Transcript 第三章导数与微分
第三章 导数与微分
第一节
第二节
第三节
第四节
第五节
第六节
第七节
第八节
的导数
导数概念
函数的和、差、积、商的求导法则
复合函数的求导法则
初等函数的求导法
隐函数及参数方程所确定函数的求导法
高阶导数
函数的微分
数学实验三 用Mathematica求极限和一元函数
第一节 导数的概念
一、变化率问题举例
1.变速运动的速度
以自由落体为例, 落体下落的路程s随时间t的增加越来越大, 其速
度v每时每刻都在变化现在的问题是运动规律
.
s 1 gt 2
2
要确定某一时刻t0落体的速度v0.
对于匀速运动来说, 速度=距离,而自由落体是变速运动,上
时间
式不适用基本想法是
.
:虽然整体来说速度是变的, 但局部来说
可以近似地看成不变, 就是说, 在很短的时间间隔内, 速度来
不及有很大的变化, 可以近似地看成匀速运动, 于是可用上述
公式来确定该段时间内的速度, 叫做平均速度.
显然, 从时刻t0到时刻t0 t所经过的路程s 1 g (t2 t )2
2
1 gt 2 gt t 1 g t 2则在时间间隔[t , t +t ]内的平均速度为为
0
0
0
2 0
2
v s gt0 + 1 g t
t
2
t越小,这个平均速度就越接近于时刻t0的瞬时速度v0自然
.
s gt
令t 0取极限,于量得到v0 lim
0
t 0 t
这个方法对于一般变速运动也是适用的. 设质点运动规
s lim s(t0 t) s(t0 )
律为: s s(t),则任一时刻t0的速度v0 lim
t 0 t
t 0
t
2.切线问题
设C是坐标平面内的一条光滑曲线( 所谓的光滑是指曲线
上每一点都存在切线) , 其由方程y f ( x).给出.M 0( x0, y0)是曲线
C上一点,过M 0点的切线是M 0T ,其与x轴正向夹角为 ,问题是如
何确定切线M 0T的斜率.
在M 0点附近任取一点M '(x0 x, y0 y),作割线M 0M ',其
斜率kM M ' tan y ,当M '沿曲线C接近M 0点时,割线就接近
x
0
切线, 从而割线的斜率就接近切线的斜率. 换句话说, x越小,
其接近程度就愈高, 于是自然定义M 0点的切线为割线M 0M '
的极限位置,所以有
y lim f ( x0 x) f ( x0 )
kM T lim
k
lim
x0 x
x0
M M'
0
M ' M
x
0
0
式中, kM T tan ; 是切线M 0T的倾斜角( 见图3- 1)
0
y
M '
M0
O
x
T
y
x0
x0 x
x
图3- 1 切线问题
上面两个例子分别属于不同领域,一为运动问题,
一为几何问题,但都要求计算函数值的改变量与自变
量的改变量之比, 在当后者无限趋于零时的极限.此外,
很多理论或实际问题,也要求计算这种类型的极限,这
些量的具体意义,抓住它们在数量关系上的共性,便
得出函数导数的概念.
二、导数的定义
定义 设函数y f (x)在点x0的某一邻域内有定义, 当自变量
x在点x0处取得增量x(x 0)时,相应的函数y取得增量y f (x0
y lim f (x0 x) f ( x0) 存在,则称函数
x) f ( x0),若极限lim
x0 x
x0
x
y f (x)在点x0处可导,并称这个极限值为函数y f (x)在点x0处的
导数记作
y' |x x0 , f '( x0 ), dy
dx
,或 df ( x)
dx x x
x x0
f ( x0 x) f ( x0 )
即f '( x0 ) lim
x0
x
0
f ( x0 x) f (x0 ) 存在,则称该极限值叫作函数y f ( x)
若极限lim
x0
x
f ( x0 x) f (x0 )
在点x0处的左导数,记作f '(x0 0)或f ' (x0 ),若极限lim
x0
x
存在,该极限值叫作函数在点x0处的右导数,记作f '( x0 0)或f ' ( x0 ),两
者统称单侧导数于时, 可导的充要条件是左右导数存在且相等.
导数的定义也可以取不同的形式, 常见的有
f (x0 h) f (x0 ) 和f '(x ) lim f (x) f (x0 )
f '(x0 ) lim
0
h0
xx0 x x0
h
比值 y f ( x0 x) f ( x0)反映的是自变量x从x0改变到x0 x时,
x
x
函数y f ( x)的平均变化速度,称为函数的平均变化率;而导数
f ( x0 x) f ( x0)反映的是函数在点x 处的变化速度,
f '( x0 ) lim
0
x0
x
即函数在点x0处的变化率.
函数y f (x)在开区间I内每一点处都可导,就称函数f (x)在开
区间I内可导这时对于任一xI ,都对应着f (x)的一个确定的导数
值, 当x遍取I内一切值时, 这样就构成一个新函数, 这个函数叫
作原来函数y f (x)的导函数,简称导数. 记作
y', f '(x), dy 或 df ( x)
dx
dx
按照导数的定义,有
f ( x x) f ( x )
f '( x) lim
x0
x
显然函数
,
f (x)在点x0处的导数f '(x0)就是导函数f '(x)在点x x0处
的函数值, 即f '(x0) f '(x)|xx0 .
