Transcript 曾第7章

第7章 量子力学的矩阵形式与表象变换
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


§7.1
§7.2
§7.3
§7.4
量子态的不同表象，幺正变换
力学量（算符）的矩阵表示
量子力学的矩阵形式
Dirac 符号
海森堡（Werner Heisenberg，1901年
－1976年），德国著名物理学家，量子力
学的创立人。他于20世纪20年代创立的量
子力学，可用于研究电子、质子、中子以
及原子和分子内部的其它粒子的运动，从
而引发了物理界的巨大变化，开辟了20世
纪物理时代的新纪元。为此，1932年，他
获得诺贝尔物理奖，成为继爱因斯坦和波
尔之后的世界级的伟大科学家 。其主要贡
献为：提出了量子力学的矩阵形式、提出
测不准原理和S矩阵理论。
§7.1 量子态的不同表象，幺正变换
1. 直角坐标系及其变换
设有直角坐标系x1x2，其基矢为e1,e2，即
 
(ei , e j )  δij , i, j  1,2
任一矢量在坐标系中展开为
e2
x2
x´2 e´2
A´2
A2
A



A  A1e1  A2 e2
 
 
A1  (e1 , A), A2  (e2 , A)
θ
O
θ
A´1
x1 e1
A
1
e´1
x´1
若有另一直角坐标系x1’x2’，其基矢为e1’,e2’，即
 
(ei, ej )  δij , i, j  1,2
任一矢量A在坐标系中的展开为



A  A1e1  A2 e2
 
 
A1  (e1, A), A2  (e2 , A)
同一矢量A在两个坐标系中展开之间的关系时
则





A  A1e1  A2 e2  A1e1  A2 e2
 
 
A1  A1 (e1, e1 )  A2 ( e1, e2 )
 
 
A2  A1 (e2 , e1 )  A2 (e2 , e2 )
表示成矩阵形式是
 
 


 A1   ( e1 , e1 ) ( e1, e2 )  A1   cos θ
     
     
 A2   ( e2 , e1 ) ( e2 , e2 )  A2   sin θ
 sin θ  A1 
 
cos θ  A2 
或写成
 A1 
 A1 
   R(θ ) 
 A2 
 A2 
 cosθ
R(θ )  
 sin θ
 sin θ 

cosθ 
可见： 同一矢量在两个坐标系中的表示之间的关系通过一变换矩阵
联系在一起，变换矩阵的矩阵元是两个坐标系基矢间的标积。
变换矩阵的性质：
(1)变换矩阵R是真正交矩阵 (proper orthogonal matrix)
cosθ
~ ~
RR  RR  1, det R 
sin θ
 sin θ
cosθ
1
(2) 变换矩阵R是幺正矩阵(unitary matrix)
RR   R  R  1
2. 表象及其变换
任何一个量子态可以抽象成Hilbert空间中的一个矢量。体系的
任何一组对易力学量完全集F的共同本征态可构成此态空间的
一组正交归一完备的基矢，称为F表象。
每选择一组展开基矢，态空间便有了一种描述方式，就说是
选取了一组表象。同时，将一个矢量方程向某组基矢投影，
便意味着进入了相应的（由该基矢所表示的）表象。
表象的改变意味着状态空间中基矢的改变，表象变换是一种
幺正变换，选择不同基矢去描述同一体系，得到全部的物理
结论都应当相同。
作为基矢的态矢量的集合必须是完备的。
i
i I
i
常见的表象有：坐标表象、动量表象和能量表象。
F表象：
 k , k  1,2,3,
任一量子态Ψ的展开
(ψk ,ψ j )  δ kj
ψ   akψk , ak  (ψk ,ψ )
k
则一组数（a1, a2, …）就称为Ψ在F表象中的表示
矩阵形式
同一量子态在不同表象表示间的关系
若有另一组力学量完全集F´
则量子态Ψ在F’中的展开为
(ψα ,ψ β )  δαβ
ψ   aα ψα   akψ k
α
则
aα   (ψα ,ψ k )ak   Sαk ak
k
式中
Sαk  (ψα ,ψk )
 a1 
 
 a2 
 
 
 an 
k
k
为F´ 表象和F表象基矢的标积。
 a1   S11
  
 a2    S 21
   
  
量子态表象变换的
矩阵形式
可以证明：
S12  a1 
 
S 22  a2 

  
SS   S  S  1
即表象变换时幺正变换。
证明： ( S  S )kj 
S

α

kα
Sαj   S Sαj

αk
α
  

 
3
( S S ) kj    d rψα ( r )ψ k ( r )  d r ψα ( r )ψ j ( r )

