域分析
• 连续系统的时域分析
•
•
•
•
2.1 LTI连续系统的响应
2.2 冲激响应与阶跃响应
2.3 卷积积分
2.4 卷积积分的性质
• 离散系统的时域分析
• 3.1 LTI离散系统的响应
• 3.2 单位序列和单位序列响应
• 3.3 卷积和
35
3.1 LTI离散系统的响应
• 用差分方程描述线性时不变离
散系统
• 由系统框图写差分方程
• 差分方程的解法
36
一．用差分方程描述线性时不变离散系统
线性：均匀性、可加性均成立；
x1 ( n)
y1 ( n)
离散时间系统
x 2 ( n)
离散时间系统
y 2 ( n)
c1 y1 ( n)  c2 y2 ( n)
c1 x1 ( n)  c2 x 2 ( n)
离散时间系统
37
时不变性
xn  yn，xn  N   yn  N  整个序列右移 N位
y(n)
x (n)
系统
1
1
1 O
1 O 1 2 3 n
x( n  N )
系统
1 2 3
n
y( n  N )
1
1 O
1 2 3 4
n
1
1 O
1 2 3
n
38
3.1 LTI离散系统的响应
• 用差分方程描述线性时不变离
散系统
• 由系统框图写差分方程
• 差分方程的解法
39
二．由系统框图写差分方程
加法器：
x1 n 
x1 n   x 2 n 
x 2 n 
x1 n 

x1 n   x 2 n 
x2 n 
乘法器：
x1 n 
x1 n   x 2 n 
x 2 n 
40
标量乘法器
x n
axn
a
xn
a
axn
延时器
y n 
1
E
y n  1
y n 
z
1
y n  1
单位延时实际是一个移位寄存器，把前一个离
散值顶出来，递补。
41
框图如图，写出差分方程
x n 
y n 

x n 
a

1
E
y n 
a
1
E
解：
yn  xn  ayn  1
yn  1  xn  ayn
1
或 y( n)   y n  1  x n
a
一阶后向差分方程
一阶前向差分方程
42
3.1 LTI离散系统的响应
• 用差分方程描述线性时不变离
散系统
• 由系统框图写差分方程
• 差分方程的解法
43
三.差分方程的解法
1.迭代法
2.时域经典法：齐次解+特解
3.零输入响应+零状态响应
利用卷积求系统的零状态响应
第6章
4. z变换法反变换y(n)
44
一．迭代法
解差分方程的最初的方法
差分方程本身是一种递推关系，求解容易, 但得
不到输出序列的y(n)的解析式.
45
二．时域经典法
1. 齐次解
2. 特解
解微分方程
求差分方程齐次解步骤
差分方程
特征方程特征根
y(n)的解析式由起始状态定常数
例3.1-2
46
根据特征根，齐次解的三种情况
1. 无重根
yn  C1 r1   C 2 r2     C n rn 
n
2.有重根
n
n
如三重根r1=r2=r3=r
yn   C1 r   C2 nr   C3n r 
n
3.有共轭复数根
n
n
2
可视为二个不等单根
47
三．零输入响应+零状态响应
1.零输入响应：输入为零，差分方程为齐次
齐次解：C r 
C由初始状态定（相当于0-的条件）
n
2.零状态响应：初始状态为0，即
y 1  y 2    0
经典法：齐次解+特解
求解方法
卷积法
48
注意
• 五个公式的理解
• 自由响应+强迫响应 VS 零输入响应+
零状态响应
例3.1-4
49
第二讲 时域分析
• 连续系统的时域分析
•
•
•
•
2.1 LTI连续系统的响应
2.2 冲激响应与阶跃响应
2.3 卷积积分
2.4 卷积积分的性质
• 离散系统的时域分析
• 3.1 LTI离散系统的响应
• 3.2 单位序列和单位序列响应
• 3.3 卷积和
50
单位冲激和单位阶跃
• 定义和二者之间的相互表示关系
51
单位冲激响应
 (n)
h(n)
系统
即 n作用下，系统的零状态响应，表示为 hn
h k   0 k  1,2,3, N
52
例
x n 
已知系统框图，
求系统的单位冲激响应。  n




列方程
从加法器出发：
y n 

3
z 1
3
z 1
hn 
1
x n  3 y n  1  3 y n  2
z 1
 y n  3  y n
yn  3 yn  1  3 yn  2  yn  3  xn
53
例
单位样值信号  n作用于系统：
hn  3hn  1  3hn  2  hn  3   n
当n  0时
hn  3hn  1  3hn  2  hn  3  0
特征方程
r  3r  3r  1  0 ,
3
2
r  13  0
特征根
r1  r2  r3  1
所以hn  C1n 2  C 2 n  C 3
54
如何求待定系数？
先求边界条件
零状态 h 1  h 2  h 3  0
可迭代出h0, h1, h2
h0  3h 1  3h 2  h 3   0  1
h1  3h0  3h 1  h 2  3
h2  3h1  3h0  h 1  6
代入hn  C 1 n  C 2 n  C 3 得
2
1
3
C1  , C 2  , C 3  1
2
2
1 2 3