三、求导举例
例1 求函数f(x) c(c为常数)的导数.
f ( x x) f ( x ) lim cc lim0 0
解 f ' ( x) lim
x0
x0
x x0
x
即
就是说常数的导数为零. 这一结果实际意义是显然的, 常函
数的变化率为零; 几何意义也是显然的, 因为f ( x)c为一个水平
直线, 它上面每一点切线都是这条直线本身, 斜率是零.
例2 求函数f ( x) xn (n为正整数)在x a处的导数.
解
xn an lim( xn1 axn2 an1) nan1.
f
(
x
)
f
(
a
)
'
lim
f (a) lim
xa
x a xa x a xa
n项
把以上结果中的a换成x,得f '( x) nxn1.
即( xn )' nxn1,更一般地,对于幂函数y x ,(为常数),有
(x )' x 1
'
3
1
1
1等
如( x2 )' 2 x;( x )' x 2; x x
2
2
特别地,若 1,则( x)' 1,即自变量x的
导数为1是一非常重要的结论.
1
2
例3 求函数f ( x) sin x的导数.
解
h
cos x sin h
2 2 cos x.
f ( x h) f (x ) lim sin(x h) sin x lim
f '(x ) lim
h0
h0
h0
h
h
h
2
即
( sinx)' cos x
用类同的方法可求得
( cosx)' sin x
例4 求函数f ( x) loga x的导数.
解 f '( x) lim f ( x x) f ( x) lim loga ( x x) loga x
x0
x0
x
x
log a 1 x
x
x
1
x
1
x 1 log e
lim
lim
log
(1
)
a
a
x0
x0
x
x
x
x
x ln a
即
( loga x)'
特别地,若a e有
1
x ln a
( ln x)' 1
x
例5 求函数f ( x) a x的导数.
解
x x
x
x
f
(
x
x
)
f
(
x
)
a
a
a
1.
'
x
f ( x) lim
lim
lim
a
x0
x0
x0
x
x
x
令ax 1 t, x loga (1 t),当x 0时,t 0.
t
1
1 a x ln a
x
x
x
所以f '( x) lim
a
lim
a
a
1
t 0
loga (1 t) t0 loga (1 t)t
loga e
即
( a x )' =a x ln a
这就是指数函数的导数公式特别地
.
,若a e时,有
( ex )' =ex
四、导数的几何意义
由前面切线问题的讨论及导数的定义可知, 函数y f ( x)在
点x0处的导数f '( x0 )在几何上表示为曲线y f ( x)在点M 0 ( x0, y0 )
处切线的斜率即f '( x0 ) tan
y
y f ( x)
T
M0
O
x
x
0
图3-2 导数几何意义
1
1
例6 求双曲线y x 在点 ,2 处的切线方程和法线方程.
2
解 因为y' 12 ,所以y' 1 4,即为过点 1,2 处切线的斜率.
2
x
x
2
所求切线方程为y 2 4 x 1 ,即4x y 4 0
2
1
1
所求法线方程为y 2 x ,即2x 8 y 15 0
4 2
例7 问曲线y x 上哪一点处的切线,(1)与直线y 3x 1平行?
( 2) 与x轴平行?
3
2
解
1
3
'
因为y x2
2
(1)令y' 3,得x 4, y 8所以过点(4,8)处的切线与直线y 3x 1平行;
(2)令y' 0,得x 0, y 0.所以过( 0, 0) 点的切线与x轴平行,这里
的切线就是x轴.
五、函数的可导性与连续性的关系
y f '(x)存在由具有极限的
设函数y f (x)在点x处可导即
, lim
,
x0 x
函数与无穷小量的关系可知
x f '(x) 式中,lim 0.所以y f '(x)x x.
x0
y
当x 0时,有y 0.这就是说,函数y f (x)在点x处是连续的.
所以, 如果函数y f (x)在点x处可导,则函数在该点必连续.
x0
在(,)和处处连续( 见图3- 4) , 但
x0
这个函数在x 0处不可导,事实上因为
,
y
f ( x) f (0) lim x lim x lim1 1
lim
x0
x0 x
x0 x x0
x 0
f ( x) f (0) lim x lim x lim11
lim
x0 x
x0 x
x0
x0
x 0
y | x |
例8 函数y x
x,
x,
故在x处,左右导数不相等, 所
以函数在x 0处不可导该函
.
数的图形在原点处无切线.
O
x
图3 4 例8示意图
思考题
1. 连续是可导的什么条件 ?
答案
2. 请思考f x 在点x0处的导数f x0 的几何意义 ?
答案
3. 等式 f x0 f x0 成立吗?
答案
课堂练习题
1. 用定义证明函数y = c c为常数的导数为零;
答案
2.求曲线y x 2 1在点 2,3 处的切线方程和法线方程.
答案
第二节 函数的和、差、积、商的求导法则
第一根据导数的定义求出一些简单的导数,但对于比
较复杂的函数,直接安定义来求它们的导数往往是很困
难的.在本节和下节中将介绍求导的几个基本法则和基本
初等函数的求导公式.