3
α

  

  d r  d r  ψα ( r )ψα ( r )ψ k ( r )ψ j ( r )
3

3
α
   

  d r  d r δ ( r  r )ψ k ( r )ψ j ( r )

3
 
  d rψ k ( r )ψ j ( r )  δ kj
3
3
说明
 

 (r  r )   c  (r )

 
 
 
c    ( r  r )  ( r ) dr    ( r )
 
 

  (r  r )    (r )   (r )

§7.2 力学量（算符）的矩阵表示
1. 矢量的矩阵表示
平面上一矢量A 逆时针转动θ角后变成矢量B,则
令


 


A  A1e1  A2 e2 ; B  B1e1  B2 e2


B  R(θ ) A
(1)
(2)
R ( ) 表示沿逆时针方向把矢量旋转θ的操作
x2
Re2
B
θ
A
e2
Re1
θ
x1
(1)代入(2)得
x2
θ
x1




B1e1  B2 e2  A1R e1  A2 R e2




分别用e1, e2点乘得  B1  A1 ( e1 , R e1 )  A2 ( e1 , R e2 )





 B2  A1 ( e2 , R e1 )  A2 ( e2 , R e2 )
写成矩阵形式




 B1   ( e1 , R e1 ) ( e1 , R e2 )  A1   cos θ
    


    
 B2   ( e2 , R e1 ) ( e2 , R e2 )  A2   sin θ
 sin θ  A1 
  ( 3)
cos θ  A2 
 sin θ 

(4) 矢量逆时针操作的矩阵表示
cosθ 


 R11   cosθ   ( e1 , R e1 )  第一列是e1经过旋转后在坐标
   
   
  系各基矢方向的投影；第二列
 R21   sin θ   ( e2 , R e1 )  是e 经旋转后在基矢上的投影。
2
则
 cosθ
R(θ )  
 sin θ
2. 力学量的矩阵表示
设量子态ψ经算符L的运算变成量子态φ，即
  Lˆ
在F表象中，F表象的基为  k 
上式可写成
 b ψ   a Lˆψ
k
k
k
k
k
k
两边同乘ψ*j，取标积得
b j  (ψ j , Lˆψk )ak   L jk ak
k
矩阵形式
 b1   L11
  
 b2    L21
   
  
k
L12  a1 
 
L22  a2 

  
L jk  (ψ j , Lˆ ψ k )
( L jk )
就是算符L在F 表象中的表示。
该表示的第n列元素为
ˆ ) 

(

,
L
L
n
 1n   1

 
 L2 n    ( 2 , Lˆ  n ) 

  

  

表示基矢ψn 经算符L作用后在各基矢上的投影。
例题 一维谐振子坐标x, 动量p和Hamilton量H在能量表象中的
矩阵表示
1  n 1
x mn  (ψ m , xψ n )  
δ m,n 1 
α 2
 n 1
pmn  ( m , pˆ  n )  i 
 m,n 1 
 2
则能量表象中坐标和动量的矩阵表示为
 0

1 / 2
1
( x mn )   0
α
 0

 
1/ 2
0
2/2
0

0
2/2
0
3/ 2


n
δ m,n 1 
2


n
 m ,n 1 
2

0
0
3/ 2
0









 0

1 / 2
( pmn )  iα  0
 0

 
 1/ 2
0
2/2
0

0
 2/2
0
3/ 2

H mn  ( m , H n )  En ( m , n )  En mn
0
0
1 / 2 0

0
 0 3/ 2 0
( H mn )  ω  0
0 5/ 2 0

0
0 7/2
 0




 
0
0
 3/ 2
0









1

  n  mn
2









力学量在不同表象间表示的变换
{ k }
( Lk j )
Lk j  ( k , L j )
F´表象： {  }
 )
( L
  ( , L  )
L
F表象：
因为
    k ( k ,  )   Sk k , Sk  (  , k )
k
k
    j ( j ,  )   Sj j , Sj  (  , j )
j
则
k





L  (  , L  )   Sk ( k , L j ) Sj   Sk Lkj S j
kj
 ( SLS )
kj
即
而
比较
量子态ψ
L  SLS  SLS1
S  (Sk ),
Sk  (  , k ) 为从F→F´的幺正变换矩阵
F表象 { k }
 a1 
 
a   a2 , ak  ( k , )
 
