Transcript Document

1
绪论
第
2
页
§ 1.1
信号与系统
•信号(signal)
•系统（system）
•信号理论与系统理论
X
信号(Signal)
第
3
页
•消息（Message）：在通信系统中，一般将语言、文字、
图像或数据统称为消息。
•信号（Signal）：指消息的表现形式与传送载体。
•信息（Information）：一般指消息中赋予人们的新知
识、新概念，定义方法复杂，将在后续课程中研究。
•信号是消息的表现形式与传送载体，消息是信号的传
送内容。例如电信号传送声音、图像、文字等。
•电信号是应用最广泛的物理量，如电压、电流、电荷、
磁通等。
X
系统(System)
第
4
页
系统（system）：由若干相互作用和相互依赖的事物组
合而成的，具有稳定功能的整体。如太阳系、通信系
统、控制系统、经济系统、生态系统等。
X
第
通信系统
5
页
为传送消息而装设的全套技术设备（包括传输信道）。
发送
设备
信息
源
接收
设备
受信
者
噪声
源
发送端
消息
信道
信号
接收端
信号
消息
X
系统(System)
第
6
页
• 系统可以看作是变换器、处理器。
• 电系统具有特殊的重要地位，某个电路的输入、
输出是完成某种功能，如微分、积分、放大，也
可以称系统。
• 在电子技术领域中，“系统”、“电路”、“网
络”三个名词在一般情况下可以通用
X
信号理论与系统理论
第
7
页
信号分析：研究信号的基本性能，如信号
的描述、性质等。
信号理论
信号传输
信号处理
系统分析：给定系统，研究系统对于输入
激励所产生的输出响应。
系统理论
系统综合：按照给定的需求设计（综合）
系统。
重点讨论信号的分析、系统的分析，分析是综合的基础。
X
第
8
页
信号与系统的关系
输入信号
激励
系统
输出信号
响应
X
第
9
页
§1.2 信号的描述和分类
•信号的分类
•典型确定性信号
X
第
一．信号的分类
 函数 f(t)
信号的描述
 波形
信号的分类方法很多，可以从不同的角度对信号
进行分类。
按实际用途划分
电视信号
雷达信号
控制信号
通信信号
广播信号
……
按所具有的时间特性划分
10
页
X
第
1．确定性信号和随机信号
11
页
确定性信号
对于指定的某一时刻t，可确定一相应的函数值f(t)。
若干不连续点除外。
随机信号
具有未可预知的不确定性 。
伪随机信号
貌似随机而遵循严格规律产生的信号（伪随机码）。
X
2．周期信号和非周期信号
第
12
页
 正弦周期信号（简谐信号）
 周期信号 
复杂周期信号（除简谐信号外的周期信号）

例如sin t  sin π t


准周期 ( 频率之比值为无理数)
非周期信号 
瞬态 ( 脉冲, 衰减函数 )
瞬态信号：除准周期信号外的
一切可以用时间函数描述的非
周期信号。
X
第
3．连续信号和离散信号
连续时间信号：信号存在的
时间范围内，任意时刻都有定
义（即都可以给出确定的函数
值，可以有有限个间断点）。
用t表示连续时间变量。
离散时间信号：在时间上是
离散的，只在某些不连续的规
定瞬时给出函数值，其他时间
没有定义。
用n表示离散时间变量。
13
页
f(t)
O
t
f(n)
O 12
n
X
第
4．模拟信号，抽样信号，数字信号
模拟信号：时间和幅值均为连续
的信号。
抽
14
页
f t 
样
抽样信号：时间离散的，幅值
连续的信号。
量
O
t
f n 
化
数字信号：时间和幅值均为离散
的信号。
O
主要讨论确定性连续时间信号。
先连续，后离散；先周期，后非周期。O
n
f n 
n
X
第
判断信号性质
判断下列波形是连续
时间信号还是离散时
间信号，若是离散时
间信号是否为数字信
号？
15
页
f t 
连续信号
O
t
f t 
O
离散信号
1 2 3 4 5 6 7 8
f t 
只有1，2，3值
3
2
1
O
1 2 3 4 5 6 7 8
t
离散信号
数字信号
t
X
第
5．一维信号和多维信号
16
页
一维信号：
只由一个自变量描述的信号，如语音信号。
多维信号：
由多个自变量描述的信号，如图像信号。
X
6.
第
功率信号和能量信号
信号的能量：
在整个时间轴上， w 
17
页