设u u( x),v v( x)都是x的可导函数,以c为常数.
定理 (1)(u v)' u ' v' ;
(2)(uv)' u 'v uv'
'
'
'
u u v uv
(3)
2
v
v
解 以(2)为例
设y =u ( x)v( x), 则
y u( x x)v( x x) u( x)v( x)
=u ( x x) u ( x) v( x x) u ( x) v( x x) v( x)
所以
y
x
u
x
v( x x) u ( x)
v
x
令x 0,取极限,并注意lim(
x x) v( x)(可导必连续),就得到
x0
y' u'v uv' 即(uv)' u'v uv',特别地,若v(x) c时因为常数的导
,
数为零. 故有(cu)' cu'即常数可以写到求导符号外面.
说明:该法则中的(1),(2)可推广到任意有限英的情形,如
( u+v w)' u' v' w'
( uvw)' u'vw uv'w uvw'
例1 已知y 2x 3 x 3sin x ln3,求y'.
2
1
3
'
'
'
'
'
解 y (2x) ( x) (3sin x) (ln3) 2 x 3 3cos x.
3
例2 求曲线y 2
x x在点( 2, 3) 处的切线方程.
解
因为y' ( 2)' x' 22 1,所以y' x2 1为曲线在点(2,3)处切
x
2
x
线的斜率, 所以所求切线方程为y 3 1 ( x 2),即x 2 y 4 0.
2
例3 已知y sin2x,求y'.
解 因为y 2sin x cos x,所以
y' 2 (sin x)' cos x sin x(cos x)' 2(cos2 x sin2 x) 2cos2x.
例4 求y e x的导数.
解
x
因为y e1x ,所以y' ex 2 e x
(e )
例5 已知y tan x,求y'.
解 因为y sin x ,所以y' cos2 xsin 2 x 1 .
cos x
cos2 x
cos2 x
1
即
( tan x)' cos
2x
这正是正切函数的求导公式.
同法可求
( cot x)' 12
sin x
思考题
1.牢记函数的和、差、积、商的求导法则;
2.
x
1
? ?
x
答案
答案
课堂练习题
1.求y x 3 3x ln 3的导数y;
答案
2.设f x 10 x 2 9 x 3, 求f - 1 .
答案
第三节 复合函数的求导法则
定理 设函数u ( x)在点x处可导函数
,
y f (u)在对应点u处
可导,则复合函数y f ( x) 在点x处也可导,且有 dy dy du 或
dx du dx
写成yx' yu'ux'.
上述定理又称链锁法则.即复合函数的导数等于复
合函数 对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导
数.
该法则可推广到有限次复合形成的复合函数上去.如
若y f (u),u (v),v (x)都有是可导函数, 则复合函数
y f (x) 的导数为y'x y'uu'vv'x.
例1 求y (1 2 x2 )8的导数.
解 令u 1 2 x2,则y u8
所以y'x yu'u'x 8u 7 4x 32x(1 2x2 )7
例2 求y ln tan x的导数.
解 令u tan x,则y ln u.
1
所以 y'x yu'ux' 1 12
u cos x sin x cos x
例3 求y sin 2x 2的导数.
1 x
2 x 2 x
2
2
x
1
x
1
x
2x .
'
y
cos
2
2
cos
解
1 x2
1 x2
(1 x2)2
(1 x2)2
例4 求y 2sin x的导数.
21
1
1
解 y' 2sin2 x ln22sin 1 cos 1 12 ln22sin 22sin2 x.
x
x x
x
x
例5 求y ln( x x2 a2 )的导数.
解 y'
1
2x
1
1
.
2
2
2
2
2
2
x x a 2 x a
x a
例6 证明导数公式:
'
1
(1)(ln x )' 1
x ;(2)(x ) x ,为任意实数, x 0.
证 (1)当x 0时,ln x ln x.则(ln x )' 1x ,当x 0时,ln x ln(x),
'
所以(ln x )' -1x (1) 1x ,于是有公式 ln x 1x ;
(2)在第一节中就 =n为正整数情况证明过这个公式.
表面上y x 不是一个复合函数,但它可以写成y e ln x ,于是
y' e ln x 1x x 1.
例7 已知f ( x)可导,求:
(1)
f
'
f
(ln x) ;(2)
( x a)n
'
.
'
'(ln x);
f
解 (1) f (ln x) f '(ln x)(ln x)' 1
x
(2) f (x a)
'
n
'
'
n
n
f (x a) (x a) n(x a)n1 f ' (x a)n .
思考题
x
1.请写出复合函数y ln tan 的复合过程;
3
2. 已知y = l n
1
x 1
2
则y
误在哪里 ?
x 1
2
答案
2x
2 x 1
2
x.求导的错
答案
3." 两个可以复合的函数都可导时, 它们的复合函数一定
可导", 该命题是否正确 ? 为什么?
