Transcript Taylor

复习
00 ,1 , 0 型
洛必达法则
f g  e g ln f
型
11
g f
f g
11
g f
0
型
0

型

0 型
f
f g
1
g
第三节
泰勒公式
目的－用多项式近似表示函数.
应用
理论分析
近似计算
一、泰勒公式的建立
二、几个初等函数的麦克劳林公式
三、泰勒公式的应用
一、泰勒公式的建立
在微分应用中已知近似公式 :
f ( x )  f ( x0 )  f ( x0 )( x  x0 )
p1 ( x )
y
y f (x)
x 的一次多项式
特点: p1 ( x0 )  f ( x0 )
p1 ( x0 )  f ( x0 )
p1 ( x )
O
x0
x
以直代曲
x
线性近似的不足: 1、精确度不高；
2、误差不能估计.
问题: 寻找多项式函数 Pn ( x ), 使得 f ( x )  Pn ( x )
Pn ( x )  a0  a1 ( x  x0 )  a2 ( x  x0 )2 
 an ( x  x0 ) n
误差 Rn ( x )  f ( x )  Pn ( x ) 可估计
思路: 如何确定多项式的系数
如何提高近似的精确度
例如：
ye
y x
x
y  1 x
y  ln(1  x )
o
需要解决的问题
如何提高精度 ?
ex  1 x
如何估计误差 ? ln(1  x )  x
分析:
近
似
程
度
越
来
越
好
1.若在 x0 点相交
y
Pn ( x0 )  f ( x0 )
y  f ( x)
2.若有相同的切线
Pn( x0 )  f ( x0 )
3.若弯曲方向相同
Pn( x0 )  f ( x0 )
 
o
x0
x
Pn ( x )  a0  a1 ( x  x0 )  a2 ( x  x0 )2 
 an ( x  x0 ) n
假设 Pn( k ) ( x0 )  f ( k ) ( x0 ) k  0,1, 2, , n, 则
a0  f ( x0 ),
1  a1  f ( x0 ),
,
2! a2  f ( x0 )
n! an  f ( n) ( x0 )
1 (k)
即： ak  f ( x0 ), k  0,1, 2,
k!
,n
f ( x0 )
2

P
(
x
)

f
(
x
)

f
(
x
)(
x

x
)

(
x

x
)
从而: n
0
0
0
0
2!

f ( n ) ( x0 )

( x  x0 )
n!
泰勒(Taylor)中值定理 :
若 f ( x ) 在包含 x0 的某开区间 ( a, b) 内具有
直到 n  1 阶的导数 , 则当 x  (a , b) 时, 有
f ( x0 )
2


(
x

x
)
f
(
x
)

f
(
x
)(
x

x
)
f ( x) 

0
0
0
0
2!
f ( n ) ( x0 )

( x  x0 ) n  Rn ( x )
n!
f ( n1) ( )
( x  x0 ) n1 ,  在 x0 与 x 之间
其中 Rn ( x ) 
( n  1) !
Rn ( x )  f ( x )  Pn ( x ) ,
Rn( k ) ( x )  f ( k ) ( x )  Pn( k ) ( x )
证明: 由于 Pn( k ) ( x0 )  f ( k ) ( x0 ) k  0,1, 2, , n,
所以 Rn( k ) ( x0 )  0, k  0,1, 2, , n.
n1
(
t

x
)
函数 Rn ( t ) 与
在以 x0 及 x 为端点的区间
0
上满足柯西中值定理的条件， 从而有：
Rn ( x )
Rn ( x )  Rn ( x0 )
Rn (1 )


n1
n1
n1
( x  x0 )
( x  x0 )  ( x0  x0 )
( n  1)(1  x0 ) n
1 在 x0 与 x 之间
Rn ( x )
Rn ( x )  Rn ( x0 )
Rn (1 )

