Transcript Gravitational Lensing, SZ Effects, and Large-Scale

Exercises
宇宙今天的年龄？哈勃常数H0=?
宇宙的物质组成？
星系团质量的测量给出 Ｍ／Ｌ～２７０，
对应的Ωｍ＝？
４．在３中，做了什么假设？
５．如果已知宇宙平均Ωｍ＝１，你能够想出任何解释
来说明３中星系团的质光比与宇宙平均Ωｍ＝１
不矛盾吗？
1.
2.
3.
标准宇宙学模型








基本理论框架
Robertson-Walker 度规
宇宙动力学
宇宙年龄
宇宙学距离
物理量的红移变化
物质-辐射等密度
视界
 基本理论框架
宇宙学原理：宇宙在大尺度上是均匀和
各向同性的
爱因斯坦广义相对论：引力应当用四维
时空度规来描述。
物质（能量）的多少
与性质决定了时空
的特性。
牛顿力学：太阳对地球产生引力，限制地球的运动
F
广义相对论：太阳的存在造成了时空度规（几何）
的变化，从而限制了地球的运动。
牛顿力学是广义相对论在一定
条件下的近似
度规的概念
二维平面：
x
2
坐标矢量 （dx1, dx2)

ds
dx2
dx1
两点间距离为
2
d s  (dx1 ) 2  (dx2 ) 2
x1
度规张量
  dx dx

1 0 

 
 0 1
极坐标：
x  r cos , x  r sin 
1
很容易证明：
2
2
d s  dr2  r 2 d 2
极坐标系下的度规张量为
1 0 


0 r2 


r

二维球面
二维球面方程：
x x x R
2
1
2
2
2
3
2
球面上的线元
2
dl  dx12  dx22  dx32
利用球面方程，则有
2
(
x
dx

x
dx
)
dl  dx12  dx22  1 2 1 2 2 22
R  x1  x2
2
用坐标
r'
和

来表示
x1  r ' cos , x2  r ' sin 
 2
R 2 dr' 2
2
2
dl  2

r
'
d

R  r '2
利用
r  r' / R
则有
2

dr
2
2
2
dl  R 
 r d 
2
1  r

 2
度规张量
g
 R2


0 
2
 1 r

0
R 2 r 2 

四维时空度规描述（一维时间，三维空间）：
ds2   g  dx dx

 ,   1,2,3,4

这里 g  为二阶度规张量 ，它决定了时空的性质
平坦时空（光速c=1)：
g 
ds2  dt2  dx2  dy2  dz2
1, 0, 0, 0 


 0,  1, 0, 0 

0, 0,  1, 0 


 0, 0, 0,  1


* 这里我们采用的正负号规则与 “物理宇宙学讲义” 不
同
 Robertson-Walker 度规
在宇宙学原理的假设下，四维时空度规
具有下列形式
2

dr
2
2
2
2
2
2
2
2
ds  dt  R (t )
 r d  r sin  d 
2
1  kr

这里： R(t ) 为宇宙尺度因子，
r,  , 
为共动坐标
k
反映空间曲率 ，
 曲率
k=0 平坦
k=1 正曲率
k= -1 负曲率
 固有距离：同一时刻两点间的距离
r
L p  R(t ) 
r
0
dr
1  kr 2
 R(t )k 1/ 2sinn-1 (k 1/ 2 r )
sin(x), k  1

sinn( x)   x , k  0
sinh(x) k  1

0
r
dr
dR(t ) 1
我们有： dLP  dR(t ) 1 R(t )

LP
2
0
dt
dt R(t )
dt R(t )
1  kr
Hubble “constant”:

H (t ) 
dR(t ) 1
R

dt R (t ) R
 等 r 面的面积
S  R (t )r
2
因此： R(t )r
角直径距离
2


0
sin  d 
2
0
d  4 R 2 (t ) r 2
称为角直径距离， r 为共动
 体积：
V  R (t )
3
2
0

rmax
0
0
d  sin  d 
r 2 dr
1  kr 2
k  1, rmax  1, V   2 R3 (t )
k  0 or  1, V  

宇宙学红移
Doppler 效应:
源向着我们运动：
频率增高---〉蓝移
源远离我们运动，
频率降低---〉红移
宇宙学红移反映了光信号发出时与接收时的
时空的变化：宇宙膨胀
宇宙光源（如星系）本身不是 在 空间中 运动，
而是 随着 空间的变化而变化
* 除了Hubble膨胀，还有本动 （peculiar motion）
红移定义：
 emit
obs
1 z 