答案
课堂练习题
1.求函数 y e2 x 1 cos 2 x 1的导数y;
答案
dy
f x
2.求下列函数的导数 ,( 1) y = f 2 e x ( 2) y = e .
dx
2
答案
第四节 初等函数的求导法
一、反函数的导数
为了求反三角函数的导数,先研究一般反函数的求导法.
定理 如果x ( y)为存在反函数的可微函数,且 '( y) 0,则
x ( y)的反函数y f (x)也可微,且f '(x) 1 .
'( y)
注意:要正确理解定理的含义, 左端是函数y f ( x), y对x
的导数, 右端是y f (x)的反函数x ( y), x对y求导的倒数.
为更明显起见, 定理结论或写成y'x 1 或 dy 1
x'y dx dx
dy
例1 求反正弦函数y arcsin x,(1 x 1)的导函数.
解
因为y arcsin x是x sin y的反函数, y , ,
2 2
即
( arcsin x)' 1
1 x2
同理可求得
( arccos x)' 1
1 x2
( arctan x)' 1 2
1 x
( arccot x)' 1 2
1 x
例2 求下列函数的导数:
(1) y x3 arccos 1 ; ( 2) y arctan x 1; ( 3) y xarcsin x 4 x2 .
x
x 1
2
解
1 1
1
1
'
2
3
(1) y 3x arccos
x
2
3
x
1
x
1
x
1
3x arccos
2
x
(2) y '
1
x 1
1
x 1
2
x
2
2
;
x 1
( x 1) ( x 1)
( x 1)
2
1
2
x 1
;
x
'
(3) y arcsin x
2
1
x
1
2
1
2
2 2
2 x
4 x
arcsin
2
二、初等函数求导问题
1.求导法则
' u'v uv'
u
'
'
'
'
'
'
(1)(u v) u v ;(2)(uv) u v uv ;(3) v
;
v2
(4) yx' yu'ux',( y u x),复合函数求导法则;
( 5) yx' 1 ,反函求导法则;
x y'
x
2
2.基本初等函数求导公式
(1)(c)' 0,(c为常数);
(3)(a x )' a x ln a,(ex )' ex;
(5)(sin x)' cos x;
1 ;
(7)(tan x)' cos
2x
(9)(arcsin x)'
1 ;
1 x2
(11)(arctan x)' 1 2 ;
1 x
( 2) ( x )' x 1;
( 4) ( loga x)' 1 ,(ln x)' 1x ;
x ln a
( 6) ( cos x)' sin x;
( 8) ( cot x)' 12 ;
sin x
( 10) ( arccos x)' 1 ;
1 x2
( 12) ( arc cot x)' 1 2 .
1 x
思考题
1. 初等函数的定义区间内都可导吗?
答案
2. 单调函数的导数仍然单调吗?请举例说明.
答案
3. 理解反函数的导数定理, 并试用其求反正切函数
y = ar ct anx的导函数.
答案
课堂练习题
1. 计算下列函数的导数: ( 1) y = 4- x 2;
x
( 2) y = ar ct an
2
2
答案
2. 设f x ln 1 x , y f f x , 求y.
答案
第五节 隐函数及参数方程所确定函数的求导法
一、隐函数的导数
变量y已写成自变量x的明显表达式的那种函数y f ( x)叫作
显函数. 如果x和y的依赖关系隐藏在某个方程F ( x, y) 0,那么y
叫作x的隐函数如
. x2 y2 1,e y ex xy 0
有的隐函数可以显化,有的则不能,不论隐函数是否能
显化,可以直接由方程求出它所确定的隐函数的导数.
例1 求由方程exy y ln x cos2x所确定的隐函数y的导数y '.
解
方程两端y对x求导有
exy ( y xy') y' ln x xy 2sin2 x
y
xy
2sin2
x
ye
x
所以
y'
xexy ln x
二、幂指函数 y uv 的导数 u 0
这里u u(x),v v(x)均为可导函数. 注意其既不是幂函数, 也不
是指数函数, 称为幂指函数, 不能错误地按幂函数或按指数函数
来求导.
对于函数y uv先两边取自然对数,
ln y v ln u
1 y' v' ln u v 1 u'
两边对x求导,
y
u
所以
y' uv (v' ln u v u')
u
例2 求y (ln x)sin x ( x 1)的导数.
解 ln y sin x lnln x.
方程两端对x求导, 1y y' cos x lnln x sin x 1 1x
ln x
所以
y' (ln x)sin x (cos x lnln x sin x )
x ln x
在导数运算中,仅有和的导数等于导数的和最简单,利
用对数可以简化乘积和商及乘方的导数.如例3
2
(
x
1)(
x
2)
例3 求函数y 3
的导数.
( x 3)( x 4)
解
ln y 1 ln( x 1) 2ln( x 2) ln( x 3) ln( x 4) 方程两端对x求导,
3
1 y' 1 1 2 1 1
y
3 x 1 x 2 x 3 x 4
2
(
x
1)(
x
2)
1
1
2
1
1
'
所以
y 3
3 ( x 3)( x 4) x 1 x 2 x 3 x 4
三、由参数方程所确定函数的求导法
x (t)
确定了y是x的函数,一般情况下消去参变量t,得
y (t)
到y和x的直接对应关系式是有困难的. 因此, 总希望有一种方法, 直
接由参数方程式求出它所确定的函数的导数yx'.
