Transcript 二、近代数学的兴起
第五讲 穿越黑暗— —近代数学的兴起 教学目标：了解三、四次方程求解方法，理 解对数产生背景及思想和映射产生的背景及 符合代数的意义，掌握解析几何产生的原因， 熟练掌握射影几何产生的问题及其意义。 教学重点：三、四次方程解法，对数的产生 和射影几何的产生 教学难点：对数产生的思想方法 教学素材：《古今数学思想》 一、文艺复兴的前奏 大学：波隆尼亚大学（1088）、巴黎大学（1160）、 牛津大学（1167）——摇篮 文艺复兴运动——资产阶级文化的兴起 斐波那契（1170-1250），著作《算经》（《算盘 书》） 内容：前七章为十进制整数及分数的计算问题；8— 11章涉及商业计算的比例、利息、等差级数及等比级 数，还有赚赔、合股、折扣、复利等应用问题； 12、13章为求一次方程的整数解问题； 14章是求平方根、立方根的法则； 15章是几何度量及代数问题。 斐波那契(L.Fibonacci,1170-1250):<算经>(1202) 某人养了一对小兔子，假定每对兔子 每月生一对小兔子，而小兔子出生后 两个月就能生育，问从这对兔子开始， 一年内能繁殖成多少对兔子？ 裴波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21，…… U n=Un-1+Un-2 (n≥3) Un 1 ( 5 1) 0.6180339887 U n 1 2 n 自然现象中的裴波那契数： 向日葵花瓣依两个相反的螺旋形排列， 朝一个螺旋方向生长的花瓣数同朝相反螺旋 方向生长的花瓣数，几乎总等于裴波那契序 列中两个相邻的数。 菠萝、冬表、球花、牛眼菊和许多植物的 花也有类似的情形。 一些花的花瓣数构成裴波那契序列中的一 串数字 电子学专门设计的电路也能产生裴波那契 序列 二、近代数学的兴起 三次及以上的方程的根式解问题： 巴巧利认为x3+mx=n，x3+n=mx无根式解，就 象解化圆为方一样。 费罗（1465-1526）发现了形如x3+mx=n （m,n>0）的解法。 尼古拉·丰丹纳（绰号塔塔里亚） （1499-1557），1535年宣布发现了三次 方程的代数解法。 （一）代数学 1. 三、四次方程根式求解的成功 费罗 （1515年） x3+mx=n (m,n>0) 塔塔利亚 x3+mx2=n (m,n>0) 卡尔丹（1501-1576）医生、数学家、预言家。 《大法》—公布了三次方程的解法。 《大法》（Ars Magna） x 3 px q a 3 q q 2 p 3 ( ) ( ) 2 2 3 x 3 px q a 3 q q 2 p 3 ( ) ( ) 2 2 3 p, q >0 b3 q q p ( )2 ( )3 2 2 3 p, q >0 b3 q q p ( ) 2 ( )3 2 2 3 例：解方程 x 12x 8 2 0 3 2.四次方程求解 费拉里（1522-1565），卡尔丹的学生，获得 解一般四次方程的解法。 x4+ax3+bx2+cx+d=0 基本思想是通过配方、因式分解后降次 关于四次方程的解法，以后韦达和笛卡 尔都作过研究，并取得成果，由此引发探求 五次方程根式解的尝试，经拉格朗日、阿贝 尔、伽罗瓦的努力，阿贝尔首先证明了一般 的五次及以上方程无根式解，伽罗瓦在此基 础上创造了群论，将代数研究推向纵深。 （二）代数符号体系与代数运算 韦达(F.Vieta):<分析引论>(1591) 近代数学的开始最重大的事莫过于符号 代数的引进 韦达是第一个有意识地、系统地使用字 母 韦达（15401603），法国数学 家，创立符号代数； 发现根与系数的关 系。 （三）计算技术与对数 纳皮尔（1550-1617），利用两种不同的 运动之间的关系，建立了“对数”关系。 称为纳皮尔对数。 布里格斯（1561-1631），建立了以10为 底的常用对数，制出第一张常用对数表。 冈特（1581-1626），算出三角函数的常 用对数表。 比尔吉（1552-1632），也独立发明了对 数。 穆尼阁（1611-1656），把对数传入中国 纳皮尔 布里格斯 德国数学家斯蒂弗尔（约1487-1567）在 他的《综合算术》中指出： 几何数列：1,r,r2,r3,…… 算术数列：0,1,2,3,…… 指数与算术级数之间的对应关系。 减速运动 匀速运动 A A’ B B‘ C C’ D E Z D‘ Z’ 三、解析几何的诞生 16世纪，机械的广泛运用，建筑业的 兴起，造船业的发展，显微镜、望远镜 的使用，要求数学确定各种复杂的曲线、 曲面。航海业向天文学和数学提出精确 测定经纬度要求，枪炮制造要求研究抛 射体轨迹，这些都需有一种新思想、新 方法来解决问题，这是解析几何产生的 外部原因 其次，代数学的充分发展，使过去依赖几何方法解 决代数问题的局面被打破，反过来利用代数方法研 究几何的思想已成熟，这是内部原因。 第三，形数结合思想历来有之，古希腊阿波罗尼奥 斯研究圆锥曲线时，偶尔引用正交直线来显示一种 “坐标” ，依巴谷在天文、地理的研究中曾明确指 出一点的位置由经纬度来决定.