 
 L11

力学量L L  ( Lkj )   L21
 

Lkj  ( k , L j )
L12 

L22 

 
F´表象 {  }
 a1 
 
a   a2 , a  (  , )
 
 
 L11 L12 


 )   L21
 L22
 
L  ( L
 




  (  , L  )
L
或写成简洁形式
a  Sa,
L  SLS1  SLS
 S11

其中 S  ( Sk )   S21
 

S12 

S22 , Sk  (  , k )

 
是从F→F´表象的幺正变换矩阵。
§7.3 量子力学的矩阵形式
7.3.1 Schrödinger 方程

i ψ  Hˆ ψ
t
在F表象中波函数表示为 ψ 
 a (t )ψ
k
(1)
k
k
代入到方程(1)得
i a k (t )ψk   ak Hˆ ψk
k
左乘Ψj求标积得
k
ia j (t )   H jk ak , H jk  (ψ j , Hˆ ψk )
k
或
 a1   H11
  
i a 2    H 21
   
  
这就是F 表象中的薛定谔方程
H12  a1 
 
H 22  a2 

  
H  E
能量本征方程的矩阵形式
ψ   ak (t )ψk
在F表象中波函数表示为
k
H  ak (t ) k  E  ak (t ) k
代入本征方程得
k
 (
两边左乘Ψj求标积得
H
k
j
, H k )ak (t )  E  ak (t )( j , k )
k
a (t )  E  ak (t ) jk
k
jk k
k
 (H
k
jk
 E jk )ak (t )  0
k
( H11  E )a1  H12 a2  H13 a3    0
 H a  ( H  E )a  H a    0
 21 1
22
2
23 3

 H 31a1  H 32 a2  ( H 33  E )a3    0

上述方程有非零解的充要条件是系数行列式为零，即
H11  E
H 21
H 31

H12
H 22  E
H 32

H13
H 23
H 33  E



0


久期方程
通过解上述一元N次方程可求出能量本征值Ei，将每一个Ei代入
到上述的N元一次方程组，就可求出对应的一组{ai}，排成列
矩阵就是本征值Ei对应的本征态；若上述久期方程有重根，则
能级有简并。
7.3.2 平均值
力学量的平均值
Lˆ  ( , Lˆ  )   ak ( k , Lˆ  j )a j   ak Lkj a j
kj
kj
 L11 L12  a1 

 


 (a1，a2，
) L21 L22  a2 
 
 



 
特例： 若L = F，则 L  ( , Lˆ  )  L ( , )  L 
kj
k
j
k
k
j
k kj
2

ˆ
ˆ
L  ( , L )   ak Lk  kj a j   ak Lk
k, j
k
7.3.3 任意力学量的本征方程
Lˆψ  Lψ
算符L的本征方程
将
ψ   akψ k
k
代入上述方程得
ˆ
a
L
 k ψk  L akψk
k
左乘Ψj取标积得
即
k
L
(L
k
jk
jk
ak  La j
 Lδ jk )ak  0
(8)
k
上式就是力学量L的本征方程在F表象中的矩阵形式
方程有非平庸解的条件是
det L jk  Lδ jk  0
或写成
L11  L
L12
L13

L21
L22  L
L23

0
L31
L32
L33  L 




若表象空间的维数为N，则上述方程有N个实根 Lj , j  1,2,, N
将每一个根代入(8)可得到相应的一组解
写成列矢形式
akj , k  1,2,, N
 a1( j ) 
 ( j) 
 a2 
  , j  1,2, , N


(
j
)
a 
 N 
这就是与本征值对应的本征矢在F表象中的表示。
例题 已知在l =1的（L2,Lz）表象中
 0 1 0
0  i 0 
1 0 0 




 
 
Lx 
 1 0 1 , Ly 
 i 0  i , Lz   0 0 0 
2
2


 0 0  1
0
1
0
0
i
0






(1) 给出它们的本征值与本征态矢
(2) 写出(L2,Lz)表象到(L2,Lx)表象的变换矩阵S，并通过S矩阵
求出在(L2,Lx)表象中Lx，Ly，Lz的矩阵表示、本征值与本征态
解： (1) Lx的本征方程
即
Lx  lx
 a1 
 0 1 0  a1 
 
 
 