n1
n1
n1 
( x  x0 )
( x  x0 )  ( x0  x0 )
( n  1)(1  x0 ) n
函数 Rn ( t ) 与 ( n  1)( t  x0 )n1 x0 在以 x0 及 1 为端点
的区间上满足柯西中值定理的条件， 从而有：
Rn (1 )
Rn (1 )  Rn ( x0 )

n
( n  1)(1  x0 )
( n  1)(1  x0 ) n  ( n  1)( x0  x0 ) n
Rn( 2 )

n( n  1)( 2  x0 ) n1
 2 在 x0 与 1 之间
Rn ( x )
Rn (1 )
Rn( 2 )


n1
n
( x  x0 )
( n  1)(1  x0 )
n( n  1)( 2  x0 ) n1
如此下去，经过 ( n  1) 次后，得到：
Rn ( x )
Rn (1 )
Rn( 2 )


n1
n
( x  x0 )
( n  1)(1  x0 )
n( n  1)( 2  x0 ) n1
f ( n1) ( )
Rn( n1) ( )


( n  1)!
( n  1)!

f ( n1) ( )
( x  x0 ) n1
即： Rn ( x ) 
Rn ( x )  f ( x )  Pn ( x ) ,( n  1)!
( n1)
n
R
( n1)
P
( x)  f  在
( x )x0 与
P  之间,
( x ) , 也在
与) x 0.
n x0( x
之间
( n1)
( n1)
n n
f ( x0 )
2


(
x

x
)
f
(
x
)

f
(
x
)(
x

x
)
f ( x) 

0
0
0
0
2!
( n1)
f ( n ) ( x0 )
f
( )
n

( x  x0 ) 
( x  x0 ) n1
n!
( n  1)!
称为 f ( x ) 按 ( x  x0 ) 的幂展开的 n 阶泰勒公式;
f ( k ) ( x0 )
Pn ( x )  
( x  x0 ) k
k!
k 0
称为 f ( x ) 按 ( x  x0 ) 的幂展开的 n 次近似多项式;
n
f ( n1) ( )
Rn ( x ) 
( x  x0 ) n1
( n  1)!
称为n 阶泰勒公式的拉格朗日余项 .
2
3
表示为 ( x  1)
p
(
x
)

1

3
x

5
x

2
x
例1 将多项式
的多项式
分析：表示为 ( x  1) 的多项式，相当于将函数在
x0  1 处展开。
解：由Taylor定理得
p( 1)
p( x )  p( 1)  p( 1)( x  1) 
( x  1) 2
2!
(4)
p( 1)
p
( )
3

( x  1) 
( x  1)4
3!
4!
因为p(x)为三次多项式，所以 Rn ( x )  0
p( x )  1  3 x  5 x 2  2 x 3 ,
 p( 1)  5, p( 1)  13, p( 1)  22, p( 1)  12
p( 1)
p( x )  p( 1)  p( 1)( x  1) 
( x  1) 2
2!
(4)
p( 1)
p
( )
3

( x  1) 
( x  1) 4
3!
4!
所以p( x)  5  13( x  1)  11( x  1)2  2( x  1)3
说明：一个多项式的Taylor多项式就是自己，当
然表达式依赖于在何处将其展开。
f ( n1) ( )
Rn ( x ) 
( x  x0 ) n1
 n  1 !
M

( x  x0 ) n1
 n  1 !
n ，x
Rn ( x )
lim
0
n
x  x0 ( x  x )
0
x0时,误差
即 Rn ( x )  o[( x  x0 )n ].
在不需要余项的精确表达式时 , 泰勒公式可写为
n
f ( x)  
k 0
f ( k ) ( x0 )
( x  x0 ) k  o[( x  x0 ) n ]
k!
皮亚诺形式的余项
n
n 阶泰勒公式：f ( x )  
k 0
f ( k ) ( x0 )
( x  x0 ) k  Rn ( x )
k!
注意:
1. 当 n  0 时，泰勒公式变成拉格朗日中值公式
f ( x )  f ( x0 )  f '( )( x  x0 ) ( 在 x0 与 x 之间)
f ( )
( x  x0 ) 2
2. 误差 R1 ( x ) 
2!
( 在 x0 与 x 之间)
3. 取 x0  0,  在 0 与 x 之间，令    x (0    1)
f ( n1) ( x ) n1
x
则余项为 Rn ( x ) 
( n  1)!
在泰勒公式中若取 x0  0, 记    x ( 0    1) , 则有
f ( n ) (0) n
(0) 2
f

