Transcript 09 最优投票规则

理论分析框架
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第九讲 最优投票规则：
认知差异类型
□《公共选择与政治立宪》，第17章
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课程大纲
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孔多塞陪审团定理与简单多数规则
个体能力差异与加权多数规则
两类错误异值与受限多数规则
多元备选对象与最多票数规则
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一、 孔多塞的陪审团定理与简单多数规则
● 模型的参数设定
● 最优规则及其证明
● 陪审团定理的规范含义
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1.参数设定
〇决策人数：n人
〇正确决策概率：p(>0.5)
〇是否有罪的先验概率：0.5
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2、最优规则及其证明
〇最优规则：简单多数规则
〇理论逻辑：最大似然估计
〇具体证明：正确决策概率最大的规则
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表1 正确决策概率最大的最优决策规则
有罪G 无罪I
选择
正确概率
错误概率
(1-p)n
n
0
G
pn
n-1
1
G
pn-1(1-p)
…
…
G
k
n-k
G
pk(1-p)n-k
(1-p)kpn-k
k-1
n-k+1
I
pn-k+1 (1-p) k-1
(1-p) n-k+1pk-1
….
…
I
0
n
I
pn
(1-p)n
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最优简单多数规则的正确决策概率
令n个（n为奇数）投票者在两个备选对象
中进行选择。假设两个备选对象为正确的
可能性在先验上是相同的。在个体独立决
策的情况下，若每一个体做出正确选择的
概率p相同，p  1 / 2。那么，该集体利用简
单多数规则投票做出正确选择的概率为：
n
n!
Pn  
p m (1  p) n  m
m  ( n 1) / 2 m!( n  m)!
其中，Pn随n的增大而不断趋近于1。
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二、个体能力异值与加权多数规则
 考虑一个由n位成员组成的单位就a和b进行选择
的选择环境。假设个体i做出正确选择的概率为pi。
Nitzan与Paroush（1982）的研究发现：此时的最优
决策规则是加权的多数规则。关于这一规则，令xi
为个体的选择，个体选择a时，xi 取1，否则，取－1。
加权投票规则为：

n
f  sign(i 1  i xi )
其中， i  ln pi (1  pi ) 
 定理的证明
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三、两类错误异值与受限多数规则
假设在a正确的情况下（比如说有罪）选择b所
对应的错误决策成本为，而在给定b为正确决
策下选择a的错误决策成本为1，其中  1。那
么此时的最优规则是受限多数规则，该规则要求：
选择a所要求的人数比例为：

k  1   0 / n  / 2
 p 

其中， 0＝ln(1 /  );   ln
1 p 
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四、多元议案与最多票数规则
●孔多塞胜者存在时的最优规则：简单多数
●孔多塞胜者不存在时的最优规则？
□例子：假设一个由60位成员组成的集体决策单
位。个体对于三元备选对象的排序是：
N(abc)=23;N(bac)=2;N(bca)=17;
N(cab)=10;N(cba)=8。
□多数循环与孔多塞胜者的不存在性（？）
□最优偏好排序的计算（图1）
□最优决策规则
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a
35
25
27
33
18
c
b
42
图1 个体排序的几何表示
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End
THANKS!
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