Gravitational Lensing, SZ Effects, and Large-Scale
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Exercises
宇宙今天的年龄?哈勃常数H0=?
宇宙的物质组成?
星系团质量的测量给出 M/L~270,
对应的Ωm=?
4.在3中,做了什么假设?
5.如果已知宇宙平均Ωm=1,你能够想出任何解释
来说明3中星系团的质光比与宇宙平均Ωm=1
不矛盾吗?
1.
2.
3.
标准宇宙学模型
基本理论框架
Robertson-Walker 度规
宇宙动力学
宇宙年龄
宇宙学距离
物理量的红移变化
物质-辐射等密度
视界
基本理论框架
宇宙学原理:宇宙在大尺度上是均匀和
各向同性的
爱因斯坦广义相对论:引力应当用四维
时空度规来描述。
物质(能量)的多少
与性质决定了时空
的特性。
牛顿力学:太阳对地球产生引力,限制地球的运动
F
广义相对论:太阳的存在造成了时空度规(几何)
的变化,从而限制了地球的运动。
牛顿力学是广义相对论在一定
条件下的近似
度规的概念
二维平面:
x
2
坐标矢量 (dx1, dx2)
ds
dx2
dx1
两点间距离为
2
d s (dx1 ) 2 (dx2 ) 2
x1
度规张量
dx dx
1 0
0 1
极坐标:
x r cos , x r sin
1
很容易证明:
2
2
d s dr2 r 2 d 2
极坐标系下的度规张量为
1 0
0 r2
r
二维球面
二维球面方程:
x x x R
2
1
2
2
2
3
2
球面上的线元
2
dl dx12 dx22 dx32
利用球面方程,则有
2
(
x
dx
x
dx
)
dl dx12 dx22 1 2 1 2 2 22
R x1 x2
2
用坐标
r'
和
来表示
x1 r ' cos , x2 r ' sin
2
R 2 dr' 2
2
2
dl 2
r
'
d
R r '2
利用
r r' / R
则有
2
dr
2
2
2
dl R
r d
2
1 r
2
度规张量
g
R2
0
2
1 r
0
R 2 r 2
四维时空度规描述(一维时间,三维空间):
ds2 g dx dx
, 1,2,3,4
这里 g 为二阶度规张量 ,它决定了时空的性质
平坦时空(光速c=1):
g
ds2 dt2 dx2 dy2 dz2
1, 0, 0, 0
0, 1, 0, 0
0, 0, 1, 0
0, 0, 0, 1
* 这里我们采用的正负号规则与 “物理宇宙学讲义” 不
同
Robertson-Walker 度规
在宇宙学原理的假设下,四维时空度规
具有下列形式
2
dr
2
2
2
2
2
2
2
2
ds dt R (t )
r d r sin d
2
1 kr
这里: R(t ) 为宇宙尺度因子,
r, ,
为共动坐标
k
反映空间曲率 ,
曲率
k=0 平坦
k=1 正曲率
k= -1 负曲率
固有距离:同一时刻两点间的距离
r
L p R(t )
r
0
dr
1 kr 2
R(t )k 1/ 2sinn-1 (k 1/ 2 r )
sin(x), k 1
sinn( x) x , k 0
sinh(x) k 1
0
r
dr
dR(t ) 1
我们有: dLP dR(t ) 1 R(t )
LP
2
0
dt
dt R(t )
dt R(t )
1 kr
Hubble “constant”:
H (t )
dR(t ) 1
R
dt R (t ) R
等 r 面的面积
S R (t )r
2
因此: R(t )r
角直径距离
2
0
sin d
2
0
d 4 R 2 (t ) r 2
称为角直径距离, r 为共动
体积:
V R (t )
3
2
0
rmax
0
0
d sin d
r 2 dr
1 kr 2
k 1, rmax 1, V 2 R3 (t )
k 0 or 1, V
宇宙学红移
Doppler 效应:
源向着我们运动:
频率增高---〉蓝移
源远离我们运动,
频率降低---〉红移
宇宙学红移反映了光信号发出时与接收时的
时空的变化:宇宙膨胀
宇宙光源(如星系)本身不是 在 空间中 运动,
而是 随着 空间的变化而变化
* 除了Hubble膨胀,还有本动 (peculiar motion)
红移定义:
emit
obs
1 z
obs
emit
这里 为频率,
为波长
与宇宙膨胀的关系
假设位于共动坐标 r r1 处的光源在时刻 t1 发出光波,
接收者位于 r 0 处,并于 t0 时刻收到此波。
2
ds
0
根据光的传播方程
则有
