Transcript 第二章波函数和薛定谔方程

§2
波函数和薛定谔方程
本章内容
§2.1
波函数的统计解释
§2.1
§2.2
态迭加原理
§2.2
§2.3
薛定谔方程
§2.3
§2.4
粒子流密度和粒子数守恒定律
§2.4
§2.5
定态薛定谔方程
§2.5
§2.6
§2.7
§2.8
一维无限深势阱
线性谐振子
势垒贯穿
§2.6
第二章小结
§2.7
§2.8
小结
§2.1
波函数的统计解释
（一）波函数
（二）波函数的解释
（三）波函数的性质
（四）自由粒子的波函数
返回
一、波函数
问题:
(1)
 是怎样描述粒子的状态呢？
(2)
 如何体现波粒二象性的？
(3)
 描写的是什么样的波呢？
二、波函数的解释
（1）两种错误的看法
1. 波由粒子组成
如，声波，由分子密度疏密变化而形成的一种分布 。
结论：这种看法是与实验矛盾的
原因：它不能解释长时间单个电子衍射实
验---单个电子就
具有波动性
证明1：单电子衍射
电子一个一个的
入射，经过足够
长的时间，在屏
幕上形成衍射图
样。
证明2：正是由于单个电子具有波动性，才能理
解氢原子（只含一个电子！）中电子运动的稳
定性以及能量量子化这样一些量子现象。
错误的根源：
波由粒子组成的看法夸大了粒子性的一面，
而抹杀了粒子的波动性的一面，具有片面性。
2. 粒子由波组成
电子衍射动画
波包：波包是各种波数（长）平面波的迭加。

电子是波包。把电子波看成是电子的某种实际结构，
是三维空间中连续分布的某种物质波包。因此呈现出
干涉和衍射等波动现象。波包的大小即电子的大小，
波包的群速度即电子的运动速度。
结论：这种看法与实际相矛盾
原因：平面波描写自由粒子，其特点是充满
整个空间，这是因为平面波振幅与位置无关。
如果粒子由波组成，那么自由粒子将充满整
个空间，这是没有意义的，与实验事实相矛
盾。
证明：实验上观测到的电子，总是处于一个小区域内。
例如在一个原子内，其广延不会超过原子大小≈1 Å 。
电子是粒子？还是波？
“ 电子既不是粒子也不是波 ”，既不
是经典的粒子也不是经典的波
但是我们也可以说，“ 电子既是粒子也
是波，它是粒子和波动二重性矛盾的统
一。”
经典概念中
粒子：
1.有一定质量、电荷等“颗粒性”的属性
2.有确定的运动轨道，每一时刻有
一定位置和速度
经典概念中
波：
1.实在的物理量的空间分布作周期性
的变化
2.干涉、衍射现象，即相干叠加性
（2）Born 波函数的统计解释 几率波
我们再看一下电子的衍射实验

方
法
一
方
法
二
大量电子一
次入射,立即
在屏幕上形
成衍射图样。
电子一个一个的
入射，经过足够
长的时间，在屏
幕上形成同样的
衍射图样。

结论：衍射实验所揭示的电子的波动性是：
许多电子在同一个实验中的统计结果，或者是一
个电子在许多次相同实验中的计结果。
解释：在电子衍射实验中，照相底片上
r 点附近衍射花样的强度
正比于该点附近感光点的数目，
正比于该点附近出现的电子数目，
正比于电子出现在 r 点附近的几
率。
波动性观点：亮处—到达该处电子波的强度大
暗处—到达该处电子波的强度小
粒子性观点：亮处—单位时间内到达该处的电子数多
暗处—单位时间内到达该处的电子数少
统计的观点：亮处—电子到达该处的概率大
暗处—电子到达该处的概率小
波函数的统计解释--量子力学的基本原理
描述微观粒子的状态用波函数Ψ (r)表示。波函数在
空间某一点的强度（振幅绝对值的平方|Ψ (r)|2 ）
和在该点找到粒子的几率成比例—几率波
-----反映微观粒子运动的一种统计规律性
其中|Ψ (r)|2= Ψ Ψ* =
|Ψ (r)|2 表示粒子出现在 r 点附近几率的大小，
|Ψ (r)|2 ΔxΔyΔz 表示在 r 点处，体积元
ΔxΔyΔz中找到粒子的几率。
三、波函数的性质
1. 几率和几率密度
根据波函数的几率解释，波函数有如下重要性质：
（1）在t时刻，r点，dτ= dxdydz体积内，找到由波函数
Ψ(r,t)描写的粒子的几率是：
dW(r,t) = C|Ψ(r,t)|2 dτ，
其中，C是比例系数。
（2）在t时刻r点，单位体积内找到粒子的几率是
ω(r,t)={dW(r,t)/dτ} = C|Ψ(r,t)|2
--几率密度
（3）在体积V内t时刻找到粒子的几率为：
W(t)=∫V dW =∫Vω(r,t)dτ= C∫V|Ψ(r,t)|2 dτ
2. 平方可积
由于粒子一定出现在空间中（不讨论粒子产生和湮灭
情况），所以在全空间找到粒子的几率应为1，即：
C∫∞|Ψ(r,t)|2dτ= 1,
从而得常数 C 之值为：
C = 1/∫∞|Ψ(r,t)|2dτ
若
这是要求描写粒子量子
状态的波函数Ψ必须是
绝对值平方可积的函数
∫∞|Ψ(r,t)|2dτ ∞, 则 C  0,
义的。
这是没有意
3.归一化波函数
（1）Ψ(r,t)和CΨ(r,t)所描写状态的相对
几率是相同的---描述同一状态
因为在t时刻，空间任意两点r1和r2处找到粒子的相对几率之比是：
2
2