2
f ( t ) dt
信号的功率：
1
[
在整个时间轴上， p  Tlim
 T
T
2
T

2

2
f ( t ) dt ]
X
第
18
页
功率信号：
平均功率为有限值而信号总能量为无限大。
（0<P<∞，W→∞）
能量信号：
能量为有限值而平均功率为零。
（ 0<W<∞，P=0）
非功非能信号：
（W→∞，P→∞）
X
第
二．几种典型确定性信号
1.指数信号
2.正弦信号
19
页
信号的表示
函数表达式 f t 
波形
3.复指数信号(表达具有普遍意义)
3. 抽样信号(Sampling Signal)
5.钟形脉冲函数(高斯函数)
X
第
1．指数信号
20
页
f ( t )  K e t
l
l
l
  0 直流(常数),
  0 指数衰减,
  0 指数增长
单边指数信号
0
f t     t
e 
f t 
 0
 0
 0
K
t
O
t0
f t 
1
t0
O
t
通常把  称为指数信号的时间常数，记作,代表信
号衰减速度，具有时间的量纲。
重要特性：其对时间的微分和积分仍然是指数形式。
1
X
第
2．正弦信号
21
页
f ( t )  K sin( t  )
f t 
K
振幅：K
2π 1

周期： T 

f
T
π

O


2π

t
频率：f
角频率：  2 π f
初相：
衰减正弦信号：
 K e t sint 
f (t )  
0
t0
 0
t0
X
第
欧拉(Euler)公式
22
页

1 jt
sint  
e  e  jt
2j

1 jt
cost   e  e  jt
2
e
j t


 cost   j sint 
X
第
3．复指数信号
23
页
f ( t )  Ke st
(   t  )
 Ke t cos t   jKe t sin t 
s    j
为复数，称为复频率
 ,  均为实常数
 的量纲为1 /s ， 的量纲为rad/s
讨论
  0,   0 直流

   0,   0 升指数信号
   0,   0 衰减指数信号

  0,   0 等幅


  0,   0 增幅振荡
  0,   0 衰减


X
第
4．抽样信号(Sampling Signal)
sin t
Sa( t ) 
t
性质
1
24
页
Sat 
2π
πO
① Sa t   Sat ，偶函数
② t  0 , Sa( t )  1，即limSa( t )  1
t 0
③ Sa(t )  0, t   nπ，n  1,2,3
 sin t
 sin t
π
④ 
dt  , 
dt  π
0

t
2
t
⑤ lim Sa( t )  0
t  
⑥ sinc( t )  sinπ t  π t 
t
π
3π
X
5．钟形脉冲函数(高斯函数)
f ( t )  Ee
t
 
 
第
25
页
2
f t 
E
0.78 E
E
e
O
 
t
2
在随机信号分析中占有重要地位。
X
第
26
页
§1.3 信号的运
算
•信号的自变量的变换
移位
反褶
尺度
一般情况
•微分和积分
•两信号相加或相乘
X
第
一．信号的自变量的变换（波形变化）
27
页
1.信号的移位
2.信号的反褶
3.信号的展缩（尺度变换）
4.一般情况
X
第
1．信号的移位
28
页
f (t )  f (t   )
将信号f t  沿 t 轴平移 即得时移信号 f t    ,  为常数
 > 0，右移(滞后)
 < 0，左移(超前)
例：
f (t )
ff ((t
t ) 1)
f(t+1)的波形？
1
1 O
1
1
t
2
1 O
1
t
X
第
2．反褶
29
页
f (t )  f ( t )
以纵轴为轴折叠，把信号的过去与未来对调。
例：
f t 
1
2
O
f  t 
1
1
t
1 O
2
t
X
第
3．信号的展缩(Scale Changing)
30
页
f t   f at  a  0 波形的压缩与扩展，尺度变换
t
例：已知 f t  ，画出 f 2t  和 f   的波形。
 2
f (t )  f t 2
t
f 
2
f t 
2
2
1
1
O
T
t
O
2T
t
t  t 2 , 波形扩展
X
第
f(t)f(2t)
31
页
f t 
f 2 t 
2
2
1
1
O
T
t
O
T
2
t
t2t，波形压缩。
X
第
4．一般情况
32
页
f t   f at  b  f at  b a  设a  0
展缩
平移
加上倒置： f  at  b  f  at  b a 
注意！
一切变换都是相对t 而言
最好用先展缩后平移的顺序
X
第
例题 已知f(t)，求f(3t+5)。
解:
33
页
f ( t  5)
f (t )
时移
1
1
O
标度
变换
t
1
1
6 5 4
O
标度
变换
f ( 3t  5)
f ( 3t )
时移
1
1
 O
3
1
3
t
t
1
2
4