参数方程
为此,设函数x (t), y (t)关于t可导,且 '(t) 0, x (t)存在
反函数t 1( x),则y为x的复合函数, y 1( x) .由复合函数及
' '(t)
y
'
'
'
t
反函数求导法则yx yt tx
xt' '(t)
x a cos3 t
dy .
例4 求由参数方程
所确定的函数
y
f
(
x
)
的导数
y asin3 t
dx
解
'
2
y
'
t
yx a3sin2 t cost tan x,t n ,n为整数.
2
xt' a3cos t(sin t)
x a cost
例5 求椭圆
,在t 处的切线方程.
y bsin t
4
解
' bcost
y
'
t
yx
ba cot t,所以yx' ba ,当t 时, x a , y b .
t
4
2
2
xt' asin t
2
所以所求切线方程
y b ba ( x a ),即bx ay 2ab 0
2
2
思考题
1.已知y x x , 则y x x x x x 1 x x x x 1 x x , 分析求
解中错误.
答案
2. 隐函数求导结果中往往含有y, 这是为什么?
答案
3. 参数方程求导时应注意些什么?
答案
课堂练习题
1. 求由方程xe x+ y y, 所确定的隐函数y的导数.
答案
x = si nt
2. 写出曲线
在t 处的切线方程.
4
y = cos2t
答案
第六节 高阶导数
已经知道,一个函数y f ( x)的导数仍是x的一个函数, 记作y'
, f '( x), df ( x) 或 dy ,如果导数y' f '( x)关于x仍是可导的,它的导数
dx
dx
2 f ( x)
2y
d
d
''
''
叫作函数y f ( x)的二阶导数,记作y , f (x),
或 2.
dx2
dx
同理,二阶导函数y'' f ''( x)的导数叫作函数y f ( x)的三阶导
3
3
数,记作y''', f '''( x), d f (3x) 或 d y .
dx
dx3
依次类推,就可以定义函数y f (x)的n阶导数, 并且记作y(n),
n f ( x)
ny
d
d
( n)
f (x),
或 n.
n
dx
dx
二阶和二阶以上导数统称称高阶导数,自然原来所说
的导数就是一阶导数.
由导数的定义,很容易写出二阶及二阶以上导数定义.如
'( x x) f '( x)
f
''
f ( x) lim
x0
x
''( x x) f ''( x)
f
'''
f ( x) lim
x0
x
高阶导数也有许多实际背景.例如,加速度是速度的变化率,
因而加速度是速度对时间的导数,但速度本身是路程对时
间的导数,所以加速度是路程对时间的二阶导数,并把此
说成二阶导数的一个物理模型.
例1 求n次多项式函数y a0 xn a1xn1 an1x an,(a 0)的各阶导数.
解
y' na0 xn1 (n 1)a1xn2
2an2 x an1,
y'' n(n 1)a0 xn2 (n 1)(n 2)a1xn3
y(n) n!a0,
y(n1) y(n2)
2an2,
0.(!说明n次多项式, n阶以上导数均为零.)
例2 求(1)y ex;(2) y e x;(3) y a x的n阶导数.
解
(1) y ex
y' ex, y'' ex,
y ( n) e x ;
(2) y e x
y' e x , y'' e x 2,
(3) y a x
y' a x ln a, y'' a x ln 2 a,
y(n) e x n;
y(n) a x lnn a;
例3 求正弦函数y sin x的n阶导数.
解
y' cos x sin x x ,
2
y'' cos x sin x2 ,
2
2
y''' cos x2 sin x3 ,
2
2
yn sin xn
2
例4 求函数y ln(1 x)的n阶导数.
解
y' 1 , y'' 1 2 , y''' 2! 3 , y(4) 3! 4 ,
1 x
(1 x)
(1 x)
(1 x)
y(n) (1)n1 (n1)!n .
(1 x)
思考题
1.请说明求函数的高阶导数的运算本质.
答案
2. 证明n次多项式n阶以上导数为零.
答案
课堂练习题
1. 已知二阶导数f x 存在, 求y f x3 的二阶导数.
答案
2.设 f x x 2 , 求f 1 ?.
答案
6
第七节 函数的微分
一、微分的概念
前几节研究了导数,所谓的导数就是函数的改变量y与自
变量的改变量x的比值,当x 0时的极限.
y
即
f '( x)lim
x0 x
导数表示函数相对于自变量变化快慢的程度(导数绝对值大,
函数y相对于自变量x变化的速度快;小则慢,导数值为零,几
乎无改变),而不是改变量本身,然而在许多情形下,需要考
察和估计函数的改变量.
计算函数的改变量一般没有什么好窍门,只需两个函
数值相减即可.一般来讲,一些复杂函数这样运算较麻
烦,并且又不实际,因为世界上绝对精确的东西是没有
的.所以当自变量的改变量 x 很小时,要对函数的改
变量 y 进行估计.
先看一个实例.
