Transcript 證明函數f(x)=[x]

第四講
導函數的計算
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課程內容：
1. 基本函數的導函數
2. 微分法公式
3. 連鎖法則
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1. 基本函數的導函數
2. 微分法公式
3. 連鎖法則
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因為複雜的代數函數是基本代數函數經由
加、減、乘、除、方根或合成運算的結果，
因此為了求得複雜函數的導函數，先利用
導函數的定義，建立一些基本代數函數的
導函數。
如果從函數f到f '過程視為一種函數，通常
以Dx(讀作”dee x”，稱為dee符號)表示
此函數，即Dx:f→f ' ，或Dxf=f ' ，或
Dxf(x)=f '(x)，因此稱Dx為微分運算子。
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定理4-1：基本代數函數的導函數
(a) 若f(x)=k，k為常數，則f'(x)=0，或Dx(k)=0。
(b)若f(x)=x，則f'(x)=1，或Dx(x)=1。
(c)若f(x)=xn，n為正整數，則f‘(x)=nxn-1，或
Dx(xn)=nxn-1。
證明：直接使用導函數的定義，就可以證得此定理，(a)
與(b)留給讀者自行練習，這裡僅證明(c)，其過程如
下： f ' ( x)    lim f ( x  h)  f ( x)  lim ( x  h)  x
n
n
h 0
h 0
h
h
x n  nxn 1h      nxhn 1  h n  x n
 lim
h 0
h
n( n  1) n  2 2
nxn 1h 
x h      nxhn 1  h n
2
 lim
h 0
h
n( n  1) n  2
 lim nxn 1 
x h      h n 1  nxn 1
h 0
2
此結果稱為冪法則(power rule)，即Dx(xn)=nxn-1。
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證明：直接使用導函數的定義，就可以證得此定
理，(a)與(b)留給讀者自行練習，這裡僅證明
(c)，其過程如下：
f ( x  h)  f ( x )
( x  h) n  x n
f ' ( x )    lim
 lim
h 0
h 0
h
h
x n  nxn 1h      nxhn 1  h n  x n
 lim
h 0
h
n( n  1) n  2 2
nxn 1h 
x h      nxhn 1  h n
2
 lim
h 0
h
n( n  1) n  2
 lim nxn 1 
x h      h n 1  nxn 1
h 0
2
此結果稱為冪法則(power rule)，即Dx(xn)=nxn-1
。
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可微分函數的定義：
若f '(c)存在，則函數f(x)在x=c可微分。
若函數f(x)在區間Ⅰ的每一內點可微分，
則稱f(x)在區間Ⅰ可微分。
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例1：證明函數f(x)=x2在區間(-∞，∞)可
微分。
解：利用定理4-1(c)，得f '(x)=2x且在區
間(-∞，∞)存在，故f(x)在區間(-∞，∞)
可微分。
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例2：證明函數 f ( x)  x 在區間(0，∞)
可微分。
1
f ' ( x) 
解：利用導函數的定義，得
2 x 且
在區間(0，∞)存在，故f(x)在區間(0，
∞)可微分。
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1
x
例3：證明函數
在區間(-∞，0)與
(0，∞)可微分。
1
解：利用導函數的定義，得 f ' ( x)  x 且
在區間(-∞，0)與(0，∞)存在，故f(x)在
區間(-∞，0)與(0，∞)可微分。
f ( x) 
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例4：決定函數f(x)=|x|在哪裡可微分。
解：利用導函數的定義，求f '(x)，再決定f '(x)的定義
域，即可決定函數f(x)可微分的地方，其過程如下：
f ' ( x )  lim
h 0
 lim
h 0
 lim
h 0
f ( x  h)  f ( x )
h
xh  x
h
[ x  h  x ][ x  h  x ]
h[ x  h  x ]
( x  h) 2  x 2
 lim
h  0 h[ x  h  x ]
2 xh  h 2
 lim
h  0 h[ x  h  x ]
 lim
2x  h