C ( r1 , t )
 ( r1 , t )



C ( r2 , t )
 ( r2 , t )
所以，Ψ(r,t)和CΨ(r,t)描述的是同一几率波，
因而波函数有一常数因子不定性。
由于粒子在全空间出现的几率等于1，所以粒子在空间
各点出现的几率只取决于波函数在空间各点强度的相
对比例，而不取决于强度的绝对大小，因而，将波函
数乘上一个常数后，所描写的粒子状态不变。
这与经典波不同。经典波波幅增大一倍（原来的 2
倍），则相应的波动能量将为原来的 4 倍，因而代
表完全不同的波动状态。经典波无归一化问题。
（2）若 Ψ (r , t ) 没有归一化,∫∞ |Ψ (r , t )|2 dτ= A （A 是大
于零的常数），则有
∫∞ |A-1/2 Ψ (r , t )|2 dτ= 1
也就是说，A-1/2Ψ (r , t )是归一化的波函数，
与Ψ (r,t )描写同一几率波，A-1/2
称为归一化因子。
（3）令Φ(r,t)=A-1/2Ψ (r , t ) 则 Φ(r,t)为归一化的波函数，满
足
2


(r , t ) d  1
（4） 如果Ψ (r , t ) 没有归一化，而函数本身含有不定常数，
可以采用如下方法归一化（实际计算常用方法）
2

 | (r , t ) | d  1

从而定出中的不定常数
4. 相因子eiδ：归一化波函数有一个任意相因子
由于 | eiδ |2 = 1


2
2
e  d    d  1
i

所以 Ψ (r , t )和eiδΨ (r , t )描述同一几率波
5. 波函数的标准条件
波函数必须单值、有限、连续
单值：在任何一点，几率只能有一个值。
有限：几率不能无限大。
连续：几率一般不发生突变。
结论：
波函数的统计解释：波函数在空间某一点的
强度（振幅绝对值的平方）和在该点找到粒
子的几率成正比。

 2
数学表达： (r , t ) | (r , t ) |
归一化：

 2
  (r , t )d   | (r , t ) | d  1


说明：(1)即使要求波函数是归一化的，它仍然有一个
位相因子不能确定。(2)有些波函数不能(有限地)归一。
 2
例如平面波。此时 |  (r , t ) | 代表“相对几率密度”。
四、自由粒子的波函数
粒子具有波动性，它的运动可用一个波函数来描述。自

p
由粒子，能量 E ，动量
是常数，运动方向不变，与之相
联系的波频率
  E / h ，波长   h / p ，传播方向
固定，是一个平面波：
  A cos[2 ( x /   t )]
 
  A cos[2 (r  n /   t )]
 
 A cos(k  r t )
一般地，我们用复数形式
  Ae
 
i ( k  r   t )
i  

( p r  Et )
则自由粒子的平面波  ( r , t )  A

e
有关实验：
电子双缝干涉
1.与宏观粒子运动不同。
2.电子位置不确定。
3.几率正比于强度，即
 (r , t )
2
遮住缝1
遮住缝2
双缝都打开
§2.2
态迭加原理
态迭加原理是量子力学的基本原理之一，
反映了微观粒子运动的根本特性。
一.态及态函数
给出  (r, t ) 尽管粒子的位置不确定（我们不能要求它
确定，这是微观粒子的本质），但它的几率分布是完全确定
的，我们在以后还将证明，此时粒子的能量，动量等各种可
观测量的观测值及其几率分布也是完全确定的。因此，我们
把由  (r, t ) 描述的粒子的状态称为量子态或简称态（各
力学量的值不确定，但它的可能值及其分布几率是确定的），

而把
 称为态函数。
(r , t )
二 .态迭加原理
经典物理中，波函数的最本质的性质是迭加性
对微观粒子的波动性，其实质也是波的迭加性
经典物理：波的迭加只不过是将波幅迭加（波幅代
表实际物体的运动等），并在合成波中
出现不同频率的波长的子波成分。
微观粒子的波函数是态函数：在这里迭加性就具有
更深刻的意义，其实质是什么呢？
有关实验：
电子单缝衍射
电子双缝干涉
1
2
1
2
1
2
遮住缝1
遮住缝2
双缝都打开
单缝1使通过它的电子处于Ψ1
单缝2使通过它的电子处于Ψ2
当双缝同时打开时，一个电子可以同时处于Ψ1和Ψ2态，双
缝同时诱导的状态是它们的线性组合态（迭加态）
态迭加原理：
设ψ1，ψ2 是体系的两个状态，则迭加态：
ψ =c1 ψ1 +c2 ψ2
也是体系的可能状态。
（1）处于两态的几率分别为P1=Ic1Ψ1I2， P2=Ic2Ψ2 I2
（2）双缝同时打开时粒子出现的几率密度
|ψ|2=|c1ψ1+c2ψ2|2
=(c1*ψ1*+c2*ψ2*)( c1ψ1+c2ψ2)
|c1ψ1|2+|c2ψ2|2+c1*c2ψ1*ψ2+c1c2*ψ1ψ2*
干涉项
物理意义：粒子通过双缝后在P点出现的几率密度 = 粒子
通过缝1到达P点的几率密度 + 粒子通过缝2到达
P点的几率密度 + 干涉项
（3）Ψ可以由多个态来迭加
Ψ=c1Ψ1+c2Ψ2+···+cnΨn+···
  cn n
n
（4）力学量的测量：对于体系的其他力学量，如
，如果
在ψ1 下的值是a1 ,在ψ2 下的值是a2 ，则在ψ =c1ψ1+c2ψ2
的态，它的值可能是a1 ,也可能是a2 ，而测得 a1， a2的相
对几率是完全确定的 。
量子力学的态迭加原理，导致了粒子各种力学量
观测值的不确定性，这是由微观粒子的波粒二性
所决定的。
三.动量的几率分布
1. 在电子衍射实验中，电子在晶体表面反射后，以各