x
f ( x )  f (0)  f (0) x 
x 
n!
2!
f ( n1) ( x ) n1

x
麦克劳林( Maclaurin )公式 .
( n  1) !
由此得近似公式
( n)
f
(0) n

f
(0)
2

x
f ( x )  f (0)  f (0) x 

x

f ( x0 )
n) 2!
2
!


(
x

x
f
(
x
)

f
(
x
)(
x

x
)
f ( x) 

0
0
0
0
2!
( n1 )
f
( x)  M ,
若在公式成立的区间上
( n)
( n1)
f ( x0 )
f
( )
n
n1

( x  x0 ) 
(
x

x
)
M1)!
n1 0
n
!
(
n

x
则有误差估计式 Rn ( x ) 
( n  1) !( 在 x 与 x 之间)
0
带有Lagrange余项的Maclaurin公式
f (0) 2
f ( x )  f (0)  f (0) x 
x 
2!
f ( n1) ( x ) n1

x
( n  1)!
f ( n ) (0) n

x
n!
(0    1)
带有Peano余项的Maclaurin公式
f (0) 2
f ( x )  f (0)  f (0) x 
x 
2!
 o( x n )
f ( n ) (0) n

x
n!
二、几个初等函数的麦克劳林公式
1. f ( x )  e x
f (k ) ( x)  e x ,
f ( k ) (0)  1 ( k  1, 2,
2
3
x
x

 ex  1 x 

2! 3!
)
xn
 Rn ( x )

n!
e x
n1
x
(0    1)
R
(
x
)

其中 n
( n  1) !
2. f ( x )  sin x
π
f ( x )  sin( x  k  )
2
k  2m
k π  0,
(k)
( m  1, 2, )

f (0)  sin
m1
2
 ( 1) , k  2m  1
(k)
3
5
x
x
 sin x  x 


3! 5!
 ( 1) m1
x 2 m1
 R2 m ( x )
(2m  1) !
2m  1
sin( x m
π)
( 1) cos(2 x )
x 2m1 (0    1)
其中 R2 m ( x ) 
(2m  1) !
泰勒多项式逼近 sin x
n1
(

1
)
sin x  x  1 x  1 x  1 x  1 x   
x 2 n 1
3!
5!
7!
9!
( 2n  1) !
 o( x 2n )
3
5
7
9
y
4
2
6
4
O
2
2
4
2
4
6
x
Taylor公式的数学思想---局部逼近.
3. f ( x )  cos x
类似可得
x2
x4

cos x  1 

2! 4!
 ( 1) m
x 2m
 R2 m1 ( x )
(2m ) !
其中
R2 m1 ( x ) 
( 1) m1 cos( x )
(2m  2) !
x 2 m 2
(0    1)
4. f ( x )  (1  x ) , ( x  1)
(  k  1)(1  x ) k
f ( k ) ( x )   (  1)
f ( k ) (0)   (  1)
 (  1)
 (1  x )  1  x 