 1 0 1  a 2   l x  a 2 
2
 a 
a 
0
1
0

 3 
 3
或写成
  lx

 / 2

 0
/ 2
 lx
/ 2
0  a1 
 
 / 2  a2   0
 
 l x  a3 
（1）
方程有非平庸解的充要条件是
 lx
det  / 2
0
解得：
将
/ 2
 lx
/ 2
lx  , 0, 
l x  
代入(1)得
0
/ 2  0
 lx
 1 

1
   2 
2

1


同理可得
 1 
1
1 
1  
l x  0, 0 
 0 ; l x  ,    2 ;
2 
2 
 1 
  1
同理有
 1 
1

1
1  
l y  ,    2i ; l y  0, 0 
 0 ;
2
2 

 1 
1
 1 

1
l y  ,     2i 
2


1


1
 0
 0
 
 
 
lz  ,    0 ; lz  0, 0   1 ; lz  ,    0 
 0
 0
1 
 
 
 
（2） 由Lx的三个本征矢量得到从(L2,Lz)到(L2,Lx)的表象变换
矩阵S
 1
1
S  2
2
 1

由变换公式
2
0
 2
1 

 2

1 
Fx  SFz S 1  SFz S  ,    S
可以得到在(L2,Lx)表象中算符、本征值和本征态
i 0
1 0 0 
0
 0 1 0




 
 
Lx   0 0 0 , Ly 
  i 0 i , Lz 
1 0 1
2
2
 0 0  1


0

i
0
0
1
0






1
 0
 0
 
 
 
l x  ,    0 ; lz  0, 0   1 ; lz   ,    0 
 0
 0
1 
 
 
 
 i 
1
 i
1 
1  
1 
l y  ,    2 ; l y  0, 0 
 0 ; l y  ,    2 
2 
2 
2 
 i
1
 i 
1
 1 
1  
1 
l z  ,    2 ; l z  0, 0 
 0 ;
2 
2 
  1
 1 
 1 

1
l z  ,     2 
2

1


§7.4 Dirac
Dirac 符号
符号
§7.4
保罗·狄拉克(Paul Adrie Maurice
Dirac1902~1984)量子力学的创
建者之一。26岁时提出量子力学和
量子电动力学的基本方程----狄拉克
方程，因而获得了1933年的诺贝尔
物理奖。他预言了电子的反粒子
-----正电子的存在，在量子统计、
宇宙学甚至数学方面都有独到的创造。
主要著作有
<量子力学原理>
7.4.1 右矢（ket)与左矢（bra）
量子体系的一切可能状态构成一个Hilbert空间，空间中的任一
矢量用来标记一个量子态
Dirac 符号的优点： 不涉及具体的表象； 运算简洁特别适合表象
变换
7.4.2 标积
φ ψ  φ ψ  (φ ,ψ )
φψ

 ψ φ
k j  δ kj
p p  δ ( p  p)
x x  δ ( x  x)
基矢的完备性条件
n
离散谱
n I
n
连续谱
应用
 x dx x   dx x x  I
 p dp p   dp p p  I
  n    n      S  


n
n
 ( x )  x   x (  dp p p ) 
  dp x p p  
1
ipx / 
 ( p )e

2
7.4.3 态矢在具体表象中的表示
在F 表象中，任意态矢的展开式为
ψ   ak k ,
k
a
则这组数
k
 kψ
ak  k ψ

(3)
就称为态矢在F表象中的表示。
 a1   1 ψ 

  
 a2    2 ψ 
   
  

列矢量的形式
投影算符：
由（3）得
ψ  k ψ k  k k ψ ,
k
定义：
Pˆk  k k
k
投影算符(projection operator)
则
Pˆk   k k   ak k
完备性关系
k
k I
（单位算符）
k
坐标和动量表象中的完备性关系
 dx  x 
F 表象中标积的计算
x  I ,
 dp  p 
p  I
ψ  k k ψ  k ψ k
k
k
k
k
φ  k k φ  k φ k
则
φ ψ 
k
 a1 
 



φ k k ψ   bk ak  (b1 , b2 ,) a2 
k
 
 
7.4.4 算符在具体表象中的表示
设态经过算符运算有
φ  Lˆ ψ
在F表象中利用基矢的完备性有
k φ  k Lˆ ψ   k Lˆ j j ψ
bk   Lkj a j
即
j
j
其中
bk  k φ , a j  j ψ 分别是两态矢在F 表象中的表示，
Lkj  k Lˆ j
矩阵形式
是力学量L在F 表象中的表示
 L11