种不同的动量 p
运动。动量确定的粒子的状态为：
 
i

 ( Et  p r )
 p ( r , t )  A e 
其中，归一化常数：
经晶体表面反射后，电子状态可以为
值的状态的迭加。

p
取各种可能



 (r , t )   c( p) p (r , t )

p
 2
| c( p) |
为粒子的动量

p的相对几率
当动量连续变化时

 (r , t ) 




  c( p) p (r , t )dpx dpy dpz

2. 任何波函数都可以看作是不同动量的平面波的迭加：


 (r , t ) 
p
1
(2)
3
2
e
 
i
( pr  Et )



 p (r , t ) 

1
( 2 )

 (r ) 
p

 (r , t ) 

1

( 2 ) 3 / 2
其中：
3
2
e
i  
( p r  Et )

1
( 2 )
3
2
e


c
(
p
, t )


p
  i Et
  p ( r )e
i  
p r


( r ) d px d py d pz



i  

p r

c
(
p
,
t
)
d px d py d pz
e


i



Et
c( p, t )  c( p) e 
由傅里叶变换 得

c ( p, t ) 

1
( 2 )
3
2
 
i  


p r

d
 ( r , t ) e


 (r , t )
由于：
和

c ( p, t )

 (r , t )
给定后，

同样， c( p, t )

结论： c( p, t ) 和
互为付氏变换。
给定后，

c ( p, t )

 (r , t )
完全确定
完全确定

 (r , t ) 是同一状态的两种不同
的描述方法。
在一维情况下
1
 ( x, t ) 
( 2 )1/ 2
c ( p, t ) 
   c ( p, t ) e
1
2
i
px

dp


1
( 2 )


   ( x , t ) e

i
px

dx
§ 2.3
薛定谔方程
  牛顿运动方程
经典力学：质点在某时刻的状态已知 ( a , r )
质点在t时刻的状态
量子力学：微观粒子在某时刻的状态（Ψ）
薛定谔方程
粒子在t时刻的状态
薛定谔方程是量子力学的最基本方程，也是量子力学的一个
基本假设。我们并不能从一个更基本的假设来推导或证明它。
其正确性只能靠实践来检验。下面只是用一个比较简单的办
法来引述它。
1.薛定谔方程应满足下列条件：
a) 含

t
的偏微分方程
b)
是线性方程
c)
只含基本常数，不含状态参数。
2.自由粒子满足的方程
i  

( pr  Et )
 (r , t )  A e
对t求
偏导

i
  E
t

对坐标求二
次偏微商
 
i 
p

2
p
 2   2 

 

E  
 i
i t
t

E ~ i
t

p ~ i
(1)
2
p
 2   2 

对自由粒子：
因此
  2 2  p 2
P
2
p 2 ~   2 2
 2E
2 2

   E
(2)
2

E   i
(1)
t
联立（1） （2）

2 2
i
     E
t
2
(3)
-----（1）（2）（3）均是自由粒子满足的薛定谔方程
其中，劈形算符
拉普拉斯算符
 
 
 
i
 j
k
x
y
z
2
2
2
2
 
 2  2
2
x
y
z
3.在力场中运动粒子的波动方程--薛定谔方程
粒子在势场中
的能量：
代入式中

p2
E
 U (r , t )
2

E  i 
t
且作代换

p   i


2 2
i

   U (r , t )
t
2
4. 多粒子体系的薛定谔方程
 

 (r1, r2 ,  , rN )
设体系的波函数
2
 

pi
E
 U (r1 , r2 ,  , rN )
i 1 2i
N
代入式中
可以得到

E  i 
且作代换
t

pi   i i
2
 

pi

i
    U (r1 , r2 ,  , rN )
t
i 1 2  i
N
N
2
i 1
2 i

 i2  U
5.薛定谔方程说明：
（1）它是一个复数偏微分方程；

其解波函数 Ψr , t  是一个复函数。
（2）它的解满足态的叠加原理


若 Ψ1 ( r , t )和 Ψ2 ( r , t ) 是薛定谔方程的解，


则 c1Ψ1 (r , t )  c2Ψ2 (r , t ) 也是薛定谔方程的解。
主要原因在于薛定谔方程是线性偏微分方程。
（3）它并非推导所得，最初是假设，后来通过实验
检验了它的正确性。
（4）它是非相对论形式的方程。
6. 四个算符

2
H  
2  U
2

2
T  
2
2

p  i
ˆp 2    2 2
§ 2.4 粒子流密度和粒子数守恒定律
1. 几率流密度矢量
在r点处单位体积内粒子出现的几率（几率密度）

 *

 (r , t )   ( r , t )  ( r , t )
几率密度随时间的变化率




t
t
*

 *

t
利用薛定谔方程：
得到
(1)