正方形金属薄片的面积S是边长x的函数: S x2,受热冷的影
响边长有一改变量x,面积相应地有一改变量,
S (x x)2 x2 2xx(x)2
(见图3 7阴影部分), S 包含以下两部分.
(x) 2
x
x
图3 7 金属薄片面积改变量
(1)2xx是x线性部分,且以2x( S ')为线性部分系数
(2)(x)2是关于x的高阶无穷小部分.
因此,当x很小时,(1)为S的主部,换句话说, S可以用2xx来
近似代替, 所产生的误差关于x的高阶无穷小,在实际问题中(2)
影响不在,可忽略不计并且
.
(1)很便于计算,是很有用的,所以称(1)
为S的主要部分.
现在转到一般情形,当自变量x有一改变量x时,函数y f ( x)的相
应改变量y是否可以分成类似于实例中的两部分呢?结论是, 只
要y f ( x)可导这一定是可能的理由是
.
.
因为
y
f ' ( x)
x 0
x
lim
y
所以
f ' ( x)x , 其中 0,(当x 0)
x
果然函数的改变量分成两部分.第一部分f ' ( x)x的线性部分
[因为f ' ( x)中不含x]第二部分ax,由于随x 0时, 0, 所以
其关于x为高阶无穷小.
函数改变量的主要部分f '(x)x,给它另起一个名字, 叫作函数的微分.
定义 设函数y f (x)可导,称f '(x)x为函数的微分, 记作dy.
即:
dy f '(x)x
根据前面的讨论, 有 y dy x,(x 0时, 0)
(1)它是函数改变量y的主要部分因此当
,
x很小时,用微分
dy近似代替改变量y,误差关于x为高阶无穷小;
(2)它是自变量的改变量x的线性函数,且以导数为系数, 是
较容易计算的.
改写(319)有1 dy 1 ,当y' 0时,令x 0两端取极限, 便得
y
y
x
y与dy为等价无穷小其进一步说明了
.
dy近似代替y理由所在.
例1 求函数y x2 1在x 1处, x 0.01时的增量与微分.
解 y f (1.01) f (1) (1.012 1) (12 1) 0.0201,
y' x1 2x x1 2;dy y' x1 x 0.02.y与dy误差为0.0001.
由微分的定义,很容易写出函数y x3, y x2, y x等的微分.
即d (x3) 3x2x;d (x2) 2xx;dx 1x x.
最后一式说明自变量
,
x的微分dx就是自变量x的改变量x,于
是习惯把函数的微分写成
dy f '( x)dx
由式(14 20)得 dy f '( x)可知函数的导数
,
f '( x)等于函数的微分
dx
dy除以自变量的微分dx.于是习惯上称导数为微商.
二、微分的运算
按照定义,一个函数的微分就等于它的导数乘以自
变量的微分,所以由导数便可立刻写出微分公式,
y sin x,
y ln x,
y' cos x, 所以dy cos xdx;
1 dx.
y'=1
,
所以
dy
x
x
导数的四则运算法则, 对微分也是成立的. 即设u,v为x的可
微函数, 则
(1)d (u v) du dv;
(2)d (uv) vdu udv;
(3)d u vdu 2udv ,(v 0).
v
v
应该着重指出一点, 当u为自变量时, 函数y f (u)的微分为
dy f '(x)du;当u不是自变量,而是别一个变量的函数u ( x)时,
按照微分的定义及复合函数求导法则有dy y'dx f ' (x) '( x)dx,
但du '( x)dx故dy f '(u)du.这表明,不论u是自变量还是中间变量,
函数y f (u)的微分式都是一样的,这叫作一阶微分形式的不变性.
例2 求函数y esin x的微分.
解
把sin x看成中间变量u,则
dy deu eudu esin xd sin x esin x cos dx
复合函数微分时,可以不明显写出中间变量, 如上题
dy esin xd sin x esin x cos dx
例3 求函数y e13x cos x的微分.
解
dy d (e13x cos x) cos dxe13x e13xd cos x
=e13x (3)cos dx e13x (sin x)dx
=- e13x (3cos x sin x)dx.
例4 在括号内填入适当的函数.
(1)d (
) x dx; ( 2) d (
) cos wtdt.
1
解 直观观察,不难看出( 1) 应填 x2 c;
2
(2)应填 1 sin wt c,(其中c为常数).
w
例5 求由方程e y xy tan x所确定的函数y的微分.
解
方程两端分得e ydy ydx xdy
1 dx,所以dy secy2 x y dx.
e x
cos2 x
例6 求函数y (ln x)x的微分dy.
解
ln y x ln(ln x).
1
1
1
x
dx.
两端微分得 y dy lnln xdx
dx,所以dy (ln x) lnln x
ln x
ln x
顺便指出,利用微商可以方便验证反函数求导法则yx' 1 ;参
x y'
dy
'
'
y
y
dy
数方程求导法则yx' t 的正确性如
. yx' dt t
dx dx x '
xt'
dt t
三、近似计算
如果y f ( x)在点x0处的导数f '( x0 ) 0,且 x 很小时,有
y dy f '( x0 )x,
或写成
f ( x x) f ( x ) f '( x )x
0
0
0
所以便有近似公式
f ( x0 x) f ( x0 ) f '( x0 )x
若令x0 x x,上式可以写
f ( x) f ( x0 ) f '( x0 )( x x0 )
'
例7 利用微分计算sin30 30的近似值.