( Lkj )   L21
 

L12 

L22 

 
力学量L的本征方程的矩阵表示
本征方程
Lˆ ψ  L ψ
k Lˆ ψ   k Lˆ j j ψ  L k ψ
在F表象中的表示
j
即
(L
kj
 Lδ kj )a j  0
j
求解该方程就可得到力学量L的本征值。
7.4.5 薛定谔方程

i ψ  Hˆ ψ
t
薛定谔方程
在F表象中的表示

i
k ψ  k Hˆ ψ   k Hˆ j j ψ
t
j
ia k   H kj a j
即
j
矩阵形式
 a1   H 11
d  
i  a2    H 21
dt   
   
力学量的平均值
H12
H 22

 a1 
 
 a2 
   
Lˆ   Lˆ     k k Lˆ j j    ak Lkj a j
kj
kj
7.4.6 表象变换
1. 态的表象变换
设态Ψ在F表象和F’表象中的表示分别是
ak  k ψ ,
则
aα  α ψ
α ψ  α k k ψ
(19)
k
即
aα   Sαk ak
(20)
k
Sαk  α k
(21)
式(20)的矩阵形式是
 a1   S11
  
 a2    S 21
   
  
S12  a1 
 
S 22  a2 

  
( 22)
a  Sa
或写成
(22)
S  S  SS   I
可以证明S是幺正变换，即
(23)
证明： 在F表象中
( S S ) kj   S Sj   S Sj    k



k


k

  k   j  k j   kj


 j
2. 算符的表象变换
算符L在F 表象和F’表象中的矩阵元分别是
L jk  j Lˆ k ,
则
  α Lˆ β
Lαβ
   Lˆ     j j Lˆ k k 
L
kj
  Sj L jk Sk  ( SLS )
(25)
kj
即
L  SLS  SLS1
幺正变换的性质
(1)幺正变换不改变算符的本征值
证明: 设算符L在F表象中的本征方程为
(25)
Lˆ  
作表象变换F→F´,则
即
SLˆS  S  S
Lˆ    
(2)幺正变换下矩阵的积不变
tr( L)  tr( SLS )  tr( SS L)  tr( L)
3. 连续谱表象----坐标表象与动量表象
坐标表象
xˆ x  x x
ψx ( x)  x x  δ ( x  x)
x x  δ ( x  x)
ψ ( x)  x ψ



d
x
x
x
I

动量表象
1
x p 
eipx / 
2π
pˆ p  p p
p p  δ ( p  p)
1
φ x ( p)  p x 
e ixp / 
2π
 dp  p 
p  I
态的表象变换
1
ipx / 





ψ ( x )  x ψ   dp x p p ψ 
dp φ ( p ) e

2π
1
ipx / 

d
p
φ
(
p
)
e
2π 
1
 i px  / 


φ ( p )  p ψ   dx p p x  x  ψ 
d
x
ψ
(
x
)
e
2π 
1
 ipx / 

d
p
ψ
(
x
)
e
2π 
算符在坐标表象中的表示
x xˆ x  xδ ( x  x)
x  pˆ x    dpdp x  p p pˆ p p x 
1
 ipx  / 
ipx  / 







 p δ( p  p ) e
dp dp e


2π
1
ip ( x   x  ) / 


dp p e


2π
 
1 
ip ( x   x  ) / 

e
p
d

i




x  
2π 

δ ( x   x )
  i
x 
算符在动量表象中的表示
p pˆ p  pδ ( p  p)

p xˆ p  i
δ ( p  p)
p
  
δ ( p  p)
p V ( x ) p  V  i
 p 
力学量的平均值（坐标表象中）
V  ψ V ψ   dxdx ψ x x V x x  ψ
  dxdx ψ  ( x )V ( x )δ ( x  x )ψ ( x )
  dxψ  ( x )V ( x )ψ ( x )
 2
p
1
2

T  ψ
ψ 
d
x
d
x
ψ
x
x
p
x x ψ

2m
2m
2


1


2
δ ( x  x )ψ ( x )

dxdx ψ ( x )  
2 

2m
x 

2


1


2
ψ ( x )

dxψ ( x )  
2 

2m
x 

力学量的平均值（动量表象中）
V  ψ V ψ   dpdp ψ p p V p p ψ
  
  dpdpφ ( p )V  i δ ( p  p)φ ( p)
 p 
  

  dxφ ( p )V  i φ ( p )
 p 

 2
p
1
T  ψ
ψ 
d pd p  ψ

2m
2m
1

2


d
p
d
p
φ
(
p
)
p
δ(p 

2m
1

2

d
p
φ
(
p
)
p
φ ( p)