2 2
i

   U
t
2

i 2
1

   U
t
2
i
(2)



i 2  1
取其共轭复数方程

   U 
t
2
i
(3)
把（2）（3）代入（1）中：

i
1
 i
1
 (
 2 
U )  (
 2  
U  )
t
2
i
2
i

i

( * 2  2 * )
t
2

令
则
i
  ( *  * )
2

i
J 
( *  * )
2


J  0
t
几率流密度矢量
粒子数守恒定律
or 连续性方程

2.J的物理意义
把


J  0
t


v t d  t
 
 d
v

  Jd 
v


   J  ds
写成积分形式
左式：单位时间体积V内
增加的几率
右式：从V外部穿过其S
进入V中的几率
s
   J n ds
s
J的意义：单位时间流过
S面上单位面积的几率
3. 波函数的标准条件
由于ω和J连续
Ψ在变量变化的全部区域内应当
连续、有限、以及连续的微商
由于ω=ΨΨ*是粒子
在r处出现的几率
Ψ是r，t的单值函数
波函数必须单值、有限、连续
4. 质量流密度和电荷流密度
质量密度
 2
     | (r , t) |
质量流密度

 i
*
*
J   J  (   )
2
质量守恒定律
电荷密度
电流密度
电荷守恒定律

e  e  e | (r , t ) |2


J e  eJ

 e
   Je  0
t
§2.5 定态薛定谔方程
一. 薛定谔方程
描述微观粒子有波粒二象性状态的波函数
一般是空间和时间的函数，即

Ψ  Ψr , t 
微观粒子在不同条件下(例如，处于不同的
外力场中)的运动状态是不同的，
解波函数 所满足的方程-薛定谔方程，该方程应
反映出微观粒子所处的不同条件。
薛定谔方程：




2 2
i (r , t )  [
  U (r , t )]  (r, t )
t
2
（记）
μ……粒子的质量
U……粒子在外力场中的势能函数（所处条件）
2……拉普拉斯算符
式中



 

 2
2
2
x  y z
2
2
2
2
二 .定态薛定谔方程
常常遇到微观粒子的势能函数 U 与时间 t
无关的稳定的势场问题，这称为定态问题。
例如：
 自由运动粒子…………U = 0
 氢原子中的电子……
2
1 e
U r   
40 r
这时波函数 可以用分离变量法分离为
一个空间坐标的函数和一个时间函数的
乘积。
波函数可写成


(r , t )   (r ) f (t )
将其代入薛定谔方程

2 2
i

   U
t
2

df   2 2
i
 
   U  f
dt  2

两边除以 ，得

1 df 1   2 2
i
 
   U  = E (常数)
f dt   2

可得只含变量 t 和只含变量 r 的两个方程：
df
 Edt
 一个是变量为t 的方程 i
f
可以把它先解出来：
其解为
f  Ae
i
 Et

……（★）
（A 是待定复常数， E 有能量量纲,以后可知是
粒子的能量：动能 + 势能）
 一个是变量为r 的方程
2

2

   U  E ……（★）
2

 (r )
求得特解

  i Et
因此，薛定谔方程的特解： (r , t )   (r ) e 
由上面可以看出:
 2

 ( r , t )   ( r )e
2
i
 t

 2
  (r )

即定态时，概率密度可以用  (r ) 来表示，

称  (r ) 为定态波函数，

上面（★）式是  (r ) 满足的方程，
称为定态薛定谔方程。
小结：对势能函数 U 与时间t 无关的定态问题，
只须解定态薛定谔方程（★）式，再乘上（★）式

即可得总波函数  (r ) 。
令
称为哈密顿算符。

H   E
这类方程称为本征值
方程。
从数学上讲，对任何值，定态薛定谔方程都有解。
对于实际的物理问题，只有一些特定的En 对应的解ψn 才满足
物理上的要求，即波函数的标准化条件。
En 称为体系的能量本征值。
ψn 称为能量本征函数。

定态薛定谔方程也就称为 H 的本征方程。
体系的能量本征函数
而原方程的通解由特解迭加而成
定态的特点
用波函数
描写的状态称为定态
1.它描写的粒子的能量 En是确定的
2.位置的几率分布不随时间变化
3.几率密度矢量亦与时间无关
思考题
描述定态有几种方法？
§ 2.6 一维无限深势阱
一、一维无限深势阱和方势阱
金属中自由电子的运动,是被限制在一个有限的范
围 …… 称为束缚态。
作为粗略的近似，我们认为这些电子在一维无限深方
势阱中运动：
U(x)
U=U0
U=U0
简
金属
U→∞
化
U=0
2a
U→∞
U(x)
x
U=0
Ⅰa Ⅱ
a
Ⅲ
无限深方势阱
x
一维无限深势阱的势能函数是：
U(x)=
{
0
+∞
|x|＜a;
|x|≥a .
边界条件：在势阱外，必有
 ( x)  o
|x|≥a
2 2

   U  E
2
在势阱内，满足方程:
d 
2E

 ( x)  0
2
2
dx

2
显然E必须>0，所以记
那么方程变成： d 2
dx
2
k
(a  x  a )
2E

 k  ( x )  0.
2
它的一般解是：
 ( x)  A cos kx  B sin kx.
( a  x  a )
由于
 ( x )在x  a和x  a处必须连续，
由边界条件
 ( x)  o

 A cos ka  B sin ka  0,

 A cos ka  B sin ka  0,
因而，
|x|=a
可得
(at x  a )
(at x  a )
 A cos ka  0,

 B sin ka  0.
A和B不能同时为0，否则ψ≡0，无意义解
有两种情形的解：
（1） B  0, cos ka  0, 所以，
n
k
,
2a
(n  奇数)
 n
得到 En 
,
2
8a
2
2 2
因为k 
2 E

nx
 n ( x)  A cos
2a
(2)
A  0,sin ka  0 所以，
n
k
,
2a
 2 2 n 2
En 
,
2
8a
(n  偶数)
nx
 n ( x)  B sin
2a
二者合起来可写为：
n
kn  ,
2a
( n  1,2,3,  )
 2
En 
2 n ,
8a
2
2
n
 n ( x)  An sin
( x  a)
2a
 n ( x)  0
x a
x a
波函数的归一化是：



| ( x ) | dx 
2

a
a
| ( x ) | dx  1
2
所以，
An 
1
,
a
（与n无关）
最后，波函数是：
1
n
n (x) 
sin
( x  a ).
2a
a

