Transcript 第三章导数与微分

第三章 导数与微分
第一节
 第二节
 第三节
 第四节
 第五节
 第六节
 第七节
 第八节
的导数

导数概念
函数的和、差、积、商的求导法则
复合函数的求导法则
初等函数的求导法
隐函数及参数方程所确定函数的求导法
高阶导数
函数的微分
数学实验三 用Mathematica求极限和一元函数
第一节 导数的概念
一、变化率问题举例
1.变速运动的速度
以自由落体为例, 落体下落的路程s随时间t的增加越来越大, 其速
度v每时每刻都在变化现在的问题是运动规律
.
s  1 gt 2
2
要确定某一时刻t0落体的速度v0.
对于匀速运动来说, 速度=距离,而自由落体是变速运动,上
时间
式不适用基本想法是
.
:虽然整体来说速度是变的, 但局部来说
可以近似地看成不变, 就是说, 在很短的时间间隔内, 速度来
不及有很大的变化, 可以近似地看成匀速运动, 于是可用上述
公式来确定该段时间内的速度, 叫做平均速度.
显然, 从时刻t0到时刻t0 t所经过的路程s  1 g (t2 t )2 
2
1 gt 2  gt t  1 g t 2则在时间间隔[t , t +t ]内的平均速度为为
0
0
0
2 0
2
v  s  gt0 + 1 g t
t
2
t越小,这个平均速度就越接近于时刻t0的瞬时速度v0自然
.
s  gt
令t  0取极限,于量得到v0  lim
0
t 0 t
这个方法对于一般变速运动也是适用的. 设质点运动规
s  lim s(t0 t)  s(t0 )
律为: s  s(t),则任一时刻t0的速度v0  lim
t 0 t
t 0
t
2.切线问题
设C是坐标平面内的一条光滑曲线( 所谓的光滑是指曲线
上每一点都存在切线) , 其由方程y  f ( x).给出.M 0( x0, y0)是曲线
C上一点,过M 0点的切线是M 0T ,其与x轴正向夹角为 ,问题是如
何确定切线M 0T的斜率.
在M 0点附近任取一点M '(x0 x, y0 y),作割线M 0M ',其
斜率kM M '  tan  y ,当M '沿曲线C接近M 0点时,割线就接近
x
0
切线, 从而割线的斜率就接近切线的斜率. 换句话说, x越小,
其接近程度就愈高, 于是自然定义M 0点的切线为割线M 0M '
的极限位置,所以有
y  lim f ( x0 x)  f ( x0 )
kM T  lim
k

lim
x0 x
x0
M M'
0
M ' M
x
0
0
式中, kM T  tan ; 是切线M 0T的倾斜角( 见图3- 1)
0
y
M '
M0


O
x
T
y

x0
x0  x
x
图3- 1 切线问题
上面两个例子分别属于不同领域,一为运动问题，
一为几何问题,但都要求计算函数值的改变量与自变
量的改变量之比, 在当后者无限趋于零时的极限.此外,
很多理论或实际问题,也要求计算这种类型的极限,这
些量的具体意义，抓住它们在数量关系上的共性,便
得出函数导数的概念.
二、导数的定义
定义 设函数y  f (x)在点x0的某一邻域内有定义, 当自变量
x在点x0处取得增量x(x  0)时,相应的函数y取得增量y  f (x0
y  lim f (x0 x)  f ( x0) 存在,则称函数
x)  f ( x0),若极限lim
x0 x
x0
x
y  f (x)在点x0处可导,并称这个极限值为函数y  f (x)在点x0处的
导数记作
y' |x x0 , f '( x0 ), dy
dx
,或 df ( x)
dx x x
x  x0
f ( x0 x)  f ( x0 )
即f '( x0 )  lim
x0
x
0
f ( x0 x)  f (x0 ) 存在,则称该极限值叫作函数y  f ( x)
若极限lim

x0
x
f ( x0 x)  f (x0 )
在点x0处的左导数,记作f '(x0  0)或f ' (x0 ),若极限lim
x0
x
存在,该极限值叫作函数在点x0处的右导数,记作f '( x0  0)或f ' ( x0 ),两
者统称单侧导数于时, 可导的充要条件是左右导数存在且相等.
导数的定义也可以取不同的形式, 常见的有
f (x0  h)  f (x0 ) 和f '(x )  lim f (x)  f (x0 )
f '(x0 )  lim
0
h0
xx0 x  x0
h
比值 y  f ( x0 x)  f ( x0)反映的是自变量x从x0改变到x0 x时,
x
x
函数y  f ( x)的平均变化速度,称为函数的平均变化率;而导数
f ( x0 x)  f ( x0)反映的是函数在点x 处的变化速度,
f '( x0 )  lim
0
x0
x
即函数在点x0处的变化率.
函数y  f (x)在开区间I内每一点处都可导,就称函数f (x)在开
区间I内可导这时对于任一xI ,都对应着f (x)的一个确定的导数
值, 当x遍取I内一切值时, 这样就构成一个新函数, 这个函数叫
作原来函数y  f (x)的导函数,简称导数. 记作
y', f '(x), dy 或 df ( x)
dx
dx
按照导数的定义,有
f ( x x)  f ( x )
f '( x)  lim
x0
x
显然函数
,
f (x)在点x0处的导数f '(x0)就是导函数f '(x)在点x  x0处
的函数值, 即f '(x0)  f '(x)|xx0 .
三、求导举例
例1 求函数f(x)  c(c为常数)的导数.
f ( x x)  f ( x )  lim cc  lim0  0
解 f ' ( x)  lim
x0
x0
x x0
x
即
就是说常数的导数为零. 这一结果实际意义是显然的, 常函
数的变化率为零; 几何意义也是显然的, 因为f ( x)c为一个水平
直线, 它上面每一点切线都是这条直线本身, 斜率是零.
例2 求函数f ( x)  xn (n为正整数)在x  a处的导数.
解
xn  an  lim( xn1  axn2  an1)  nan1.
f
(
x
)