3
t
X
第
二．微分和积分
d f t 
微分：f t  
，
dt
f t 
 O

2
2

2
t

f t 
2

积分：
 f  d
t

f t 
1
1
 O
34
页

冲激信号
2
t
 1
 O

2

 O

2

t
2

t

f  d

2
t
X
第
三．两信号相加和相乘
35
页
同一瞬时两信号对应值相加（相乘）。
sint 
sint 
t
t
sin8t 
sin8t 
t
t
sint   sin8t 
sint   sin8t 
t
t
X
第
36
页
§1.4
阶跃信号和冲激信号
•单位斜变信号
•单位阶跃信号
•单位冲激信号
•冲激偶信号
X
第
一．单位斜变信号
37
页
1． 定义
0
R( t )  
t
R(t )
t0
1
t0
2．有延迟的单位斜变信号
0

R( t  t 0 )  
t  t 0
t  t0
t  t0  0
由宗量t -t0=0 可知起始点为 t 0
3．三角形脉冲
 K
 R( t )
f (t )   
0
1
O
t
R( t  t 0 )
1
O
t0
t0  1 t
f (t )
t 
K
其它
O

t
X
第
二．单位阶跃信号
38
页
1. 定义
0
u( t )  
1
u(t )
t0
1
0点无定义或
t 0
2
2. 有延迟的单位阶跃信号
t  t0
0
u( t  t 0 )  
, t0  0
t  t0
1
1
O
t
u( t  t 0 )
1
O
t0
t
3. 应用
a. 表示单边信号。
X
第
39
页
b. 表示矩形脉冲。
门函数：也称窗函数
f t   ut   ut  t 0 
RT (t )
1
t0
O
   
f t   u t    u t  
 2  2
其他函数只要用门函数处理(乘以
门函数)，就只剩下门内的部分。
t
f t 
G τ t 
1

 O

2
2
t
X
第
40
页
sgnt 
c.表示符号函数
符号函数：(Signum)
1
sgn( t )  
 1
t 0
t0
O
t
sgn( t )   u(  t )  u( t )  2u( t )  1
1
u( t )  [sgn( t )  1]
2
t
X
三．单位冲激函数  (t )
第
41
页
概念引出
定义1
定义2
定义3
冲激函数的性质
X
第
定义1：狄拉克(Dirac)函数
  ( t ) d t  1
  
 ( t )  0 t  0

42
页

0

0

 (t ) d t    (t ) d t  1
 (t )
函数值只在t = 0时不为零；

(1)
 积分面积为1；

t =0 时， t    ，为无界函数。
o
t
X
第
定义2
43
页
1
1       
p( t )   u t    u t   
   2   2 
p(t )

 0


2
O

t
2
面积1； 脉宽↓； 脉冲高度↑；
则窄脉冲集中于 t=0 处。
★面积为1
三个特点： ★宽度为0
无穷
★ 幅度
0
t0
t0
X
第
描述
44
页
1       
 ( t )  lim p( t )  lim  u t    u t   
 0
 0 
  2   2 
 (t )
 (t  t0 )
时移的冲激函数


(1)
(1)
o
t
o
t0
t
若面积为k，则强度为k。
三角形脉冲、双边指数脉冲、钟形脉冲、抽样函数
取0极限，都可以认为是冲激函数。
X
第
定义3
45
页
• 以分配理论为基础定义



f (t ) (t ) d t  f (0)
X
冲激函数的性质
第
46
页
为了信号分析的需要，人们构造了 t  函数，它属于广
义函数。就时间t 而言， t  可以当作时域连续信号处
理，因为它符合时域连续信号运算的某些规则。但由于
 t  是一个广义函数，它有一些特殊的性质。
1．抽样性
2．奇偶性
3．标度变换
4．微分性质（冲激偶）和积分性质
5. 卷积性质
X
1.
第
抽样性(筛选性)
47
页
如果f(t)在t = 0处连续，且处处有界，则有
 ( t ) f ( t )  f (0) ( t )