 obs
emit
这里  为频率， 
为波长
与宇宙膨胀的关系
假设位于共动坐标 r  r1 处的光源在时刻 t1 发出光波，
接收者位于 r  0 处，并于 t0 时刻收到此波。
2
ds
0
根据光的传播方程
则有

t0
t1
r1
dt
dr

 f (r1 )
2 1/ 2
0
R(t )
(1  kr )
在 t1+δt1 时，光源发出第二个波峰，此波峰到达
接受者的时刻为t0+δt0 . 我们有

t0  t0
t1  t1
从而

t0
t1
r1
dt
dr

 f (r1 )
2 1/ 2
0
R(t )
(1  kr )
dt

R(t )

t 0 t 0
t1 t1
dt
R(t )
对于足够小的 δt ,
t1
R(t1 )

t 0
R (t 0 )
我们知道：
t
1

则有
emit
R(t1 )

,
obs
R(t 0 )
obs
R(t 0 )
1 z 

emit
R(t1 )
宇宙红移与宇宙的膨胀直接相关
光的传播需要时间，光源离我们越远，所需时间
越长。因此我们接收到的光是源在 t0  t 时发出的，
我们看到的是源在那时的状况。这里t0为接收到
光的时间，Δt为光传播所需时间。
红移越大，距离越远，Δt越大。
例如：对于位于d=1光年的天体，我们看到的是
它一年以前的状况。
氢原子 n=3  n=2 λ=656.3 nm (10-9m) (red)
n=4  n=2 λ=486.1 nm (bluegreen)
n=2  n=1 λ=121.6 nm (Lyman α)
电离能：13.6 eV  λ=91.2 nm (Lyman limit)
对于 z=3 光源，相应的接收到的波长为
obs  0 (1  3)  40
例如：
Lyman limit


obs  4  912 A  3648A
Lyman break galaxies: photons from the blue side of
Lyman limit can ionize neutral
hydrogen atoms, and thus
get absorbed
Search for high redshift galaxies with Lyman break
techniques
U (Ultraviolet ), G (Green), R(red) filters
U-band dropouts
detect galaxies
at z~3
B-band dropouts
z~4
What are the redshifts of the two objects? (quasars)
 光度距离：
d
2
L

L
4 F
L: 光源的绝对光度（在源的静止系中，源单位时间
发出的能量）
F: 测量到的流量 （单位时间，单位面积探测器接收到
的能量）
dL : 光度距离
在 t0 时刻，探测器的面积dA占全球面的面积的比例为
dA
4 R 2 (t0 ) r12
R(t0 )r
用光子的概念，光源的绝对光度可以写为
L
N (h 1 )
 t1
这里N为光源在t1时，δt1间隔内发出的光子个数，
ν1 为光子频率。
在t0时，δt0 的间隔内到达探测器的光子个数为
N'  N 
dA
4 R 2 (t0 ) r12
接收到的光子的能量 红移至 h  h 1
0
1 z
且有
 t0  (1  z) t1
则探测到的流量F为
N ' (h 0 )
1
1
N (h 1 )
F

*
*
dA t0
4 R 2 (t0 ) r12 (1  z ) 2
 t1
于是
d L  R(t0 ) r1 (1  z)
** 光度距离是人们 用来表示
远处光源在观测者看来有多弱的物理量
** standard candles
 角直径距离
dA 
D

 R (t1 ) r1
D: 位于 r1 处的光源在发出光时 （t=t1)的固有
尺寸。
δ: 观测到的角直径
则
d A  R(t0 ) r1 *
1
(1  z )
d A  d L (1  z)
** standard rulers
2

 体积元
共动体积元
固有体积元
r2
dV 
dr d
2 1/ 2
(1  kr )
r2
dV  R
dr d
2 1/ 2
(1  kr )
3
Exercises
1.
James Webb Space Telescope (JWST)的重要科学目标之一是研究
宇宙第一代恒星的形成 (z~15-30)。第一代恒星的质量远远大于
太阳（几十至几百倍）。考虑恒星发光，你认为JWST设计应
该在那个波段优化呢？为什么？
2。 宇宙学红移与距离有一一对应关系。因此测量红移，在给定宇
宙学的条件下，就可知相应的距离。但
如果发光体除随宇宙膨胀外，还受其附
近环境的影响具有peculiar motion，那么
红移-距离的转换就存在问题。下图为
CfA星系红移巡天的结果。圈中的星系
是Coma星系团的成员。它们的peculiar
motion是什么样的？Coma星系团离我
们大致多远？
 宇宙动力学
假设宇宙含有若干种具有不同物态性质的物质
i ：i 种物质的密度
pi : i 种物质的压强
根据Einstein广义相对论，物质的总量及
成分的组成决定了宇宙的时空。
在Robertson-Walker 时空中，需要确定的量
是 R(t) 与 k
从Einstein场方程我们有
 2
R
k 8 G