f
(
a
)
'
lim
f (a)  lim
xa
x  a  xa x  a xa
n项
把以上结果中的a换成x,得f '( x)  nxn1.
即( xn )'  nxn1,更一般地,对于幂函数y  x ,(为常数),有
(x )'   x 1
'
3 


1
1
1等
如( x2 )'  2 x;( x )'   x 2; x    x
2
2


特别地,若 1,则( x)' 1,即自变量x的
导数为1是一非常重要的结论.
1
2
例3 求函数f ( x)  sin x的导数.
解





h
cos x  sin h
2  2  cos x.
f ( x  h)  f (x )  lim sin(x  h) sin x  lim
f '(x )  lim
h0
h0
h0
h
h
h
2
即
( sinx)'  cos x
用类同的方法可求得
( cosx)'  sin x
例4 求函数f ( x)  loga x的导数.
解 f '( x)  lim f ( x x)  f ( x)  lim loga ( x x)  loga x
x0
x0
x
x


log a 1 x 
x
x
1

x
1


x  1 log e 
 lim

lim
log
(1

)
a
a
x0
x0
x
x
x
x
x ln a
即
( loga x)' 
特别地,若a  e有
1
x ln a
( ln x)'  1
x
例5 求函数f ( x)  a x的导数.
解
x x
x
x
f
(
x

x
)

f
(
x
)
a

a
a
1.
'
x
f ( x)  lim

lim

lim
a
x0
x0
x0
x
x
x
令ax 1 t, x  loga (1 t),当x  0时,t  0.
t
1
1  a x ln a
x
x
x
所以f '( x)  lim
a

lim
a

a
1
t 0
loga (1 t) t0 loga (1 t)t
loga e
即
( a x )' =a x ln a
这就是指数函数的导数公式特别地
.
,若a  e时,有
( ex )' =ex
四、导数的几何意义
由前面切线问题的讨论及导数的定义可知, 函数y  f ( x)在
点x0处的导数f '( x0 )在几何上表示为曲线y  f ( x)在点M 0 ( x0, y0 )
处切线的斜率即f '( x0 )  tan
y
y  f ( x)
T
M0


O
x
x
0
图3-2 导数几何意义


1
1

例6 求双曲线y  x 在点 ,2 处的切线方程和法线方程.
2



解 因为y'  12 ,所以y' 1 4,即为过点 1,2 处切线的斜率.
2

x
x


2


所求切线方程为y  2 4 x  1 ,即4x  y  4  0
2



1
1

所求法线方程为y  2   x  ,即2x 8 y 15  0
4 2 
例7 问曲线y  x 上哪一点处的切线,(1)与直线y  3x 1平行?
( 2) 与x轴平行?
3
2
解
1
3
'
因为y  x2
2
(1)令y'  3,得x  4, y  8所以过点(4,8)处的切线与直线y  3x 1平行;
(2)令y'  0,得x  0, y  0.所以过( 0, 0) 点的切线与x轴平行,这里
的切线就是x轴.
五、函数的可导性与连续性的关系
y  f '(x)存在由具有极限的
设函数y  f (x)在点x处可导即
, lim
,
x0 x
函数与无穷小量的关系可知
x  f '(x)  式中,lim  0.所以y  f '(x)x x.
x0
y
当x  0时,有y  0.这就是说,函数y  f (x)在点x处是连续的.
所以, 如果函数y  f (x)在点x处可导,则函数在该点必连续.
x0
在(,)和处处连续( 见图3- 4) , 但
x0
这个函数在x  0处不可导,事实上因为
,
y
f ( x)  f (0)  lim x  lim  x  lim1 1
lim
x0
x0 x
x0 x x0
x 0
f ( x)  f (0)  lim x  lim x  lim11
lim
x0 x
x0 x
x0
x0
x 0
y | x |
例8 函数y  x

x,
 

 x,
故在x处,左右导数不相等, 所
以函数在x  0处不可导该函
.
数的图形在原点处无切线.
O
x
图3 4 例8示意图
思考题
1. 连续是可导的什么条件 ?
答案
2. 请思考f  x  在点x0处的导数f   x0 的几何意义 ?
答案
3. 等式 f   x0    f  x0   成立吗?
答案
课堂练习题
1. 用定义证明函数y = c c为常数的导数为零;
答案
2.求曲线y  x 2  1在点 2,3 处的切线方程和法线方程.
答案
第二节 函数的和、差、积、商的求导法则
第一根据导数的定义求出一些简单的导数，但对于比
较复杂的函数，直接安定义来求它们的导数往往是很困
难的.在本节和下节中将介绍求导的几个基本法则和基本
初等函数的求导公式.
设u  u( x),v  v( x)都是x的可导函数,以c为常数.
定理 (1)(u  v)'  u '  v' ;
(2)(uv)'  u 'v  uv'
'
'
'
 u  u v  uv
(3)   
2
v
v
 