t0
t1
r1
dt
dr
f (r1 )
2 1/ 2
0
R(t )
(1 kr )
在 t1+δt1 时,光源发出第二个波峰,此波峰到达
接受者的时刻为t0+δt0 . 我们有
t0 t0
t1 t1
从而
t0
t1
r1
dt
dr
f (r1 )
2 1/ 2
0
R(t )
(1 kr )
dt
R(t )
t 0 t 0
t1 t1
dt
R(t )
对于足够小的 δt ,
t1
R(t1 )
t 0
R (t 0 )
我们知道:
t
1
则有
emit
R(t1 )
,
obs
R(t 0 )
obs
R(t 0 )
1 z
emit
R(t1 )
宇宙红移与宇宙的膨胀直接相关
光的传播需要时间,光源离我们越远,所需时间
越长。因此我们接收到的光是源在 t0 t 时发出的,
我们看到的是源在那时的状况。这里t0为接收到
光的时间,Δt为光传播所需时间。
红移越大,距离越远,Δt越大。
例如:对于位于d=1光年的天体,我们看到的是
它一年以前的状况。
氢原子 n=3 n=2 λ=656.3 nm (10-9m) (red)
n=4 n=2 λ=486.1 nm (bluegreen)
n=2 n=1 λ=121.6 nm (Lyman α)
电离能:13.6 eV λ=91.2 nm (Lyman limit)
对于 z=3 光源,相应的接收到的波长为
obs 0 (1 3) 40
例如:
Lyman limit
obs 4 912 A 3648A
Lyman break galaxies: photons from the blue side of
Lyman limit can ionize neutral
hydrogen atoms, and thus
get absorbed
Search for high redshift galaxies with Lyman break
techniques
U (Ultraviolet ), G (Green), R(red) filters
U-band dropouts
detect galaxies
at z~3
B-band dropouts
z~4
What are the redshifts of the two objects? (quasars)
光度距离:
d
2
L
L
4 F
L: 光源的绝对光度(在源的静止系中,源单位时间
发出的能量)
F: 测量到的流量 (单位时间,单位面积探测器接收到
的能量)
dL : 光度距离
在 t0 时刻,探测器的面积dA占全球面的面积的比例为
dA
4 R 2 (t0 ) r12
R(t0 )r
用光子的概念,光源的绝对光度可以写为
L
N (h 1 )
t1
这里N为光源在t1时,δt1间隔内发出的光子个数,
ν1 为光子频率。
在t0时,δt0 的间隔内到达探测器的光子个数为
N' N
dA
4 R 2 (t0 ) r12
接收到的光子的能量 红移至 h h 1
0
1 z
且有
t0 (1 z) t1
则探测到的流量F为
N ' (h 0 )
1
1
N (h 1 )
F
*
*
dA t0
4 R 2 (t0 ) r12 (1 z ) 2
t1
于是
d L R(t0 ) r1 (1 z)
** 光度距离是人们 用来表示
远处光源在观测者看来有多弱的物理量
** standard candles
角直径距离
dA
D
R (t1 ) r1
D: 位于 r1 处的光源在发出光时 (t=t1)的固有
尺寸。
δ: 观测到的角直径
则
d A R(t0 ) r1 *
1
(1 z )
d A d L (1 z)
** standard rulers
2
体积元
共动体积元
固有体积元
r2
dV
dr d
2 1/ 2
(1 kr )
r2
dV R
dr d
2 1/ 2
(1 kr )
3
Exercises
1.
James Webb Space Telescope (JWST)的重要科学目标之一是研究
宇宙第一代恒星的形成 (z~15-30)。第一代恒星的质量远远大于
太阳(几十至几百倍)。考虑恒星发光,你认为JWST设计应
该在那个波段优化呢?为什么?
2。 宇宙学红移与距离有一一对应关系。因此测量红移,在给定宇
宙学的条件下,就可知相应的距离。但
如果发光体除随宇宙膨胀外,还受其附
近环境的影响具有peculiar motion,那么
红移-距离的转换就存在问题。下图为
CfA星系红移巡天的结果。圈中的星系
是Coma星系团的成员。它们的peculiar
motion是什么样的?Coma星系团离我
们大致多远?