到14世纪,奥雷斯姆 (1323-1382)在其书中直接陈述过一种“坐标”几何。 格塔拉底(1566-1627)继承韦达用代数研究几何的思 想，写成《阿波罗尼奥斯著作的现代阐释》，对几 何问题的代数解法作了系统的研究。1630年又在 《数学的分析与综合》中更详细地讨论了这个问题， 1631年哈里奥特在《实用分析学》中把格塔拉底的 思想引伸并系统化。 最后，更为重要的是天体运动和物体 运动的研究，启发数学家思考用运动 观点来研究几何问题。 在德沙格和帕斯卡开辟了射影几何的 同时，笛卡儿和费尔马开始构思现代 解析几何的概念，并各自独立地创立 了解析几何。这两项研究之间存在一 个根本区别：前者是几何学的一个分 支，后者是几何学的一种方法。 笛卡尔(R.Descartes, 1596-1650): <几何学>(1637) 笛卡儿(1596-1650) ，法国著名哲学家、数学家。 1637年，发表了《方法论》及其三个附录，他对解析 几何的贡献，就在第三个附录《几何学》中，其中心 思想是要把代数与几何继往开来起来，由方程自变量 变化，函数值变化形成动点，得到方程曲线，他提出 了几种由机械运动生成的新曲线。 费马(1601-1665) ，法国人业余数学家，数论方面是 承前启后的人物，几何方面又是一个创造性人物。在 《平面和立体轨迹导论》中，引进动点成线思想，利 用坐标，把曲线用一个方程表示出来，解析地定义了 许多新的曲线，然后进行研究。 在很大程度上，笛卡儿从轨迹开始，然后求它的方程； 费尔马则从方程出发，然后来研究轨迹。这正是解析 几何基本原则的两个相反的方面，“解析几何”的名 称是以后才定下来的。 这门课程达到现在课本中熟悉的形式，是100 多年以后的事。象今天这样使用坐标、横坐标、 纵坐标这几个术语，是莱布尼兹于1692年提出 的。1733年，年仅18岁的克雷洛出版了《关于 双重曲率曲线的研究》一书，这是最早的一部 空间解析几何著作。1748年，欧拉写的《无穷 分析概要》，可以说是符合现代意义的第一部 解析几何学教程。1788年，拉格朗日开始研究 有向线段的理论。1844年，格拉斯曼提出了多 维空间的概念，并引入向量的记号。于是多维 解析几何出现了。 解析几何在近代的发展，产生了无穷维解 析几何和代数几何等一些分支。普通解析几何 只不过是代数几何的一部分，而代数几何的发 展同抽象代数有着密切的联系。 四、从透视学到射影几何 布努雷契(F.Brunelleschi,1377-1446) 阿尔贝蒂(L.B. Alberti ,1404-1472) <论绘画> 迪勒(A.Dürer, 1471-1528) <线面体的尺规测量法> 英国画家柯尔比<泰勒博士透视方法浅说>(1754) 卷首插图 出发点 透视画的天才阿尔贝蒂提出一个很重 要的问题：如果眼睛和景物之间插立 一张直立的玻璃屏板，设想光线从眼 睛出发射在景物上，那么这些光线形 成投影锥，投影锥经过屏板上的点便 形成截景，截景给眼睛的印象和物景 本身一样。如果在眼睛与物景之间再 插另一张屏板，那么两个截景都传达 原来的形象，但它们具有何数学关系？ 眼 截景 物景 德沙格的工作 德沙格（1591-1661），法国陆军军官， 德沙格定理。迪沙格发表了—本关于圆 维曲线的很有独创性的小册子《试论锥 面截一平面所得结果的初稿》 ，从开普 勒的连续性原理开始，导出了许多关于 对合、调和变程、透射、极轴、极点以 及透视的基本原理 1、两投影三角形对应边交点共线，反之，对应边 共点的两三角形，对应顶点的连线共点（德沙格 定理） 2、交比在投影下的不变性； 3、对合、调合点组关系不变性。 对任一直线上的定点O，称直线上的两对点A， B和A’，B’是对合的，如果成立： OA·OB=OA’ ·OB’ 任一不过顶点的直线遭到圆锥曲线以及 完全四边形相交的点具有对合关系 H C DG E B A F A，B；C，D；E，F；G，H 是四组点对合 3、对合、调合点组投射关系不变性 调合点组：有一点E，若使OA·OB=OE2 则称E为二重点，另还有一个二重点F， O是EF的中点，称点A，B；E，F是调合 点组。 4、极带 极带 帕斯卡（1623-1662），著作《圆锥曲线 论》（1640），帕斯卡定理。 拉伊尔（1640-1718），著作《圆锥曲 线》，获得定理：若一点Q在直线p上移 动，则该点Q的极带将绕直线p的极点P 移动。 4.三角学 雷格蒙塔努斯(J.Regiomontanus,14361476): <论各种三角形> 帕普斯定理 CP ·CR = k CQ2 或 CP CR k CQ CS （k 为常数） y 2 Ay Bxy Cx Dx 2 代数方程根的作图 z=b z2 = - az + b z3 = - az +bz + c z4= - az + bz + cz + d . . .z2 = az + b2 z2 = - az + b2 z2 = az - b2 费马(P.de Fermat, 1601-1665) <论平面和立体 的轨迹引论>(1629)