解 以(2)为例
设y =u ( x)v( x), 则
y  u( x  x)v( x  x)  u( x)v( x)
=u ( x  x)  u ( x) v( x  x)  u ( x) v( x x)  v( x) 
所以
y
x

u
x
v( x  x)  u ( x)
v
x


令x  0,取极限,并注意lim(
x x)  v( x)(可导必连续),就得到
x0
y'  u'v  uv' 即(uv)'  u'v  uv',特别地,若v(x)  c时因为常数的导
,
数为零. 故有(cu)'  cu'即常数可以写到求导符号外面.
说明:该法则中的(1),(2)可推广到任意有限英的情形,如
( u+v  w)'  u'  v'  w'
( uvw)'  u'vw  uv'w  uvw'
例1 已知y  2x  3 x  3sin x  ln3,求y'.
2
1
3
'
'
'
'
'
解 y  (2x)  ( x)  (3sin x)  (ln3)  2  x 3  3cos x.
3
例2 求曲线y  2
x  x在点( 2, 3) 处的切线方程.
解
因为y'  ( 2)'  x'  22 1,所以y' x2  1为曲线在点(2,3)处切
x
2
x
线的斜率, 所以所求切线方程为y 3  1 ( x  2),即x  2 y  4  0.
2
例3 已知y  sin2x,求y'.
解 因为y  2sin x cos x,所以


y'  2  (sin x)' cos x  sin x(cos x)'   2(cos2 x sin2 x)  2cos2x.




例4 求y  e x的导数.
解
x
因为y  e1x ,所以y'   ex 2  e x
(e )
例5 已知y  tan x,求y'.
解 因为y  sin x ,所以y'  cos2 xsin 2 x  1 .
cos x
cos2 x
cos2 x
1
即
( tan x)'  cos
2x
这正是正切函数的求导公式.
同法可求
( cot x)'  12
sin x
思考题
1.牢记函数的和、差、积、商的求导法则;
2.
 x

 1 
?   ?
x
答案
答案
课堂练习题
1.求y  x 3  3x  ln 3的导数y;
答案
2.设f  x   10 x 2  9 x  3, 求f   - 1 .
答案
第三节 复合函数的求导法则
定理 设函数u  ( x)在点x处可导函数
,
y  f (u)在对应点u处
可导,则复合函数y  f  ( x)  在点x处也可导,且有 dy  dy  du 或
dx du dx
写成yx'  yu'ux'.
上述定理又称链锁法则.即复合函数的导数等于复
合函数 对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导
数.
该法则可推广到有限次复合形成的复合函数上去.如
若y  f (u),u  (v),v  (x)都有是可导函数, 则复合函数
y  f   (x) 的导数为y'x  y'uu'vv'x.


例1 求y  (1 2 x2 )8的导数.
解 令u 1 2 x2,则y  u8
所以y'x  yu'u'x  8u 7  4x  32x(1 2x2 )7
例2 求y  ln tan x的导数.
解 令u  tan x,则y  ln u.
1
所以 y'x  yu'ux'  1  12 
u cos x sin x cos x
例3 求y  sin 2x 2的导数.
1 x
2  x 2 x
2
2
x
1

x
1

x
2x .
'
y

cos

2


2


cos
解
1 x2
1 x2
(1 x2)2
(1 x2)2
例4 求y  2sin x的导数.
21
1
1
解 y'  2sin2 x ln22sin 1 cos 1   12   ln22sin 22sin2 x.
x
x x 
x
x
例5 求y  ln( x  x2  a2 )的导数.
解 y' 


1
2x
1
1

.


2
2
2
2
2
2


x x a  2 x a 
x a
例6 证明导数公式:
 '
 1
(1)(ln x )'  1
x ;(2)(x )  x ,为任意实数, x  0.
证 (1)当x  0时,ln x  ln x.则(ln x )'  1x ,当x  0时,ln x  ln(x),
'
所以(ln x )'  -1x (1)  1x ,于是有公式 ln x   1x ;
(2)在第一节中就 =n为正整数情况证明过这个公式.
表面上y  x 不是一个复合函数,但它可以写成y  e ln x ,于是
y'  e ln x 1x  x 1.
例7 已知f ( x)可导,求:
(1) 
f
'
f
(ln x)  ;(2)
 ( x a)n 



'
.
'
'(ln x);
f
解 (1)  f (ln x)   f '(ln x)(ln x)'  1
x
(2) f (x  a)








'

n 



'



'
n
n
 f  (x  a)   (x  a)   n(x  a)n1 f '  (x  a)n .