宇宙动力学
假设宇宙含有若干种具有不同物态性质的物质
i :i 种物质的密度
pi : i 种物质的压强
根据Einstein广义相对论,物质的总量及
成分的组成决定了宇宙的时空。
在Robertson-Walker 时空中,需要确定的量
是 R(t) 与 k
从Einstein场方程我们有
2
R
k 8 G
i
2
2
R
R
3 i
R
4 G
( i 3 pi )
R
3 i
从上面两式,我们可以得到
d [R3 i ] pi dR3
或
d [ R3 ( i pi )] R3dpi
上面的关系式与热力学第一定律相当,称为
能量守恒方程
我们还需要知道各种组成的物态性质,即物态
方程
pi pi ( i )
则宇宙的时空性质完全被确定下来
假设宇宙物质的物态方程 可写为
pw
代入能量守恒方程则有
R3(1w)
例子:
1
p R 4
3
辐射:
实物物质:
真空:
暗能量:
p 0 R 3
p const
p w R3(1w) , w 1/ 3
定义下列宇宙学重要参量
,
c
c
2
3H
,
8 G
H
R
R
:无量纲密度参量
c :临界密度
H :Hubble 常数 (随时间变化)
根据方程,则有
k
1 2 2
R H
i
i
tot
由此可以看出
tot 1, k 0
tot 1, k 0
tot 1, k 0
即宇宙间物质的总含量决定了宇宙的曲率
** 一般来讲 tot 随时间变化。
对于 tot 严格等于1,则 tot 不随时间变化。
注意 tot 随时间变化
我们来看今天宇宙的状况
将今天的Hubble常数写为
H0 h *100km / s / Mpc
这里 h 反映了H0 的不确定性, h ~ O(1)
今天宇宙的临界密度为
3H 02
c
1.879 h 2 1029 g cm3
8 G
另一方面,宇宙的加速状况与宇宙间各个物质
成分的性质密切相关
定义加速度参数 q 为
q
RR
2
R
则有
pi
1
3
q tot
2
2 i c
实物为主:p=0, 则有
1
q m
2
实物 ( m ) +真空( ) ( tot m )
1
q m
2
可以看出,对于相同的 tot , 如果物质组成
不同,则宇宙膨胀加速状况将会不同
对于实物+辐射为主的宇宙,压强为正,
宇宙的加速度永远为负值,即宇宙为
减速膨胀
如果宇宙为加速膨胀,则
R 0
( i 3 pi ) 0
i
必须有负压强的 物质
分量存在
实物为主的宇宙膨胀 R(t)
2
R
k
8 G
m
2
2
R
R
3
m
0 R03
R3
这里下标 “0” 代表今天的值。 则有
d ( R / R0 )
H 0 1 m 0 m 0 R0 / R
dt
于是
tH
1
0
(1 z ) 1
0
[1 m 0
dx
m 0 x 1 ]1/ 2
这里用了 R / R0 1/(1 z)
对于
1
, 则有
R
3
H 0t
R0 2
2/3
辐射为主
t
R (t )
0
1
m
dR'
R
'
0 R04
H
R4
1
0
(1 z ) 1
0
dx
[1 R 0 R 0 x 2 ]1/ 2
1 1
1 1 R(t )
2
t H 0 (1 z ) H 0
2
2
R0
2
实物+真空能
2
R
8 G
k
(M ) 2
2
R
3
R
m0
8 G
8G
k
,
,
m0
0
0
k
3H 02
3H 02
R02 H 02
d ( R / R0 )
H 0 1 m 0 0 m 0 R0 / R 0 ( R / R0 ) 2
dt
宇宙年龄
今天宇宙尺度为R0, 红移为 z=0
t=0 对应 R=0, z
宇宙的年龄为
t0
R0
0
dR
R
0
dz
(1 z ) H ( z )
实物+真空能为主的宇宙
t0 H
1
0
dx
1
0
1 m0 0 m0 x 1 0 x 2
上式可以换为对红移 z 的积分
t0 H 01
0
对于
m 0 1
dz
(1 z ) (1 z ) 2 (1 m0 z ) 2(2 z ) 0
t0
2 1
H0
3
对于 0.1 m0 1, | 0 | 1 , 年龄可以近似为
