Transcript 函数的微分

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析
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华东师范大学数学系主编
《数学分析》(第三版)
5.5 函数的微分
数学科学系：周厚勇
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一、问题的提出
1.引例:
例1. 正方形金属薄片受热后面积的改变量.
设边长由x 0 变到x 0  x ,
 正方形面积 A  x0 ,
2
 A  ( x0  x )  x
2
2
0
x0
x
x 0 x
A  x 02
 2 x  x  ( x ) .
( x ) 2
x
x 0 x
x0
2
0
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(1)
( 2)
子
教 当 x  0 时，
(1)为 x 的线性函数 ,
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且为A 的主要部分 ;
(2)为 x 的高阶无穷小 , 当 x 很小时可忽略 .
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设正方体体积
y

x
, 当边长 x0 有改变量
数 例2.
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x 时, 求体积的改变量 y.
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解： y  ( x0  x)3  x03
 3x  x  3x0  (x)  (x)
2
0
2
(1)
3
( 2)
当 x 很小时, (1) 是x 的线性函数, 是y 的主要部分;
(2) 是x 的高阶无穷小 o(x)
 y  3x  x
2
0
既容易计算又是
较好的近似值
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2. 引例分析:
由例1、例2可以看出， 当自变量有一个微
小的增量时，计算函数增量的准确值是比较繁
难的。 一般来说, 在工程技术中象例1、例2那
样计算函数增量的问题是很普遍的。 所以需要
考虑用简便的计算方法来计算它的近似值。由
此引出了微分学的一个基本概念——微分。
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二、微分的定义
定义 设函数 y  f ( x)在点 x0 的某领域U ( x0 )内
有定义 , 当给 x0 一个增量时, x0  x  U ( x0 ),
如果, 存在与x无关的常数 A , 使得
y  f ( x0  x)  f ( x0 )  A  x  o(x)
则称函数 y  f ( x)在点 x0 可微, 并且称 A  x 为
函数 y  f ( x)在点 x0 相应于 x 的微分,
电 记作 dy x  x 或 df ( x0 ), 即 dy x  x  A  x
0
0
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案 微分 dy叫做函数增量 y的线性主部.(微分的实质)
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数 由定义知:
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(1) dy是自变量的改变量x的线性函数;
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( 2) y  dy  o( x )是比x高阶无穷小;
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( 3) 当A  0时, dy与y是等价无穷小;
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y
o( x )
分

 1

1
(

x

0).
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dy
A  x
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(4) A是与x无关的常数, 但与f ( x )和x0 有关;
(5) 当 x 很小时, y  dy (线性主部).
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三、可微的条件
f ( x0  x)  f ( x0 )
y
 lim
x  0 x
x  0
x
由导数定义：f ( x0 )  lim
利用极限与无穷小量之间的关系，上式可写为:
y  f ( x0  x)  f ( x0 )  f ( x0 )  x   (x)
结合微分的定义
y  A  x   (x)
得出下面的定理:
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定理：函数 f ( x )在点 x0可微的充要条件是函
数 f ( x )在点 x0处可导, 且 A  f ( x0 ).
证 (1) 必要性
 f ( x )在点x0 可微,
 y  A  x  o( x ),
则
y
o( x )

 A
,
x
x
y
o(x )
lim
 A  lim
 A.
x  0 x
x  0 x
即函数 f ( x )在点 x0可导, 且A  f ( x0 ).
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(2) 充分性 函数f ( x )在点x0 可导,
y
 lim
 f ( x 0 ),
x  0  x
y
即
 f ( x 0 )   ,
x
从而 y  f ( x 0 )  x    ( x ),
   0 ( x  0),
 f ( x 0 )  x  o( x ),
函数 f ( x)在点 x0可微, 且 f ( x0 )  A.
这个定理说明：
可导  可微. A  f ( x0 ).
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数 函数的微分：
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若函数 y  f ( x)在区间 I 上任意点 x 都可微,
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学 则称f ( x) 为I 上的可微函数, 记作 dy或 df ( x ), 即
系
dy  f ( x)x.
《
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通常把自变量 x 的增量 x称为自变量的微分,
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记作 dx, 即dx  x. (当y =x 时, dy =dx  x)
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 dy  f ( x )dx.
dy
 f ( x ).
dx
即函数的微分dy与自变量的微分dx之商等于
该函数的导数. 导数也叫 " 微商".
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四、微分的求法
求法: 由导数即为微商可知，求函数的微分为：
求函数的导数, 再乘以自变量的微分.
dy  f ( x)  dx
如:
例
解
d(sinx)  cos xdx , d(e x )  e x dx
x2
设 y  ln( x  e ), 求dy.
 y 
1  2 xe
x  ex
x2
2
,
 dy 
1  2 xe
x  ex
x2
2
dx .
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五、小结
★ 微分学所要解决的两类问题:
函数的变化率问题
导数的概念
函数的增量问题
微分的概念
求导数与微分的方法,叫做微分法.
研究微分法与导数理论及其应用的科学,叫
做微分学.
★
导数与微分的联系: 可导  可微.