xh  x
x
x
即
。因此f '(x)的定義域為(-∞，0)∪(0，∞)
x
f ' ( x) 
x
，故函數f(x)在區間(-∞，0)∪(0，∞)可微分。
h 0
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從幾何意義也可以了解這樣的結果，如下圖(a)，曲線
y=|x|在點(0,0)是尖角，所以沒有切線，故f'(0)不存在，
當x>0，則曲線y=|x|的切線是y=x，其斜率為1，故
f'(x)=1，當x<0，則曲線y=|x|的切線是y=-x，其斜率
x
f ' ( x)  的代數意義
為-1，故f'(x)=-1，此幾何意義與
x
相同，其圖形如下圖(b)。
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如果曲線上某一點的切線存在，那麼曲線在此點不會有
間斷或跳動的情形，下面定理對此事實有明確的陳述。
定理4-2
若f'(c)存在，即函數f在c點可微分，則函數f在c點連
續。
f ( x )  f (c) 或 lim( f ( x)  f (c))  0 。
證明：必須證明 lim
x c
x 0
考慮
[ f ( x)  f (c)](x  c)
 f ( x )  f (c ) 
 lim
( x  c)

x c
x c
( x  c)
xc


lim( f ( x)  f (c))  lim
x c


f ( x )  f (c ) 

  lim
 lim( x  c)  f ' (c)  0  0
x c
xc

 x c
f ( x) 
即 lim
x c
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f (c)，故證得函數f在c點連續。
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注意：此定理的逆敘述不成立，即函
數f在c點連續，不能保證函數在c點可
微分，最典型的例子是例4，函數
f(x)=|x|在任何實數連續，但是f '(0)不
存在，即函數f在0點不可微分。
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例5：證明函數f(x)=[x]在整數點不可微分。
證明：令c為整數，先考慮右極限
f (c  h )  f (c )
[c  h ]  [c ]
 lim
h 0
h 0
h
h
0
 lim
 lim 0  0
h 0 h
h 0
lim
其次考慮左極限
f (c  h )  f (c )
[c  h ]  [c ]
 lim
h 0
h 0
h
h
c 1  c
1
 lim
 lim

h 0
h

0
h
h
lim
因為左、右極限不相等，所以f '(c)不存在，
故函數f(x)=[x]在整數點不可微分。
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例6：證明函數 f ( x)  3 x 在0點不可微分。
證明：直接求f的導函數f'，其過程如下：
3
f ( x  h)  f ( x )
xh 3 x
f ' ( x)  lim
 lim
h 0
h 0
h
h
2
3
3
3

( x  h  x)
x  h  3 x  h3 x  3 x


 lim
2
2
h 0
h 3 x  h  3 x  h 3 x  3 x 




xhx
1
 lim

2
2
h 0
3
3
3
3

33 x 2
h
xh  xh x 
x 








 

  
 
因為f'(0)不存在，故
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
2
f ( x)  3 x 在0點不可微分。
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一般而言，函數在下列情形不可微分：(i) 尖
角的地方，如例4，函數f(x)=|x|在x=0處有
尖角。(ii) 不連續的地方，如例5，函數
f(x)=[x]在整數點不連續。 (iii) 垂直切線的
地方，如例6，函數 f ( x)  3 x 在原點的切線是
y軸，如下圖。
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課程內容：
1. 基本函數的導函數
2. 微分法公式
3. 連鎖法則
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所謂微分法，就是求導函數的方法，
雖然已經知道從導函數的定義，可以
直接求得導函數，但是其過程過費時
又枯燥，此處將建立一些微分法的運
算公式，如此可省略冗長的計算過程，
對於求複雜函數的導函數更為方便，
下面定理陳述可微分函數加、減、乘、
除的微分法公式。
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定理4-3：
若函數f與g可微分，且k為常數，則
(a) kf可微分且(kf)'(x)=k‧f'(x)，或
Dx[k‧f(x)]=k‧Dxf(x)。
(b) f+g可微分且(f+g)'(x)=f'(x)+g'(x)，或
Dx[f(x)+g(x)]=Dxf(x)+Dxg(x) 。
(c) f-g可微分且(f-g)'(x)=f'(x)-g'(x)，或Dx[f(x)g(x)]=Dxf(x)-Dxg(x) 。
(d) f‧g可微分且(f‧g)'(x)=f(x)g'(x)+ f'(x)g(x)，或
Dx[f(x)g(x)]= f(x)Dxg(x)+ (Dxf(x))g(x)。此結果稱為
乘積法則(product rule)。
(e)
f
g
可微分且

