Transcript 在点( x, y) 可微

复习
1. 偏导数的概念及有关结论
• 定义; 记号; 几何意义
• 函数在一点偏导数存在
• 混合偏导数连续
2. 偏导数的计算方法
• 求一点处偏导数的方法
• 求高阶偏导数的方法
函数在此点连续
与求导顺序无关
先代后求
先求后代
利用定义
逐次求导法
(与求导顺序无关时, 应选择方便的求导顺序)
第三节 全 微 分
一、全微分的定义
二、全微分在近似计算中的应用
*
一、全微分的定义
由一元函数微分学中增量与微分的关系得
f ( x  Δx , y )  f ( x , y )  fx ( x , y)x
f ( x , y  Δy )  f ( x , y )  f y ( x , y)y
二元函数
对 x 和对 y的偏增量
二元函数
对 x 和对 y的偏微分
全增量的概念
如果函数 z
设
 f ( x, y)
P ( x   x , y   y )
在点 ( x , y ) 的某邻域内有定义，
为该邻域内的任意一点，
则称这两点的函数值之差
f ( x  x, y  y)  f ( x, y)
为函数在点 P 对应于自变量增量
记为
z
x, y
，即
 z  f ( x   x , y   y )  f ( x , y ).
的全增量，
定义: 如果函数 z = f ( x, y )在定义域 D 的内点( x , y )
处的全增量 Δ z  f ( x  Δ x , y  Δ y )  f ( x , y ) 可表示成
Δ z  A Δx  B Δy  o(  ) ,  
(Δx )  (Δy)
2
2
其中 A , B 不依赖于 x ,  y , 仅与 x , y 有关，
则称函数 f ( x, y ) 在点( x, y) 可微，
AΔx  B Δ y
称为函数 f ( x , y ) 在点 ( x , y ) 的全微分,
记作 d z  d f  A Δ x  B Δ y
若函数在域 D 内各点都可微, 则称此函数在D 内可微.
当函数可微时 :
lim Δ z  lim  ( A Δ x  B Δ y )  o (  )
Δx  0
Δy 0
得
0

0
lim f ( x  Δ x , y  Δ y )  f ( x , y )
Δx  0
Δy 0
函数zz = f f(x,
y)y可微
( xy) 在点
 x, y(x,

)  f ( x, y )
函数在该点连续
下面两个定理给出了可微与偏导数的关系:
d z (1)
d f函数可微
 A x  B  y
 z (2)
 A偏导数连续
x  B y  o(  )
偏导数存在
函数可微
定理1(必要条件) 若函数 z = f (x, y) 在点(x, y) 可微 ,
则该函数在该点的偏导数
z
,
z
x y
z
z
dz 
Δx 
Δy
x
y
必存在,且有
证: 因函数在点(x, y) 可微, 故 Δ z  A Δ x  B Δ y  o (  ) ,
令 Δ y  0 , 得到对 x的偏增量
Δ x z  f ( x  Δx , y)  f ( x , y)  AΔx  o ( | Δx | )

同样可证
z
x
z
y
 lim
Δx  0
 B,
Δxz
Δx
 A
因此有 d z 
z
x
Δx 
z
y
Δy
注意: 定理1 的逆定理不成立 .
即: 偏导数存在函数 不一定可微!
xy
反例: 函数 f ( x , y ) 
x  y
2
,
x  y  0
2
2
2
x  y 0
2
0,
2
易知 f x (0, 0 )  f y (0, 0)  0 , 但
Δ z  [ f x ( 0, 0 )Δ x  f y ( 0, 0 )Δ y ] 
Δx Δy
(Δ x )  (Δ y)
2
 o(  )
2
 
Δx Δ y
(Δ x )  (Δ y)
2
Δx Δ y
(Δ x )  (Δ y)
2
2
因此,函数在点 (0,0) 不可微 .
0
2
定理2 (充分条件) 若函数 z  f ( x , y ) 的偏导数
在点 ( x , y ) 连续，则函数在该点可微分.
z
x
,
z
y
证：Δ z  f ( x  Δ x , y  Δ y )  f ( x , y )
 [ f ( x  Δ x , y  Δ y)  f ( x , y  Δ y)]
 [ f ( x , y  Δ y )  f ( x , y )]
 f x ( x   1 Δ x , y  Δ y )Δ x  f y ( x , y   2 Δ y )Δ y
( 0  1 ,  2  1 )
 [ f x ( x , y )   ]Δ x  [ f y ( x , y )   ]Δ y
 lim   0 ,
 Δ x 0
 Δ y 0
lim   0 
Δ x 0