思考题
x
1.请写出复合函数y  ln tan 的复合过程;
3
2. 已知y = l n
1
x 1
2
则y 
误在哪里 ?
x 1
2
答案
2x
2 x 1
2
 x.求导的错
答案
3." 两个可以复合的函数都可导时, 它们的复合函数一定
可导", 该命题是否正确 ? 为什么?
答案
课堂练习题
1.求函数 y  e2 x 1 cos  2 x  1的导数y;
答案
dy
f x
2.求下列函数的导数 ,( 1) y = f 2  e x  ( 2) y = e   .
dx
2
答案
第四节 初等函数的求导法
一、反函数的导数
为了求反三角函数的导数，先研究一般反函数的求导法.
定理 如果x  ( y)为存在反函数的可微函数,且 '( y)  0,则
x  ( y)的反函数y  f (x)也可微,且f '(x)  1 .
'( y)
注意:要正确理解定理的含义, 左端是函数y  f ( x), y对x
的导数, 右端是y  f (x)的反函数x  ( y), x对y求导的倒数.
为更明显起见, 定理结论或写成y'x  1 或 dy  1
x'y dx dx
dy
例1 求反正弦函数y  arcsin x,(1 x 1)的导函数.
解
因为y  arcsin x是x  sin y的反函数, y  , ,
 2 2
即
( arcsin x)'  1
1 x2
同理可求得
( arccos x)'  1
1 x2
( arctan x)'  1 2
1 x
( arccot x)'  1 2
1 x
例2 求下列函数的导数：
(1) y  x3 arccos 1 ; ( 2) y  arctan x 1; ( 3) y  xarcsin x  4  x2 .
x
x 1
2
解
 1 1 
1
1
'
2
3
(1) y  3x arccos
x
  
 2

3
x
1 
x 
1
x
1
 3x arccos
2

x
(2) y ' 
1
 x 1 
1 

 x 1 

2
x
2
2
;
x 1
( x 1)  ( x 1)
( x 1)
2

1
2
x 1
;
x
'
(3) y  arcsin  x 
2
1
x
1 
2
1
2
 
2 2
2 x
4 x
 arcsin
2
二、初等函数求导问题
1.求导法则
' u'v  uv'
u 
'
'
'
'
'
'
(1)(u  v)  u  v ;(2)(uv)  u v  uv ;(3)  v  
;
v2
 
(4) yx'  yu'ux',( y  u  x),复合函数求导法则;
( 5) yx'  1 ,反函求导法则;
x y'
x
2
2.基本初等函数求导公式
(1)(c)'  0,(c为常数);
(3)(a x )'  a x ln a,(ex )'  ex;
(5)(sin x)'  cos x;
1 ;
(7)(tan x)'  cos
2x
(9)(arcsin x)' 
1 ;
1 x2
(11)(arctan x)'  1 2 ;
1 x
( 2) ( x )'  x 1;
( 4) ( loga x)'  1 ,(ln x)'  1x ;
x ln a
( 6) ( cos x)' sin x;
( 8) ( cot x)'  12 ;
sin x
( 10) ( arccos x)'  1 ;
1 x2
( 12) ( arc cot x)'  1 2 .
1 x
思考题
1. 初等函数的定义区间内都可导吗?
答案
2. 单调函数的导数仍然单调吗?请举例说明.
答案
3. 理解反函数的导数定理, 并试用其求反正切函数
y = ar ct anx的导函数.
答案
课堂练习题
1. 计算下列函数的导数: ( 1) y = 4- x 2;
x

( 2) y =  ar ct an 
2

2
答案
2. 设f  x   ln 1  x  , y  f  f  x  , 求y.
答案
第五节 隐函数及参数方程所确定函数的求导法
一、隐函数的导数
变量y已写成自变量x的明显表达式的那种函数y  f ( x)叫作
显函数. 如果x和y的依赖关系隐藏在某个方程F ( x, y)  0,那么y
叫作x的隐函数如
. x2  y2 1,e y  ex  xy  0
有的隐函数可以显化，有的则不能，不论隐函数是否能
显化，可以直接由方程求出它所确定的隐函数的导数.
例1 求由方程exy  y ln x  cos2x所确定的隐函数y的导数y '.
解
方程两端y对x求导有
exy ( y  xy')  y' ln x  xy  2sin2 x
y
xy
2sin2
x

ye

x
所以
y'  
xexy  ln x
二、幂指函数 y  uv 的导数 u  0
这里u  u(x),v  v(x)均为可导函数. 注意其既不是幂函数, 也不
是指数函数, 称为幂指函数, 不能错误地按幂函数或按指数函数
来求导.
对于函数y  uv先两边取自然对数,
ln y  v ln u
1 y'  v' ln u  v 1 u'
两边对x求导,
y
u
所以
y'  uv (v' ln u  v u')
u
例2 求y  (ln x)sin x ( x 1)的导数.
解 ln y  sin x lnln x.
方程两端对x求导, 1y y'  cos x lnln x  sin x 1  1x
ln x
所以
y'  (ln x)sin x (cos x lnln x  sin x )
x ln x
在导数运算中,仅有和的导数等于导数的和最简单,利
用对数可以简化乘积和商及乘方的导数.如例3
2
(
x

1)(
x

2)
例3 求函数y  3
的导数.
( x  3)( x  4)
解
ln y  1  ln( x 1)  2ln( x  2)  ln( x 3)  ln( x  4)  方程两端对x求导,
3
1 y'  1  1  2  1  1 
y
3 x 1 x  2 x 3 x  4 
2 

(
x

1)(
x

2)
1
1
2
1
1
'


所以
y 3




3 ( x 3)( x  4)  x 1 x  2 x 3 x  4 
三、由参数方程所确定函数的求导法
x  (t)
确定了y是x的函数,一般情况下消去参变量t,得
y  (t)
到y和x的直接对应关系式是有困难的. 因此, 总希望有一种方法, 直
接由参数方程式求出它所确定的函数的导数yx'.
参数方程