所以，一维无限深势阱中粒子的定态波函数为：
n x,t   n ( x)e
i
- En t

1
n
x  a e

sin
2a
a
n  1,2,3...
i
- En t

 x  a
说明：
(1) n的正负对解没有独立的物理意义。
因为波函数的形式一样，只存在正负值
的区别，这并不影响 IψI2，即几率密
度的分布不变。
(2) n=0时，ψ=0，无意义
(3) 束缚态：通常把在无限远处为零的波函数所
描述的状态，…。即粒子被限制在一个
有限的范围内运动
讨论
1.按经典理论……粒子的“能量连续”；
但量子力学……束缚态能量只能取分立值（能级）
一般来说，束缚态体系能级是离散的，能量量子化是束缚态
粒子的共同特性，是微观世界的特有现象
2.当 μ 很大（宏观粒子）时，能量连续，
量子  经典。
 2 2
En1  En 
( 2n  1)  0
2
8a
3.最低能量不为零（称零点能）
———符合不确定关系。
 2 2
E1 
0
2
8a
4. 基态：体系能量最低的态。对于一维无限深势阱，粒子的
基态是n=1的本征态，基态能量E1、基态波函数ψ1
5. 能级间隔
 2 2
En  En1  En 
( 2n  1)
2
8a
当n  时，En  0, 能级分布可视为连续
6.粒子的动量及波长
由
2 2


2
En  n
,
2
8a
n =1,2,3,4,5, 6,…
还可以得到势阱中粒子的动量和波长
Pn   2En   n

2a
h 4a
n 

Pn
n
说明势阱中粒子的每一个能量本征态正好对应于
德布罗意波的一个特定波长的驻波。
例题：求在一维无限深势阱中运动的
粒子的基态和第一激发态波长
7.势阱内各处粒子出现的概率呈周期性分布
与经典粒子不同。
n
2
En
n
束缚态
n,
4a
n 
n
E4
n  4 , 4  a
E3
4a
n  3 , 3 
3
n  2 , 2  2a
n  1 , 1  4a
E2
E1
a
0
a
 n 呈驻波状
x
8. 宇称的概念
1
n
n 
sin
x, n  2,4,6,
a
2a
即
 n x    n  x ,
--奇函数
波函数“反演变换”变号，称为具有奇宇称
1
n
n 
cos
x, n  1,3,5,
a
2a
即
 n x    n  x ,
--偶函数
波函数“反演变换”不变号，称为具有偶宇称
9. n x,t  是两个沿相反方向传播的平面波迭加
而成的驻波
n x,t   n ( x)e
利用
i
- En t


- En t
1
n
x  a e 

sin
2a
a
i
1 i -i
sin  
e -e
2i
 x  a

得
 n x, t   C1e
i  n

x-E n t 

  2a

 C2e
i  n

- 
x  En t 
  2a

从左向右传
从右向左传
播的平面波
播的平面波
求解定态薛定谔方程的思路

1. 写出 U (r )的形式，代入薛定谔方程
2. 写出边界条件
3. 用分离变量法求解
4. 用归一化条件及标准化条件→积分常数
5. 讨论解的物理意义
§ 2.7 线性谐振子
在经典力学中，当质量为  的粒
子，受弹性力F = - kx作用，由牛
顿第二定律可以写出运动方程为：
何谓谐振子?
d2x
 2   kx
dt
其解为 x =
简谐振动，
因为
 x   2 x  0
其中
Asin(ω t + δ)。这种运动称为
作这种运动的粒子叫谐振子。
dV
F 
dx
若取V0 = 0，即
平衡位置处于势
V = 0 点，则
所以
V   kxdx 
1
V   2 x 2
2
k


因：k   2
1
1 2

 2 x 2  V0
kx  V0
2
2
量子力学中的线性谐振子
就是指在该式所描述的势
场中运动的粒子。
为什么研究线性谐振子


自然界广泛碰到简谐振动，任何体系在平衡位置附近的小
振动，例如分子振动、晶格振动、原子核表面振动以及辐
射场的振动等往往都可以分解成若干彼此独立的一维简谐
振动。简谐振动往往还作为复杂运动的初步近似，所以简
谐振动的研究，无论在理论上还是在应用上都是很重要的。
例如双原子分子，两原子间的势V是二者相对距离x的函数，
如图所示。在 x = a 处，V 有一极小值V0 。在 x = a 附
近势可以展开成泰勒级数：
1 V
V ( x )  V (a ) 
1! x
V (a )  V0
V
x
1  2V
( x  a) 
2! x 2
x a
0
 V0 
x a
V
其中：k  2
x
 V0 
2
x a
( x  a )2  
x a
1 V
2! x 2
V(x)
2
a
( x  a )2
x a
1
k ( x  a )2
2
0
V0
x
这里，含V ′(0) 的一次项由于平衡位置V ′(0)=0而消失。
除非振动的幅度较大，否则不必考虑展开式中非简谐的高阶项。
取新坐标原点为(a, V0)，则势可表示为标准谐振子势
的形式：
1
2
V ( x )  kx
2
可见，一些复杂的势场下粒子的运动
往往可以用线性谐振动来近似描述。
双原子分子
一. 方程的化简
线性谐振子的势能函数是：
其中ω是谐振子的固有圆频率。所以薛定谔方程是：
2 2
2 2