Δ y 0

Δz 
 f x ( x , y )Δ x  f y ( x , y )Δ y   Δ x   Δ y
注意到
 Δx   Δ y

故有

 Δx   Δ y
(Δ x )  ( Δ y )
2
2
|  |  |  |  0
Δ z  f x ( x , y )Δ x  f y ( x , y )Δ y  o (  )
所以函数 z  f ( x , y ) 在点( x , y ) 可微.
类似地可讨论三元及三元以上函数的可微性问题.
例如, 三元函数 u  f ( x , y , z ) 的全微分为
du 
u
x
Δx 
u
y
Δy
u
z
Δz
习惯上把自变量的增量用微分表示, 于是
du 
记作
u
x
dx 
dx u
u
y
dy
dy u

u
z
dz
dz u
d x u , d y u , d z u 称为偏微分. 故有下述叠加原理
d u  dx u d y u dz u
例1. 计算函数 z  e
解:
z
x
 ye
xy
z

在点 (2,1) 处的全微分.
z
,
y
 e ,
2
 x ( 2, 1)
xy
 xe xy
z
 y ( 2, 1)
 2e
2
 e d x  2e d y  e 2 (d x  2d y )
2
dz
2
( 2 ,1 )
例2. 计算函数 u  x  sin
y
e
yz
的全微分.
2
1
y
2
2
解: d u  1  d x  ( cos  z e y z ) d y  y e y z d z

z

y
cos(
x

2
y
)
例3 求函数
，当 x  ，y   ，
dx 

4
, dy  
时的全微分.
4
解
z
x
z
y
  y sin( x  2 y ),
 cos( x  2 y )  2 y sin( x  2 y ),
d z (  , ) 
4
z
x
(

4
dx 
, )
z
y
dy
(

4
, )

2
8
 ( 4  7  ).
例4 证明
xy sin
1
x  y
2
函数 f ( x , y ) 
, ( x , y)  (0, 0)
2
( x , y)  (0, 0)
0,
在点 (0,0) 连续且偏导数存在, 但偏导数在点 (0,0)
不连续, 而 f ( x , y ) 在点 (0,0) 可微 .
证: 1)
因为
xy sin
1
x  y
2
所以
 | xy |
2
lim f ( x , y )  0  f ( 0 , 0 )
x 0
y 0
故函数在点 (0, 0) 连续 ;
2)
f ( x , 0)  0 ,  fx (0, 0)  0 ;
3) 当 ( x , y )  ( 0 , 0 ) 时，
f x ( x , y )  y sin
1
x  y
2
同理 f y (0, 0 )  0.
2

x y
(x  y )
2
2
2
3
1
co s
x  y
2
当 P ( x , y ) 沿射线 y  x 趋于 ( 0 , 0 ) 时，
lim
( x , x )  ( 0 ,0 )
fx ( x, y)
 lim ( | x | sin
x 0
1

|x|
3
2 2|x|
2|x|
3
cos
1
2|x|
1
( x , y ) 在点(0,0)不连续;
极限不存在 , xyf xsin
, ( x , y)  (0, 0)
x  y
2
2
f ( x, y) 
f y ( x , y ) 在点(0,0)也不连续.
同理,
0,
( x , y)  (0, 0)
)
2
4) 下面证明 f ( x , y ) 在点 ( 0 , 0 ) 可微 :
令   (Δx )  (Δy) ,
2
2
则
Δ f  f x ( 0, 0 )Δ x  f y ( 0, 0 )Δ y