为此,设函数x  (t), y  (t)关于t可导,且 '(t)  0, x  (t)存在
反函数t  1( x),则y为x的复合函数, y   1( x) .由复合函数及
'  '(t)
y
'
'
'
t
反函数求导法则yx  yt tx  
xt'  '(t)
x  a cos3 t
dy .
例4 求由参数方程
所确定的函数
y

f
(
x
)
的导数
y  asin3 t
dx





解
'
2
y
'
t
yx   a3sin2 t cost  tan x,t  n ,n为整数.
2
xt' a3cos t(sin t)
x  a cost
例5 求椭圆
,在t   处的切线方程.
y  bsin t
4





解
' bcost
y
'
t
yx  
 ba cot t,所以yx'   ba ,当t   时, x  a , y  b .
t
4
2
2
xt' asin t
2
所以所求切线方程
y  b  ba ( x  a ),即bx  ay  2ab  0
2
2
思考题
1.已知y  x x , 则y   x x   x x x 1  x   x x x 1  x x , 分析求
解中错误.
答案
2. 隐函数求导结果中往往含有y, 这是为什么?
答案
3. 参数方程求导时应注意些什么?
答案
课堂练习题
1. 求由方程xe x+ y  y, 所确定的隐函数y的导数.
答案
 x = si nt

2. 写出曲线 
在t  处的切线方程.
4
 y = cos2t
答案
第六节 高阶导数
已经知道,一个函数y  f ( x)的导数仍是x的一个函数, 记作y'
, f '( x), df ( x) 或 dy ,如果导数y'  f '( x)关于x仍是可导的,它的导数
dx
dx
2 f ( x)
2y
d
d
''
''
叫作函数y  f ( x)的二阶导数,记作y , f (x),
或 2.
dx2
dx
同理,二阶导函数y''  f ''( x)的导数叫作函数y  f ( x)的三阶导
3
3
数,记作y''', f '''( x), d f (3x) 或 d y .
dx
dx3
依次类推,就可以定义函数y  f (x)的n阶导数, 并且记作y(n),
n f ( x)
ny
d
d
( n)
f (x),
或 n.
n
dx
dx
二阶和二阶以上导数统称称高阶导数，自然原来所说
的导数就是一阶导数.
由导数的定义，很容易写出二阶及二阶以上导数定义.如
'( x x)  f '( x)
f
''
f ( x)  lim
x0
x
''( x x)  f ''( x)
f
'''
f ( x)  lim
x0
x
高阶导数也有许多实际背景.例如，加速度是速度的变化率，
因而加速度是速度对时间的导数，但速度本身是路程对时
间的导数，所以加速度是路程对时间的二阶导数，并把此
说成二阶导数的一个物理模型.
例1 求n次多项式函数y  a0 xn  a1xn1   an1x  an,(a  0)的各阶导数.
解
y'  na0 xn1 (n 1)a1xn2 
 2an2 x  an1,
y''  n(n 1)a0 xn2  (n 1)(n  2)a1xn3 
y(n)  n!a0,
y(n1)  y(n2) 
 2an2,
0.(!说明n次多项式, n阶以上导数均为零.)
例2 求(1)y  ex;(2) y  e x;(3) y  a x的n阶导数.
解
(1) y  ex
y'  ex, y''  ex,
y ( n)  e x ;
(2) y  e x
y'  e x , y''  e x 2,
(3) y  a x
y'  a x ln a, y''  a x ln 2 a,
y(n)  e x n;
y(n)  a x lnn a;
例3 求正弦函数y  sin x的n阶导数.
解
y'  cos x  sin x  x ,
2