i

2
2
R
R
3 i

R
4 G

( i  3 pi )

R
3 i
从上面两式，我们可以得到
d [R3 i ]   pi dR3
或
d [ R3 ( i  pi )]  R3dpi
上面的关系式与热力学第一定律相当，称为
能量守恒方程
我们还需要知道各种组成的物态性质，即物态
方程
pi  pi ( i )
则宇宙的时空性质完全被确定下来
假设宇宙物质的物态方程 可写为
pw
代入能量守恒方程则有
  R3(1w)
例子：
1
p      R 4
3
辐射：
实物物质：
真空：
暗能量：
p  0    R 3
p       const
p  w     R3(1w) , w  1/ 3
定义下列宇宙学重要参量


,
c
c 

2
3H
,
8 G
H 
R
R
 ：无量纲密度参量
c ：临界密度
H ：Hubble 常数 （随时间变化）
根据方程，则有
k
1 2 2 
R H

i
i
  tot
由此可以看出
tot  1, k  0
tot  1, k  0
tot  1, k  0
即宇宙间物质的总含量决定了宇宙的曲率
** 一般来讲 tot 随时间变化。
对于 tot 严格等于1，则 tot 不随时间变化。
注意  tot 随时间变化
我们来看今天宇宙的状况
将今天的Hubble常数写为
H0  h *100km / s / Mpc
这里 h 反映了H0 的不确定性， h ~ O(1)
今天宇宙的临界密度为
3H 02
c 
 1.879 h 2 1029 g cm3
8 G
另一方面，宇宙的加速状况与宇宙间各个物质
成分的性质密切相关
定义加速度参数 q 为

q
RR
 2
R
则有
pi
1
3
q  tot  
2
2 i c
实物为主：p=0, 则有
1
q  m
2
实物 (  m ) +真空(   ) ( tot  m   )
1
q  m  
2
可以看出，对于相同的 tot ， 如果物质组成
不同，则宇宙膨胀加速状况将会不同
对于实物+辐射为主的宇宙，压强为正，
宇宙的加速度永远为负值，即宇宙为
减速膨胀
如果宇宙为加速膨胀，则

R  0 
 ( i  3 pi )  0
i
必须有负压强的 物质
分量存在
 实物为主的宇宙膨胀 R(t)
 2
R
k
8 G


m
2
2
R
R
3
m 
0 R03
R3
这里下标 “0” 代表今天的值。 则有
d ( R / R0 )
 H 0 1   m 0   m 0 R0 / R
dt
于是
tH
1
0

(1 z ) 1
0
[1   m 0
dx
  m 0 x 1 ]1/ 2
这里用了 R / R0  1/(1  z)
对于
 1
， 则有
R
3

  H 0t 
R0  2

2/3
 辐射为主
t
R (t )
0
 1
m 
dR'

R
'
0 R04
H
R4
1
0

(1 z ) 1
0
dx
[1   R 0   R 0 x  2 ]1/ 2
1 1
1 1  R(t ) 
2

t  H 0 (1  z )  H 0 
2
2
 R0 
2
 实物+真空能
 2
R
8 G
k

(M   )  2
2
R
3
R
m0 
8 G
8G
k

,



,



m0
0
0
k
3H 02
3H 02
R02 H 02
d ( R / R0 )
 H 0 1   m 0    0   m 0 R0 / R    0 ( R / R0 ) 2
dt
 宇宙年龄
今天宇宙尺度为R0, 红移为 z=0
t=0 对应 R=0, z  
宇宙的年龄为
t0  
R0
0
dR