其中 Rn ( x ) 
(  k  1) ( k  1, 2, )
2!
x2 
 (  1) (  n  1)
n!
 (  1)
x n  Rn ( x )
(  n)
(1   x ) n1 x n1
( n  1) !
(0    1)
5. f ( x )  ln(1  x ) ( x  1)
已知 f
(k)
( x )  ( 1)
k 1
( k  1)!
(1  x ) k
( k  1, 2, )
因此可得
2
3
x
x


ln(1  x )  x 
2
3
n
x
 ( 1) n1
 Rn ( x )
n
( 1) n
x n1
其中 Rn ( x ) 
n  1 (1   x ) n1
(0    1)
2 n 1
x3 x5
x
sin x  x 
    ( 1) n
 o ( x 2 n 2 )
3! 5!
( 2n  1)!
2n
x2 x4 x6
x
cos x  1       ( 1) n
 o( x 2 n )
2! 4! 6!
( 2n)!
n1
x2 x3
n x
ln( 1  x )  x      ( 1)
 o( x n1 )
2
3
n1
2
3
x
x
ex  1 x 


2! 3!

(1  x )  1  x 

 (  1)
2!
x n1

 o( x n1 )
( n  1)!
x2 
 (  1)(  n  1)
n!
x n  o( x n )
三、泰勒公式的应用
1. 在近似计算中的应用
• 已知 x 和误差限 , 要求确定项数 n ;
• 已知项数 n 和 x , 计算近似值并估计误差;
• 已知项数 n 和误差限 , 确定公式中 x 的适用范围.
f (0) n
f ( x )  f (0)  f '(0) x 
x 
2!
M
n1
x
误差 Rn ( x ) 
( n  1) !
f ( n ) (0) n

x
n!
( n1)
f
( x ) 在包含 0 , x 的某区间上的上界.
M为
例1. 计算无理数 e 的近似值 , 使误差不超过 106.
解: 已知 e x 的麦克劳林公式为
2
3
x
x
ex  1 x 


2! 3!
令x=1,得
1
e  11 
2!
x n1

 o( x n1 )
( n  1)!
1
e
 
(0    1)
n ! ( n  1) !
由于 0  e  e  3, 只需 Rn (1) 
3
 106
( n  1) !
由计算可知当 n = 9 时上式成立 , 因此
1
e 11 
2!
1
 2.718282

9!
说明: 注意舍入误差对计算结果的影响.
1
本例 e  1  1  
2!
1

9!
若每项四舍五入到小数点后 6 位,则
各项舍入误差之和不超过 7  0.5  106 ,
总误差限为 7  0.5  106 106  5  106
这时得到的近似值不能保证误差不超过 106.
因此计算时中间结果应比精度要求多取一位.
2. 证明 e 为无理数 .
证:
1
e  11 
2!
1
e
 
(0    1)
n ! ( n  1) !
两边同乘 n !
e
n! e = 整数 +
(0    1)
n1
p
假设 e 为有理数 ( p , q 为正整数) ,
q
则当 n  q 时, 等式左边为整数;
当 n  2 时, 等式右边不可能为整数.
矛盾 ! 故 e 为无理数 .
x2
例2. 用近似公式 cos x  1 
计算 cos x 的近似值,
2!
使其精确到 0.005 , 试确定 x 的适用范围.
解: 近似公式的误差
4
x
R3 ( x ) 
cos( x )
4!
令
x
24
4
 0.005
解得

x
4
24
x  0.588
即当 x  0.588 时, 由给定的近似公式计算的结果
能准确到 0.005 .
2. 利用泰勒公式求极限
e  2cos x  3
例3. 计算 lim
.
4
x 0
x
1 4
x2
2
e  1  x  x  o( x 4 )
解:
2!
x2
x 2 x4
cos x  1 

 o( x 5 )
2! 4!
1
1 4
 e  2cos x  3  (  2  ) x  o( x 4 )
2!
4!
x2
7 x 4  o( x 4 )
7
12

原式  lim
4
x 0
x
12
3. 利用泰勒公式证明不等式
x x2
例4. 证明 1  x  1  
( x  0).
2 8
证:
1  x  (1  x )
1
2
1 1 1
1
x 1 1 1
 52 3
2
 1    (  1) x   (  1)(  2)(1   x ) x
3! 2 2
2
2 2! 2 2
(0    1)
x x2 1
 52 3
 1 
 (1   x ) x
2 8 16
+

x x2
1 x  1 
2 8
( x  0)
内容小结
1. 泰勒公式
f ( x0 )  f ( x0 )( x  x0 )
f ( x0 )

( x  x0 ) 2
2!
f ( n ) ( x0 )

( x  x0 ) n  Rn ( x )
n!
其中余项
f ( n1) ( )
n
n 1
 o(( x  x0 ) )
Rn ( x ) 
( x  x0 )
( n  1) !
( 在 x0 与 x 之间)
当 x0  0 时为麦克劳林公式 .