 (t ) f (t ) d t  f (0)
f (t )
f ( 0)
o

t
对于移位情况：
 (t ) f (t t 0)  f (t 0 ) (t )


 (t  t0 ) f (t ) d t  f (t0 )

X
第
48
页
2. 奇偶性
 (t )   ( t )
3. 对(t)的标度变换
1
 at    t 
a



 (5t ) f ( t )dt  ?
1
f 0 
5
X
第
49
页
4.微、积分性质

t

 ( ) d   u(t )
d[  ( t )]
 (t )
dt
d u( t )
(t )
dt
'
5.卷积性质
f t   t   f t 
X
第
'

4.冲激偶 ( t )
50
页
 (t )
s(t )
1

1

(1)
  o 

t
 0
s(t )
t
O
 (t )
1
2
1
2
  O
1
 2

t
O
t


1
2
X
第
冲激偶的性质
51
页
① (t )是奇函数
 (  t )   ( t ) ,
②
③




 (t ) d t  0 ,


 (t0  t )   (t  t0 )

t

  (t ) d t   t 
 (t ) f (t ) d t   f  (0)
时移 ，则：
对 t 的k阶导数：




 (t  t 0 ) f (t ) d t   f  (t 0 )
(k )
(k )






0

t
f
t
d
t


1
f

k

④ f t  ( t )  f 0 ( t )  f (0) t  ，
（与 f ( t ) ( t )  f 0 t  不同）
X
第
冲激函数的性质总结
（1）抽样性
f ( t ) ( t )  f (0) ( t )



f (t ) (t ) d t  f (0)
（2）奇偶性
 ( t )   (t )
52
页
（5）冲激偶
 (  t )   ( t )



t



 ( t ) d t  0
 ( t ) d t   (t )
 f (t ) (t ) d t   f (0)
（3）比例性
1
 (at )   t 
f (t ) (t )  f (0) (t )  f (0) (t )
a
（6）卷积性质
（4）微积分性质
d u( t ) t
f t    t   f t 
 ( ) d   u(t )
 (t ) 


X
dt
四.总结： R(t)，u(t)， (t) 之间的关系
R(t )
1
O
t
1
求
导
u(t )
 (t )
1

O
R(t)
↓ ↑ 积
u(t)
↓ ↑ 分
(t)
第
53
页
(1)
t
O
t
(-<t< )
X
第
54
页
§1.5 信号的分解
为了便于研究信号的传输和处理问题，往往将
信号分解为一些简单(基本)的信号之和，分解角度
不同，可以分解为不同的分量
X
第
一．直流分量与交流分量
f (t )
f A (t )
f D (t )
E
55
页
E
t
O
t
O
t
O
f (t )  f D (t )  f A (t )
f D t ：信号的直流分量，即平均值。
1 t 0 T
fD ( t )  
f ( t )d t
T t0
1
P
T

t 0 T
t0
1
f (t ) d t 
T
2

t 0 T
t0
 f D ( t )  f A ( t ) d t  f ( t )  1
T
2
2
D

t 0 T
t0
f A2 ( t ) d t
信号的平均功率 = 信号的直流功率 + 交流功率
X
第
二．偶分量与奇分量
56
页
对任何实信号而言：
 f e ( t ): 偶分量
f ( t )  f e ( t )  f o ( t )
 f o ( t ): 奇分量
f e t   f e  t  e : even
f o t    f o  t 
o : odd
1
f e ( t )   f ( t )  f (  t )
2
1
f o ( t )   f ( t )  f (  t )
2
信号的平均功率 = 偶分量功率 + 奇分量功率
X
第
例：求f(t)的奇分量和偶分量
57
页
f ( t )
f (t )
t
O
fo (t )
fe (t )
O
t
O
t
O
t
X
三．典型信号分量
第
58
页
• 信号分解为典型信号的有限项之和
典型信号在信号系统分析理论中有专门的
分析研究，如将信号分解成了它们的有限和式，
则信号本身的分析结果也就基本明朗了。
举例
见1.4 符号函数
X
第
四．脉冲分量
59
页
1．矩形窄脉冲序列
f t 

f  
当t   ,
O

t
脉高：f  , 脉宽： , 存在区间：u(t  )  u(t    )
此窄脉冲可表示为
f  u(t   )  u(t     )
X
第
60
页
从  到, f (t )可表示为许多窄脉冲的叠加
f (t ) 

f ( )u( t   )  u( t    ）


 