f 
g ( x) f ' ( x)  g ' ( x) f ( x)
  ( x) 
g 2 ( x)
g
，或
 f ( x)  g ( x) Dx f ( x)  ( Dx g ( x)) f ( x)
 
Dx 
g
(
x
)
g 2 ( x)


，當g(x)≠0。此結果稱為商法則(quotient rule)。
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證明：直接引用導函數的定義，即可證得，(a)、
(b)、(c)部分留給讀者自行練習，這裡僅證明
(d)與(e)，其過程如下：
( f  g )(x  h)  ( f  g )(x)
h 0
h
f ( x  h) g ( x  h)  f ( x ) g ( x )
 lim
h 0
h
f ( x  h) g ( x  h)  f ( x  h) g ( x )  f ( x  h) g ( x )  f ( x ) g ( x )
 lim
h 0
h
g ( x  h)  g ( x ) f ( x  h)  f ( x )


 lim  f ( x  h)

g ( x)
h 0
h
h


g ( x  h)  g ( x )  
f ( x  h)  f ( x ) 

 lim f ( x  h)  lim

lim
 
 g ( x)
h 0
h 0
h

0
h
h

 

 f ( x) g ' ( x)  f ' ( x) g ( x)
( f  g )( x)  lim


即證明(d)。倒數第二個等號是引用極限運算性
質，最後的等號是引用函數f與g可微分的性質。
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f ( x  h) f ( x )
f ( x  h) g ( x )  f ( x ) g ( x  h)


 f 
g ( x  h) g ( x )
g ( x  h) g ( x )
  ( x)  lim
 lim
h 0
h 0
h
h
g
f ( x  h) g ( x )  f ( x ) g ( x )  f ( x ) g ( x )  f ( x ) g ( x  h)
 lim
h 0
hg( x  h) g ( x)
g ( x)[ f ( x  h)  f ( x)] [ g ( x  h)  g ( x)] f ( x)
1
 lim{

}
h 0
h
h
g ( x  h) g ( x )


f ( x  h)  f ( x ) 
g ( x  h)  g ( x ) 
1
  g ( x) lim
  lim
 f ( x)
h 0
h
h
g ( x  h) g ( x )
 h 0


 lim
h 0

g ( x) f ' ( x)  g ' ( x) f ( x)
g 2 ( x)
即證明(e)。類似地，倒數第二個等號是引用
極限運算性質，最後的等號是引用函數f與g
可微分的性質。
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22
利用定理4-1與定理4-3求導函數，可
以避免冗長的計算過程，如下面例題，
直接引用公式求多項式函數及有理函
數的導函數。
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例7：若f(x)=x5+2x4-4x3+x2+5x+1，求
f'(x)。
解：直接引用定理4-1與定理4-3(a)、(b)、(c)，
即可求得f'(x)，其過程如下：
f'(x)=Dxf(x)=Dx(x5+2x4-4x3+x2+5x+1)
=Dx(x5)+2Dx(x4)-4Dx(x3)+Dx(x2)+5Dx(x)+Dx(1)
=5x4+8x3-12x2+2x+5
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f ( x) 
3x  2
x2 1
例8：若
，求f'(x)。
解：直接引用定理4-3(a)、(b)、(e)與定理4-1
，即可求得f'(x)，其過程如下：
 3x  2 
f ' ( x )  Dx  2

 x 1 
( x 2  1) Dx (3 x  2)  ( Dx ( x 2  1))(3 x  2)