   U  E 
   ( E  U )  0
2
2
在方程中做如下的无量纲化变换：
x
d d d
d


dx d dx
d
当ξ→±∞时 (ξ》λ） ，方程变为：
其近似解：
由波函数的标准化条件：当ξ→±∞时，ψ有限
因此，c2=0
因整个波函数尚未归一化，
所以c1可以令其等于1。
最后渐近波函数为：
其中 H(ξ) 必须满足波函数的单值、有限、连续的标准条件。
即：
① 当ξ有限时，H(ξ)有限；
② 当ξ→±∞时，H(ξ)的行为要保证ψ(ξ)→0 (边界条件）
H(ξ)满足的方程
将ψ(ξ)表达式代入方
程（3）得到函数 H(ξ)
所满足的方程：
写为
二. Hermitian多项式
可以用级数法求解H(ξ)的方程，结果发现：只要H(ξ)是“真”
无穷级数，那么在x→±∞的时候H(ξ)就→ eξ² ,仍然使ψ(ξ)发散。
能够避免这种情形出现的唯一出路是级数“中止”
或“退化”为多项式，而这就要求只能取一些特殊的值。
设要求H(ξ)是ξ的n次多项式，那么就必须让
λ=2n+1
得到能量本征值：
现在H(ξ)的方程成为：
n=0,1,2,3…
其解为:
它称为n次厄密（Hermitian）多项式。
头五个Hermitian多项式是:
三. 线性谐振子的能级和波函数
1.我们把线性谐振子的能级和波函数总结如下。能级是：
对应的波函数是：
 n ( x )  N n H n ( ) e
1
 2
2
 N n H n (x ) e
Nn是归一化常数，利用特殊积分



可得
e
Nn 
x2
dx   ,

 2 n!
n
.
1
  2 x2
2

( 
)

讨论：
1. 能量
1
En  ( n  )
2
 能量量子化、
能级等间距。
( n  0,1,2,)
E
E4
E3
E2
E1
E0

 能量间隔 h
（与黑体辐射理论同）
1

 零点能: E0 
2
2. 波函数

 n ( x)  (
)1 / 2 H n
2n  n!
0
1
  2 x2
(x )e 2 ，
m



1/ 2
 n ( x)  (
) Hn
2n  n!
1
  2 x2
(x )e 2 ，
Hn是厄密（Hermite）多项式， 最高阶是

 0 ( x)  (

1
  2 x2
1/ 2
) e 2

 1( x)  (
2 
1
  2 x2
)1 / 2  2(x )e 2

 2 ( x)  (
8 
1
  2 x2
)1 / 2 [2  4(x )2 ]e 2

(x) ，

3.能级的宇称偶奇相间，基态是偶宇称,即ψn(-x)=(-1) nψn(x)
n
四.几率分布:
经典力学：在ξ到ξ+dξ之间的区域内找到质点的几率ω (ξ) dξ
与质点在此区域内逗留的时间dt成比例
dt
 ( )d 
T
T是振动周期。因此有
 ( ) 
1
1

d
vt
T
dt
即几率密度与质点的速度成反比。对于经典的线性谐振子，
ξ=a sin(ωt+δ ) ,在ξ点的速度为
d
2 2
v
 a cos(t   )  a (1  2 )
dt
a
1
所以，几率密度与 (1   2 / a 2 )
量子力学：
2

1
2
成比例
谐振子的波函数
量子
经典
谐振子的概率密度分布
 量子:概率密度呈波动状,
在基态n =0时，x =0处粒子出现概率最大。
 经典:
x =0处粒子速度
最大，“概率”最小。
E
 11 ( x )
2
U
量子
当 n   时：
经典
量子概率分布
 经典分布
n=11时的概率密度分布
布
喇
格
德
拜
普
朗
克
埃
伦
费
斯
特
居
里
夫
人
德
狄
康 布
拉 薛
海
普 罗
克 定
顿 意泡 森
谔
利 伯
洛
仑
兹
爱
因
斯
坦
朗
之
万
1927年第五届索尔威会议
玻
恩
玻
尔
§2.8 势垒贯穿
一、方势垒
1.方势垒是：
U(x)
U0
0
a
x
其特点是：
(1)对于势阱，波函数在无穷远处趋于零，能谱是分立的
对于势垒，波函数在无穷远处不为零，粒子能量可取任意值
(2) 经典力学：若E<U0 ,则粒子不能进入势垒,在x=0处全被弹回
若 E> U0, 则粒子将穿过势垒运动。
量子力学：由于粒子的波动性，此问题将与波透过一层介质
相似，总有一部分波穿过势垒，而有一部分波被
反射回去。因此，讨论重点是反射和透射系数。
2. 方程求解
   2 E   0
x0
1
2
 1
  2
0 xa
 2   2 [ E  V0 ] 2  0
 
 3  22E  3  0
xa

上述三个区域的 Schrodinger
方程可写为：
（1）E > V0 情况
令：k12 
k 
2
2
   k 2  0
1 1
 1
  2
 2  k2 2  0
  2
 3  k1 3  0