y''  cos x   sin  x2 ,
2
2


y'''  cos x2   sin  x3 ,
2
2


yn  sin  xn 
2

例4 求函数y  ln(1 x)的n阶导数.
解
y'  1 , y''   1 2 , y'''  2! 3 , y(4)  3! 4 ,
1 x
(1 x)
(1 x)
(1 x)
y(n)  (1)n1 (n1)!n .
(1 x)
思考题
1.请说明求函数的高阶导数的运算本质.
答案
2. 证明n次多项式n阶以上导数为零.
答案
课堂练习题
1. 已知二阶导数f   x  存在, 求y  f  x3 的二阶导数.
答案
2.设 f  x    x  2  , 求f   1  ?.
答案
6
第七节 函数的微分
一、微分的概念
前几节研究了导数,所谓的导数就是函数的改变量y与自
变量的改变量x的比值,当x  0时的极限.
y
即
f '( x)lim
x0 x
导数表示函数相对于自变量变化快慢的程度(导数绝对值大,
函数y相对于自变量x变化的速度快;小则慢,导数值为零,几
乎无改变),而不是改变量本身,然而在许多情形下,需要考
察和估计函数的改变量.
计算函数的改变量一般没有什么好窍门,只需两个函
数值相减即可.一般来讲,一些复杂函数这样运算较麻
烦,并且又不实际,因为世界上绝对精确的东西是没有
的.所以当自变量的改变量  x 很小时,要对函数的改
变量 y 进行估计.
先看一个实例.
正方形金属薄片的面积S是边长x的函数: S  x2,受热冷的影
响边长有一改变量x,面积相应地有一改变量,
S  (x x)2  x2  2xx(x)2
(见图3  7阴影部分), S 包含以下两部分.
(x) 2
x
x
图3  7 金属薄片面积改变量
(1)2xx是x线性部分,且以2x( S ')为线性部分系数
(2)(x)2是关于x的高阶无穷小部分.
因此,当x很小时,(1)为S的主部,换句话说, S可以用2xx来
近似代替, 所产生的误差关于x的高阶无穷小,在实际问题中(2)
影响不在,可忽略不计并且
.
(1)很便于计算,是很有用的,所以称(1)
为S的主要部分.
现在转到一般情形,当自变量x有一改变量x时,函数y  f ( x)的相
应改变量y是否可以分成类似于实例中的两部分呢?结论是, 只
要y  f ( x)可导这一定是可能的理由是
.
.
因为
y
 f ' ( x)
x  0
x
lim
y
所以
 f ' ( x)x   , 其中  0,(当x  0)
x
果然函数的改变量分成两部分.第一部分f ' ( x)x的线性部分
[因为f ' ( x)中不含x]第二部分ax,由于随x  0时,   0, 所以
其关于x为高阶无穷小.
函数改变量的主要部分f '(x)x,给它另起一个名字, 叫作函数的微分.
定义 设函数y  f (x)可导,称f '(x)x为函数的微分, 记作dy.
即:
dy  f '(x)x
根据前面的讨论, 有 y  dy x,(x  0时,  0)
(1)它是函数改变量y的主要部分因此当
,
x很小时,用微分
dy近似代替改变量y,误差关于x为高阶无穷小;
(2)它是自变量的改变量x的线性函数,且以导数为系数, 是
较容易计算的.
改写(319)有1 dy  1 ,当y'  0时,令x  0两端取极限, 便得
y
y
x
y与dy为等价无穷小其进一步说明了
.
dy近似代替y理由所在.
例1 求函数y  x2 1在x 1处, x  0.01时的增量与微分.
解 y  f (1.01)  f (1)  (1.012 1)  (12 1)  0.0201,
y' x1  2x x1  2;dy  y' x1 x  0.02.y与dy误差为0.0001.
由微分的定义,很容易写出函数y  x3, y  x2, y  x等的微分.
即d (x3) 3x2x;d (x2)  2xx;dx 1x x.
最后一式说明自变量
,
x的微分dx就是自变量x的改变量x,于
是习惯把函数的微分写成
dy  f '( x)dx
由式(14  20)得 dy  f '( x)可知函数的导数
,
f '( x)等于函数的微分
dx
dy除以自变量的微分dx.于是习惯上称导数为微商.
二、微分的运算
按照定义，一个函数的微分就等于它的导数乘以自
变量的微分，所以由导数便可立刻写出微分公式，
y  sin x,
y  ln x,
y'  cos x, 所以dy  cos xdx;
1 dx.
y'=1
,
所以
dy

x
x
导数的四则运算法则, 对微分也是成立的. 即设u,v为x的可
微函数, 则
(1)d (u  v)  du  dv;
(2)d (uv)  vdu  udv;
(3)d  u   vdu 2udv ,(v  0).
v
v
应该着重指出一点, 当u为自变量时, 函数y  f (u)的微分为
dy  f '(x)du;当u不是自变量,而是别一个变量的函数u  ( x)时,
按照微分的定义及复合函数求导法则有dy  y'dx  f '  (x)  '( x)dx,
但du  '( x)dx故dy  f '(u)du.这表明,不论u是自变量还是中间变量,
函数y  f (u)的微分式都是一样的,这叫作一阶微分形式的不变性.
例2 求函数y  esin x的微分.
解
把sin x看成中间变量u,则
dy  deu  eudu  esin xd sin x  esin x cos dx
复合函数微分时,可以不明显写出中间变量, 如上题
dy  esin xd sin x  esin x cos dx
例3 求函数y  e13x cos x的微分.
解
dy  d (e13x cos x)  cos dxe13x  e13xd cos x
=e13x (3)cos dx  e13x (sin x)dx
=- e13x (3cos x  sin x)dx.
例4 在括号内填入适当的函数.
(1)d (
)  x  dx; ( 2) d (
)  cos wtdt.
1
解 直观观察,不难看出( 1) 应填 x2  c;
2
(2)应填 1 sin wt  c,(其中c为常数).
w
例5 求由方程e y  xy  tan x所确定的函数y的微分.
解
方程两端分得e ydy  ydx  xdy 
1 dx,所以dy  secy2 x  y dx.
e x
cos2 x
例6 求函数y  (ln x)x的微分dy.
解
ln y  x ln(ln x).


1
1
1
x

 dx.
两端微分得 y dy  lnln xdx 
dx,所以dy  (ln x)  lnln x 
ln x
ln x 

顺便指出,利用微商可以方便验证反函数求导法则yx'  1 ;参
x y'
dy
'
'
y
y
dy
数方程求导法则yx'  t 的正确性如
. yx'   dt  t
dx dx x '
xt'
dt t
三、近似计算
如果y  f ( x)在点x0处的导数f '( x0 )  0,且 x 很小时,有
y  dy  f '( x0 )x,
或写成
f ( x x)  f ( x )  f '( x )x
0
0
0
所以便有近似公式
f ( x0 x)  f ( x0 )  f '( x0 )x
若令x0 x  x,上式可以写
f ( x)  f ( x0 )  f '( x0 )( x  x0 )
'
例7 利用微分计算sin30 30的近似值.
解 把30 30'写成弧度为

6


360
.