( x 2  1) 2
3x 2  3  6 x 2  4 x  3x 2  4 x  3


2
2
( x  1)
( x 2  1) 2
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25
例9：若f(x)=(2x12)(5x8)，求f'(x)。
解：直接引用定理4-3(a)、(d)與定理4-1，即可求得
f'(x)，其過程如下：
f'(x)=Dx[(2x12)(5x8)]=(2x12)Dx(5x8)+[Dx(2x12)](5x8)
=(2x12)(40x7)+(24x11)(5x8)
=80x19+120x19=200x19
另一種方法，先化簡，再引用公式，其過程如下：
f'(x)=Dx[(2x12)(5x8)]=Dx[10x20]=200x19
所得的結果跟前面的一樣。
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26
例10：若f(x)=(x5+x4+x3+x2+x+1)(2x2-x-5)，求f'(x)。
解：此種情形直接引用乘積法則比較單純，如果乘開
為多項式函數反而複雜，其計算過程如下：
f'(x)=Dx[(x5+x4+x3+x2+x+1)(2x2-x-5)]
= (x5+x4+x3+x2+x+1)Dx(2x2-x-5)
+[Dx(x5+x4+x3+x2+x+1)](2x2-x-5)
= (x5+x4+x3+x2+x+1)(4x-1)
+ (5x4+4x3+3x2+2x+1)(2x2-x-5)
如果需要化簡，才進行化簡，否則此式子就是答案。
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雖然例9與例10不需要乘積法則，也可以求得
導函數，但是求超越函數(transcendental
function，如三角函數，反三角函數，自然
指數函數及自然對數函數)乘積的導函數，
就必須引用乘積法則，才能夠求得導函數，
後面會再詳細討論。
已經知道，對於任意正整數n，Dx(xn)=nxn-1
，現在考慮n為整數的情形。
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28
定理4-4
設n是任意整數，則Dx(xn)=nxn-1。
證明：當n大於或等於0的情形，定理4-1已經
證明過。現在考慮n是負整數的情形，先將
xn寫成分式，再引用商法則，其過程如下：
n
n
x
D
(
1
)

D
(
x
)
1
n
(  n )
x
x
Dx ( x )  Dx ( x
)  Dx ( n ) 
n 2
x
(x )
nxn1
 2 n  nxn1 2 n  nxn1
x
故得證。
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29
2 x3  x  2
y
，求y'。
x4
例11：若
解：其實直接引用商法則，即可求得y'，或考
慮乘積法則，其過程如下：
 2 x3  x  2 
3
4

y '  Dx y  Dx 

D
(
2
x

x

2
)
x
x
4

x


 (2 x 3  x  2) Dx ( x  4 )  ( Dx ( 2 x 3  x  2))(x  4 )


 (2 x 3  x  2)(4 x 5 )  (6 x 2  1)(x  4 )
 x 5 (8 x 3  4 x  8  6 x 3  x)
 x 5 (2 x 3  3 x  8)
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前一節已經討論過函數四則運算的微分法公
式，這一節將討論函數合成運算的導函數
公式，也就是合成函數的微分法，此微分
法稱為連鎖法則(chain rule)。因為有很多
的函數可寫成函數的合成，所以使用連鎖
法則求導函數是有必要的。
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例如求函數h(x)=(x2+x+1)20的導函數，如果
沒有連鎖法則，唯一的方法，就是將函數
h(x)展開成四十次多項式函數，再求導函數，
此種方法浪費時間，且容易發生錯誤。其
實函數h可寫成函數g(x)=x20與函數
f(x)=x2+x+1的合成，即h(x)=g(f(x))，因此
引用連鎖法則，立即可求得正確的導函數。
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33
在討論連鎖法則之前，讓我們先瞭解德國數學
家萊布尼茲所建立的導函數符號 dy 。到目
dx
前為止，已經知道函數y=f(x)的導函數符號
有兩種，其一是”prime”符號，如f'，f'(x)，
或y'，其二是”dee”符號，如Dxf，Dxf(x)
或Dxy，這二種符號本身沒有任何數學意義，
f ( x  h)  f ( x )
lim
僅表示極限
。
h
h 0
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34
然而萊布尼茲符號不僅是記號，而且具
有數學意義，其發展的過程如下：設
變數x，從x1改變為x2，則x的改變量
x2-x1稱為增量(increment)，記為
Δx(讀作”delta x”)，即Δx=x2-x1，
注意Δx不是Δ乘x，而是一個記號，
且不一定是正值。
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35
現在考慮函數y=f(x)，如果自變數從x改
變為x+h，則其增量Δx=(x+h)-x=h，
且應變數從f(x)改變為f(x+h)，其增量
Δy=f(x+h)-f(x)，因此 yx  f ( x  xx)  f ( x)
是通過點 (x,f(x))與(x+Δx,f(x+Δx))的
割線斜率，當Δx→0，割線斜率逼近
切線斜率。
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36
若以萊布尼茲符號
dy
dx
表示切線斜率，則
dy
y
f ( x  x )  f ( x )
 lim
 lim
 f ' ( x)