所以hn   n  n  1 un
2
2

对于求h(n)，边界条件中至少有一项是n  0的。
55
第二讲 时域分析
• 连续系统的时域分析
•
•
•
•
2.1 LTI连续系统的响应
2.2 冲激响应与阶跃响应
2.3 卷积积分
2.4 卷积积分的性质
• 离散系统的时域分析
• 3.1 LTI离散系统的响应
• 3.2 单位序列和单位序列响应
• 3.3 卷积和
56
3.3 卷积和
•卷积和定义
•离散卷积的性质
•卷积计算
57
一．卷积和定义
任意序列xn表示为 n的加权移位之线性组合:
x n    x  1n  1  x 0n   x1n  1 
  xm n  m   


 x m  n  m 
m 
x(n)
 (n)
h(n)
y(n)
h(n)
58
时不变
 n  m   hn  m 
均匀性
xm  n  m   xm hn  m 
可加性
x ( n) 
输出
y n  

 xm  n  m 
m  

 xm hn  m   xn hn
m  
系统对 x n  的响应  每一样值产生的响应之 和，在各
处由 x m 加权。
卷积和的公式表明：
hn 将输入输出联系起来，即零状态响应  xn  hn59。
3.3 卷积和
•卷积和定义
•离散卷积的性质
•卷积计算
60
二．离散卷积的性质
1．交换律
x( n)  h( n)  h( n)  x( n)
2．结合律
x(n)  h1 (n)  h2 (n)  x(n)  [h1 (n)  h2 (n)]
3．分配律
x(n)  h1 (n)  h2 (n)  x(n)  h1 (n)  x(n)  h2 (n)
4． xn   n
不存在微分、积分性质。
61
3.3 卷积和
•卷积和定义
•离散卷积的性质
•卷积计算
62
三．卷积计算
x n   hn  

 x m hn  m 
m  
m范围由x(n), h(n)范围共同决定。
离散卷积过程：序列倒置移位相乘取和
1.解析式法
2.图解法
3.对位相乘求和法求卷积
4.利用性质
63
例1:解析式法
已知 x n   n un 0    1 , hn  un, 求卷积
y( n)  x( n)  h( n)。
yn  xn  hn 


m
u( m )u( n  m )
m  
要点：
定上下限
宗量 : m  0, m  n 即：
0  m  n, n  0
从图中可见求和上限n,下限0
1   n1
 n m
un 
y( n)       u( n) 
1
 m 0

当n  时
1
y n 
1
64
hn 
x(n)
波形
1

o
1 2 3
o
n
a m um 

o 1 2 3
n0
a m um 


o
1 2 3
n 1
m
n 1
1

α
y( n)  u( n)   α m 
un 1
1 α
m 0
n
1
当n  时，y n 
1 α
n
hn  m 
hn  m 

1 2 3
m
y n 
1 1
o

1 2 3 4
n65
例2:对位相乘求和法








已知x1 ( n)   4 , 3, 2, 1，x2 ( n)   3 , 2, 1, ，


 n 0

 n 0



求：y n   x1 ( n)  x2 ( n)
使用对位相乘求和法求卷积
步骤：
两序列右对齐→
逐个样值对应相乘但不进位→
同列乘积值相加（注意n=0的点）
66
x1 n

x2 n
:
4
3
2
1
3
2
1
3
4
3
2
2
1
12 17 16 10
4
1

n0
:

n0
8
12 9

yn
:

4
6
6
n0




所以y n  12 ， 17 ， 16 ， 10 ， 4 ，1

n0

67
y(n)的元素个数?
若：
x(n)
nA
h(n)
nB
y ( n)
nC  n A  nB  1
x(n)序列
n1  n  n2，
h(n)序列
n3  n  n4
则y(n)序列
例如：
n1  n3   n  n2  n4 
x(n)： 0  n  3
4个元素
h(n)： 0  n  4
5个元素
y(n)： 0  n  7
8 个元素
68
例3:性质




已知x( n)  R3 n, h( n)   1 ，
2，
3，求x( n)  h( n)。



n

0


x( n)   ( n)   ( n  1)   ( n  2)
h( n)   ( n)  2 ( n  1)  3 ( n  2)
利用分配律
x( n)  h( n)
  ( n)  2 ( n  1)  3 ( n  2)
  (n  1)  2 (n  2)  3 ( n  3)
  ( n  2)  2 ( n  3)  3 ( n  4)
  ( n)  3 ( n  1)  6 ( n  2)  5 ( n  3)  3( n  4)
69
作业
• 对比分析离散和连续系统时域分析的对偶
性!
• 理解卷积.
70
End
Thanks for your attention!
71
例1
设N=10，说明正弦序列的包络线每隔10个样值重复一
次，周期为10。
2π 2π
ω0 

 0.2π
N 10
表示相邻两个序列值间的弧度数为 0.2π。
ω0 反映每个序列值出现的速 率，ω0小，两个序列值
间弧度小。
sinnω0 
1
sinΩ0 t 
10
o1
1
5
n
72
例2
4π
已知：
sin n ，
求其周期。
11
4π
2π
11 11 N
ω0  ，则有：  2π


11
ω0
4π 2 m
所以N  11，即周期为11。（2π 中有5.5个ω0）
x n
3 4 5
1 2
9 10
11
6 7 8
一个周期
22
n
73