t0
2 1
H 0 (0.7 m 0 0.3 0.3 0 ) 0.3
3
我们有
m0 0.3, 0 0
2 1
t0 H 0 *1.22
3
m0 0.3, 0 0.7
t0
2 1
H 0 *1.44
3
m0 0.2, 0 0
2 1
t0 H 0 *1.28
3
m0 0.2, 0 0.8
2 1
t0 H 0 *1.62
3
对于不同的宇宙学,今天的宇宙膨胀速度 R/ R0
及 R / R0 是一定的。相比于 m0 1 的宇宙,
低密度宇宙及有真空能的宇宙膨胀速度减速的慢,
于是其早期的膨胀速度小,
为了达到今天的 R / R0 ,所需时间长,所以宇宙年龄
长
宇宙学距离
从前面各种距离的定义,我们看出光源
到观测者的共动作标 r1 是一个关键量。
考虑光的径向传播,满足的方程
ds2 0
2
dr
dt 2 R 2 (t )
1 kr 2
则有
t0
t1
0
dt
dr
r1
R(t )
1 kr 2
上式可以写为
dR
R0
R1
R(t ) R(t )
0
r1
dr
1 kr 2
利用 R / R0 1/(1 z)
z
0
r1
dz
dr
R0
0
H ( z)
1 kr 2
利用上式,便可得到 r1 ( z ) , 它是依赖于宇宙学的。
对于同样的红移 z, 不同的宇宙学得到的 r1 ( z )
不同,因此 有不同的 光度距离 及 角直径距离
如果观测可以测得 d L (z) 或 d A (z) , 便可以
对宇宙学模型提出限制
角直径距离
Type Ia Supernova 观测
利用Type Ia Supernova 作为标准烛光,测得
光度距离 与红移的关系 dL(z)
宇宙加速膨胀 ===〉 ( i 3 pi ) 0
i
需要有负压强的物质成分存在 ==〉暗能量 !
宇宙学常数 p
动力学场
p w , w 0, w 1
Cluster of galaxies
X-ray + SZ effects
体积元
共动体积元
dV
r 2 dr
1 kr
d
2
利用 r(z) 关系, 可以得到
dV R
3
dV
r 2 ( z )( dr / dz )dz r 2 ( z )dz
2
dzd
R0 H ( z )
1 kr ( z )
这是一个依赖于宇宙学的物理量,会影响星系或
星系团的计数。
共动体积元
相关物理量随红移的变化
Hubble 常数
H 2 ( z)
i ( z )
8G
k
(
)
i0
3 i
R 2 ( z)
i0
实物+真空
H 2 ( z) H02[0 m0 (1 z)3 (1 0 m0 )(1 z)2 ]
思考: 如果加入辐射成分,上式如何修改?
宇宙物质密度
m ( z)
物质
(1 z )3
m ( z )
m0
2
(8 / 3) H ( z )
[ H ( z ) / H 0 ]2
真空
( z)
( z)
(8 / 3) H 2 ( z )
0
1
[ H ( z ) / H 0 ]2
tot 0 1
k
tot ( z ) 1 2
2
总密度
R ( z ) H ( z ) [ R( z ) / R0 ]2 [ H ( z ) / H 0 ]2
tot 0 1
1 /(1 z ) 2 [ H ( z ) / H 0 ]2
考虑到 H(z)对红移的依赖关系,可以看出
随着红移的增大
tot 1
宇宙早期接近平坦
在标准大爆炸模型中,宇宙包含实物及辐射
如果宇宙今天的 ~ O(1) , 可以估算出
| (1sec) 1 | O (10 16 )
| (10 43 sec) 1 | O (10 60 )
宇宙初始状态极其特殊 ! 为什么?
Problem:
Please calculate the age of the universe for flat
cosmological models with M 1 . In a figure,
plot t M relation. If t 1.3 1010 yrs , find the
possible M
range.