x

0

x

0
dx
x
x
，這裡 dy
是一個記號，且讀作”dee
y
dx
d
dee x”，並不是dy除以dx，所以記號 dx
也表示微分算子，即跟Dx的意義相同。因
此，前面所介紹的導函數公式仍然有效，
唯符號不同。
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例12：若y=x5-3x3+5x-10，求
dy
dx
。
解：直接引用定理4-1與定理4-3，其過
程如下：
dy d 5
d 5
d 3
d
d
3
 ( x  3x  5 x  10)  ( x )  3 ( x )  5 ( x)  (10)
dx dx
dx
dx
dx
dx
 5x 4  9 x 2  5
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38
d
dx
 x2 


 2x  5 
例13：求
。
解：直接引用商法則，其過程如下：
d  x2 

 
dx  2 x  5 
(2 x  5)
d 2 d

( x )   (2 x  5) x 2
2
2
x
(
2
x

5
)

2
x
dx
dx

 
(2 x  5) 2
(2 x  5) 2
4 x 2  10x  2 x 2 2 x 2  10x


2
(2 x  5)
(2 x  5) 2
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39
現在，再回到連鎖法則的問題，如果某生產
線有兩部機器f與g，原料x經機器f得到產品
u，再經機器g得到產品y，即y=g(u)且
u=f(x)，因此Dxu是機器f的邊際產量，Duy
是機器g的邊際產量，所以Duy與Dxu的乘
積應該是整個生產線的邊際產量Dxy，即
Dxy=Duy • Dxu，此結果就是連鎖法則的性
質。
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40
定理4-5
令函數g與f的合成函數是y=(g ◦ f )(x)，
若f在x點可微分且g在u=f(x)可微分，則
g ◦ f在x點可微分且 (g ◦ f )'(x)=
g'(f(x))f'(x)，即Dxy=DuyDxu。
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41
證明：
g (u  u )  g (u )

(

u
)

 g ' (u )
因為g'(u)存在，所以函數
u
存在且 lim  (u )  0 ，將此函數乘以Δu且整
理g(u+Δu)-g(u)=g'(u) Δu+Δu ε(Δu)，將
u=f(x)及Δu=f(x+Δx)-f(x)代入，得
g(f(x+Δx))-g(f(x))=g'(f(x))(f(x+Δx)-f(x))
+(f(x+Δx)-f(x)) ε(Δx)，此式子等號兩邊除以
g ( f ( x  x))  g ( f ( x))
Δx，得
u  0
x
f ( x  x)  f ( x) f ( x  x)  f ( x)
 g ' ( f ( x))

 (x)
x
x
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42
此式子等號兩邊取極限，得
g ( f ( x  x))  g ( f ( x))
lim
x 0
x
f ( x  x)  f ( x) f ( x  x)  f ( x)


 lim  g ' ( f ( x))

 (x)
x 0
x
x


f ( x  x)  f ( x) 
f ( x  x)  f ( x) 
  lim
lim  (x)

x 0
x
x
 x0
 x0
 g ' ( f ( x)) f ' ( x)  f ' ( x)  0  g ' ( f ( x)) f ' ( x)
 g ' ( f ( x)) lim
即(g ◦ f )'(x)=g'(f(x))f'(x)，若以dee符號表示
之，則得Dxy=DuyDxu，故得證。
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43
注意：如果以萊布尼茲符號表示定理4-5的結
dy du