Δx  Δy

sin
1

 Δx
0
 
 0
1
 f ( x , y ) xy
在 sin
( 0, 0 ) 可
微 2. , ( x , y )  ( 0 , 0 )
2
x  y
f ( x, y) 
说明: 此题表明, 偏导数连续只是可微的充分条件.
0,
( x , y)  (0, 0)
*二、全微分在近似计算中的应用
1. 近似计算
由全微分定义
Δ z  f x ( x , y )Δ x  f y ( x , y )Δ y  o (  )
dz
可知当 | Δ x | 及 | Δ y | 较小时, 有近似等式:
Δ z  d z  f x ( x , y )Δ x  f y ( x , y )Δ y
f ( x  Δ x , y  Δ y )  f ( x , y )  f ( x , y )Δ x  f ( x , y )Δ y
x
y
(可用于误差分析或近似计算)
2.02
的近似值.
例5. 计算 1.04
解: 设 f ( x , y )  x y,则
fx ( x, y)  y x
取 x  1, y  2,
y 1
,
f y ( x , y )  x ln x
y
Δ x  0.04 , Δ y  0.02
则 1.04 2.02  f ( 1.04, 2.02 )
 f (1, 2 )  f x (1, 2 )Δ x  f y (1, 2 )Δ y
 1  2  0.04  0  0.02  1.08
例6. 有一圆柱体受压后发生形变, 半径由 20cm 增大
到 20.05cm ,高度由100cm 减少到 99cm , 求此圆柱体
体积的近似改变量.
r
解: 已知 V  π r 2 h , 则
ΔV  2 π rh Δ r  π r Δ h
h
2
r  20 ,
h  100 ,
Δ r  0.05 ,
Δh  1
ΔV  2 π  20  100  0.05  π  20  (  1)
2
  200 π (cm )
3
3
即受压后圆柱体体积减少了大约 200 π cm .
例7. 利用公式 S  12 ab sin C 计算三角形面积.现测得
a  12.5  0.01 , b  8.3  0.01 , C  30   0.1 
求计算面积时的绝对误差与相对误差.
解： δ S   S δ a   S δ b   S δ C
a

1
2
b
b sin C δ a 
C
1
a sin C δ b 
2
1
2
ab cos C δ C
a  12.5 , b  8.3 , C  30  , δ a  δ b  0.01 , δ C 
故绝对误差约为 δ S  0.13
所以 S 的相对误差约为
δS
|S |

0.13
25.94
 0 .5 %
π
1800
2. 误差估计
利用 Δ z  f x ( x , y )Δ x  f y ( x , y )Δ y
令 δ x , δ y , δ z 分别表示 x , y , z 的绝对误差界,
则z 的绝对误差界约为
δ z  | f x ( x , y ) | δ x  | f y ( x , y ) |δ y
z 的相对误差界约为
z
z

fx ( x, y)
f ( x, y)
δx
fy ( x, y)
f ( x, y)
δy
z

z
f x ( x, y)
f ( x, y)
δx 
f y ( x, y)
f ( x, y)
δy
特别注意
(1) 若 z  x y ，
(2) 若 z 
y
δz

z
 (

δy
z
x
y
x
δx
δy
1 x

 δy 

x
y
x y
,
x
δz
δx
y
x
2
)
y
δx
• 很小的数不能做除数， 结果的相对误差变大
类似可以推广到三元及三元以上的情形.
例8. 在直流电路中, 测得电压 U = 24 V, 相对误差为
0.3; 测得电流 I = 6A, 相对误差为 0.5  , 求用欧姆
定律计算电阻为 R 时产生的相对误差和绝对误差.
解: 由欧姆定律可知 R 
U
I

24
6
4
()
所以 R 的相对误差约为
δR
R

δU

δI
U
I

0.3  + 0.5  = 0.8 
R 的绝对误差约为
δ R  | R |  0.8  = 0.032 (  )
内容小结
1. 微分定义: ( 以 z  f ( x , y ) 为例)
Δ z  f x ( x , y )Δ x  f y ( x , y )Δ y  o (  )