2 E
因为 E > 0, E > V0, 所以 k1 > 0,
k2 > 0. 上面的方程可改写为：
2
2  ( E V0 )
2
解得：
x0
I
0 xa
II 区
xa
III
区
区
 1  Ae ik1 x  A e  ik1 x

ik2 x
 ik2 x



Be

B
e
 2

ik1 x
 ik1 x



Ce

C
e
 3
波函数意义
定态波函数ψ1,ψ2,ψ3 分别乘以含时因子 exp[-iEt/] 即
可看出：式中第一项是沿x正向传播的平面波，第二项是沿x负向传
播的平面波。由于在 x > a 的III 区没有反射波，所以 C'=0，于
是解为：
利用波函数标准条件来定系数。
首先， 解单值、有限条件满足。
1. 波函数连续
x  0:
 1 (0)   2 (0)  A  A  B  B
2. 波函数导数连续
x  0:
 1 ' (0)   2 ' (0)  ik1 A  ik1 A  ik2 B  ik2 B
x a:
x a:
 2 (a )   3 (a ) 
 2 ' (a )   3 ' (a ) 
Be ik2a  Be  ik2a  Ce ik1a
ik2 Be ik2a  ik2 Be  ik2a  ik1Ce ik1a
综合
整理
记之
 A  B  B   A
 ik2a
 ik a
ik a
 Be  Be 2  Ce 1  0

 k1 A  k 2 B  k 2 B  k1 A
 k Be ik2a  k Be  ik2a  k Ce ik1a  0
2
1
 2
3. 求解线性方程组
求解方程组得:
 A  B  B   A
 ik2a
 Be  ik2a  Ce ik1a  0
 Be

 k1 A  k 2 B  k 2 B  k1 A
 k Be ik2a  k Be  ik2a  k Ce ik1a  0
2
1
 2
4k1k2e  ik1a
C
A
2  ik2a
2 ik2 a
( k1  k2 ) e
 ( k1  k2 ) e
A 
2i ( k 12  k22 ) sin k2a
( k1  k2 ) e
2
 ik2a
 ( k1  k2 ) e
2
ik2 a
A
4. 透射系数和反射系数
为了定量描述入射粒子透射势垒的几率和被
势垒反射的几率，定义透射系数和反射系数。
I
透射系数：
透射波几率流密度与入射波
几率流密度之比称为透射系数
D = JD/JI
II 反射系数：
反射波几率流密度与入射波
几率流密度之比称为反射系数
R = JR/JI
其物理意义是：描述贯穿到 x > a 的 III区中的粒子在单位时间内流过垂
直 x方向的单位面积的数目与入射粒子（在 x < 0 的 I 区）在
单位时间内流过垂直于x方向单位面积的数目之比。
下面求
D 和 R
几率流密度矢量：
对一维定态问题，J 与
时间无关，所以入射波
Ψ = Aexp[ik1x]
ψ* = A* exp[-ik1x]

J 

J
i
2
[     ]
i
2
[
d
dx
   
d
dx
]
则入射波几率流密度
i
k1
ik1 x d
ik1 x
  ik1 x
  ik1 x d
JI 
[ Ae
Ae
Ae
Ae 
| A |2
2
dx
dx

反射波ψ= A’exp[-ik1x]，
所以反射波几率流密度：
JR  
其中负号表示与入
射波方向相反。
k1

| A' |2
对透射波ψ= Cexp[ik1x]，
所以透射波几率流密度：
JD 
k1 

| C |2
 ik1a
4k1k2e
C
A
2  ik2a
2 ik2a
(k1  k2 ) e  (k1  k2 ) e
于是透射系数为:
A 
2i (k 12  k22 ) sin k2a
2  ik2a
(k1  k2 ) e
 (k1  k2 ) e
2 ik2a
J D | C |2
4k12 k 22
D

 2
2
JI | A|
( k1  k22 )2 sin 2 k2a  4k12 k22
同理得反射系数：
J R | A |2
( k12  k 22 ) 2 sin 2 k 2 a
R

 2
2
JI
| A|
( k1  k 22 ) 2 sin 2 k 2 a  4k12 k 22
由以上二式显然有 D+R=1，说明入射粒子一部分贯穿势
垒到 x > a 的III区，另一部分则被势垒反射回来。
A
（2）E < V0情况
因 k2=[2μ(E-V0)/ ]1/2，当 E
< V0 时，k2 是虚数，
故可令：
k2=ik3， 其中k3=[2μ(V0-E)/ ]1/2。
这样把前面公式中的 k2 换成 ik3
并注意到：
sin ik3a = i sinh k3a
4k12 k 32
D  2
( k1  k 32 )2 sinh 2 k 3a  4k12 k 32
( k12  k 32 )2 sinh 2 k 3a
R  2
( k1  k32 )2 sinh 2 k 3a  4k12 k32
即使 E < V0，在一般情况下，透射系数 D 并不等于零。
V(x)
入射波+反射波
0
隧道效应
V0
透射波
a
（tunnel effect）
x
粒子能够穿透比它动能更高的势垒的
现象.它是粒子具有波动性的生动表现。
当然，这种现象只在一定条件下才比
较显著。下图给出了势垒穿透的波动
图象。
隧道效应
Z
2
X
O
a
（三）讨论
（1）当k3a >> 1时
于是：
k1
k3
sinh 2 ( k 3a ) 
 (e
1
2
k3a

2
 e  k3a )  14 e 2 k3a
4k12 k32
4
D 2

( k1  k32 )2 14 e 2 k3a  4k12 k32 14 [ kk13  kk13 ]2 e 2 k3a  4
透射系数
则变为：
因为
即势垒既宽又高，于是：e k3a  e  k3a , 则

k3
k1
必大于 1 ,
D
且当
16
 2 k 3a
e
[ kk13  kk13 ]2
k3a  1
 D0e
 2 k3a
D0 
粗略估计，认为
k1 ≈ k 3
（相当于E ≈V0/2）,
下面通过实例来说明透射系数
的量级大小。
时，e 2 k3a  4
 D0 e
故4可略
 2a 2  (V0  E )
E (V0  E )
16