R


0
dz
(1  z ) H ( z )
实物+真空能为主的宇宙
t0  H
1
0
dx
1

0
1  m0   0  m0 x 1   0 x 2
上式可以换为对红移 z 的积分
t0  H 01 

0
对于
m 0  1
dz
(1  z ) (1  z ) 2 (1  m0 z )  2(2  z ) 0
t0 
2 1
H0
3
对于 0.1  m0  1, | 0 | 1 ， 年龄可以近似为
t0 
2 1
H 0 (0.7 m 0  0.3  0.3  0 ) 0.3
3
我们有
m0  0.3, 0  0
2 1
t0  H 0 *1.22
3
m0  0.3, 0  0.7
t0 
2 1
H 0 *1.44
3
m0  0.2, 0  0
2 1
t0  H 0 *1.28
3
m0  0.2, 0  0.8
2 1
t0  H 0 *1.62
3

对于不同的宇宙学，今天的宇宙膨胀速度 R/ R0
及 R / R0 是一定的。相比于 m0  1 的宇宙，
低密度宇宙及有真空能的宇宙膨胀速度减速的慢，
于是其早期的膨胀速度小，
为了达到今天的 R / R0 ，所需时间长，所以宇宙年龄
长
 宇宙学距离
从前面各种距离的定义，我们看出光源
到观测者的共动作标 r1 是一个关键量。
考虑光的径向传播，满足的方程
ds2  0 
2
dr
dt 2  R 2 (t )
1  kr 2
则有

t0
t1
0
dt
dr
 
r1
R(t )
1  kr 2
上式可以写为

dR
R0
R1

R(t ) R(t )
 
0
r1
dr
1  kr 2
利用 R / R0  1/(1  z)

z
0
r1
dz
dr
 R0 
0
H ( z)
1  kr 2
利用上式，便可得到 r1 ( z ) ， 它是依赖于宇宙学的。
对于同样的红移 z, 不同的宇宙学得到的 r1 ( z )
不同，因此 有不同的 光度距离 及 角直径距离
如果观测可以测得 d L (z) 或 d A (z) ， 便可以
对宇宙学模型提出限制
角直径距离
Type Ia Supernova 观测
利用Type Ia Supernova 作为标准烛光，测得
光度距离 与红移的关系 dL(z)
宇宙加速膨胀 ===〉 ( i  3 pi )  0
i
需要有负压强的物质成分存在 ==〉暗能量 ！
宇宙学常数 p   
动力学场
p  w , w  0, w  1
Cluster of galaxies
X-ray + SZ effects
 体积元
共动体积元
dV 
r 2 dr
1  kr
d
2
利用 r(z) 关系， 可以得到
dV  R
3
dV
r 2 ( z )( dr / dz )dz r 2 ( z )dz


2
dzd 
R0 H ( z )
1  kr ( z )
这是一个依赖于宇宙学的物理量，会影响星系或
星系团的计数。
共动体积元

相关物理量随红移的变化
Hubble 常数
H 2 ( z) 
i ( z )
8G
k
(

)

 i0 
3 i
R 2 ( z)
i0
实物+真空
H 2 ( z)  H02[0  m0 (1  z)3  (1  0  m0 )(1  z)2 ]
思考: 如果加入辐射成分，上式如何修改？
宇宙物质密度
m ( z)
物质
(1  z )3
m ( z ) 
 m0
2
(8 / 3) H ( z )
[ H ( z ) / H 0 ]2
真空
 ( z) 
 ( z)
(8 / 3) H 2 ( z )
 0
1
[ H ( z ) / H 0 ]2
tot 0  1
k
tot ( z )  1  2

2
总密度
R ( z ) H ( z ) [ R( z ) / R0 ]2 [ H ( z ) / H 0 ]2

tot 0  1
1 /(1  z ) 2 [ H ( z ) / H 0 ]2
考虑到 H(z)对红移的依赖关系，可以看出
随着红移的增大
tot  1
宇宙早期接近平坦
在标准大爆炸模型中，宇宙包含实物及辐射
如果宇宙今天的  ~ O(1) ， 可以估算出
| (1sec)  1 | O (10 16 )
| (10  43 sec)  1 | O (10  60 )
宇宙初始状态极其特殊 ！ 为什么？
Problem:
Please calculate the age of the universe for flat
cosmological models with  M     1 . In a figure,
plot t   M relation. If t  1.3 1010 yrs , find the
possible  M
range.
Exercises
1. 根据光度距离
d L ( z)  R0r ( z)(1  z)

