Transcript 神奇幻方

经济学院
金融工程
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幻方，又称纵横图，由一组排放在正方形中
2
n
的整数组成。通常幻方由从1到的
连续整数组成，
其中n为正方形的行或列的数目。其每行、每列以及两
条对角线上的数之和均相等，这个和数就叫“幻方常数”
或“幻和”。显然，对于任意n阶的幻方来说，其幻方
n（n 2  1）
S
常数S和方阵阶数n的关系
2
是
。例如3阶的幻方常数
是15，4阶的幻方常数是34……
百变幻方
百变幻方——数学领域中的一道名题。幻
方是几千年前中国人首先发自现的，后来传到了世界
各地，引起了广泛的关注。幻方是简单得人人都可以
理解的数学现象，但它又蕴含着许多人们至今仍无法
回答的问题，因此自然而然成为了数学领域中受人关
注的一个课题。
幻方是科学的结晶与吉祥的象征，发源于
我国古代的洛书——九宫图。洛书被世界公认
为组合数学的鼻祖，它是中华民族对人类的伟
大贡献之一。洛书以其高度抽象的内涵，对我
国古代政治伦理、数学、天文气象、哲学、医
学、宗教等等都产生了重要影响。同时，它又
极其富有数学上的美感。
在这一个小小的九宫图
中却隐藏着许多的数字规律。从最浅
显的开始：各行、列、对角线的和皆
为15。上下两行平方和皆为101，左
右两列平方和皆为89。
用数字的众数和规律去分析此图时就
会发现，任意两组数字的随机组合互相相乘，
其结果的众数和都为9，例如第一行数字的一
个随机组合数字为924，第二列的一个随机组
合数字为159，两者相乘，其结果为146916，
求其众数和，得1+4+6+9+1+6=27，2+7=9，可
见，结果的众数和都为9。
而且，如果我们把对角线分为两族，
自左上角到右下角的主对角线和与它平行的两
条折对角线称为主族，反方向的对角线称为副
族，则会衍生出更多的规律：幻方中间一行、
中间一列和每条主对角线上的3个数当做一个3
位数正读和反读相加之和都等于1110，而且第
1、第3两行数和第1、第3两列数以及主、副两
条折对角线正读和反读之和折半也等于1110：
第2行：
357+753=1110
第2列：
951+159=1110
对角线：
456+654=1110
258+852=1110
第1、3行：
[(492+294)+(816+618)]/2=11
第1、3列：
[(438+834)+(276+672)] /2=1
主折对角线：
[(231+132)+(978+879)] /2=111
副折对角线：
[(471+174)+(936+639)] /2=111
大家觉得是不是很神奇？因此我们完全
有理由在通常的幻方常数15之外，为洛书3
阶幻方定义第2个特殊的幻方常数1110，而
且它同15一样，有8个之多。由此可见，洛
书3阶幻方不但在配置9个数字上非常均衡和
对称，富有和谐之美，而且在把行、列看做
一个整体的情况下，其数字的配置也非常均
衡和对称。
在对于幻方的研究中，首先一个问题
当然是如何构造幻方。在幻方构造法的研究方面，
已经取得了很大的进展，有很大成绩。至今为止
已经发展了许多巧妙不同的幻方构造法。最简单
的幻方就是平面幻方，此外还有立体幻方、高次
幻方等。对于立体幻方、高次幻方目前世界上很
多数学家仍在研究，现在我们只讨论平面幻方。
对平面幻方的构造，分为三种情况：
N为奇数
N为双偶数（n=2×2m形式的偶数）
N为单偶数(n=2（2m+1）形式的偶数)
N为奇数
此类最为简单，构造方法有连续摆
数法(暹罗法)、阶梯法(楼梯法) 、奇
偶数分开的菱形法等，下面以连续摆数
法为例，向大家介绍奇数阶幻方的构造
法。
把“1”放在中间一列最上边的方格
中，从它开始，按对角线方向（比如说按从左
下到右上的方向）顺次把由小到大的各数放入
各方格中，如果碰到顶，则折向底，如果到达
右侧，则转向左侧，如果进行中轮到的方格中
已有数或到达右上角，则退至前一格的下方。
按照这一法则构成5阶幻方的示例如下图：
N为双偶数
构造方法有对称法，对角线法，比
例放大法等
N为单偶数
构造的方法有斯特雷奇法、LUX法等
至此，我对奇数阶、单偶数阶、双偶
数阶幻方都已分别介绍了一些构造方法，
当然，也有一些方法可以构造任意阶的幻
方，如镶边法、相乘法等，有兴趣的同学
可以利用课余时间了解这些方法，相信对
开拓我们的思维一定有很大的帮助。
相信通过以上的介绍，大家一定对
幻方有了更多的了解，并且为幻方所感染。我们
可以看到幻方所具有的幻性是十分丰富的，其分
布规律，其结构关系，都表现出惊人的和谐对称
性，及整齐一律的美，并蕴含深奥的哲理理念。
它可以激起我们想象空间的升华，使我们在数字
结构中感受数学之美。