Transcript §4－2布洛赫（Bloch）定理

§4－2布洛赫（Bloch）定理
求晶体中的电子态，要解定态薛定谔方程
2
2m
 2 (k,r)＋E －V(r) (k,r)＝0
其中势能函数V(r)具有晶格周期性，即
V(r)＝V（r＋Rn）
＝V（r+n1a1+n2a2+n3a3）
一．布洛赫定理
晶体中的电子波函数是按照晶格周期
性进行的调幅平面波.
即（以一维为例）
（k ,x）＝u（k，x）eikx
其中
u（k，x）＝u（k ,x+na）
晶体中的电子波又称为Bloch波。
讨论：
1．电子出现的几率具有正晶格的周期性。
∣（k ,x）∣2＝∣u（k，x）∣2
∣（k ,x＋na）∣2=∣u（k ,x+na）∣2
∵ u（k，x）= u（k ,x+na）
∴∣（k
,x）∣2=∣（k ,x＋na）∣2
2. 布洛赫定理的另一种表示
（k ,x+na）＝（k ,x）eikna
证明:
∵ （k ,x）＝u（k，x）eikx
u（k，x）＝u（k ,x+na）
得：u（k，x）＝（k,x）e-ikx
u（k ,x+na）=（k ,x+na）e-ik(x+na)
= e-ikx [e-ikna （k ,x+na）]
(A)
(B)
比较（A）（B）二式，左右分别相等
∴ （k ,x+na）＝（k ,x）eikna
以上证明各步均可逆，故Bloch定理的两种表示
等价。
3．函数（k ,x）本身并不具有
正晶格的周期性。
（k ,x＋na）＝u（k，x+na）eik(x+na)
= u（k，x+na）eikx× eikna
= u（k，x）eikx× eikna
= （k ,x）eikna
而一般情况下 ∵ k不是倒格矢 eikna≠1
∴ （k ,x＋na）≠ （k ,x）
（k ,x＋na）≠ （k ,x）
∣（k ,x）∣2=∣（k ,x＋na）∣2
讨论：波函数的物理意义
二．Bloch 定理的证明
1． 由于势能函数V(x)具有晶格周期性，适
当选取势能零点，它可以作如下的付里叶级
数展开：

V ( x)＝ Vn e
2
i
nx
a
n  
1
Vn＝
a
a
 V ( x)e
0
i
2
nx
a
dx
说明：
1
V0＝
a
∴
a
 V ( x)dx＝V ( x)  cons  0
0
V ( x)＝Vn e
i
2
nx
a
n 0
V ( x )＝ Vn e iGn x
n 0
(1)
2.将待求的波函数ψ（r）向动量本征
态――平面波eik•x展开
 (k , x)＝ C (k )e
'
K
'
‘
ik
x
(2)
求和是对所有满足波恩－卡曼边界条件的波
矢k’进行的。(讨论）
将（1）式和（2）式
V ( x )＝ Vn e iGn x
n 0
 (k , x)＝ C (k )e
'
‘
ik
x
K'
代入薛定谔方程
2
2m
 2 (k,x)＋E －V(x) (k, x)＝0
得:
2

'2
'
ik ' x
' i ( K '  Gh ) x
VnC (k )e
' 2m K C (k ) e ＋
n0 K '
K
＝E  C ( K )e
'
K'
ik ' x
(3)
将此式两边乘e－ik.x,然后对整个晶体积
分。并利用平面波的正交归一性

l

e
L
‘
i(K
K
) x
dx＝L K K '
'
e
i ( K ’ Gn  K ) x
dx＝L K‘ G
n ,K
得到
  2 K '2

'
'
VnC ( K ) L K ’G , K ＝0
'  2m  E C ( K ) L K,k '＋
n
'
n0 K
K 


利用δ函数的性质，得（4）式
 K

 E C（K ) 

 2m

2
2
V C ( K  G )＝0
n0
n
n
该方程实际上是
动量表象中的薛定谔方程，称作中
心方程。
K态与其相差不是一个倒格矢
的态之间无耦合
方程（4）说明，与K态系数C(K)的值有
关的态是与K态相差任意倒格矢Gn 的态
的系数C(K－Gn)…….与K相差不是一个
倒格矢的态不进入方程（4）。
该结论也应适用于波函数 (k,x)。
因此波函数
 (k , x)＝ C (k )e
'
‘
ik
x
K'
应当可写成
 (k , x)＝ C (k  Gn )ei ( k G )x
n
Gn
＝e
iK  x
 C ( K  G )e
n
Gn
 iGn x
与Bloch定理比较
（k ,x）＝u（k，x）eikx
需证明
 iGn x
u（K，x)＝ C ( K  Gn )e
Gn
=u(K,x+na)
∵Gh·Rn＝2m，
一维情况Rn=na, Ghna=2m
e
 iGn na
1
u（K，x)＝ C ( K  Gn )e
 iGn x
e
 iGn na
Gn
＝ C ( K  Gn )e
 iGn ( x  na )
Gn
于是布洛赫定理得证。
 u( K , x  na)
三． 布洛赫定理的一些重要推论
（1）K态和K＋Gh态是相同的状态，这就是说：
（A）（K＋Gh,r）＝ （K，r）
（B）E（K＋Gh）＝E(K)
下面分别证明之。
∵ （k ,x） ＝ C ( K  Gn )ei ( K G
n
Gn
求和遍取所有允许的倒格矢
) x
( k  G , x )＝ C ( K  G  Gn )e
'
n
'
n
i ( K Gn' Gn ) x
Gn
令G‘n－Gn=Gn’’,则
＝ C ( K  G )e
''
n
i ( K Gn' ' ) x
 ( k , x )
G ''n
因为求和也是遍取所有允许的倒格矢
即相差任意倒格矢的状态等价。
ˆ
由薛定谔方程 H
(k,r)=E(k)(k,r)
 (k  G , x) 与  (k , x) 等价
'
n
^
^
H  (k , r )＝ H  (k  Gh , r )＝E (k  Gh ) (k , r )
∴ E（k）=E(k+Gn)
可见，在波矢空间，布洛赫电子态具有倒格子
周期性，为了使波矢K和状态一一对应，通常限
制k在第一B.Z.内变化。
第一B.Z.内的波矢又叫简约波矢。
（2）E（k）＝E（－k）
即能带具有k=0的中心反演对称性。
（3）E（k）具有与正晶格相同的对
称性。