令  0
lim


u( t   )  u( t    ）
f ( )
 




 
u(t   )  u(t    ）  d u(t   )   t   

 0



  d  ,
 
所以 f (t )  


dt


  
f ( ) (t   ) d
出现在不同时刻的，
不同强度的冲激函
数的和。
X
第
2．连续阶跃信号之和
61
页
f t 
f t 1 
f t 1  t 1 
f 0 
O
t 1
t1
t
f ( t )  f (0)u( t )  

0
d f ( t1 )
u( t  t1 ) d t1
d t1
将信号分解为冲激信号叠加的方法应用很广，
后面的卷积积分中将用到，可利用卷积积分求系统
的零状态响应。
X
第
五．实部分量与虚部分量
62
页
瞬时值为复数的信号可分解为实虚部两部分之和。
f (t )  fr (t )  jf i (t )
共轭复函数
f * (t )  f r (t )  jf i (t )
即

1
fr (t )  f (t )  f * (t )
2


1
jf i ( t )  f ( t )  f * ( t )
2

实际中产生的信号为实信号，可以借助于复信号来
研究实信号。
X
六．正交函数分量
第
63
页
如果用正交函数集来表示一个信号，那么，组成
信号的各分量就是相互正交的。把信号分解为正交函
数分量的研究方法在信号与系统理论中占有重要地位，
这将是本课程讨论的主要课题。
我们将在第三章中开始学习。
X
第
七．利用分形（fractal）理论描述信号
64
页
•
•
•
•
分形几何理论简称分形理论或分数维理论；
示例
创始人为B.B.Mandelbrot;
分形是“其部分与整体有形似性的体系”；
在信号传输与处理领域应用分形技术的实例表现在
以下几个方面：图像数据压缩、语音合成、地震信
号或石油探井信号分析、声纳或雷达信号检测、通
信网业务流量描述等。这些信号的共同特点都是具
有一定的自相似性，借助分性理论可提取信号特征，
并利用一定的数学迭代方法大大简化信号的描述，
或自动生成某些具有自相似特征的信号。
可浏览网站：http://www.fractal.com
X
第
65
页
§1.6 系统模型及其分类
•系统的定义和表示
•描述系统的基本单元方框图
•系统的分类
X
一．系统的定义和表示
第
66
页
系统：具有特定功能的总体，可以看作信号的变换
器、处理器。
系统模型：系统物理特性的数学抽象。
系统模型的表示：
数学表达式：系统物理特性的数学抽象。
方框图：形象地表示其功能。
X
二．描述系统的基本单元方框图
第
67
页
1.加法器
2.乘法器
3.标量乘法器（数乘，比例）
4.微分器
5.积分器
6.延时器
X
第
基本元件1
1.加法器
68
页
r t 
e1 t 
e1 t 
e2 t 
2.乘法器

e2 t 
r t 
e1 t 
r t 
r t   e1 t   e2 t 
r t   e1 t   e2 t 
e2 t 
注意: 与公式中的卷积符号相区别，没有卷积器。
3.标量乘法器（数乘器，比例器）
et 
a
r t 
a
r ( t )  ae( t )
X
第
基本元件2
4.微分器
5.积分器
6.延时器
69
页
et 
et 
et 
et 
d
d