Exercises
1. 根据光度距离
d L ( z) R0r ( z)(1 z)
z
0
和
r(z)
dz
dr
H ( z) 0
1 kr 2
回答: k=0, Ωm=1, z=0.1, 0.5, 1, 1.5, 2 的光度距离
k=0, ΩΛ=1, z=0.1, 0.5, 1, 1.5, 2 的光度距离
2. 如果测量精度为Δ(m-M)=1 mag, 在只有一个数据点的
情况下,需要测量的最低红移大约是多少才能较好地区
分上述两个模型?对于Δ(m-M)=0.5 mag,
Δ(m-M)=0.15 mag 的情况呢?
物质-辐射等密度
T 2.726K
今天的宇宙间充满了 温度 0
的
微波背景辐射, 同时还有中微子背景,其温度
为 T 0 (4 / 11)1/ 3 * 2.726K
利用黑体辐射公式, 可以计算出光子+中微子
这一辐射成分的能量密度
r 0 h2 4.2 105
这里考虑了三种中微子
物质今天的密度为
m0 m0 *1.88*10 h g / cm
29
我们知道
m
r
则
m0
R0
3
r 0
R0
4
2
R 3 m0 (1 z )3
R 4 r 0 (1 z ) 4
m m0
(1 z ) 1
r
r 0
3
可以看出 随着红移的增大,辐射成分的能量
密度的增大快于实物能量密度,因此存在着
一个红移 zeq, 辐射能量密度与实物能量密度
相等。我们可以得到
(1 zeq ) 23900m0 h2
对于
m0 1, h 0.5
m0 0.3, h 0.7
(1 zeq ) 5975
(1 zeq ) 3513
物质密度扰动只能在物质为主时增长,因此
zeq 的大小直接影响到宇宙大尺度结构的形成,
从而是一个重要的物理量。
大尺度结构的观测结果显示
h 0.2
这里
称为 shape parameter
视界
光的传播需要时间。 我们能够接收到
的在 r=r1 处光源的信号是它在t1 时发出的。
对于 位于 r>r1 的光源,我们看到的是
t<t1 时发出的光。如果存在着一个
rH , 我们今天接受到的光是它在 t=0 时
发出的,那么 对于 r> rH 的源,我们
至今没有看到它的任何信号。它的
信号在未来的某一时刻才能到达我们
这里 rH 是时间的函数
我们通过下列关系可以得到 rH
在 rH 处,t=0时发出的光,在 t=t 时到达 r=0,
则有
t
0
dt'
R(t ' )
rH
0
dr
1 kr 2
视界定义为从原点到视界面 rH 的固有距离
d H (t )
rH
0
g rr dr R(t )
t
0
dt'
R(t ' )
考虑 R 3(1 w)
(1 z ) 1
1
dx
d H (t )
H 0 (1 z ) 0
[ x 2 (1 0 ) 0 x (13 w) ]1 / 2
在红移 z ~1000 时,宇宙实物 为主
对于 Ω0=1 及 w = 0
d H (t ) 2H 01 (1 z) 3 / 2
z=1000,
w
p
1
d H ( z 1000) 104.5 d H ( z 0)
注意这是 在 z=1000时的固有视界。这一尺度
膨胀到今天为
DH ( z 0 0, z H 1000) (1 z )d H ( 1000)
101..5 d H ( z 0) 0.03d H ( z 0)
则 z=1000时 视界的今天的尺度是今天的
视界尺度的 0.03 倍
DH
d H (0)
我们今天能够
看到的宇宙中
含有 N 0.033 ~ 4 *104
个在 z=1000 时
相互没有信息
交换的独立的
区域
我们今天看到的微波背景辐射来自
z ~1000的最后散射截面。观测显示
微波背景辐射的不均匀度仅为 ~ 10-5
这一高度均匀性是如何形成的?
T 2.73 K
Self Study (March 16 & March 23)
1.
http://astro.ucla.edu/~wright/cosmo_01.htm
Ned Wright's Cosmology Tutorial
2. Open problems in cosmology
P.J.E.Peebles
http://xxx.lanl.gov/PS_cache/astro-ph/pdf/0311/0311435.pdf
3.
Final Results from the Hubble Space Telescope
Key Project to Measure the Hubble Constant
Freedman,W.L. et al. 2001, ApJ, 553, 47
爱因斯坦场方程
G
R
1
Rg 8GT
2
g
称为Einstein 张量(由
决定),
这里 G
T 为能动量张量
粒子(质量不为零)的运动方程:
d 2 x
dx dx
0,
2
d
d d
这里
d 2 g dx dx
称作固有时 (Proper time)