Transcript 三、单位冲激信号

1.4 阶跃信号与冲激信号
一、单位斜变信号
1.定义
0
f (t )  
t
,t  0
f (t )
1
,t  0
0
2.延迟的斜变信号
 0
f (t )  
 t  t0
f (t )
, t  t0
, t  t0
0
3.三角脉冲信号
K
f (t )

f1 ( t )   
 0

t
1
t0
t
f1 (t )
,t  
K
,t  
0

t
二、单位阶跃信号
u (t )
1.定义
0
u (t )  
1
t
 0
1
,t  0
,t  0
0
t
时，函数值未定义;或规定函数值 u (0) 
 单位阶跃信号的物理背景
t 0
1V
u (t )
1
2
二、单位阶跃信号
G (t )
2.延迟的单位信号
1
, t  t0
0
u (t  t0 )  
1
, t  t0
3.矩形脉冲信号(门信号)
G ( t )  u ( t 
4.符号函数
1
sgn ( t )  
1

)  u (t 
2
,t  0
,t  0
sgn ( t )  2 u ( t )  1

0

2
t
u (t  t0 )
1
)
t0
0
t
sgn(t )
1
t
0
-1
二、单位阶跃信号
5.单位阶跃信号的单边性
 信号在某接入时刻 t 0 以前的幅值为0.
例：
t
f ( t )  e [ u ( t )  u ( t  t 0 )]
t
f (t )  e u (t )
f (t )
f (t )
1
1
0
t
0
t0
t
三、单位冲激信号（狄拉克函数）
1. 定义1：
   (t ) d t  1
 
 

  ( t )  0, ( t  0 )
(


 (t ) d t 

0
 (t )
 (t ) d t )
0
 函数值只在t = 0时不为零；
 积分面积为1（强度）；
  t    ，为无界函数。
 t =0 时，
(1)
0
t
三、单位冲激信号（狄拉克函数）
1. 定义2：
G (t )
1 

 

G (t )  u  t    u  t   
  
2
2 

 0
面积1；脉宽↓；脉冲高度↑；
则窄脉冲集中于 t=0 处。
★面积为1
1/ 
 / 2
 (t )
(1)
三个特点： ★宽度为0
★
无穷
幅度
0
 /2
0
t0
t0
0
t
t
三、单位冲激信号（狄拉克函数）
2. 筛分性（抽样性）
f (t )   (t )
f (t )   (t )  f (0)   (t )



f (t )   (t )dt  f (0)
同理：
f (t )   (t  t0 )
f (t )   (t  t0 )  f (t0 )   (t  t0 )



t
0
f (t )   (t  t0 )dt  f (t0 )
0
t0
t
三、单位冲激信号（狄拉克函数）
3. 奇偶性
证明： 



f (t )   ( t )dt


令 -t 

f (0)   ( )d
 f (0)



f (t )   (t )dt
 (t )   (t ) 成立


f (  )   ( )d (  )
三、单位冲激信号（狄拉克函数）
4. 与阶跃函数的关系
0
  ( )d  1

t
du (t )
,t  0
,t  0
f (t )
f '(t )
1
 u (t )
-1
  (t )
0
1
1
t
-1
f ''(t )
例：
f '(t )  u (t  1)  2u (t )  u (t  1)
f ''(t )   (t  1)  2 (t )   (t  1)
t
-1
dt
f (t )  (t  1)u (t  1)  2tu (t )  (t  1)u (t  1)
1
0
(1)
(1)
-1
1
0
(-2)
t
三、单位冲激信号（狄拉克函数）
5. 物理背景
u c (t ) 
t 0
1V
1
C

t

ic ( ) d 
u (t )
 电容两端电压不会突变
u (t )
 电容两端电压会突变为
1V
 产生跳变的原因是因为有
t 0
1V
冲激电流的作用。
三、单位冲激信号（狄拉克函数）
6. 单位冲激信号的尺度变换(考研)
 ( at ) 
1
a
 (t )
四、冲激偶信号
s(t )
 (t )
1
1


(1)

  o

tt
 0
s(t )
t
O
 (t )
1
2
1

  O
1
 2


1

2
2

tt
O
成立
t
四、冲激偶信号
性质： ①



 ( t ) f ( t ) d t   f  (0)

k
(k )







t
f
t
d
t


1


对 t 的k阶导数：

f
(k )
0

时移，则：
②



 ( t ) d t  0 ,




 ( t  t 0 ) f ( t ) d t   f  ( t 0 )
t

  ( t ) d t   t 
③  (  t )   ( t ) ,  ( t0  t )   ( t  t 0 )
所以 (t )是奇函数
④ f t  ( t )  f 0  ( t ) 
f ( 0 ) t  ，
（与 f ( t ) ( t )  f 0  t  不同）