T
r t 
r t 
de ( t )
r t  
dt
t
r ( t )   e( t )dt

r t 
r t 
r t   et   
X
三．系统的分类
第
70
页
1．连续时间系统与离散时间系统
a.定义
连续时间系统：输入信号与输出信号都连续，
并且其内部也未转换为离散信号。
离散时间系统：输入信号与输出信号都离散。
混合系统：连续系统与离散系统组合运用
b.数学模型
连续时间系统：微分方程
离散时间系统：差分方程
X
第
71
页
2．即时系统与动态系统
a.定义
即时系统（无记忆系统）：
系统的输出只由相同时刻的激励信号决
定，而与过去的工作状态无关。
动态系统（记忆系统）：
系统的输出信号不仅与同时刻的激励信
号有关，还与它过去的工作状态有关。
X
第
72
页
b.数学模型
即时系统（无记忆系统）：代数方程
动态系统（记忆系统）：微分方程或差分方程
X
第
73
页
3．集总参数系统与分布参数系统
a.定义
集总参数系统：只由集中参数元件组成
分布参数系统：含有分布参数元件
b.数学模型
集总参数系统：常微分方程（t)
分布参数系统：偏常微分方程（t,x,y,z)
X
第
74
页
4．线性系统与非线性系统
a.定义
线性系统：即具有叠加性又具有均匀性
非线性系统：不具有叠加性或均匀性
b.数学模型
线性系统：线性方程
非线性系统：非线性方程
X
第
75
页
5．时变系统与时不变系统
a.定义
时变系统：系统的参数随时间变化
时不变系统：系统的参数不随时间变化
b.数学模型
时变系统：变系数方程
时不变系统：常系数方程
X
第
76
页
6．可逆系统与不可逆系统
可逆系统：e(t)不同，r(t)不同
例：r(t)=5e(t)
不可逆系统：e(t)不同，r(t)相同
例：r(t)=e2(t)
X
第
77
页
7.因果系统与非因果系统
因果系统：系统在t0时刻的响应只与t= t0和
t<t0时刻的输入有关
非因果系统：系统在t0时刻的响应与t>t0时刻
的输入有关。
判断方法
输出不超前于输入
X
第
例题
78
页
微分方程r t   et   et  2代表的系统是否是因果系统。
t0
r 0  e0  e 2
现在的响应=现在的激励+以前的激励
所以该系统为因果系统。
微分方程r t   et   et  2代表的系统是否是因果系统。
t0
r 0  e0  e 2
未来的激励
所以该系统为非因果系统。
X
第
1.实际的物理可实现系统均为因果系统
79
页
非因果系统的概念与特性也有实际的意义，如信
号的压缩、扩展，语音信号处理等。
若信号的自变量不是时间，如位移、距离、亮度
等为变量的物理系统中研究因果性显得不很重要。
2.因果信号
t = 0接入系统的信号称为因果信号。
表示为：
e( t )  e( t )u( t ) 相当于t  0, e(t )  0
X
第
80
页
8．稳定系统与非稳定系统
多种定义形式
稳定性是系统自身的性质之一，系统是否稳
定与激励信号的情况无关。
X
第
81
页
§1.7 线性时不变系统
•线性特性
•时不变特性
•线性时不变系统的微分特性
•因果性
X
一．线性特性
第
82
页
1.定义
线性: 指均匀性，叠加性。
均匀性(齐次性)：
et   r t   ket  kr t 
叠加性：
e1 ( t ) r1 ( t ) 
 e1 ( t )  e2 ( t )  r1 ( t )  r2 ( t )
e2 ( t ) r2 ( t )
X
第
线性特性
83
页
e1 ( t )
e2 t 
H
H
 1e1 t    2e2 t 
H
r1 t 
r2 t 
 1r1 t    2 r2 t 
 1 e1 (t )   2 e2 (t )  1 r 1 (t )   2 r 2 (t )
X
第
84
页
2. 判断方法
先线性运算，再经系统 = 先经系统，再线性运算
f 1 t 
f 2 t 
f 1 t 
f 2 t 
C1
C2
H 
H 
C 1 f 1 t 

C 2 f 2 t 
H  f 1 t 
H  f 2 t 
C1
C2
H C 1 f 1 t   C 2 f 2 t 
H  
C 1 H  f 1 t 
C 2 H  f 2 t 

C 1 H  f 1 t   C 2 H  f 2 t 
若 H C1 f1 t   C2 f 2 t   C1 H  f1 t   C2 H  f 2 t 
则系统 H 是线性系统,否则是非线性系统。
X
第
例
85
页
判断下述微分方程所对应的系统是否为线性系统?
d r (t )
 10r ( t )  5  e( t ) t  0
dt
分析：根据线性系统的定义，证明此系统是否具有
均匀性和叠加性。可以证明：
系统不满足均匀性
系统不具有叠加性
所以此系统为非线性系统。
请看下面证明过程
X
第
证明均匀性
86
页
设信号e(t)作用于系统，响应为r(t)
当Ae(t)作用于系统时，若此系统具有线性，则
d Ar ( t )
 10 Ar ( t )  5  Ae( t )
dt
t 0
(1)
t 0
( 2)
原方程两端乘A：
 d r (t )