'
设f ( x)  sin x, f ( x)  cos x, 取x  , x 
,
0 6
360
 

 

'
所以 sin 30 30  sin  
  sin  cos 
6
6 360
 6 360 

1
3 


 0.5076
2 2 360
在近似公中,取x0  0,有
f ( x)  f ( x)  f '(0) x
注意到这里的x与0点很接近,即 x 数值较小时.
由上式可以推了工程上几个常用的近似公式.
( 1) ex 1 x;(2)(1 x) 1 x;(3)sin x  x;(4)tan x  x;(5)ln(1 x)  x;
思考题
1.从本质上可微即可导, 从形式上两者有何区别, 在应用
方面呢 ?
答案
2.自变量的导数和自变量的微分一样吗?
  x
3. 对于形如y =   x 
的函数求dy的关键是什么?
答案
答案
课堂练习题
1. 利用微分性质将适当函数填入下列括号内使等式成立.
( 1) d 
  cos tdt
2.S  A sin t   
( 2) d 
  sin  xdx
 A, , 是常数 , 求ds
答案
答案
*第八节 数学实验三
用Mathematica求极限和一元函数的导数
一、求一元函数的极限
1.学习Mathematica的命令
Mathematica的求极限命令调用格式为
Limit f  x  , x x




0 
Limit f x , x x0, Direction1


















求 lim f (x)
xx0
求 xlim
f (x)
x 
Limit  f  x  , x x0, Direction1



Limit  f  x  , x Infinity 



Limit  f  x  , xInfinity 



0





求 xlim
f
(
x
)

x 
0
求 lim
f ( x)
x





求 lim
f
(
x
)

x






2.理解函数极概念
例1 分析函数f (x)  xsin 1x当x 0时的变化趋势.
解
画出函数在[1,1]上的图形.
Pl ot [ x* Si n[ 1/ x] , { x, - 1, 2} ]
由图可知, f ( x)  xsin 1随着 x 的减少,振幅越来越小趋近于0, 频
x
率越来越高做无限次振荡.
例2 分析函数f (x)  sin 1x当x 0时的变化趋势.
解
画出函数[1,1]上的图形.
Pl ot [ Si n[ 1/ x] , { x, - 1, 1} ]
由图可知, 当x  0时,sin 1x 在 1和1之间无限次振荡, 极限不存在.
仔细观察该图形, 发现图形的某些峰值不是1和- 1, 而正弦曲线
的峰值是1和- 1, 这是由于自变量的数据点选取未必sin 1x 取1和- 1
的缘故.
例3 考察函数f ( x)  sin x当x  0时的变化趋势.
x
解
画出函数在[2 ,2 ]上的图形.
Pl ot [ Si n[ x] / x, { x, - 2Pi , 2Pi } ]
由图可知,sin x 在x  0附近连续变化,其值与1无限近, 可
x
sin x 1
见lim
x0
x
3.求一元函数的极限
例4 求下列函数的极限：
tan x sin x ;(3)lim x 1 ;
(1)lim 1  33 ;(2)lim
x0
x3
x 1 x 1
x 1
1
x
ln
x.
(4)lim
x
(
5)
lim(cot
x
)


x0
x0


x1 







x 





x
解
I n[ 1] : =Li mi t [ 1/ ( x+1) - 3/ ( x^3+1) , x- >- 1]
Out [ 1] =- 1
I n[ 2] : =Li mi t [ ( Tanx[ x] - Si n[ x] ) / x^3, x- >0]
Out [ 2] =1
2
I n[ 3] : =Li mi t [ ( x+1) / ( x- 1) ^x, x- >I nf i ni t y]
Out [ 3] =e2
I n[ 4] : =Li mi t [ x^x, x- >0, Di r ect i on- >- 1]
Out [ 4] =1
I n[ 5] : =Li mi t [ Cot [ x] ^( 1/ Log[ x] ) , x- >0, Di r ect i on- >- 1]
Out [ 5] =1
e
二、求一元函数的导数
1.学习Mathemmatica命令
Mathematica的求导数命令调用格式为
D  f [x], x 
[ 求f (' x) ]
D  f [x],{x,n} [ 求f (n)( x) ]
2.导数概念
根据导数的定义，利用Mathematica的求极限命令可以
求出函数在任何一点处的导数.
Limit[(f[x+h]-f[x])/h,h->0]
例5 设f ( x)  ex,用定义计算f '(0).
解 定义函数
In[1]: f [ x]  Exp[ x]
out[1]  ex
f ( x)在某一点x0的导数定义为极限
f ( x x)  f ( x )
0
0
lim
x0
x
记h  x,输入命令
Li mi t [ ( f [ h] - f [ 0] ) / h, h- >0]
得结果为1.
3.求一元函数的导数
例6 求下列函数的导数；
(1) y1  x2  2x  5;(2) y2  cos x2  2cos2x;
(3) y3  4sin x
( 4) y4  lnln x.
解
I n[ 1] : =D[ Sqr t [ x^2- 2x+5] , x]
Out [ 1] = - 2+2x
2 5- 2x+x2
I n[ 2] : =D[ Cos[ x^2] +2Cos[ 2x] , x]
Out [ 2] =- 4Si n[ 2x] - 2xSi n[ x2]
I n[ 3] : =D[ 4^Si n[ x] , x]
Out [ 3] =4si n[ x] Cos[ x] Log[ 4]
I n[ 4] : =D[ Log[ Log[ x] ] , x]
1
Out [ 4] =
xLog[ x]
例7 设f ( x)  x2e2 x ,求f (20) ( x).
解
I n[ 5] : =D[ x^2* E^( 2x) , { x, 20} ]
Out [ 5] =99614720e2x+20971502e2x+1048576e2xx2
1. 由可导必连续可知, 连续是可导的必要条件.
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2. f   x0 的几何意义表示曲线y  f  x  在点  x0 , y0  处
切线的斜率.
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3.不一定. 因为f   x0  是先求导后代值, 而  f  x0   是先
代值后求导, 后者恒等于零.
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1.证明：f   0   lim
x 0
f  0  x   f  0
x
cc
 lim
 0.
x 0
x
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2.解:
y=2x
 y x 2  2  2  4,即为过点 2, 3 处切线的斜率.
 所求切线方程为y  3  4  x  2 即4 x  y  5  0.
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1.  ,均是x的可导函数, 则有
     