果，即 dy
，此公式比”prime”及
dx du dx
”dee”符號的公式較容易記得，似乎是等
號右邊消去du，即得左邊的式子。雖然此
公式不能視為數學上的消去律，但是可以幫
助記憶，且容易推廣到二個函數以上的連鎖
法則，例如y=h(u)，u=g(w)且w=f(x)，則
dy
dy du dw

dx
du dw dx 。現在回到此節一開始提到的例
子。
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44
例14：若h(x)=(x2+x+1)20 ，求h'(x)。
解：先分解函數h，令y=g(u)=u20且
u=f(x)=x2+x+1，則y=g(f(x))=h(x)，再引用
連鎖法則，其過程如下：
dy dy du d 20 d 2
h' ( x ) 


(u ) ( x  x  1)
dx du dx du
dx
 (20u19 )(2 x  1)  20(2 x  1)(x 2  x  1)19
注意，最後一定要將u變數還原為x變數。
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45
例15：若r(x)=[(x2+2)10+5(x2+2)]6，求r'(x)。
解：先分解函數r，令y=h(u)=u6，u=g(w)=
w10+5w及w=f(x)=x2+2，則y=h(g(f(x)))=
r(x)，再引用連鎖法則，其過程如下：
dy du dw
d
d
d

(u 6 )
( w10  5w)
( x 2  2)
du dw dx
du
dw
dx
 (6u 5 )(1 0w9  5)(2 x )
r ' ( x) 
 6( w10  5w) 5 [1 0( x 2  2) 9  5](2 x )
 6[( x 2  2)10  5( x 2  2)]5 [1 0( x 2  2) 9  5](2 x )
 6 0x[( x 2  2)10  5( x 2  2)]5 [ 2( x 2  2) 9  1]
最後三個步驟將u與w變數還原為x變數。
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46
下面定理是應用連鎖法則將冪法則推廣
到有理指數(exponent)。
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47
定理4-6
設r是任意有理數，則Dx(xr)=rxr-1，這裡x不
是函數xr定義域中區間的端點。
q
p
證明：因為r是有理數，所以
，這裡p與
q為互質的兩個整數，且p是正整數。首先，
1
證明
D ( x )  ，直接引用定義，其推導
x
p
過程如下：
r 
1
p
1
1
p
x
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48
1
Dx ( x
1
p
)



1
( x  h) p  x p
lim
h 0
h
1
1
p 1
p 2
1
1
p2

 ( x  h) p  x p )((x  h) p  ( x  h) p x p      ( x  h) p x p  x

lim 
p 1
p 2
1
1
p 2
p 1
h 0


h ( x  h ) p  ( x  h ) p x p      ( x  h ) p x p  x p 




( x  h)  x
lim
p

1
p
2
1
1
p 2
p 1
h 0


p
p
p
p
p

h ( x  h)
 ( x  h)
x      ( x  h) x
x p 




1
lim
p 1
p2
1
1
p 2
p 1
h 0

( x  h)
1
px
p 1
p

p
1
x
p
 ( x  h)
p
x
p
     ( x  h) p x
p
x
p 1
p




p
1
1
p
再引用連鎖法則，證明 Dx ( xr )  rx r 1，其過程如
下：
  
  1

q
p
1
p
q
1
p


Dx ( x r )  Dx ( x )  Dx   x    q x 
 
   
 


q
 x
p
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q 1 1 p
p
p
x
q 1
 x
p

1
1
p



q
q p 1
 x  rx r 1
p
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49
例16：若 f ( x)  (2 x  x) ，求f'(x)。
解：首先將函數f寫成冪函數形式，即
f ( x)  (2 x  x) ，再引用定理4-6，其過程如
下：
3
5
3
8
8
5
8
5
8
f ' ( x)  Dx (2 x  x)  (2 x 3  x)
5
3
8
 (2 x 3  x) 5 (6 x 2  1)
5
3
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8
1
5
(6 x 2  1)
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