2. 常用函数的麦克劳林公式 ( P142 ~ P144 )
ex ,
ln(1  x ),
sin x ,
cos x ,
(1  x )
3. 泰勒公式的应用
(1) 近似计算
(2) 利用多项式逼近函数
(3) 其他应用
例如 sin x
求极限 , 证明不等式 等.
思考与练习
e x sin x  x (1  x )
1. 利用泰勒公式求极限 lim
x 0
x3
2
3
x
x
解:  e x  1  x    o( x 3 )
2! 3!
x3
sin x  x   o( x 3 )
3!
e x sin x  x (1  x )
 lim
x 0
x3


x2 x3
x3
3 
 1  x    o( x )  x   o( x 3 )   x (1  x )
2! 3!
3!




 lim
x 0
x3
x3 x3
  o( x 3 )
1
 lim 2! 3! 3
 .
x 0
x
3
3x  4  4  3x  4
.
2. 求 lim
2
x 0
x
1
解: 3 x  4  2 1  43 x  2(1  43 x ) 2
2
 1 3  1 1

 3 
2
 2 1    x      1    x   o ( x ) 
 4 
 2  4  2!  2

3
1 9 2
 2  x   x  o( x 2 )
4
4 16
3 12
1  9 x 2  o( x 2 )
3


2

x
4  3x  2(1  x )
4 16
4
4
 1  9 x 2  o( x 2 )
 9
 原式  lim 2 16 2
x 0
32
x
3. 当 x  0 时， 3 x  4sin x  sin x cos x 为几 阶无穷小
1
解：3 x  4sin x  sin x cos x  3 x  4sin x  sin 2 x
2
x3 x5
 3 x  4[ x 

 o( x 6 )]
3! 5!
1
( 2 x ) 3 ( 2 x )5
 [2 x 

 o( x 6 )]
2
3!
5!
1 5

x  o( x 6 )
10
从而 当 x  0 时，3 x  4sin x  sin x cos x 为5 阶无穷小
4. 求 lim ( 6 x 6  x 5  6 x 6  x 5 )
x 
解法一 (利用泰勒公式)
说明：在利用Taylor公式求
极限时，关键是分析展到多
少阶，也就是说，要对无穷
小的阶数有一个估计。
1
1


6
6
6
5
6
5
6
6
lim x  x  x  x  lim x   1  1 / x    1  1 / x  
x 
x


1
1
1
1




1
6
6
6
6
1

1
/
x

1

1
/
x
 
   t  1  t   1  t  

 x

 lim 
lim 
x 
t 0
1/ x
t

1
1


 1  6 t  (t )   1  6 t  (t )   1


 lim 

t 0
t
3
解法二 (利用拉格朗日中值定理)
6
1
1


6
6
1 
1 

6
5
6
6
5
x  x  x  x  x  1     1   
x 
x 



1
 x  1   
6

5
6
2

x
1
 1
    
x
 x
1
显然当 x   时，  0， 故极限为
3
Taylor公式证明不等式举例
f ( x)
证明：设 lim
 1, 且f ( x )  0, 证明f ( x )  x .
x 0
x
f ( x)
lim
 1,  f (0)  0, f (0)  1
x 0
x
f ( ) 2
f ( x )  f (0)  f (0) x 
x
2!
 f (0)  f (0) x
x
作
业
• P145. 1; 5; 7; 8; 10(1,2)
作业提交时间：2012年11月19日上午8:00am.