.
          ,          ,   
2

 
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2.
 x

1
 1 

;    2.
x
2 x  x
1
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1.解:
y   x 3  3x  ln 3  3 x 2  3x ln 3.
返回
2.解: f   x   20 x  9则f   1  20  9  11.
返回
x
x
1. 令y  ln  ,   tan  ,  可复合成函数y  ln tan .
3
3
返回
2上段计算时漏掉一个复合层次的求导运算导致错误
.
.
返回
3.正确. 这是由复合函数求导法则可知的.
返回
1解: y   e
2 x 1
 cos  2 x  1  e
2 x 1
cos  2 x  1 
 2e2 x 1 cos  2 x  1  2sin  2 x  1 e2 x 1
 2e2 x 1 cos  2 x  1  sin  2 x  1
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2解: ( 1) y  2 f  e x  f   e x  e x
( 2) y  e
f  x2 
f   x2  2x
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1.不一定. 因为初等函数在定义区间内都是连续的, 但连续
只是可导的必要条件所以不一定在其定义区间上都可导.
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2. 不一定. 如y  x3 的导数y  3x 2在  ,   上就不单调.
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3. y   arctan x  x 
1
1
1
1



.
2
2
2
 tan y  y sec y 1  tan y 1  x
返回
1.解: (1) y 

4 x
2



2 x
2 4 x
2



x

(2) y   arctan    2 arctan x
2 
2

2

x
4 x
2
.
1
4
x
2

arctan
2
2
4

x
2
x
1  
2
返回
2.解: y  f  f  x   ln 1  f  x   ln 1  ln 1  x 
y 
1
1  ln 1  x   1  x 
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1.原错误求导运算中把幂指函数当成幂函数求导了, 正确
1
x ln x 
x ln x 

的应该为y= x    e   e  ln x  x   x  ln x  1 .
x

x
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2.因为由隐函数的定义及其求导法则可知y是x的函数又不
能用显式表示出来所以y对x求导的结果中含y.
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3. 参数方程求导时要熟记求导公式分清因变量, 自变量及
中间变量及其相互之间的关系是关键.
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1.解: 方程两边对x求导得e x+y + xe x+y 1  y   y
1 x y

整理后, 可得 : y 
1  y  x
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dy
 yt xt  4sin t.
2.解:
dx
dy

 4sin  2 2.
dx t  
4
4
 2 
2
又当t  时有x0 
, y0  0, 则曲线在点 
, 0  处的切线
4
2
 2


方程为y  y0  2 2  x  x0 

2
即 y = - 2 2 x 
 , 整理得 : 2 2x  y  2  0.
2 

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1. 就是反复地运用求一阶导数的运算.
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2. y = a0 x n  a1 x n 1 
 an 1 x  an  a0  0  是n次多项式函数.
y  na0 x n 1   n  1 a1 x n 2 
 an 1.
y  n  n  1 a0 x n  2   n  1 n  2  a1 x n 3 
 2an  2
我们发现每求一次导数n次多项式的最高次就降低一次.
y  n  n ! a0
y  n+1  0
 y的n阶以上的导数均为0.
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3
3
2
3
4
3
1.解: y  f  x  则y  f   x  3x , y  f   x  9 x  f   x  6 x.
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2.解: f  x    x  2  , f   x   6  x  2  , f   x   30  x  2  ,
6
f   x   120  x  2 
5
4
3
则f   1  120  1  2   120.
3
返回
1.从形式上在一点处的导数f   x0  是一个常数, 而微分
dy = f  x0  x  x0  则是x的线性函数; 在应用上导数多用于研
究函数性质, 而微分多用于近似计算.
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2.不一样. 因为自变量的导数等于1, 而自变量的微分为dx.
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3. 关键是: 先取对数, 然后再对两端进行微分.
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1.解:
( 1) d  sin t  c   cos dt
 1

( 2) d  - cos  x  c   sin  xdx
 

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2.解: ds  A cos t    dt  A  cos t    dt.
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