2m

i
坐标表象中的薛定谔方程
t
p p p 2 p p ψ
p)φ ( p)
ψ (t )  H ψ (t )

i
x ψ ( t )  x H ψ ( t )   dx  x H x  x  ψ ( t )
t
 2 2


i ψ ( x , t )   dx 
δ ( x  x)  V ( x )δ ( x  x)ψ ( x, t )
2
t
 2m x

2 2

ψ ( x, t )  V ( x )ψ ( x, t )
2
2m x
即

2 2
i ψ ( x, t )  
ψ ( x, t )  V ( x )ψ ( x, t )
2
t
2m x
动量表象中的薛定谔方程

i ψ ( t )  H ψ ( t )
t

i
p ψ ( t )  p H ψ ( t )   dp  p H p  p  ψ ( t )
t

i φ ( p , t )   d p  p H p  p  ψ
t
 p2

  
  dp δ ( p  p)  V  i δ ( p  p)φ ( p, t )
 p 
 2m

  
p2

φ ( p, t )  V  i φ ( p, t )
2m
 p 
即
  

p2
i φ ( p, t ) 
φ ( p, t )  V  i φ ( p, t )
t
2m
 p 
Review
1. Dirac 符号
态矢

力学量

  ( )
薛定谔方程
完备性关系
n , nlm , 
Lnm  n L m
L   L
力学量的平均值
内积
基矢


i ψ  Hˆ ψ
t
k
k
 dx  x 
k I
x  I ,
 dp  p 
p  I
2. 表象与表象变换
F表象：
k 
k
k I
k
态
 k k
k
矩阵形式
 1

 2







基矢矩阵形式
力学量的矩阵表示：为一方阵，矩阵元为
1
2
1 
 
 0
 
 
 0
 
1 
 
 
Lnm  n L m
在自身表象中为单位矩阵，矩阵元就是其本征值
Lnm  n L m  Lmnm
F表象：
k 
 k k I
  I
 
   k k    S
k
F´表象：

a   Sa

k
k
k
L  SLS  SLS1
3. 在具体表象中算符本征方程求解
(1) 写出本征方程
Lˆ ψ  L ψ
k
(2)写出在具体表象中本征方程得矩阵形式
(L
kj
 Lδ kj )a j  0
j
 L11

 L21
 

L12  a1 
 a1 
 
 
L22  a2   L a2 
 

  
 
(3) 解久期方程
det L jk  Lδ jk  0
就可得到力学量L的本征值，可以证明，本征值的个数就是
上面的矩阵的维数。
(4)将每一个本征值分别代入上面的方程，就可得到对应的本征
函数。
Appendix 矩阵与行列式的性质
一 矩阵
1. 矩阵相等 A=B，矩阵的对应元素分别相等
2. 矩阵加减 A±B，矩阵的对应元素分别相加减
3. 矩阵的数乘k A,
4. 矩阵的乘法AB=C
k  A  (kaij )mn
cij   aikbkj
5. 矩阵转置：矩阵的行列互换
 a11 a12 

A  
 a21 a22 
k
~  a11 a21 

A  
 a12 a22 
6. 方阵A的逆矩阵A-1
AA1  A1 A  I
 A11  An1 

1  1 ~
1 
1
A   A   ( Aij )   

 
A
A
A

 A1n  Ann 
Aij是|A|中aij的代数余子式
7. 矩阵的复共轭就是矩阵中的每一个元素分别取复共轭
A  (aij )  (aij )
8. 矩阵的迹为矩阵的对角元素之和
trA   aii
i
二 行列式
1. 行列互换行列式的值不变
2. 用一个数乘行列式的某行（列）就等于这个数乘此行列式
ka 11
a12
ka 21
a22
a11  b11
a12  b12
a11
a12
a21
a22
a21
a22
kA  k
a11
a12
a21
a22


ka 11
ka 12
a21
a22
3. 行列式的分拆
A


b11
b12
a21
a22
4. 对换行列式中两行（列）的位置，行列式反号
5.行列式中有两行（列）成比例，则行列式等于零
6.把行列式中某行（列）的倍数加到另一行（列）上，行列式
不变。