解 把30 30'写成弧度为
6
360
.
'
设f ( x) sin x, f ( x) cos x, 取x , x
,
0 6
360
'
所以 sin 30 30 sin
sin cos
6
6 360
6 360
1
3
0.5076
2 2 360
在近似公中,取x0 0,有
f ( x) f ( x) f '(0) x
注意到这里的x与0点很接近,即 x 数值较小时.
由上式可以推了工程上几个常用的近似公式.
( 1) ex 1 x;(2)(1 x) 1 x;(3)sin x x;(4)tan x x;(5)ln(1 x) x;
思考题
1.从本质上可微即可导, 从形式上两者有何区别, 在应用
方面呢 ?
答案
2.自变量的导数和自变量的微分一样吗?
x
3. 对于形如y = x
的函数求dy的关键是什么?
答案
答案
课堂练习题
1. 利用微分性质将适当函数填入下列括号内使等式成立.
( 1) d
cos tdt
2.S A sin t
( 2) d
sin xdx
A, , 是常数 , 求ds
答案
答案
*第八节 数学实验三
用Mathematica求极限和一元函数的导数
一、求一元函数的极限
1.学习Mathematica的命令
Mathematica的求极限命令调用格式为
Limit f x , x x
0
Limit f x , x x0, Direction1
求 lim f (x)
xx0
求 xlim
f (x)
x
Limit f x , x x0, Direction1
Limit f x , x Infinity
Limit f x , xInfinity
0
求 xlim
f
(
x
)
x
0
求 lim
f ( x)
x
求 lim
f
(
x
)
x
2.理解函数极概念
例1 分析函数f (x) xsin 1x当x 0时的变化趋势.
解
画出函数在[1,1]上的图形.
Pl ot [ x* Si n[ 1/ x] , { x, - 1, 2} ]
由图可知, f ( x) xsin 1随着 x 的减少,振幅越来越小趋近于0, 频
x
率越来越高做无限次振荡.
例2 分析函数f (x) sin 1x当x 0时的变化趋势.
解
画出函数[1,1]上的图形.
Pl ot [ Si n[ 1/ x] , { x, - 1, 1} ]
由图可知, 当x 0时,sin 1x 在 1和1之间无限次振荡, 极限不存在.
仔细观察该图形, 发现图形的某些峰值不是1和- 1, 而正弦曲线
的峰值是1和- 1, 这是由于自变量的数据点选取未必sin 1x 取1和- 1
的缘故.
例3 考察函数f ( x) sin x当x 0时的变化趋势.
x
解
画出函数在[2 ,2 ]上的图形.
Pl ot [ Si n[ x] / x, { x, - 2Pi , 2Pi } ]
由图可知,sin x 在x 0附近连续变化,其值与1无限近, 可
x
sin x 1
见lim
x0
x
3.求一元函数的极限
例4 求下列函数的极限:
tan x sin x ;(3)lim x 1 ;
(1)lim 1 33 ;(2)lim
x0
x3
x 1 x 1
x 1
1
x
ln
x.
(4)lim
x
(
5)
lim(cot
x
)
x0
x0
x1
x
x
解
I n[ 1] : =Li mi t [ 1/ ( x+1) - 3/ ( x^3+1) , x- >- 1]
Out [ 1] =- 1
I n[ 2] : =Li mi t [ ( Tanx[ x] - Si n[ x] ) / x^3, x- >0]
Out [ 2] =1
2
I n[ 3] : =Li mi t [ ( x+1) / ( x- 1) ^x, x- >I nf i ni t y]
Out [ 3] =e2
I n[ 4] : =Li mi t [ x^x, x- >0, Di r ect i on- >- 1]
Out [ 4] =1
I n[ 5] : =Li mi t [ Cot [ x] ^( 1/ Log[ x] ) , x- >0, Di r ect i on- >- 1]
Out [ 5] =1
e
二、求一元函数的导数
1.学习Mathemmatica命令
Mathematica的求导数命令调用格式为
D f [x], x
[ 求f (' x) ]
D f [x],{x,n} [ 求f (n)( x) ]
2.导数概念
根据导数的定义,利用Mathematica的求极限命令可以
求出函数在任何一点处的导数.
Limit[(f[x+h]-f[x])/h,h->0]
例5 设f ( x) ex,用定义计算f '(0).
解 定义函数
In[1]: f [ x] Exp[ x]
out[1] ex
f ( x)在某一点x0的导数定义为极限
f ( x x) f ( x )
0
0
lim
x0
x
记h x,输入命令
Li mi t [ ( f [ h] - f [ 0] ) / h, h- >0]
得结果为1.
3.求一元函数的导数
例6 求下列函数的导数;
(1) y1 x2 2x 5;(2) y2 cos x2 2cos2x;
(3) y3 4sin x
( 4) y4 lnln x.