z
0
和
r(z)
dz
dr

H ( z) 0
1  kr 2
回答: k=0, Ωm=1, z=0.1, 0.5, 1, 1.5, 2 的光度距离
k=0, ΩΛ=1, z=0.1, 0.5, 1, 1.5, 2 的光度距离
2. 如果测量精度为Δ(m-M)=1 mag, 在只有一个数据点的
情况下，需要测量的最低红移大约是多少才能较好地区
分上述两个模型？对于Δ(m-M)=0.5 mag，
Δ(m-M)=0.15 mag 的情况呢？
 物质-辐射等密度
T  2.726K
今天的宇宙间充满了 温度  0
的
微波背景辐射， 同时还有中微子背景，其温度
为 T 0  (4 / 11)1/ 3 * 2.726K
利用黑体辐射公式， 可以计算出光子+中微子
这一辐射成分的能量密度
r 0 h2  4.2 105
这里考虑了三种中微子
物质今天的密度为
m0  m0 *1.88*10 h g / cm
29
我们知道
m 
r 
则
 m0
R0
3
r 0
R0
4
2
R 3   m0 (1  z )3
R 4   r 0 (1  z ) 4
m m0

(1  z ) 1
r
r 0
3
可以看出 随着红移的增大，辐射成分的能量
密度的增大快于实物能量密度，因此存在着
一个红移 zeq, 辐射能量密度与实物能量密度
相等。我们可以得到
(1  zeq )  23900m0 h2
对于
m0  1, h  0.5
m0  0.3, h  0.7
(1  zeq )  5975
(1  zeq )  3513
物质密度扰动只能在物质为主时增长，因此
zeq 的大小直接影响到宇宙大尺度结构的形成，
从而是一个重要的物理量。
大尺度结构的观测结果显示
  h  0.2
这里

称为 shape parameter

视界
光的传播需要时间。 我们能够接收到
的在 r=r1 处光源的信号是它在t1 时发出的。
对于 位于 r>r1 的光源，我们看到的是
t<t1 时发出的光。如果存在着一个
rH , 我们今天接受到的光是它在 t=0 时
发出的，那么 对于 r> rH 的源，我们
至今没有看到它的任何信号。它的
信号在未来的某一时刻才能到达我们
这里 rH 是时间的函数
我们通过下列关系可以得到 rH
在 rH 处，t=0时发出的光，在 t=t 时到达 r=0,
则有

t
0
dt'

R(t ' )

rH
0
dr
1  kr 2
视界定义为从原点到视界面 rH 的固有距离
d H (t ) 

rH
0
g rr dr  R(t ) 
t
0
dt'
R(t ' )
考虑   R 3(1 w)
(1 z ) 1
1
dx
d H (t ) 
H 0 (1  z ) 0
[ x 2 (1   0 )   0 x (13 w) ]1 / 2
在红移 z ~1000 时，宇宙实物 为主
对于 Ω0=1 及 w = 0
d H (t )  2H 01 (1  z) 3 / 2
z=1000,
w
p

 1
d H ( z  1000)  104.5 d H ( z  0)
注意这是 在 z=1000时的固有视界。这一尺度
膨胀到今天为
DH ( z 0  0, z H  1000)  (1  z )d H ( 1000)
 101..5 d H ( z  0)  0.03d H ( z  0)
则 z=1000时 视界的今天的尺度是今天的
视界尺度的 0.03 倍
DH
d H (0)
我们今天能够
看到的宇宙中
含有 N  0.033 ~ 4 *104
个在 z=1000 时
相互没有信息
交换的独立的
区域
我们今天看到的微波背景辐射来自
z ~1000的最后散射截面。观测显示
微波背景辐射的不均匀度仅为 ~ 10-5
这一高度均匀性是如何形成的？
T  2.73 K
Self Study (March 16 & March 23)
1.
http://astro.ucla.edu/~wright/cosmo_01.htm
Ned Wright's Cosmology Tutorial
2. Open problems in cosmology
P.J.E.Peebles
http://xxx.lanl.gov/PS_cache/astro-ph/pdf/0311/0311435.pdf
3.
Final Results from the Hubble Space Telescope
Key Project to Measure the Hubble Constant
Freedman,W.L. et al. 2001, ApJ, 553, 47
爱因斯坦场方程
G


R

1
 Rg   8GT 
2

g
称为Einstein 张量（由
决定）,
这里 G
T  为能动量张量
粒子（质量不为零）的运动方程：


d 2 x
 dx dx
 
 0,
2
d
d d
这里

d 2  g dx dx
称作固有时 （Proper time)