A
 10r ( t )  5  Ae( t )
 dt

(1),(2)两式矛盾。故此系统不满足均匀性
X
第
证明叠加性
87
页
假设有两个输入信号 e1 (t )及e2 (t ) 分别激励系统，则由
所给微分方程式分别有：
d r1 t 
 10r1 t   5  e1 t 
dt
d r2 t 
 10r2 t   5  e2 t 
dt
t 0
( 3)
t 0
( 4)
当e1 (t )  e2 (t ) 同时作用于系统时，若该系统为线性系统，
应有
d
r1 t   r2 t   10r1 t   r2 t   5  e1 t   e2 t 
dt
t 0
( 5)
t 0
( 6)
(3)+(4)得
d
r1 t   r2 t   10r1 t   r2 t   10  e1 t   e2 t 
dt
(5)、(6)式矛盾，该系统不具有叠加性
X
第
二．时不变特性
88
页
认识:
•电路分析上看: 元件的参数值是否随时间而变。
• 从方程看: 系数是否随时间而变。
•从输入输出关系看:
X
第
89
页
时不变性
e(t )
e( t  t 0 )
r (t )
r ( t  t0 )
H
e(t )
O
r (t )
t
T
e( t  t 0 )
O t0
t
O
r (t  t 0 )
t0  T
t
O
t0
t
X
第
90
页
2. 判断方法
先时移，再经系统 = 先经系统，再时移
f t   
DE
f t 
H  f t   
H 

f t 
H  
H  f t 
y t 
DE

y t   
若 H  f t     yt   
则系统 H 是非时变系统,否则是时变系统。
X
第
例题
91
页
判断下列两个系统是否为非时变系统。
系统1：r t   coset 
系统2：r t   et   cos t
t 0
t 0
1.系统的作用是对输入信号作余弦运算。
(1)e(t )  e(t  t0 ) 
 r11 (t )  cos e(t  t0 ) t  0
时 移t 0
经过系统
系统
t0
移
 r12 (t )  cos e(t  t0 ) t  0
( 2)e( t ) 经过
 cos e( t ) 时
r11 t   r12 t 
所以此系统为时不变系统。
X
第
92
页
系统2：r t   et   cos t
t 0
系统作用:输入信号乘cost
t0
系统
(1)e(t ) 时移
 e(t  t0 ) 经
过
 r21 (t )  e(t  t0 ) cos t
时移
t 0
t 0 r (t )  e(t  t ) cos(t  t )
( 2)e( t )  
 e( t ) cos t
22
0
0
经过系统
t 0
r21(t )  r22 (t )
此系统为时变系统。
X
三．线性时不变系统的微分特性
第
93
页
线性时不变系统满足微分特性、积分特性
et 
系统
r t 
de t 
dt
dr t 
dt
系统

t

e t dt
 r t dt
t

系统
利用线性证明，可推广至高阶。
X
四.因果特性
第
94
页
在零状态条件下,LTI系统具有因果特性.
X
第
95
页
重点研究:
确定性信号作用下的集总参数线性时不
变系统 。
X
第
96
页
§1.8 系统分析方法
系统分析的过程：
建立数学模型→用数学方法去处理→给出物理解释
X
第
一.建立系统模型的两种方法
97
页
输入输出描述法：
•着眼于激励与响应的关系，而不考虑系统内部
变量情况；
•单输入单输出系统；
•列写一元 n 阶微分方程。
状态变量描述法：
•不仅可以给出系统的响应，还可以描述内部变量，
如电容电压 vC t  或电感电流 i L t  的变化情况。
•研究多输入/多输出系统；
•列写 n 个一阶微分方程。
X
第
二. 数学模型的求解方法
98
页
1.时域分析
l
●
微分方程
连续系统：
经典法求解
差分方程
离散系统：
卷积积分（或卷积和）法
2.变换域分析
•傅里叶变换——FT
•拉普拉斯变换——LT
•z 变换——ZT
•离散傅里叶变换——DFT
•离散沃尔什变换——DWT
X