解
I n[ 1] : =D[ Sqr t [ x^2- 2x+5] , x]
Out [ 1] = - 2+2x
2 5- 2x+x2
I n[ 2] : =D[ Cos[ x^2] +2Cos[ 2x] , x]
Out [ 2] =- 4Si n[ 2x] - 2xSi n[ x2]
I n[ 3] : =D[ 4^Si n[ x] , x]
Out [ 3] =4si n[ x] Cos[ x] Log[ 4]
I n[ 4] : =D[ Log[ Log[ x] ] , x]
1
Out [ 4] =
xLog[ x]
例7 设f ( x) x2e2 x ,求f (20) ( x).
解
I n[ 5] : =D[ x^2* E^( 2x) , { x, 20} ]
Out [ 5] =99614720e2x+20971502e2x+1048576e2xx2
1. 由可导必连续可知, 连续是可导的必要条件.
返回
2. f x0 的几何意义表示曲线y f x 在点 x0 , y0 处
切线的斜率.
返回
3.不一定. 因为f x0 是先求导后代值, 而 f x0 是先
代值后求导, 后者恒等于零.
返回
1.证明:f 0 lim
x 0
f 0 x f 0
x
cc
lim
0.
x 0
x
返回
2.解:
y=2x
y x 2 2 2 4,即为过点 2, 3 处切线的斜率.
所求切线方程为y 3 4 x 2 即4 x y 5 0.
返回
1. ,均是x的可导函数, 则有
.
, ,
2
返回
2.
x
1
1
; 2.
x
2 x x
1
返回
1.解:
y x 3 3x ln 3 3 x 2 3x ln 3.
返回
2.解: f x 20 x 9则f 1 20 9 11.
返回
x
x
1. 令y ln , tan , 可复合成函数y ln tan .
3
3
返回
2上段计算时漏掉一个复合层次的求导运算导致错误
.
.
返回
3.正确. 这是由复合函数求导法则可知的.
返回
1解: y e
2 x 1
cos 2 x 1 e
2 x 1
cos 2 x 1
2e2 x 1 cos 2 x 1 2sin 2 x 1 e2 x 1
2e2 x 1 cos 2 x 1 sin 2 x 1
返回
2解: ( 1) y 2 f e x f e x e x
( 2) y e
f x2
f x2 2x
返回
1.不一定. 因为初等函数在定义区间内都是连续的, 但连续
只是可导的必要条件所以不一定在其定义区间上都可导.
返回
2. 不一定. 如y x3 的导数y 3x 2在 , 上就不单调.
返回
3. y arctan x x
1
1
1
1
.
2
2
2
tan y y sec y 1 tan y 1 x
返回
1.解: (1) y
4 x
2
2 x
2 4 x
2
x
(2) y arctan 2 arctan x
2
2
2
x
4 x
2
.
1
4
x
2
arctan
2
2
4
x
2
x
1
2
返回
2.解: y f f x ln 1 f x ln 1 ln 1 x
y
1
1 ln 1 x 1 x
返回
1.原错误求导运算中把幂指函数当成幂函数求导了, 正确
1
x ln x
x ln x
的应该为y= x e e ln x x x ln x 1 .
x
x
返回
2.因为由隐函数的定义及其求导法则可知y是x的函数又不
能用显式表示出来所以y对x求导的结果中含y.
返回
3. 参数方程求导时要熟记求导公式分清因变量, 自变量及
中间变量及其相互之间的关系是关键.
返回
1.解: 方程两边对x求导得e x+y + xe x+y 1 y y
1 x y
整理后, 可得 : y
1 y x
返回
dy
yt xt 4sin t.
2.解:
dx
dy
4sin 2 2.
dx t
4
4
2
2
又当t 时有x0
, y0 0, 则曲线在点
, 0 处的切线
4
2
2
方程为y y0 2 2 x x0
2
即 y = - 2 2 x
, 整理得 : 2 2x y 2 0.
2
返回
1. 就是反复地运用求一阶导数的运算.
返回
2. y = a0 x n a1 x n 1
an 1 x an a0 0 是n次多项式函数.
y na0 x n 1 n 1 a1 x n 2
an 1.
y n n 1 a0 x n 2 n 1 n 2 a1 x n 3
2an 2
我们发现每求一次导数n次多项式的最高次就降低一次.
y n n ! a0
y n+1 0
y的n阶以上的导数均为0.
返回
3
3
2
3
4
3
1.解: y f x 则y f x 3x , y f x 9 x f x 6 x.
返回
2.解: f x x 2 , f x 6 x 2 , f x 30 x 2 ,
6
f x 120 x 2
5
4
3
则f 1 120 1 2 120.
3
返回
1.从形式上在一点处的导数f x0 是一个常数, 而微分
dy = f x0 x x0 则是x的线性函数; 在应用上导数多用于研
究函数性质, 而微分多用于近似计算.
返回
2.不一样. 因为自变量的导数等于1, 而自变量的微分为dx.
返回
3. 关键是: 先取对数, 然后再对两端进行微分.
返回
1.解:
( 1) d sin t c cos dt
1
( 2) d - cos x c sin xdx
返回
2.解: ds A cos t dt A cos t dt.
返回