16
V02
[ kk13  kk13 ]2
则 D0 = 4是一常数。
例1: 入射粒子为电子。
设 E=1eV, V0 = 2eV,
a = 2× 10-8 cm = 2Å，
算得 D ≈ 0.51。
例2: 入射粒子换成质子。
质子与电子质量比
μp/μe ≈ 1840。
对于a = 2 Å
则 D ≈ 2 × 10-38。
可见透射系数明显的依赖于
粒子的质量和势垒的宽度。
若a=5× 10-8cm = 5 Å，
则 D ≈ 0.024，可见
透射系数迅速减小。
量子力学提出后，Gamow
首先用势垒穿透成功的说明
了放射性元素的α衰变现象。
（2）任意形状的势垒
可把任意形状的势垒分割成许
多小势垒，这些小势垒可以近
似用方势垒处理。
对每一小方势垒透射系数
D  D0e
 2 2  (V ( x )  E )dx
V(x)
E
则 x1 → x2贯穿势垒V(x)的
透射系数等于贯穿这些小
方势垒透射系数之积，即
b
D  D0e a
 2
0 a dx
b
2  (V ( x )  E )dx
此式的推导是不太严格的，但该式与严格推导的结果一致。
若 μ、a、( U0 – E ) 越小，则透射系数D越大。
实验完全证实了“量子隧道效应”现象的存在。
例如，★ 放射性核的  粒子衰变
★ 隧道二极管
★ 扫描隧穿显微镜
经典物理
量子物理
一维有限深势阱
扫描隧穿显微镜（STM）
(Scanning Tunneling Microscope)
i
是观察固体表面
原子情况的
A
S
超高倍显微镜。
1.原理
隧道电流 i 与
样品和针尖间
的距离S关系
极为敏感。
势能曲线 U
B
U
0
n
2
E
扫描探针A
S 10A
B 样品
定量关系：
隧道电流
i  Ue
图象处理系统
 A ΦS
扫描探针
样品表面电子云
S — 样品和针尖间的距离
U — 加在样品和针尖间的微小电压
A — 常数
 — 平均势垒高度
压电控制
显示器
加电压
隧道电流
反馈传感器
参考信号
扫描隧道显微镜示意图
2.技术难点与克服
(1) 消震：
多级弹簧，底部铜盘涡流阻尼。
(2) 探针尖加工：针尖只有1~2个原子！
电化学腐蚀，强电场去污，
(3) 驱动和到位：利用压电效应的逆效应。
—— 电致伸缩，一步一步扫描。
2

扫描一步 0.4Å， 扫描1 ，用 0.7s
(4) 撞针：保持 i 不变
d不变
(利用反馈装置，不撞坏针尖)
STM
0 10
30
50
70
90
硅晶体表面的STM扫描图象
(nm)
神经细胞的STM扫描图象
搬运单个原子
镶嵌了48个 Fe 原子的 Cu 表面的
扫描隧道显微镜照片。48 个 Fe 原子
形成“电子围栏”，围栏中的电子形成驻波：
由于这一贡献，宾尼、罗赫尔和鲁斯卡
三人分享了 1986年度的诺贝尔物理奖。
前两人是扫描隧穿显微镜的直接发明者，
第三人是 1932年电子显微镜的发明者，
这里是为了追朔他的功劳。
宾尼
罗赫尔
鲁斯卡
第二章小结
1. 波与所描述的粒子的关系
2. 波函数的统计解释
微观体系的状态由一个波函数完全描述
当给定体系的波函数，则体系的各种力学量的可能观测值及可
测得的几率便完全确定。
描述的特点
波恩的几率解释
3. 解释电子衍射实验的三种观点
4.波函数的性质；自由粒子波函数
5.波函数的三种等价描述
6.自由粒子的波函数
7.态的叠加原理及意义
8. 任何波函数都可以看作是不同动量的平面波的迭加：
9.薛定谔方程应满足下列条件及其推导
10.几率流密度矢量；粒子数守恒定律
11.定态的几种描述方法；定态薛定谔方程的求解方法
12. 一维无限深势阱的求解方法及波长的求解方法
13.线性谐振子的求解方法；能量本征值
14. 方势垒问题的求解方法及隧道效应
2.量子力学中的测量过程
“仪器”和被测量体系见得相互作用过程。测量过程对
体系的运动状态存在不可控制和不可预测的干扰。
3. 微观体系的各种力学量不可能同时具有确定值，是微
观粒子运动的本质属性。它并不是测量方法或实验技术的缺
陷所造成的；是微观粒子具有波动性的必然结果。
a.波动性的实质即态迭加性。
b.波函数型即
e
i 
p r

i
 Et

e
三. 态迭加原理
1.微观粒子波动性的实质是 态的迭加
衍射花样的形成并不是由不同电子之间的干涉形成的，
而是由电子的不同的运动状态之间的迭加而形成 的，是电
子与自身的干涉。
2.态迭加原理
迭加态中体系部分地处于某一个态，任何一个态可
分解为不同态的迭加。
本征态及把给定态分解为本征态的迭加。
态迭加原理与测不准原理。
动量的几率分布
四.薛定谔方程
1.
2.当

2
i

 2  U
t
2
U
0
t
 
时
c  e

n
n
i
En t

n
n
由定态薛定谔方程确定
2 2


   U (r )  E
2
第二章完