Transcript 第二讲

1.3 冲激函数

冲激函数的定义
t0
 0,
 (t )  
 ,
1

t0



 ( )d  1
p(t )
 (t )
1

1



2
  0 2
 
2 2
(1)


2
2
t
第一章第2讲
0
t
1
例1.9 阶跃函数和冲激函数的关系
d (t )
 (t ) 
dt
 (t )    ( )d
f1 (t )
f1(t )
t

2
1
1
0
1(1)
1
2
t
1
2
(1)
1
2
t
1
(3)
第一章第2讲
2
冲激函数的性质

延迟的冲激函数
 (t  t0 )
(1)
 (t )
(1)
0
t
0
 (t  t0 )
(1)
t
t0
 t0
0
t
乘积性质
f (t ) (t )  f (0) (t ); f (t ) (t  t0 )  f (t0 ) (t  t0 )
 抽样性质







f (t ) (t ) dt  f (0)
f (t ) (t  t0 ) dt  f (t0 )
是冲激函数的
严格的数学定义。
第一章第2讲
3
冲激函数的性质

单位冲激函数为偶函数

缩放性质
1
 (at ) 
 (t )
a
 (t )   (t )
t0
1
 (at  t0 )   (t  )
a
a
这里 a 和 t0为常数，且a0。

(t)的导数及其性质
 (t )
d (t )
定义： (t ) 
dt
(1)
称单位二次冲激函数或冲激偶。
第一章第2讲
0
t
4
冲激偶的性质

冲激偶的抽样性质




f (t ) (t )dt   f (0)



f (t ) (t  t0 )dt   f (t0 )
冲激偶的乘积性质
f (t ) (t )  f (0) (t )  f (0) (t )
f (t ) (t  t0 )  f (t0 ) (t  t0 )  f (t0 ) (t  t0 )

冲激偶’(t)是 t 的奇函数
 (t )   (t )
任何偶函数的导数为奇函数。
第一章第2讲
5
举 例 1
下列各表达式中错误的是______。
C
( A)
( B)
(C )
( D)
(C )















f (t ) (t )dt  f (0)
f (t ) (t  t0 )dt  f (t0 )
f (t  t0 ) (t )dt  f (t0 )
f (t  t0 ) (t  t0 )dt  f (0)
f (t  t0 ) (t )dt  


f (t0 ) (t )dt  f (t0 )
第一章第2讲
6
举 例 2
下列各表达式中错误的是______。
B
( A)  (t )   (t )
( B)  (t  t0 )   (t0  t )
(C )
( D)




 (t )dt  0
t

 ( )d   (t )
( B)  (t  t0 )   (t0  t )
第一章第2讲
7
例 1.10

计算下列各式。
f (t )  e 2 t  (2t  4)
解:
f (t )  e 2 t  (2t  4)  e 2 t  (2t  4)
2 t
4
 0.5  e  (t  2)  0.5  e  (t  2)
2
I 1   cos( 2 t ) (2t  1)dt
4
解:
2
I1   cos( 2 t )[0.5 (t  0.5)]dt
4
 0.5 cos( 2 t )
 0.5
t  0.5
第一章第2讲
8
1.4 信号的运算

信号的相加与相乘
f1 (t )
f 2 (t )
1
1
1
0
t
f1 (t )  f 2 (t )
t
f1 (t )  f 2 (t )
2
1
1
0
1
0
1
t
0
第一章第2讲
1
t
9
1.4 信号的运算

信号相加
f1 (t )
1
2
f1 (t )  f 2 (t )
1
0
1
2
t
1
1
2
0
2
f 2 (t )
t
1
1
2
0
2
t
1
第一章第2讲
10
1.4 信号的运算

信号的导数与积分
f (t )
f (t )
f ( 1) (t )
(1)
1
1
t
0
0
1
t
1
(1)
0
1
t
问题 1: 能否画出二阶导数和二重积分的波形?
问题 2: 能否写出它们的表达式?
第一章第2讲
11
信号的平移与折叠

信号的平移
1
0

f (t  1)
f (t  1)
f (t )
1
1
t
1
1
t
0
0
1
2
t
信号的折叠（反折）
f (t+t0)将
f (t )f (t) 超前
t ) 延迟
f (t-t0)将f (f(t)
时间 t0 ；即将 f (t)
时间 t0 ；即将 f (t)
1
的波形向左移动 t0 。 的波形向右移动 t0 。
0
1
t
1
0
第一章第2讲
t
12
信号的平移与折叠

f (-t-1)= f [-(t+1)]将
已知 ff(t)求
f (-t-1)
(-t)的波形向左移动1。
折叠信号的平移
f (t )
f (t )
0
平移
反折
1
1
t
f (t  1)
1
2
t
0
1
0
t
f (t  1)
平移
反折
1
0
1
2
第一章第2讲
t
13
信号的平移与折叠

f (-t+1)= f [-(t-1)]将
已知 ff (t)求
f (-t+1)
(-t)的波形向右移动1。
折叠信号的平移
f (t )
f (t )
平移
反折
1
0
f (t  1)
1
t
1
t
0
0
t
1
f (t  1)
平移
反折
1
1
0
第一章第2讲
t
14
信号的尺度变换