dz 
2. 重要关系:
(Δx )  (Δy)
2
2
f x ( x , y )d x  f y ( x , y )d y
函数连续
函数可导
函数可微
偏导数连续
3. 微分应用
• 近似计算
Δ z  f x ( x , y )Δ x  f y ( x , y )Δ y
f ( x  Δ x , y  Δ y)
 f ( x , y )  f ( x , y )Δ x  f ( x , y )Δ y
x
y
• 估计误差
绝对误差 δ z  | f x ( x , y ) | δ x  | f y ( x , y ) | δ y
f ( x, y)
相对误差 δ z  f x ( x , y ) δ x  y
δy
z
f ( x, y)
f ( x, y)
思 考 与 练 习
选择题
函数 z  f ( x , y ) 在 ( x0 , y0 ) 可微的充分条件是(
)
( A) f ( x , y ) 在 ( x0 , y0 ) 连续
( B ) f x ( x , y ) , f y( x , y ) 在 ( x0 , y0 ) 的某邻域内存在;
(C ) Δz  f x ( x , y )Δx  f y( x , y )Δy
当
( D)
2
2
(  x )  (  y )  0 时是无穷小量 ;
Δz  f x ( x , y )Δx  f y( x , y )Δy
(Δx )  (Δy )
2
当
2
(  x )  (  y )  0 时是无穷小量 .
2
2
二元函数 f(x，y)在点(x0，y0) 处两个偏导数
f x ( x 0 , y 0 ), f y ( x 0 , y 0 )
存在，是f (x, y)在该点连续的
（A）充分条件而非必要条件
（B）必要条件而非充分条件
（C）充分必要条件
（D）既非充分条件又非必要条件
f ( x , y ) 在 P ( x 0 , y 0 )的 两 个 偏 导 数 f x , f y 都 存 在 ， 则
( A ) f ( x , y )在 P 点 连 续 ；
( B ) f ( x , y )在 P 点 可 微 ；
( C ) lim f ( x , y 0 ) 及 lim f ( x 0 , y ) 存 在 ；
x  x0
y  y0
( D ) lim f ( x , y ) 存 在 .
x  x0
y  y0
设 z  f ( x , y ) 在 ( x , y )处 不 连 续 ， 则 f ( x , y ) 在 该 点 处
( A )必 无 定 义 ；
( B )极 限 必 不 存 在 ；
(C )偏 导 数 必 不 存 在 ；
( D )必 不 可 微 .
P75 题5.
考虑二元函数 f (x , y) 的下面四条性质
(1) f ( x , y ) 在点
连续
(2) f x ( x , y ) , f y ( x , y ) 在点
(3) f ( x , y ) 在点
连续
可微分
(4) f x ( x0 , y0 ), f y ( x0 , y0 ) 存在
若用 P  Q 表示可由性质P 推出性质Q, 则下列
四个选项中正确的是：
A : (2)  (3)  (1)
B : (3)  (2)  (1)
C : (3)  (4)  (1)
D : (3)  (1)  (4)
P129 题1.
在充分，必要和充分必要三者中选择一个正确的
填入下列空格中。
(1) f ( x , y) 在点
连续的
可微分是 f ( x , y ) 在该点
条件， f ( x , y ) 在点
连续是 f ( x , y) 在该点可微分的
(2) z =f ( x , y ) 在点
的偏导数 z x , z y 存在是
f ( x , y) 在该点可微分的
z  f ( x , y )在点
导数 z x , z y 存在的
条件.
条件，
可微分是函数在该点的偏
P129 题1.
在充分，必要和充分必要三者中选择一个正确的
填入下列空格中。
(3) z  f ( x , y ) 的偏导数 z x , z y 在点
存在且
连续是 f ( x , y)在该点可微分的
条件
(4) z =f ( x , y ) 的两个二阶混合偏导数 z xy , z yx
在区域D内连续是这两个二阶混合偏导数在D内
相等的
条件.
3. P130 题 7
求函数 z 
xy
x y
2
2
当 x = 2 , y =1,△x = 0.01,
△y = 0.03 时的全增量和全微分.
Δz
x  2 , Δx  0.01
 0.0283
y  1 , Δy  0.03
dz
x  2 , Δx  0.01
y  1 , Δy  0.03
也可写作:
当 x = 2 , y =1 , △x = 0.01 , △y = 0.03 时
△z = 0.0283 ,
d z = 0.0278
 0.0278
4. 设 f ( x , y , z ) 
解:
x cos y  y cos z  z cos x
1  cos x  cos y  cos z
f ( x , 0, 0) 
 f x (0, 0, 0)  
3  cos x
( 0 ,0 ,0 )



1
x0 4
利用轮换对称性 , 可得
f y (0, 0, 0)  f z (0, 0, 0) 
d f
( 0,0,0 )
1
4
 f y (0, 0, 0) d x  f y (0, 0, 0) d y  f z (0, 0, 0) d z

1
4
(d x  d y  d z )
.
注意: x , y , z 具有
轮换对称性
x
3  cos x
x
, 求df
5. 已知 z  arctan
答案: d z 
x y
x y
, 求 d z.
 yd x  xd y
x  y
2
2
作
• P75.
业
1(3, 4), 3, 6
提交时间：2012年3月5日上午8:00