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§1.6 倒格子与布里渊区 一. 倒格子 （先在B格子和基矢坐标系中讨论) 1. 定义： 正格子基矢 a1 a2 a3 倒格子基矢 b1 b2 b3 2π i=j ai·bj= 0 i≠j 即i≠j ai ⊥ bj 例如:b1 在a2×a3所确定的方向上（或反方向上） b1＝c(a2×a3) c为待定系数 则， a1·b1＝ca1·(a2×a3)＝cΩ (A) 其中Ω为正格子初基原胞体积，同时，由定义 a1·b1＝2π （B） 2 比较（A）,（B）式得 c 2 b1＝ （a2×a3） 2 类似可得 b2＝ （a3×a1） b3＝ 2 2 (a1×a2) 2 有了倒格子基矢，可构成倒格矢。 Gh＝h1b1＋h2b2＋h3b3 倒格子周期性 其中h1 h2 h3为任意整数，由倒格矢Gh确定的空间 叫倒格子空间。 由上定义可知，Gh与波矢K有相同的量钢。 属同一“空间” Gh是K空间的特定矢量。 倒格子初基原胞“体积”Ω※＝b1·(b2×b3) 注意： 正倒格矢量纲不同，属不同的空间，可有方向上 的关系，不能直接比较大小。 #思考题： 对二维格子，已知正格基矢a1、 a2,如何确定b1、b2的方向？ 强调： 这里定义的倒格矢，所对应的正 格矢是在基矢坐标系中的。 2．倒格子的重要性质（正倒格 子间的关系） (1).若h1、h2、h3为互质整数，则 Gh＝h1b1＋h2b2＋h3b3为该方向的最短倒格矢。 (2).正、倒格子互为倒格子。 (3). Gh ＝h1b1＋h2b2＋h3b3垂直于晶面族 （h1 、h2 、h3 ）（两个h1 、h2 、h3 分别相 等）。 证：晶面族（h1、h2、h3）中的一个晶面在a1、 a2、 a3上的截距为x,y,z,由面指数的定义: （h1、h2、h3）＝m(1/x、1/y、1/z) 即 h1x＝h2y＝h3z＝m （m为公因子） （A） 在该晶面上作二非平行矢量（如图） u＝xa1－ya2 v＝ya2－za3 则 u·Gh＝(xa1－ya2) ·(h1b1＋h2b2＋h3b3) 由倒基矢定义 ＝2π（h1x－h2y） 由（A）式 ＝2π(m－m)＝0 即 U⊥Gh 同理可证υ⊥Gh Gh与（h1、h2、h3）面内二条非平行直线均 垂直,所以 Gh垂直于（h1、h2、h3）晶面族。 (4) 某方向最短倒格矢 Gh＝h1b1＋h2b2＋h3b3 之模 和晶面族（h1、h2、h3）的 面间距dh成反比。 dh 2 Gh （5）倒格矢Gh和正格矢Rn的 标积是2π的整数倍 Gh·Rn＝2πm 问题： 若Gh，Rn分别为正、倒格矢，上 式成立。反之，若上式成立，若已知 一个为正格矢，则另一个必为倒格矢 吗？ 证： Gn x 晶面族(h1h2h3) 中离原点距离为mdh的晶面方程 为： Gh x Gh md h 其中 x为晶面上的任意位矢，并不一定是格矢。 由性质（4） x G G 所以， h h d h x 2 Gh Gh 2 d h md x G 2 m 故上反定理不成立。 (6).正、倒格子初基元胞体积间满足 Ω·Ω※＝（2π）3 h (7)晶体的傅立叶变换 设函数V(x)具有正晶格周期性，它可以作付 里叶级数展开： V ( x )＝ i V (n )e n ＝ V (G n n )e iG n x 2 a nx n是整数 V ( G n )＝ 1 a a V ( x ) e iG n x dx 0 V(Gn)是V(x)在倒空间的“映像和表 述”，它们之间满足傅立叶变换的关 系。 ∴所以可以说， 一个具有正格子周期性的物理量， 在正格子中的表述与在倒格子中的表 述之间满足傅立叶变换的关系。 二．布里渊区（B.Z） GT010 定义： 任选一倒格点为原点，从原点向 它的第一、第二、第三……近邻倒格点画 出倒格矢，并作这些倒格矢的中垂面，这 些中垂面绕原点所围成的多面体称第一 B.Z，它即为倒空间的W－S元胞，其“体 积”为 Ω※＝b1·(b2×b3) 说明 • 并不是原点仅到最近邻的倒格点的倒格 矢的中垂面所围成的区域叫第一B.Z; • 第一B.Z又可表述为从原点出发，不与 任何中垂面相交，所能达到的倒空间区 域。第nB.Z则是从原点出发跨过（n－1） 个倒格矢中垂面所达到的区域； • 各级B. Z体积相等。 二维正方晶格的布里渊区 二维长方晶格的布里渊区 二维六方晶格的十个布里渊区 面心立方晶格的第一布里渊区 体心立方晶格的第一布里渊区 •布里渊区界面方程 Gh K 由晶面方程： Gh x Gh md h 当x换为倒格矢中垂面上的任意波矢K时，得 到布里渊区界面方程 Gh K Gh Gh 2 作业 P63 6. 7