a > 1 则 f (at)将 f (t)的波形沿时间轴压缩至原来的1/a
f (t )
f (2t )
压缩
1
1
0

2
1
t
0
0.5 1
2
t
0<a <1 则 f (at)将 f (t)的波形沿时间轴扩展至原来的1/a
f (t )
f ( 12 t )
扩展
1
0
1
2
t
1
0
第一章第2讲
2
4
t
15
信号变换综合应用
由 f (t)绘出 f (-2t+2)
f (2t )
f (t )
方法二：
0 0.5 1 f t(2t+2)反折 f (-2t+2)]
平移 f (t+2)压缩
1
0
t
2
平移
另外应该还有三种方法，
t
 0.5 0
第一章第2讲
t
平移
f (2t  2)
1
0 0.5 1
-1
0
 0.5 0
平移
请同学们自己思考绘出图形。
方法三：
f (t  方法一：
2)
压缩
f (2t) f (-2t)平移 f [-2(t-1)]
压缩
f (2t)反折
1
f (2t  2)
平移 f [2(t+1)]
反折 f (-2t+2)
1
1
1
2
f (2t )
1
t
t
16
信号变换综合应用
由 f (t)绘出 f (-2t+2)
f (t )
f (t )
方法五：
1
平移 f2 (t+2)反折
0 tf (-t+2)压缩 f (-2t+2)
1
0
1
1
t
2
平移
2
f (2t )
1
0
t
0
1
t
平移
平移
方法六：
f (t  2)
反折 f (-t) 方法四：
1
f (t  2)
平移f f(-t)压缩
[-(t-2)] f (-2t)平移
反折
f [-2(t-1)]
1
压缩 f (-2t+2)
1
 0.5 0
2
第一章第2讲
f (2t  2)
1
0 0.5 1
t
t
17
1.5 信号的时域分解

任意信号的冲激函数表示
 任意时间信号可分解为在不同时刻出现的具有不同
强度的无穷多个冲激函数的连续和。

信号分解为直流分量与交流分量之和
 一连续信号可以分解为直流分量与交流分量之和。

信号分解为偶分量与奇分量之和
 任意时间信号可分解为偶分量与奇分量之和.
第一章第2讲
18
任意信号的冲激函数表示
先定义窄脉冲信号：
p(t )
f (t )
1

lim p(t此式表明：
)   (t )
 0
f (0)
任意时间信号可分解为在
面积为1


2
0

2
不同时刻出现的具有不同
第０个脉冲函数：f (0) p(t )
f (k )
t
幅度的无穷多个冲激函数

面积
0

t
k 
第K个脉冲函数：f (k ) p(t  k )

的连续和。
 f (t ) 
 f (k ) p(t  k )  
k  
当 0, 即 为d, 而 k 为  。
 f (t )  lim
 0

 f (k ) p(t  k )    
k  
第一章第2讲


f ( ) (t   )d
19
信号分解为直流分量与交流分量之和

信号平均值即信号的直流分量。
f D (t )
直流分量
0.5
f (t )
t
0
1

T

0
T
t
f A (t )

交流分量
0.5
T
0

t
T
 0.5
第一章第2讲
20
信号分解为偶分量与奇分量
偶分量的定义为 ： f e (t )  f e (t )
奇分量的定义为 ： f 0 (t )   f 0 (t )
1
任何信号总可写成： f (t )  [ f (t )  f (t )  f (t )  f (t )]
2
1
1
 [ f (t )  f (t )]  [ f (t )  f (t )]
2
2
 f e (t )  f 0 (t )
1
1
即： f e (t )  [ f (t )  f (t )],
f 0 (t )  [ f (t )  f (t )]
2
2
根据此式可求出偶分量
根据此式可求出奇分量
第一章第2讲
21
例 1.17
1
f e (t )  [ f (t )  f (t )],
2
f (t )
f (t )
1
1
0
t
f 0 (t )
f e (t )
1
0
0
t
f (t )
0
t
f 0 (t )
1
2
t
0
t
f e (t )
1
0
1
f 0 (t )  [ f (t )  f (t )]
2
1
2
t
第一章第2讲
0
t
22
例 1.18
f (t )
f e (t )
1
12
t
0
t
0
f (t )
1
1
f 0 (t )  [ f (t )  f (t )]
2
0
f 0 (t )
1 12
f e (t )  [ f (t )  f (t )]
2
t
 f (t )
0
0
t
t
1
第一章第2讲
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课堂练习题
计算下列各题。
(1) 4t 2 (2t  4)  (4t 2 )(0.5) (t  2)  4(2) 2 (0.5) (t  2)  8 (t  2)
(2)
(3)



0
2
2
4t 2 (t  1)dt  0
因为(t+1)位于积分范围之外。
[(t  3) (2t  2)  8 cos(t ) (t  0.5)]dt
 (2t  2)  0.5 (t  1), (t  3) (2t  2)  2 (t  1)
原式  2  [8 cos(t )]t 0.5  2  8 sin 0.5  2  8
第一章第2讲
24
课堂练习题
已知信号 f (t )  2 t (t )  2(t  2) (t  2)  4 (t  3)
画出 f (t ), f (t ) (t  1), f (t ) 的波形。
f (t ) (t  1)
f (t )
f (t )
4
2
( 2)
0
2
3
t
0
1
3
t
0
2
t
(4)
第一章第2讲
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课堂练习题
对于如图所示信号f (t)，为以下各式作图：
(1) f1 (t )  f (2t  2)
(2) f 2 (t )  f (2  2t )
2
f (2t  2)
0
2
t
2
0
2
2
2
f (2  2t )
2
f (t )
1 2
t
0
1 2
t
2
第一章第2讲
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课堂练习题
对于如图所示信号f (t)，为以下各式作图：
f (t )
(3) fe(t) (它的偶部)
2
(4) fo(t) (它的奇部)
2
0
2
t
2
f e (t )
f o (t )
2
1
2
0
1
2
t
2
0
2
t
2
第一章第2讲
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